Graficas de Funciones

5/16/2018 Graficas de Funciones - slidepdf.com

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GRAFICAS DE FUNCIONES

Si recurrimos a una computadora veremos que la grafica de la función seno tiene

esta forma:

Corroboramos que su valor máximo es 1, el mínimo es -1; o sea su conjunto

imagen es [-1; 1]. Los ceros son múltiplos de π y el periodo es 2π y la función es cíclica

(o sea que se repite periódicamente). A partir de esta función, veremos como son las

graficas cuyas formulas son:

a) y = k sen x

Se produce un estiramiento o un achatamiento vertical según que k >1 ó 0

< k < 1 respectivamente. Esto se debe a que las ordenadas están multiplicadas por una

constante k la cual se denomina “amplitud”

Ej.: y = 2sen x

Podemos apreciar

en la grafica que el

conjunto imagen de la

función es [-2; 2], por lo

tanto decimos que la

amplitud es 2

y = 2senx

y = senx



y = 1/2 sen x

Como vemos en la grafica 0

< 1/2 < 1 se produce un

achatamiento vertical de la

misma

b) y = sen ax

Con respecto a la grafica de y = sen ax, con a ∈ ℜ+, para obtener el ciclo el

ángulo debe variar entre 0 y 2π:

0 < ax < 2π ⇒ 0< x < 2π/a

Por lo tanto el periodo será de P = 2π/a

Dependiendo del valor de a, nos podemos dar una idea de cómo queda la grafica

de la función. Si a>1 entonces el periodo será mas corto, por lo que la función achatada

horizontalmente; y si 0< a< 1 el periodo seria mas largo, por lo cual la función sufriría un

estiramiento horizontal

Para averiguar la intersecciones con el eje de absisa (o ceros), debemos tener en

cuenta donde la función seno se anula, o sea en 0, π y 2π. Entonces:

ax = 0 ; ax = π ; ax = 2π

Despejando x obtenemos: x = 0; x = π/a; x = 2π/a

y= senx

y= ½ senx

y = sen 3x

y = sen x

y = sen ½ x



Por lo tanto las intersecciones con el eje de absisa son: (0; 0); (π/a; 0) y (2π/a; 0)

La misma operación podemos realizar para saber donde alcanza los valores máximos y

mínimos:

El valor máximo del sen x se encuentra en el punto (π/2; 1), entonces:

• ax= π/2⇒ x = π/2a (y este periodo se repetirá cada 2π/a)

Por lo tanto alcanza su valor máximo en el punto (π/2a; 1)

El valor mínimo del sen x se encuentra en el punto (3π/2; -1), entonces:

• ax= 3π/2⇒ x = 3π/2a (y este periodo se repetirá cada 2π/a)

Por lo tanto alcanza su valor mínimo en el punto (3π/2a; -1)

Ej.:

y = sen 4x

Periodo:

0 < 4 x < 2π ⇒ 0< x < 1/2π ⇒P:1/2π

Ceros:

4x = 0 ; 4x = π ; 4x = 2π ⇒ x = 0 ; x = π/4 ; x = 1/2π

⇒ (0; 0); (π/4; 0), (1/2π; 0) ( los ceros se repiten cada π/4)

Máximos:

4x = π/2 ⇒ x = π/8

⇒ (π/8; 1), repitiéndose cada π/2 (que es el periodo).

Mínimos:

4x= 3π/2 ⇒ x = 3π/8

⇒(3π/8; -1), repitiéndose cada π/2 (que es el periodo).



c) y = sen (ax ± b):

Considerando ahora la grafica de y = sen (ax + b), siendo b una constante no

nula. A “ b/a” se lo denomina ángulo de fase y produce un desplazamiento de la graficahacia la izquierda se b>0 o hacia la derecha si b<0.

d ) y = sen (ax ± b) ± c:

Considerando ahora la forma y = k sen (ax+b) + c, donde c ∈

ℜ

, siendo unaconstante no nula; produce en la función un desplazamiento de c lugares hacia arriba si c

> 0 y de c lugares hacia abajo si c < 0

y = sen x

y = sen (x +π )



Ejercicio: Graficar la función y = 4 sen (2x +π )

Amplitud : 4 Por lo tanto la imagen de la función es [-4; 4]

Periodo: 2π/a⇒2π/2 = π

Angulo de fase: b/a ⇒ π/2 hacia la izquierda, pues b> 0, por lo tanto el ángulo de fase

será: - π/2

Y si le sumamos el periodo obtenido, el resultado es: - π/2 + π = π/2; por lo tanto la

función a graficar se encuentra en el dominio [-π/2; π/2]

Ceros: 2x+π = 0 ; 2x+π = π ; 2x +π = 2π

⇒ x = - π/2 ; x = 0 ; x = π/2

⇒ (-π/2; 0); (0; 0) y (π/2; 0)

Máximos y mínimos:

2x+π = π/2 ⇒ x = -π/4

⇒ (-π/4; 4)

2x +π = 3π/2 ⇒ x = π/4

y = sen (x +π ) + 1

y = sen (x +π )

y = sen (x +π ) -1



⇒(π/4; -4)

Con todos los datos obtenidos obtenemos la siguiente grafica:

Razonando de forma similar a lo visto podemos trazar y obtener los datos de las

funciones cuyas formulas son:

a) y = k cos x

b) y = cos axc) y = k cos (ax ± b)

d) y = k cos (ax ± b) ± c

Ejercicio: graficar la función y = 3 cos (2x+π )

Amplitud : 3 por lo tanto la imagen de la función es [-3; 3]

Periodo: 2π/a⇒2π/2 = π

Angulo de fase: b/a ⇒ π/2 hacia la izquierda, pues b> 0, por lo tanto el ángulo de fase

será: - π/2

Nota importante:

No olvidemos de tener en cuenta que los ceros en la

función coseno son π/2 y 3π/2; los máximos 0 y 2π y el punto mínimo

π



Y si le sumamos el periodo obtenido, el resultado es: - π/2 + π = π/2; por lo tanto la

función a graficar se encuentra en el dominio [-π/2; π/2]

Ceros: 2x+π = π/2 ⇒ x = -π/4

⇒ (-π/4; 0)

2x +π = 3π/2 ⇒ x = π/4

⇒(π/4; 0)

Máximos y mínimos:

2x+π = 0 ⇒ x = - π/2

⇒(-π/2; 3)

2x +π = 2π ⇒ x = π/2 ⇒ (π/2; 3)

2x+π = π ⇒x = 0

⇒ (0; -3)

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