ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

MATEMÁTICA AVANZADA GR4

GRUPO 5:

•JORGE IMAICELA

•KATALINA LÓPEZ

•DAYANA VÁSQUEZ

FUNCIONES PERIÓDICAS

TEOREMA

ejemplo

FUNCIÓN ESCALÓN UNIDAD

OBSERVACIÓN

Teoremas

4) FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO O FUNCIÓN DELTA DE

DIRAC

• Consideremos la función , definido por:

donde ε>0, y que es muy pequeño. Su gráfica es:

• A la función se la denomina función impulso, y cuando , la altura de la región rectangular sombreada crece indefinidamente y la base decrece, de tal manera que el área siempre es igual a uno, es decir:

a la función se denomina función impulso unitario o función Delta de Dirac, otra forma de definir la función que frecuentemente es utilizada en electrónica es:

• Ahora calculemos su Transformada de Laplace:

• como

LA FUNCIÓN GAMMA

• Es una integral paramétrica definida por:

(1)

• Esta integral es convergente para valores positivos n>0, y para valores

negativos n exceptuando los valores -1,-2,-3,-4,…, a la función Gamma

también se denomina función factorial y se aplica en las ecuaciones

diferenciales que admiten soluciones por series infinitas.

• Su representación gráfica es:

• En la siguiente tabla se indica algunos valores de donde 0n1, calculados

según (1) mediante series infinitas.

• La integral no define ningún valor n=0, pero define los

valores de para todos los números reales de la siguiente forma:

6) PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA

N 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

9.5 4.59 2.99 2.22 1.49 1.30 1.16 1.07

Demostración

7) TEOREMA

• Demostrar que:

Función Beta

Se define como:

donde m>0, n>0.

Propiedades

1. B(m,n)=B(n,m)

2.

3.

Ejemplo:

Demostrar que

Función de Bessel

La ecuación diferencial de Bessel de orden p,

con p≥0 es:

Una de sus soluciones linealmente

independiente en series de potencias alrededor

del punto t=0(punto singular regular)es:

Es llamado “Función de Bessel de orden p y

de primera clase” y denotaremos en la

forma siguiente:

Definición

La función de Bessel de primera clase y de

orden n, denotaremos por y es definido

por la serie.

Observación

La segunda solución linealmente independiente

de la ecuación diferencial de Bessel es:

Observación

Las funciones de Bessel de mayor utilidad son

los de orden cero y orden uno:

Propiedades

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10

.

Ejemplo:

Hallar , donde es la funcion de Bessel de

orden cero

Ejercicio

Demostrar que

Bibliografía

ESPINOZA RAMOS E. , Análisis matemático

IV, segunda edición, 2008.