LA TRANSFORMADA DE FOURIER

1. El desarrollo de una funcion en serie de funciones ortonormales

Definicion: Dos funciones f y g se dicen ortogonales con respecto a la funcion peso r en el intervalo

a ≤ x ≤ b si, y solo si, ∫ b

af(x).g(x).r(x)dx = 0

Ejemplo: f(x) = sen x, g(x) = sen(2x), r(x) ≡ 1, [a, b] = [0, π]

Definicion: Sea φnn∈N una coleccion infinita de funciones definidas en el intervalo a ≤ x ≤ b. La

coleccion φn∈N es ortogonal respecto de la funcion peso r en a ≤ x ≤ b, si∫ b

aφn(x)φm(x)r(x)dx = 0 (m 6= n)

Ejemplo:sen(nx)n=1,2,3,..., 0 ≤ x ≤ π, r(x) ≡ 1.

(m 6= n);∫ π

0sen(nx) sen(mx) dx = −1

2

∫ π

0cos[(m + n)x]− cos[(n−m)x] dx =

−12

1

m + nsen[(m + n)x]− 1

n−msen[(n−m)x]

π

0= 0

Definicion: Una funcion f se dice normalizada respecto de la funcion peso r(x) en el intervalo

a ≤ x ≤ b si, y solo si ∫ b

a[f(x)]2r(x)dx = 1

Ejemplo: f(x) =√

2π

sen x, r(x) ≡ 1, 0 ≤ x ≤ π.

∫ π

0

(√2π

)2

sen2(x) dx =2π

∫ π

0

1− cos(2x)2

dx =2π

12

x− 14

sen(2x)π

0= 1

Definicion: Sea φnn∈N un conjunto infinito de funciones definidas en el intervalo a ≤ x ≤ b. El

conjunto φn se llama sistema ortonormal respecto de la funcion peso r(x) en a ≤ x ≤ b, si es un

sistema ortogonal y cada funcion esta normalizada respecto de r(x) en a ≤ x ≤ b, es decir,∫ b

aφm(x)φn(x)r(x)dx =

0 m 6= n1 m = n

Ejemplo: φn(x) = √

2π

sen(nx), (n = 1, 2, 3, ....), 0 ≤ x ≤ π, r(x) ≡ 1.

1

El problema del desarrollo

Sea φn un sistema ortonormal respecto a una funcion peso r(x) en un intervalo a ≤ x ≤ b y

sea f(x) una funcion arbitraria. Consideremos el problem de desarrollar f(x) en serie infinita de las

funciones ortonormales φ1, φ2, φ3, .... Supongamos que tal desarrollo existe,

f(x) =∞∑

n=1

cnφn(x) (i)

para cada x del intervalo a ≤ x ≤ b. La cuestion es como determinar los coeficientes cn

(n = 1, 2, 3, ...). Procedamos a nivel formal dejando de lado, por el momento, la cuestion de la

convergencia. Multipliquemos la igualdad (i) por φk(x)r(x)

f(x)φk(x)r(x) =∞∑

n=1

cnφn(x)φk(x)r(x)

integremos entre a y b

∫ b

af(x)φk(x)r(x)dx =

∫ b

a[∞∑

n=1

cnφn(x)φk(x)r(x)]dx =∞∑

n=1

[∫ b

acnφn(x)φk(x)r(x)dx]

∫ b

af(x)φk(x)r(x)dx =

∞∑

n=1

cn

∫ b

aφn(x)φk(x)r(x)dx

y como ∫ b

aφn(x)φk(x)r(x)dx =

0 n 6= k1 n = k

se obtiene que ∫ b

af(x)φk(x)r(x)dx = ck

Luego si∞∑

n=1

cnφn(x) converge uniformemente a f(x) en a ≤ x ≤ b, podemos garantizar que los

coeficientes del desarrollo vienen dados por

cn =∫ b

af(x)φn(x)r(x)dx (n = 1, 2, 3, ...)

En general para que∞∑

n=1

cnφn(x) converja uniformemente a f(x) hay que imponer condiciones

restrictivas sobre f(x) y la familia de funciones φn(x).

2. Series trigonometricas de Fourier

Definicion: Sea φn(x)n∈N un sistema ortonormal respecto de una funcion peso r(x) en a ≤ x ≤ b.

Sea f(x) una funcion tal que para cada n = 1, 2, 3, ... el producto f(x)φn(x)r(x) sea integrable en

2

a ≤ x ≤ b. En estas condiciones la serie∞∑

n=1

cnφn(x)

donde

cn =∫ b

af(x)φn(x)r(x)dx (n = 1, 2, 3, ...)

se llama serie de Fourier de f(x) respecto del sistema φn; los coeficientes cn se denominan coeficientes

de Fourier de f(x) respecto de φn. Escribiremos, entonces

f(x) ∼∞∑

n=1

cnφn(x), a ≤ x ≤ b

Si consideramos el sistema de funciones ψn definido por

ψ1(x) = 1; ψ2n(x) = cos(nπx

L); ψ2n+1(x) = sen(

nπx

L) (n = 1, 2, 3, ...)

para todo x del intervalo −L ≤ x ≤ L, (L > 0)∫ L

−Lcos(

mπx

L)cos(

nπx

L)dx = 0 (m, n = 0, 1, 2, ....; m 6= n)

∫ L

−Lsen(

mπx

L)sen(

nπx

L)dx = 0 (m,n = 1, 2, ....; m 6= n)

∫ L

−Lcos(

mπx

L)sen(

nπx

L)dx = 0 (m = 0, 1, 2, ....;n = 1, 2, 3....)

luego, ψn(x) es un sistema ortogonal respecto de la funcion peso r(x) = 1 en −L ≤ x ≤ L. Ademas∫ L

−L(1)2dx = 2L

∫ L

−Lcos2(

nπx

L)dx = L (n = 1, 2, 3, ....)

∫ L

−Lsen2(

nπx

L)dx = L (n = 1, 2, 3, ....)

por lo que podemos construir el sistema ortonormal φn(x) en el intervalo −L ≤ x ≤ L, dado por

φ1(x) =1√2L

; φ2n(x) =1√L

cos(nπx

L); φ2n+1(x) =

1√L

sen(nπx

L) (n = 1, 2, 3, ...)

Si f(x) es una funcion tal que el producto f(x)φn(x) es integrable, para cada φn(x), en el

intervalo −L ≤ x ≤ L podemos escribir la serie de Fourier∞∑

n=1

cnφn(x), siendo

c1 =∫ L

−L

1√2L

f(x)dx =1√2L

∫ L

−Lf(x)dx

3

c2n =∫ L

−Lf(x)

1√L

cos(nπx

L)dx =

1√L

∫ L

−Lf(x)cos(

nπx

L)dx

c2n+1 =∫ L

−Lf(x)

1√L

sen(nπx

L)dx =

1√L

∫ L

−Lf(x)sen(

nπx

L)dx

con lo que la serie quedarıa

∞∑

n=1

cnφn(x) = c1φ1(x) +∞∑

n=1

[c2nφ2n(x) + c2n+1φ2n+1(x)] = [1√2L

∫ L

−Lf(x)dx][

1√2L

]+

+∞∑

n=1

[ 1√L

∫ L

−Lf(x)cos(

nπx

L)dx][

1√L

cos(nπx

L)] + [

1√L

∫ L

−Lf(x)sen(

nπx

L)dx][

1√L

sen(nπx

L)]

y agrupando convenientemente podemos enunciar

Definicion: Sea f(x) una funcion definida en el intervalo −L ≤ x ≤ L y tal que las integrales

∫ L

−Lf(x)cos(

nπx

L)dx y

∫ L

−Lf(x)sen(

nπx

L)dx

existen para cada n = 0, 1, 2, 3, .... Entonces la serie

12a0 +

∞∑

n=1

[an cos(nπx

L) + bn sen(

nπx

L)]

siendo

an =1L

∫ L

−Lf(x)cos(

nπx

L)dx (n = 0, 1, 2, 3, ...)

bn =1L

∫ L

−Lf(x)sen(

nπx

L)dx (n = 1, 2, 3, ....)

se denomina serie trigonometrica de Fourier de f(x) en el intervalo −L ≤ x ≤ L, escribiendose

f(x) ∼ 12a0 +

∞∑

n=1

[an cos(nπx

L) + bn sen(

nπx

L)], −L ≤ x ≤ L

Los numeros an (n = 0, 1, 2, ...) y bn (n = 1, 2, 3, ...) se llaman coeficientes de Fourier de f(x) en

el intervalo dado. El termino n-esimo del desarrollo, es decir, an cos(nπxL ) + bn sen(nπx

L ) se denomina

n-esimo armonico el cual puede expresarse en la forma An cos(nπxL + φn), donde An =

√a2

n + b2n y

tag φn = − bnan

si an 6= 0

φn = −π2 si an = 0

El factor An es la amplitud del n-esimo armonico y φn la fase inicial.

En el caso particular de que f(x) sea una funcion par o impar, el calculo de los coeficientes de

Fourier se simplifica.

4

Si f(x) es par en −L ≤ x ≤ L, entonces:

an =2L

∫ L

0f(x)cos(

nπx

L)dx (n = 0, 1, 2, 3, ...) y bn = 0 (n = 1, 2, 3, ...)

con lo que

f(x) ∼ 12a0 +

∞∑

n=1

an cos(nπx

L), −L ≤ x ≤ L

En caso de ser f(x) impar, entonces:

bn =2L

∫ L

0f(x)sen(

nπx

L)dx (n = 1, 2, 3, ....) y an = 0 (n = 0, 1, 2, 3, ...)

escribiendose

f(x) ∼∞∑

n=1

bn sen(nπx

L), −L ≤ x ≤ L

Ejemplos:

a) f(x) = |x|, −π ≤ x ≤ π. Dado que la funcion es par los coeficientes bn = 0, ∀n, con lo que

obtendremos un desarrollo solo en cosenos.

a0 =2π

∫ π

0f(x) dx =

2π

(x2

2

)π

0

= π

an =2π

∫ π

0f(x) · cos(nπx

π) dx =

2π

∫ π

0x · cos(nx) dx = (1)

aplicando el metodo de integracion por partes, tomando u = x y dv = cos(nx)dx, obtenemos

(1) =2π

(x sen(nx)

n

)π

0− 2

π

∫ π

0

sen(nx)n

dx =2

nπ2(cos(nx))π

0 =

0 si n par− 4

πn2 si n impar

por lo que

|x| ∼ π

2− 4

π

∞∑

n=1

cos[(2n− 1)x](2n− 1)2

b) f(x) = x, −4 ≤ x ≤ 4. Al ser la funcion impar tenemos garantizado que an = 0, ∀n, lo que

nos llevara a obtener un desarrollo solo en senos.

bn =24

∫ 4

0f(x) · sen

(nπx

4

)dx =

12

∫ 4

0x · sen

(nπx

4

)dx = (2)

nuevamente, usando el metodo de integracion por partes con u = x y dv = sen

(nπx

4

)dx, se

tiene

(2) =12

−4x cos

(nπx4

)

nπ

4

0

+2

nπ

∫ 4

0cos

(nπx

4

)dx = − 8

nπcos(nπ) =

8nπ

(−1)n+1

lo que nos lleva a

x ∼ 8π

∞∑

n=1

(−1)n+1

nsen

(nπx

4

)

5

c) f(x) =

π, −π ≤ x < 0x, 0 ≤ x ≤ π

a0 =1π

∫ π

−πf(x) dx =

1π

∫ 0

−ππ dx +

∫ π

0x dx

=

3π

2

an =1π

∫ π

−πf(x) · cos(nx) dx =

1π

∫ 0

−ππ cos(nx) dx +

∫ π

0x cos(nx) dx

=

=1π

(π

nsen(nx)

)0

−π+

(x

nsen(nx)

)π

0− 1

n

∫ π

0sen(nx) dx

=

1n2π

[(−1)n−1] =

0 si n par− 2

n2πn impar

bn =1π

∫ π

−πf(x) · sen(nx) dx =

1π

∫ 0

−ππ sen(nx) dx +

∫ π

0x sen(nx) dx

=

=1π

(−π

ncos(nx)

)0

−π+

(−x

ncos(nx)

)π

0+

1n

∫ π

0cos(nx) dx

= − 1

n

es decir

f(x) ∼ 3π

4+

∞∑

n=1

− 2

(2n− 1)2πcos[(2n− 1)x]− 1

nsen(nx)

Nota: Si f(x) y g(x) son funciones definidas e integrables en a ≤ x ≤ b y tales que f(x) = g(x) salvo

en un numero finito de puntos del intervalo a ≤ x ≤ b, entonces∫ b

af(x)dx =

∫ b

ag(x)dx

esta situacion es trasladable a los desarrollos de Fourier, por lo que si f(x) = g(x) salvo en un numero

finito de puntos de −L ≤ x ≤ L, entonces f(x) y g(x) tendran el mismo desarrollo en serie de Fourier.

Ejemplo:

f(x) =

π, −π ≤ x < 0x, 0 ≤ x ≤ π

g(x) =

π, −π ≤ x < 0π/2 x = 0x, 0 < x ≤ π

Series de Fourier de senos y series de Fourier de cosenos

La famlia de funciones φn(x) definidas por

φn(x) =√

2L

sen(nπx

L), 0 ≤ x ≤ L (n = 1, 2, 3, ...)

constituye un sistema ortonormal respecto a la funcion peso r(x) = 1 en el intervalo 0 ≤ x ≤ L.

Consideremos el problema de desarrollar una funcion arbitraria f(x), definida en 0 ≤ x ≤ L, en

serie respecto de este sistema ortonormal de funciones

f(x) ∼∞∑

n=1

cnφn(x)

6

cn =∫ L

0f(x)

√2L

sen(nπx

L) (n = 1, 2, 3, ...)

y operando adecuadamente obtenemos

f(x) ∼∞∑

n=1

bn sen(nπx

L)

donde

bn =2L

∫ L

0f(x)sen(

nπx

L)dx

recibiendo esta ultima serie, cuando exista, el nombre de serie de Fourier de senos de f(x) en el

intervalo 0 ≤ x ≤ L.

Nota: Si f(x) es impar, la serie trigonometrica de Fourier de f(x) en −L ≤ x ≤ L coincide con la

serie de Fourier de senos de f(x) en 0 ≤ x ≤ L.

Analogamente, la familia φn definida por

φ1(x) =1√L

; φn(x) =√

2L

cos(nπx

L), 0 ≤ x ≤ L (n = 1, 2, 3, ...)

tambien constituye un sistema ortonormal respecto a la misma funcion peso y en el mismo intervalo.

Por lo que dada f(x) definida en 0 ≤ x ≤ L podemos desarrollarla respecto a este sistema de funciones,

obteniendose

f(x) ∼ 12a0 +

∞∑

n=1

an cos(nπx

L)

donde

an =2L

∫ L

0f(x)cos(

nπx

L)dx (n = 0, 1, 2, ...)

serie que se denomina serie de Fourier de cosenos de f(x) en el intervalo 0 ≤ x ≤ L.

Nota: Si f(x) es par, la serie trigonometrica de Fourier de f(x) en −L ≤ x ≤ L coincide con la serie

de Fourier de cosenos de f(x) en 0 ≤ x ≤ L.

Ejemplos:

a) f(x) = 1, 0 ≤ x ≤ π

• 1 ∼ a0

2+

∞∑

n=1

an cos(nx)

a0 =2π

∫ π

0dx =

2πxπ

0 = 2

an =2π

∫ π

0cos(nx) dx =

2π

sen(nx)

n

π

0= 0

7

luego

1 ∼ 1

y como hemos podido comprobar se ha trabajado de mas, pues la funcion ya estaba desa-

rrollada en cosenos.

• 1 ∼∞∑

n=1

bn sen(nx)

bn =2π

∫ π

0sen(nx) dx =

2π

−cos(nx)n

π

0=

2π

1− (−1)n

n=

0 n par4

nπ n impar

por lo tanto

1 ∼ 4π

∞∑

n=1

12n− 1

sen[(2n− 1)x]

b) f(x) = x, 0 ≤ x ≤ π

• x ∼ a0

2+

∞∑

n=1

an cos(nx)

a0 =2π

∫ π

0x dx =

2π

x2

2

π

0

= π

an =2π

∫ π

0x cos(nx) dx =

2π

(x sen(nx)

n

)π

0− 1

n

∫ π

0sen(nx) dx

=

0 n par− 4

n2πn impar

es decir

x ∼ π

2− 4

π

∞∑

n=1

1(2n− 1)2

cos[(2n− 1)x]

• x ∼∞∑

n=1

bn sen(nx)

bn =2π

∫ π

0x sen(nx) dx =

2π

(−x cos(nx)n

)π

0+

1n

∫ π

0cos(nx) dx

=

2(−1)n+1

n

con lo que

x ∼∞∑

n=1

2(−1)n+1

nsen(nx)

Convergencia de las series de Fourier

Hemos expresado el desarrollo de una funcion f(x) en serie trigonometrica de Fourier en un

intervalo −L ≤ x ≤ L como

12a0 +

∞∑

n=1

[an cos(nπx

L) + bn sen(

nπx

L)]

8

donde los coeficientes de Fourier de f(x) vienen dados por

an =1L

∫ L

−Lf(x)cos(

nπx

L)dx (n = 0, 1, 2, 3, ...)

bn =1L

∫ L

−Lf(x)sen(

nπx

L)dx (n = 1, 2, 3, ....)

Este desarrollo es meramente formal y nos planteamos ahora cuales deben ser las condiciones

para la convergencia de la serie. Las funciones sen(nπx

L) y cos(

nπx

L) son periodicas de periodo

2L

n,

lo que nos lleva a que tambien son periodicas de periodo 2L, por tanto si la serie trigonometrica de

Fourier converge a una funcion f(x), esta debe ser tambien periodica de periodo 2L. Luego, si la serie

converge para todo x del intervalo −L ≤ x ≤ L lo hara para todo x en −∞ < x < ∞ y la funcion

suma sera periodica de periodo 2L.

Teorema: Sea f(x) una funcion tal que

1. f(x) es periodica de periodo 2L.

2. f(x) es regular a trozos en el intervalo −L ≤ x ≤ L.

Entonces, la serie trigonometrica

12a0 +

∞∑

n=1

[an cos(nπx

L) + bn sen(

nπx

L)]

donde

an =1L

∫ L

−Lf(x)cos(

nπx

L)dx (n = 0, 1, 2, 3, ...)

bn =1L

∫ L

−Lf(x)sen(

nπx

L)dx (n = 1, 2, 3, ....)

converge en cada punto x al valorf(x+) + f(x−)

2

siendo f(x+) = limh→0; h>0

f(x + h) y f(x−) = limh→0; h>0

f(x− h). En particular si f es continua en x, la

convergencia sera a f(x).

Ejemplo:

f(x) =

π, −π ≤ x ≤ 0x, 0 ≤ x ≤ π

Teorema: Sea f(x) una funcion regular a trozos en el intervalo 0 ≤ x ≤ L. Entonces:

9

1. La serie de Fourier de senos de f(x) converge al valorf(x+) + f(x−)

2para cada x tal que

0 < x < L. En particular si f es continua en 0 < x < L, converge a f(x). Ademas converge a

cero en x = 0 y x = L.

La serie converge en cada punto x ∈ (−∞,∞) ag(x+) + g(x−)

2, siendo g la funcion impar

periodica de periodo 2L que coincide con f en 0 < x < L y tal que g(0) = g(L) = 0.

2. La serie de Fourier de cosenos de f(x) converge al valorf(x+) + f(x−)

2para cada x tal que

0 < x < L. En particular si f es continua en 0 < x < L, converge a f(x). Ademas converge a

f(0+) en x = 0 y a f(L−) en x = L.

La serie converge en cada punto x ∈ (−∞,∞) ah(x+) + h(x−)

2, siendo h la funcion par periodica

de periodo 2L que coincide con f en 0 ≤ x ≤ L.

Ejemplo: f(x) = x, 0 ≤ x ≤ π

3. De la serie de Fourier a la integral de Fourier

En esta seccion pretendemos deducir de forma intuitiva y poco rigurosa la expresion de la transformada

integral de Fourier partiendo de la correspondiente serie compleja.

Obtengamos en primer lugar la forma compleja de las series de Fourier.

Si consideramos la serie trigonometrica de Fourier de la funcion f(t), como

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos(n∆wt) + bn sen(n∆wt)

donde ∆w =π

L. Dado que

cos(n∆wt) =ein∆wt + e−in∆wt

2y sen(n∆wt) =

ein∆wt − e−in∆wt

2i

si llevamos estas expresiones al desarrollo de Fourier obtenemos

f(t) =a0

2+

∞∑

n=1

anein∆wt + e−in∆wt

2+ bn

ein∆wt − e−in∆wt

2i

teniendo en cuenta que1i

= −i, y haciendo

c0 =a0

2, cn =

an − ibn

2c−n =

an + ibn

2

10

nos queda

f(t) = c0 +∞∑

n=1

cn ein∆wt + c−n e−in∆wt = c0 +∞∑

n=1

cn ein∆wt +−∞∑

n=−1

cn ein∆wt =∞∑

n=−∞cn ein∆wt

donde los coeficientes cn se calculan mediante la integral

cn =1

2L

∫ L

−Lf(t)e−in∆wtdt (n = 0,±1,±2, ...)

sustituyendo estas expresiones en la serie compleja obtenemos

f(t) =∞∑

n=−∞[

12L

∫ L

−Lf(x)e−in∆wxdx]ein∆wt

y por lo tanto

f(t) =∞∑

n=−∞

12L

∫ L

−Lf(x)ein∆w(t−x)dx t ∈ (−L,L)

En esta ultima expresion queremos determinar el lımite cuando L tiende a ∞, con lo que ampliaremos

los resultados para funciones no periodicas y con t ∈ R. Escribamos

G(w) =∫ ∞

−∞f(x)eiw(t−x)dx

entonces12π

∞∑

n=−∞G(n∆w) ·∆w =

∆w

2π

∞∑

n=−∞

∫ ∞

−∞f(x)ein∆w(t−x)dx

parece ser una buena aproximacion de la ultima serie. Si hacemos tender L a ∞, lo que lleva a que

∆w tienda a 0, el lado izquierdo de la ultima igualdad parecera una suma de Riemann; la cual sera

una buena aproximacion de12π

∫ ∞

−∞G(w) dw

con lo que

f(t) =12π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞f(x)e−iwxdx

)eiwtdw

En las siguientes secciones veremos como el par

F (w) = Ff(t)(w) =∫ ∞

−∞e−iwtf(t)dt

f(t) = F−1F (w)(t) =12π

∫ ∞

−∞eiwtF (w)dw

definen la transformada integral de Fourier y su correspondiente inversa.

11

4. La funcion impulso δ

La funcion impulso unitario δ(t), conocida tambien como funcion delta, puede introducirse de la

siguiente manera, para ε > 0:

Fε(t) =

12ε

− ε ≤ t ≤ ε

0 |t| > ε

es obivio que para cualquier ε, se verifica que∫ ∞

−∞Fε(t)dt = 1.

Se define la funcion impulso unitario como

δ(t) = limε→0

Fε(t)

Otra forma de introduccion serıa

δ(t) =

0 si t 6= 0∞ si t = 0

∫ ∞

−∞δ(t)dt =

∫ ε

−εδ(t)dt = 1 (ε > 0)

La funcion delta tambien se puede definir en terminos de las propiedades de sus integrales. Si

se supone que la funcion φ(t) (llamada funcion prueba) es una funcion continua, que se anula fuera

de algun intervalo finito, entonces δ(t) se define como una funcion simbolica por la relacion∫ ∞

−∞δ(t)φ(t)dt = φ(0)

δ(t) se trata como una funcion ordinaria, aunque en realidad no lo es. Nunca se habla del valor

de δ(t), pero sı de los valores de las integrales en que aparece δ(t).

Ejemplos:

1.∫ ∞

−∞δ(t− t0)φ(t)dt =

∫ ∞

−∞δ(t)φ(t + t0)dt = φ(t0)

2.∫ ∞

−∞δ(at)φ(t)dt =

1|a|

∫ ∞

−∞δ(t)φ(

t

a)dt =

1|a|φ(0)

3.∫ b

aδ(t− t0)φ(t)dt =

φ(t0) a < t0 < b0 en los otros casos

. Siendo a < b y φ(t) continua en t0 .

La derivada δ′(t) de δ(t) esta definida por la relacion integral∫ ∞

−∞δ′(t)φ(t)dt = −

∫ ∞

−∞δ(t)φ′(t)dt = −φ′(0)

12

analogamente se define la derivada enesima∫ ∞

−∞δ(n)(t)φ(t)dt = (−1)n

∫ ∞

−∞δ(t)φ(n)(t)dt = (−1)nφ(n)(0)

Ejercicios

1. Si a < b demostrar que

∫ b

aδ(t− t0) dt =

1 para a < t0 < b

0 para b < t0 , t0 < a

2. Demostrar que

f(t)δ(t) = f(0)δ(t)

donde f(t) es continua en t = 0. Usar esta igualdad para demostrar las siguientes propiedades

de la funcion δ

a) tδ(t) = 0 b) δ(at) =1|a|δ(t) c) δ(t) = δ(−t)

3. Demostrar que la expresion siguiente es consecuente con el concepto de derivacion clasico∫ ∞

−∞f ′(t)φ(t)dt = −

∫ ∞

−∞f(t)φ′(t)dt

siendo f(t) funcion cuya derivada es continua y φ(t) funcion prueba.

4. Si f(t) es una funcion continua y diferenciable, demostrar que la regla del producto

[f(t)δ(t)]′ = f(t)δ′(t) + f ′(t)δ(t)

se sigue cumpliendo

5. Demostar la siguiente igualdad

f(t)δ′(t) = f(0)δ′(t)− f ′(0)δ(t)

6. Demostrar que la funcion δ es la derivada de la funcion u(t), la cual esta definida por la relacion∫ ∞

−∞u(t)φ(t)dt =

∫ ∞

0φ(t)dt

7. Si f(t) es una funcion continua por tramos con discontinuidades de salto finito a1, a2, ... en

t1, t2, ..., y la funcion f ′(t) esta definida en todas partes excepto en estas discontinuidades,

encontrar la derivada generalizada de f(t).

13

5. La transformada integral de Fourier

Definicion: Dada la funcion f(t), se define la transformada de Fourier de f(t) como

F (w) = Ff(t)(w) =∫ ∞

−∞e−iwtf(t)dt

y la transformada inversa de Fourier como

f(t) = F−1F (w)(t) =12π

∫ ∞

−∞eiwtF (w)dw

La condicion para que exista F (w) generalmente esta dada por

∫ ∞

−∞|f(t)|dt < ∞

aunque es una condicion suficiente pero no necesaria.

La funcion F (w) = Ff(t)(w) es, en general, compleja y se tiene

F (w) = R(w) + iX(w) = |F (w)|eiφ(w)

donde |F (w)| se denomina espectro de magnitud de f(t), y φ(w) espectro de fase de f(t).

Nota: En caso de que f(t) sea real, se tiene:

R(w) =∫ ∞

−∞f(t)cos(wt)dt y X(w) = −

∫ ∞

−∞f(t)sen(wt)dt

R(w) = R(−w); X(−w) = −X(w); F (−w) = F (w)

|F (w)| es par y φ(w) impar.

Ejemplos:

a) Pd(t) =

1 |t| < 12d

0 |t| > 12d

F (w) = FPd(t)(w) =∫ ∞

−∞Pd(t)e−iwtdt =

∫ d2

− d2

e−iwtdt =− 1

iwe−iwt

d2

− d2

=

=1iw

(eiw d

2 − e−iw d2

)=

2w

sen

(wd

2

)= d

sen(

wd2

)(

wd2

)

14

b) f(t) =

e−αt t > 00 t < 0

(α > 0)

F (w) =∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt =

∫ ∞

0e−αte−iwtdt =

∫ ∞

0e−(α+iw)tdt =

1α + iw

Definicion: Si f(t) esta definida para 0 < t < ∞, se define la transformada de Fourier coseno de f(t)

como

Fcf(t)(w) = Fc(w) =∫ ∞

0f(t)cos(wt)dt

F−1c Fc(w)(t) = f(t) =

2π

∫ ∞

0Fc(w)cos(wt)dw

y la transformada de Fourier seno de f(t), como

Fsf(t)(w) = Fs(w) =∫ ∞

0f(t)sen(wt)dt

F−1s Fs(w)(t) = f(t) =

2π

∫ ∞

0Fs(w)sen(wt)dw

Ejemplo: f(t) = e−αt para t > 0 y α > 0.

Fc(w) =∫ ∞

0e−αtcos(wt) dt y Fs(w) =

∫ ∞

0e−αtsen(wt) dt

Denotamos por I1 e I2, respectivamente, a las integrales anteriores . Integrando por partes cada una

de ellas obtenemos

I1 =1α− w

αI2 e I2 =

w

αI1

y resolviendo el sistema llegamos a

Fc(w) =α

α2 + w2y Fs(w) =

w

α2 + w2

6. Propiedades de la transformada de Fourier

1. Si F1(w) = F [f1(t)](w) y F2(w) = F [f2(t)](w), y a1 y a2 son dos constantes arbitrarias. Entonces

F [a1f1(t) + a2f2(t)](w) = a1F1(w) + a2F2(w)

La demostracion es muy sencilla, basta tener encuenta el caracter lineal del operador integral.

15

2. Si a es una constante real y F (w) = F [f(t)](w), entonces F [f(at)](w) =1|a|F (

w

a)

Demostarcion: F [f(at)](w) =∫ ∞

−∞f(at)e−iwtdt efectuando el cambio de variable at = x

obtenemos

F [f(at)](w) =

(a > 0)1a

∫ ∞

−∞f(x)e−i w

axdx =

1|a|F (

w

a)

(a < 0)1a

∫ −∞

∞f(x)e−i w

axdx = −1

a

∫ ∞

−∞f(x)e−i w

axdx =

1|a|F (

w

a)

3. Si F (w) = F [f(t)](w), entonces F [f(−t)](w) = F (−w)

Demostracion: Aplicar la propiedad anterior al caso a = −1.

4. Si F (w) = F [f(t)](w), entonces F [f(t− t0)](w) = F (w)e−iwt0

Demostracion: F [f(t− t0)](w) =∫ ∞

−∞f(t− t0)e−iwtdt haciendo el cambio t− t0 = x

F [f(t− t0)](w) =∫ ∞

−∞f(x)e−iw(t0+x)dx = eiwt0

∫ ∞

−∞f(x)e−iwxdx = eiwt0F (w)

5. Si w0 es una constante real y F (w) = F [f(t)](w), entonces F [f(t)eiw0t](w) = F (w − w0)

Demostracion:

F [f(t)eiw0t](w) =∫ ∞

−∞f(t)e−i(w−w0)t)dt = F (w − w0)

6. Si F (w) = F [f(t)](w), entonces F [F (t)](w) = 2π f(−w)

Demostracion: Sabemos que

2π f(t) =∫ ∞

−∞F (w) eiwtdw

cambiando t por −t

2π f(−t) =∫ ∞

−∞F (w) e−iwtdw

Intercambiando t y w

2π f(−w) =∫ ∞

−∞F (t) e−iwtdt = F [F (t)](w)

7. Si F (w) = F [f(t)](w) y f(t) → 0 cuando t → ±∞, entonces

F [f ′(t)](w) = iwF (w)

16

es mas

F [f (n)(t)](w) = (iw)nF (w)

cuando exista F [f (n)(t)](w)

Demostracion: Aplicando el metodo de integracion por partes

F [f ′(t)](w) =∫ ∞

−∞f ′(t)e−iwtdt =

f(t)e−iwt

∞−∞ + iw

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt

y teniendo en cuenta el comportamiento de f(t) para t → ±∞, se obtiene el resultado buscado.

La segunda parte puede demostrarse por induccion, siempre que en cada paso se admite la

existencia de la correspondiente transformada.

8. Si F (w) = F [f(t)](w), w 6= 0, y∫ ∞

−∞f(t)dt = F (0) = 0, entonces

F[∫ t

−∞f(x)dx

](w) =

1iw

F (w)

cuando∫ ∞

−∞f(t)dt = F (0) 6= 0,entonces

F[∫ t

−∞f(x)dx

](w) =

1iw

F (w) + πF (0)δ(w)

La demostracion de la segunda parte la dejaremos para las clases de problemas.

Demostracion: Consideremos la funcion

φ(t) =∫ t

−∞f(x) dx

entonces, φ′(t) = f(t), y como

limt→∞φ(t) =

∫ ∞

−∞f(x) dx = F (0) = 0

tenemos que, si F [φ(t)](w) = Φ(w), entonces

F [φ′(t)](w) = F [f(t)](w) = iwΦ(w) =⇒ Φ(w) =1iw

F (w)

9. Si F (w) = F [f(t)](w), entonces

F [−it f(t)](w) =dF (w)

dw

Demostracion:dF (w)

dw=

d

dw

∫ ∞

−∞f(t)e−iwtdt =

∫ ∞

−∞−it f(t)e−iwtdt

17

10. El producto de convolucion:

Sean f1(t) y f2(t) dos funciones dadas. La convolucion de ellas esta definida por la funcion

f(t) = f1(t) ∗ f2(t) =∫ ∞

−∞f1(x)f2(t− x)dx

esta operacion es conmutativa, asociativa y tiene a la funcion impulso δ(t) como elemento unidad,

es decir, f(t) ∗ δ(t) = f(t).

•

f1(t) ∗ f2(t) =∫ ∞

−∞f1(x)f2(t− x)dx = t− x = y =

∫ ∞

−∞f1(t− y)f2(y)dy = f2(t) ∗ f1(t)

• tomemos f1(t)∗f2(t) = g(t), y f2(t)∗f3(t) = h(t). Dado que g(t) =∫ ∞

−∞f1(x)f2(t− x)dx,

se tiene que

g(t) ∗ f3(t) =∫ ∞

−∞g(x)f3(t− x)dx =

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞f1(y)f2(x− y)dy

]f3(t− x)dx

sustituyendo z = x− y e intercambiando el orden de integracion, obtenemos

g(t) ∗ f3(t) =∫ ∞

−∞f1(y)

[∫ ∞

−∞f2(z)f3(t− y − z)dz

]dy

y como h(t) =∫ ∞

−∞f2(z)f3(t− z)dz, se tiene h(t − y) =

∫ ∞

−∞f2(z)f3(t− y − z)dz. Por

consiguiente

g(t) ∗ f3(t) =∫ ∞

−∞f1(y)h(t− y)dy = f1(t) ∗ h(t)

•f(t) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ f(t) =

∫ ∞

−∞δ(x)f(t− x)dx = [f(t− x)]x=0 = f(t)

Si F [f1(t)](w) = F1(w) y F [f2(t)](w) = F2(w), entonces

F [f1(t) ∗ f2(t)](w) = F1(w)F2(w)

y ademas

F−1[F1(w) ∗ F2(w)](t) = 2πf1(t)f2(t)

o bien

F [f1(t)f2(t)](w) =12π

F1(w) ∗ F2(w) =12π

∫ ∞

−∞F1(y)F2(w − y)dy

18

•

F [f1(t)∗f2(t)](w) =∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞f1(x)f2(t− x)dx

]e−iwtdt =

∫ ∞

−∞f1(x)

[∫ ∞

−∞f2(t− x)e−iwtdt

]dx

pero la expresion entre corchetes es la transformada de f2(t− x) y su valor es F2(w)e−iwx,

por lo que

F [f1(t) ∗ f2(t)](w) =∫ ∞

−∞f1(x)e−iwxF2(w)dx = F1(w)F2(w)

•F−1[F1(w) ∗ F2(w)](t) = F−1

[∫ ∞

−∞F1(y)F2(w − y)dy

]=

=12π

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞F1(y)F2(w − y)dy

]eiwtdw = (1)

efectuando el cambio w − y = x e intercambiando el orden de integracion, se obtiene

(1) =12π

∫ ∞

−∞F1(y)

[∫ ∞

−∞F2(x)ei(x+y)tdx

]dy = 2π

[12π

∫ ∞

−∞F1(y)eiytdy

] [12π

∫ ∞

−∞F2(x)eixtdx

]=

= 2π[f1(t)f2(t)]

11. Relaciones de Parseval:

(a) Si F [f1(t)](w) = F1(w) y F [f2(t)](w) = F2(w), entonces

∫ ∞

−∞f1(t)f2(t)dt =

12π

∫ ∞

−∞F1(w)F2(−w)dw

sabemos que

F [f1(t)f2(t)](w) =12π

∫ ∞

−∞F1(y)F2(w − y)dy

o lo que es lo mismo

∫ ∞

−∞[f1(t)f2(t)]e−iwtdt =

12π

∫ ∞

−∞F1(y)F2(w − y)dy

y tomando w = 0 se obtiene la igualdad requerida.

(b) Si F (w) = F [f(t)](w), entonces

∫ ∞

−∞|f(t)|2dt =

12π

∫ ∞

−∞|F (w)|2dw

19

7. Problemas

1. Si F (w) = F [f(t)](w), hallar la transformada de Fourier de f(t)cos(w0t).

2. Hallar la transformada de Fourier de la funcion f(t) =sen(at)

πt.

3. Demostrar que

a) f(t) ∗ δ(t− T ) = f(t− T ) b) f(t− t1) ∗ δ(t− t2) = f(t− t1 − t2)

4. Utilizar la convolucion para encontrar f(t) = F−1[1

(1 + iw)2].

5. Hallar la integral de Fourier que representa la funcion

f(t)

1 para |t| < 10 para |t| > 1

6. Utilizar el resultado del problema anterior para deducir que∫ ∞

0

sen w

wdw =

π

2.

7. Si F (w) = F [f(t)](w), demostrar que1|a|F (

w − w0

a) = F [f(at)eiw0t](w)

8. Si F (w) = F [f(t)](w), hallar la transformada de Fourier de f(t)sen(w0t).

9. Hallar, de dos formas diferentes, f(t) = F−1[1

(1 + iw)(2 + iw)].

10. Hallar la transformada de Fourier de la funcion impulso δ(t).

11. Deducir las siguientes representaciones

a) δ(t) =12π

∫ ∞

−∞eiwtdw b) δ(t) =

1π

∫ ∞

0cos(wt)dw

12. Hallar la transformada de Fourier de una funcion constante.

13. Hallar la transformada de Fourier de las siguientes funciones

a) f(t) = eiw0t b) f(t) = cos(w0t)

c) f(t) = sen(w0t) d) u(t) =

1 para t > 00 para t < 0

14. Si δ(t) =du(t)

dt, entonces F [δ(t)](w) = iwF [u(t)](w). Por lo tanto 1 = iwF [u(t)](w), de lo que

se deduce que F [u(t)](w) =1iw

, sin embargo en el apartado d) del problema anterior se obtiene

un resultado distinto. Encontrar el fallo de esta argumentacion.

20

15. Probar que F−1[1iw

] =12

sgn t, donde sgn t esta definido como

sgn t =

1 para t > 0−1 para t < 0

16. Demostrar que cuando∫ ∞

−∞f(t)dt = F (0) 6= 0,entonces

F[∫ t

−∞f(x)dx

](w) =

1iw

F (w) + πF (0)δ(w)

17. Sea F [f(t)](w) = F (w) y F [g(t)](w) = G(w); establecer la igualdad de Parseval

∫ ∞

−∞f(x)G(x)dx =

∫ ∞

−∞F (x)g(x)dx

8. Apendice

En esta seccion estableceremos algunos resultados teoricos asociados a la transformada integral de

Fourier. Comenzaremos mostrando las notaciones que usaremos a lo largo de esta.

Sea Ω ⊂ R:

C(Ω) = f continua en Ω

Cn(Ω) = f, f ′, ..., f (n) continuas en Ω (n puede ser ∞)

P(Ω) = f continua a trozos en Ω

Pn(Ω) = f, f ′, ..., f (n) continuas a trozos en Ω (n puede ser ∞)

L1(Ω) = f abs. integrable en Ω, esto es

∫

Ω|f |dx < ∞

Lp(Ω) = f :∫

Ω|f |pdx < ∞

8..1 Teorema integral de Fourier

Pretendemos averiguar para que tipo de funciones es valida la expresion

f(x) =12π

∫ ∞

−∞eixu

∫ ∞

−∞f(v)e−iuvdvdu

21

Lema de Riemann-Lebesgue

Sea f ∈ C([a, b]), 0 ≤ a < b < ∞, entonces

limλ→∞

∫ b

af(t) sen(λt) dt = lim

λ→∞

∫ b

af(t) cos(λt) dt = 0

Demostracion: Lo haremos para el caso de sen(λt), ya que para el caso del coseno serıa analogo.∫ b

af(t) sen(λt) dt =

∫ b−πλ

a−πλ

f(u +π

λ) sen(λu + π) du = −

∫ b−πλ

a−πλ

f(u +π

λ) sen(λu) du

Por tanto,

2∫ b

af(t) sen(λt) dt =

∫ b

af(t) sen(λt) dt−

∫ b−πλ

a−πλ

f(t +π

λ) sen(λt) dt = I1 + I2 + I3

siendo

I1 = −∫ a

a−πλ

f(t +π

λ) sen(λt) dt; I2 =

∫ b−πλ

a[f(t)− f(t +

π

λ)] sen(λt) dt; I3 =

∫ b

b−πλ

f(t) sen(λt) dt

• Estudiemos primero I1: f es continua en [a, b], luego alcanza el maximo en [a, b], y por tanto

existe M > 0 de forma que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b]∣∣∣∣∣∫ a

a−πλ

f(t +π

λ) sen(λt) dt

∣∣∣∣∣ ≤ Mπ

λ<

ε

3

siendo λ ≥ maxλ0, λ1, tal que a +π

λ0≤ b y M π

λ1< ε

3 .

• Caso de I3:

|I3| ≤∫ b

b−πλ

|f(t)| |sen(λt)| dt ≤ Mπ

λ<

ε

3

siendo λ ≥ maxλ2, λ3, tal que b− π

λ2≥ a y M π

λ3< ε

3 .

• veamos que ocurre para I2: f continua en [a, b] ⇒ f uniformemente continua en [a, b] ⇒ dado

ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x, y ∈ [a, b] : |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε.

Dadoε

3(b− a)> 0 existen un δ y un λ4 tal que para cualquier λ > λ4 se tiene que |t−(t+

π

λ)| =

π

λ< δ ⇒ |f(t)− f(t +

π

λ)| <

ε

3(b− a), entonces

|I2| ≤ ε

3(b− a)(b− a− π

λ) ≤ ε

3(b− a)(b− a) =

ε

3

Por ultimo, tomando λ ≥ maxλ0, λ1, λ2, λ3, λ4, podemos demostrar que∣∣∣∣∣2

∫ b

af(t) sen(λt) dt

∣∣∣∣∣ ≤ |I1|+ |I2|+ |I3| < ε

22

Corolario 1.- Si f ∈ P(a, b), 0 ≤ a < b < ∞, entonces

limλ→∞

∫ b

af(t) sen(λt) dt = lim

λ→∞

∫ b

af(t) cos(λt) dt = 0

Demostracion: Aplicamos el lema de Riemann-Lebesgue a cada subintervalo y escribimos∫ b

a=

n∑

i=1

∫ bi

ai

.

Corolario 2.- Si f ∈ P(a,∞), a ≥ 0 y f ∈ L1[a,∞), entonces

limλ→∞

∫ ∞

af(t) sen(λt) dt = lim

λ→∞

∫ ∞

af(t) cos(λt) dt = 0

Demostracion:

• f ∈ L1[a,∞) ⇒∫ ∞

a|f(t)| dt < ∞ ⇒ ∃ N > a :

∫ ∞

N|f(t)| dt <

ε

2

• f ∈ P(a,∞) ⇒ f ∈ P(a,N), por el lema de Riemann-Lebesgue ∃ λ0 > 0 : ∀ λ > λ0∣∣∣∫ Na f(t) sen(λt) dt

∣∣∣ < ε2 . Entonces,

∣∣∣∣∫ ∞

af(t) sen(λt) dt

∣∣∣∣ <

∣∣∣∣∣∫ N

af(t) sen(λt) dt

∣∣∣∣∣ +∫ ∞

N|f(t)| dt < ε

Lema de localizacion

Sea f ∈ P1[0, a], a < ∞, entonces

limλ→∞

∫ a

0f(t)

sen(λt)t

dt =π

2f(0+)

Demostracion: Supondremos que f ∈ C(0, a], ya que si no fuese ası, buscarıamos el punto 0 < b < a

tal que f ∈ C(0, b] y el valor del lımite de la integral dependera tan solo de la integral entre 0 y b dado

que le lımite de la integral entre b y a serıa igual a cero al aplicar el corolario 1 a la funcionf(t)

t.

Iλ =∫ a

0f(t)

sen(λt)t

dt−π

2f(0+) =

∫ a

0[f(t)− f(0+)]

sen(λt)t

dt+f(0+)(∫ a

0

sen(λt)t

dt− π

2

)= I1+I2

• Estudiemos I1: La funcion g(t) =f(t)− f(0+)

tes continua en (0, a] y en t = 0 ocurre que

limt→0+

g(t) = limt→0+

f(t)− f(0+)t

= f ′(0+)

y podemos definir g(0) = f ′(0+). Entonces, por el lema de Riemann-Lebesgue, existe un λ0 tal

que para todo λ ≥ λ0, se tiene que

|I1| =∣∣∣∣∫ a

0g(t) sen(λt) dt

∣∣∣∣ <ε

2

23

• Veamos ahora que ocurre con I2:

– si f(0+) = 0 ya estarıa.

– si f(0+) 6= 0, efectuando el cambio u = λt en la integral obtenemos

∫ a

0

sen(λt)t

dt =∫ λa

0

sen u

udu

y sabemos (problema 6 del tema) que limλ→∞

∫ λa

0

sen u

udu =

π

2. Por tanto, existe un λ1 tal

que para todo λ ≥ λ1 se verifica que |I2| ≤ |f(0+)| ε

2|f(0+)|Para finalizar, tomando λ ≥ maxλ0, λ1 concluimos que |Iλ| < ε

Corolario 3.- Si f ∈ P1[0,∞) yf(t)

t∈ L1[a,∞), a > 0, entonces

limλ→∞

∫ ∞

0f(t)

sen(λt)t

dt =π

2f(0+)

Demostracion: Sea ε > 0

• f(t)t

∈ L1[a,∞) ⇒ ∃N ∈ N :∫ ∞

N

∣∣∣∣f(t)

t

∣∣∣∣ dt <ε

2

• f ∈ P1[0, N ] ⇒∣∣∣∣∣∫ N

0f(t)

sen(λt)t

dt− π

2f(0+)

∣∣∣∣∣ <ε

2, para todo λ ≥ λ0.

Por tanto para todo λ mayor o igual que un cierto λ0 se verifica que∣∣∣∣∫ ∞

0f(t)

sen(λt)t

dt − π

2f(0+)

∣∣∣∣ < ε

Corolario 4.- Si f ∈ P1(R) y f ∈ L1(R), entonces

limλ→∞

∫ ∞

0f(x + t)

sen(λt)t

dt =π

2f(x+)

Demostracion: Definimos gx(t) = f(x + t), t ∈ [0,∞), x > 0 [x + t ≥ x].

• f ∈ P1(R) ⇒ gx ∈ P1[0,∞).

• gx(t)t

∈ L1[a,∞), a > 0, ya que

∫ ∞

a

∣∣∣∣gx(t)

t

∣∣∣∣ dt =∫ ∞

a

|f(x + t)|t

dt ≤∫ 1

a

|f(x + t)|t

dt +∫ ∞

1|f(x + t)| dt < ∞

24

Aplicando el corolario 3 a la funcion gx obtenemos el resultado buscado.

Corolario 5.- Si f ∈ P1(R) y f ∈ L1(R), entonces

limλ→∞

∫ ∞

−∞f(x + t)

sen(λt)t

dt =π

2[f(x+) + f(x−)]

Demostracion:

∫ ∞

−∞f(x + t)

sen(λt)t

dt =∫ 0

−∞f(x + t)

sen(λt)t

dt +∫ ∞

0f(x + t)

sen(λt)t

dt = I1 + I2

Aplicando el corolario 4, sabemos que I2 tiende aπ

2f(x+) cuando λ → ∞. En cuanto a I1

efectuemos el cambio de variable u = −t y obtenemos

I1 =∫ ∞

0f(x− u)

sen(λu)u

du

actuando de forma similiar a como lo hicimos en el corolario 4. Definimos gx(u) = f(x− u),

u ≥ 0, (x− u ∈ (−∞, x]).

• f ∈ P1(R) ⇒ gx ∈ P1[0,∞).

• gx(t)t

∈ L1[a,∞), a > 0, ya que

∫ ∞

a

∣∣∣∣gx(t)

t

∣∣∣∣ dt =∫ ∞

a

|f(x− t)|t

dt ≤∫ 1

a

|f(x− t)|t

dt +∫ ∞

1|f(x− t)| dt < ∞

Luego I1 tiende aπ

2gx(0+) =

π

2f(x−) cuando λ →∞

Teorema integral de Fourier

Sea f ∈ P1(R) ∩ L1(R). Entonces

1π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) cos[u(x− t)] dt du =

12

[f(x+) + f(x−)

]

Demostracion:

(a) El corolario 5 nos permite escribir

12

[f(x+)+f(x−)] = limλ→∞

1π

∫ ∞

−∞f(x + y)

sen(λy)y

dy = (1) (efectuamos el cambio t = x + y)

(1) = limλ→∞

1π

∫ ∞

−∞f(t)

sen[λ(t− x)]t− x

dt = limλ→∞

1π

∫ ∞

−∞f(t)

∫ λ

0cos[u(t− x)] du dt = A

25

(b)1π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) cos[u(t− x)] dt du = lim

λ→∞1π

∫ λ

0

∫ ∞

−∞f(t) cos[u(t− x)] dt du = B

Pasaremos a demostrar que A = B, para ello comprobaremos que A−B = 0, es decir

limλ→∞

∫ ∞

−∞f(t)

∫ λ

0cos[u(t− x)] du dt −

∫ λ

0

∫ ∞

−∞f(t) cos[u(t− x)] dt du

= 0

Denotemos por I a la diferencia de integrales que hay entre llaves y expresemosla como sigue

I =

(∫ x

−∞

∫ λ

0f(t) cos[u(t− x)] du dt −

∫ λ

0

∫ x

−∞f(t) cos[u(t− x)] dt du

)+

+

(∫ ∞

x

∫ λ

0f(t) cos[u(t− x)] du dt −

∫ λ

0

∫ ∞

xf(t) cos[u(t− x)] dt du

)= I1 + I2

Veamos a continuacion que limλ→∞

I2 = 0, el correpondiente resultado para I1, se demostrarıa de

forma analoga.

•∫ ∞

xf(t)

∫ λ

0cos[u(t− x)] du dt =

∫ ∞

xf(t)

sen[λ(t− x)]t− x

dt =∫ ∞

0f(y + x)

sen(λy)y

dy

por el corolario 4 sabemos que

limλ→∞

∫ ∞

0f(x + y)

sen(λy)y

dy =π

2f(x+)

luego ∀ ε > 0, ∃ λε : ∀ λ ≥ λε

∣∣∣∣∫ ∞

0f(x + y)

sen(λy)y

dy − π

2f(x+)

∣∣∣∣ < ε ⇒∣∣∣∣∫ ∞

0f(x + y)

sen(λy)y

dy

∣∣∣∣ ≤ Cε = ε+π

2|f(x+)|

Sea ε = 1, entonces ∣∣∣∣∫ ∞

0f(x + y)

sen(λy)y

dy

∣∣∣∣ ≤ C1, λ ≥ λ1.

Sea λ ≥ λ1 (fijo), y ε > 0. Como∫ ∞

0f(x + y)

sen(λy)y

dy es finita, entonces ∃ B0λ < ∞ tal que

∀ b > B0λ ∣∣∣∣

∫ ∞

bf(x + y)

sen(λy)y

dy

∣∣∣∣ <ε

2(∗)

• ∣∣∣∣∫ ∞

xf(t) cos[u(t− x)] dt

∣∣∣∣ ≤∫ ∞

x|f(t)| dt < ∞, ∀ u > 0 (⇒ ∀ λ > 0)

26

Por lo tanto ∀ ε′ > 0 : ∃ B > 0 /∀ b > B :∫ ∞

b|f(t)| dt < ε′ ⇒

⇒∣∣∣∣∫ ∞

bf(t) cos[u(t− x)] dt

∣∣∣∣ < ε′, ∀ u > 0.

Notese que B no depende de u. Tomando ε′ =ε

2λ, encontramos B1

λ > 0 tal que para todo

b ≥ B1λ tenemos ∣∣∣∣

∫ ∞

bf(t) cos[u(t− x)] dt

∣∣∣∣ <ε

2λ(∗∗)

• Sea Bλ = maxB0λ, B1

λ, B0λ + x

∣∣∣∣∣∫ ∞

x

∫ λ

0f(t) cos[u(t− x)] du dt −

∫ λ

0

∫ ∞

xf(t) cos[u(t− x)] dt du

∣∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∣

(∫ Bλ

x

∫ λ

0+

∫ ∞

Bλ

∫ λ

0

)f(t) cos[u(t− x)] du dt −

(∫ λ

0

∫ Bλ

x+

∫ λ

0

∫ ∞

Bλ

)f(t) cos[u(t− x)] dt du

∣∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣∣∫ ∞

Bλ

f(t)sen[λ(t− x)]

t− xdt

∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∫ λ

0

∫ ∞

Bλ

f(t) cos[u(t− x)] dt du

∣∣∣∣∣ ≤

≤∣∣∣∣∫ ∞

Bλ−xf(y + x)

sen(λy)y

dy

∣∣∣∣ +∫ λ

0

∣∣∣∣∫ ∞

Bλ

f(t) cos[u(t− x)] dt

∣∣∣∣ du ≤ ε

2+

∫ λ

0

ε

2λdu = ε

Hemos obtenido, para f ∈ L1(R) ∩ P(R) y para x ∈ R que:

12

[f(x+) + f(x−)

]=

1π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) cos[u(x− t)] dt du

Ahora bien,

1π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) cos[u(x− t)] dt du =

12π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t)

[eiu(t−x) + e−iu(t−x)

]dt du =

=12π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) eiut dt e−iux du +

12π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) e−iut dt eiux du =

=12π

∫ 0

−∞

∫ ∞

−∞f(t) e−ivt dt eivx dv +

12π

∫ ∞

0

∫ ∞

−∞f(t) e−iut dt eiux du =

=12π

∫ ∞

−∞eiux

∫ ∞

−∞f(t) e−iut dt du

Corolario 6.- Si f ∈ L1(R) ∩ P1(R) y f es continua en x ∈ R, entonces

f(x) =12π

∫ ∞

−∞eiux

∫ ∞

−∞f(t) e−iut dt du

27

8..2 Transformada de Fourier

F (y) = Ff(y) =∫ ∞

−∞e−ixyf(x) dx

Nota: Si f ∈ L1(R) ∩ P1(R) y f es continua en x ∈ R, entonces

f(x) =12π

∫ ∞

−∞eixyF (y) dy (Teorema de inversion de Fourier)

Teorema

Si f ∈ L1(R) entonces F (y) = Ff(y) es una funcion acotada en R. Admas, lim|y|→∞

F (y) = 0,

si f ∈ P1(R).

Demostracion: Veamos que |F (y)| < C, ∀ y ∈ R. Teniendo en cuenta que |e−ixy| = 1, ∀ x, y ∈ R,

podemos escribir

|F (y)| ≤∫ ∞

−∞|f(x)| dx = ||f ||1 = C < ∞

Estudiemos ahora el lim|y|→∞

F (y).

F (y) =∫ ∞

−∞e−ixyf(x) dx =

(∫ −a

−∞+

∫ a

−a+

∫ ∞

a

)e−ixyf(x) dx = I1 + I2 + I3

Analicemos las tres integrales

•I3 =

∫ ∞

ae−ixyf(x) dx =

∫ ∞

acos(xy) f(x) dx − i

∫ ∞

asen(xy) f(x) dx =

=∫ ∞

acos(x|y|) f(x) dx ± i

∫ ∞

asen(x|y|) f(x) dx

donde mantendrıamos menos si y > 0, en caso contrario pondrıamos +. En cualquier caso, el

corolario 2 nos garantiza que las dos integrales tienden a cero para |y| tendiendo a ∞. Por lo

tanto a partir de un cierto valor de |y| en adelante |I3| < ε

3.

•

I1 =∫ −a

−∞e−ixyf(x) dx =

∫ ∞

aeiuy f(−u) du =

∫ ∞

acos(u|y|) f(−u) du ± i

∫ ∞

asen(u|y|) f(−u) du

De forma analoga al caso anterior, podemos garantizar que a partir de cierto valor de |y| en

adelante, |I1| < ε3 .

28

• Dado que f ∈ P1(R), podemos asegurar que f estara acotada en el intervalo [−a, a], por lo que

|f(x)| ≤ M , en dicho intervalo, para algun M > 0. Tomando a <ε

6M, tenemos

|I2| =∣∣∣∣∫ a

−ae−ixyf(x) dx

∣∣∣∣ ≤ M

∫ a

−adx = M 2a <

ε

3

Finalmente podemos garantizar que |F (y)| < ε a partir de un cierto valor de |y| en adelante, es

decir, lim|y|→∞

F (y) = 0.

Teorema

Si f ∈ L1(R) entonces F (y) = Ff(y) es continua en R

Demostracion: Sea y0 ∈ R, demostraremos que limh→0

F (y0 + h) = F (y0)

F (y0 + h)− F (y0) =∫ ∞

−∞e−i(y0+h)xf(x) dx−

∫ ∞

−∞e−iy0xf(x) dx =

∫ ∞

−∞e−iy0x

(e−ihx − 1

)f(x) dx

Nota: (Teorema de la convergencia dominada)(”Integracion: Teorıa y tecnicas”, M. de Guzman y B.

Rubio, ed: Alhambra, pag. 76)

Sea fnn∈N una sucesion de funciones integrables en R, y g ∈ L1(R) tal que |fn| ≤ g, entonces:

∫

Rlim

n→∞ fn = limn→∞

∫

Rfn

En nuestro caso: tomamos h = 1n por lo tanto h → 0 ⇔ n → ∞, con lo que solo hemos de

aplicar el teorema de la convergencia dominada a las funciones fn(x) = e−iy0x(e−i 1

nx − 1

)f(x), ya

que∣∣∣e−iy0x

(e−i 1

nx − 1

)f(x)

∣∣∣ ≤ 2|f(x)|.

limh→0

[F (y0+h)−F (y0)] = limn→∞

∫ ∞

−∞e−iy0x

(e−i 1

nx − 1

)f(x) dx =

∫ ∞

−∞lim

n→∞ e−iy0x(e−i 1

nx − 1

)f(x) dx = 0

29