Funciones de Bessel - WordPress.com · Funciones de Bessel Dra. Lucía Medina Depto. de Física...

Funciones de Bessel

Dra. Lucía Medina�Depto. de Física �Facultad de Ciencias�UNAM�

Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)

Ecuación diferencial de Bessel:

€

R αρ( ) = cn αρ( )n+s

n= 0

∞

∑ s = ±m R αρ( ) = C1Jn αρ( ) +C2Nn αρ( )

€

Jm αρ( ) =αρ2

$

% &

'

( ) m −1( )k

k! m + k( )!αρ2

$

% &

'

( ) 2k

k= 0

∞

∑

Constantes de Separación:

€

φ ϕ( ) = Ameimϕ

m=1

∞

∑ m = ±1,±2,…

€

Z z( ) =

Beαz + Ce−αz α ∈ ℜ

Bcosαz + C sinαz α ∈ ℑ

Fenómeno no depende de z α = 0

'

( )

* )

Solución de la Ecuación Diferencial:

€

ddρ

ρdRdρ

#

$ %

&

' ( + α 2ρ −

m2

ρ

#

$ %

&

' ( R = 0

Primera Solución de la Ecuación Diferencial:

LMG Fac Ciencias-UNAM

€

1. J−m x( ) = −1( )m Jm x( )2. Jm−1 x( ) + Jm +1 x( ) =

2x

Jm x( )3. Jm−1 x( ) − Jm +1 x( ) = 2 # J m x( )4. Jm−1 x( ) =

mx

Jm x( ) + # J m x( )

5. Jm +1 x( ) =mx

Jm x( ) − # J m x( )

6. xmJm−1 x( )dx∫ = xmJm x( ) + C7. x−mJm +1 x( )dx∫ = −x−mJm x( ) + C

Propiedades:

Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) LMG Fac Ciencias-UNAM

€

Jm γm, j ρ a( )Jm γm,k ρ a( )ρdρ0

a

∫ = 12 a

2 Jm+1 γm,k( )( )[ ]2δ j,k

γm, j jth raíz de Jm γm, j ρ a( )

Ortogonalidad:


J0(x) J1(x) J2(x) J3(x)

€

x =γm,kaρ

x

Jm(x)



1 2.4048 3.8317 5.1356 2 5.5201 7.0156 8.4172 3 8.6537 10.1735 11.6198 4 11.7915 13.3237 14.7960 5 14.9309 16.4706 17.9598

m=0

m=1

m=2

j 0 m 2 1 Jm(x)


Expansión en funciones Bessel:

€

f ρ( ) = cm, jJm γm, j ρ a( )j=1

∞

∑

€

cm, j =2

a2 Jm+1 γm, j( )[ ]2 f ρ( )Jm γm, j ρ a( )ρdρ0

a

∫€

f ρ( ),Jm γm,k ρ a( ) = cm, j Jm γm, j ρ a( ),Jm γm,k ρ a( )j=1

∞

∑


€

J0γ 01aρ

$

% &

'

( )

€

J0γ 04aρ

$

% &

'

( ) €

J0γ 03aρ

$

% &

'

( )

€

J0γ 02aρ

$

% &

'

( )

1 2.4048 3.8317 5.1356 2 5.5201 7.0156 8.4172 3 8.6537 10.1735 11.6198 4 11.7915 13.3237 14.7960 5 14.9309 16.4706 17.9598

j 0 m 2 1


€

cm, j =2

a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr0

a

∫ m = 3


€

Sea f r( ) = r3 0 < r < aEjemplo


€

cm, j =2


a

∫ m = 3


€

c3, j =2a3

α3, jJ4 α3, j( )

€



€

cm, j =2


a

∫ m = 3


€

c3, j =2a3

α3, jJ4 α3, j( )

€

r3 = c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( ) + c3,3J3 α3,3 r a( ) +…

€



€

cm, j =2


a

∫ m = 3

€



€

c3, j =2a3

α3, jJ4 α3, j( )

€


α3,j c3,j J4(α3,jr/a)

6.3802 395.93 0.2983

9.7610 -309.48 -0.2494

13.0152 265.22 0.2183

16.2235 -236.43 -0.1964

19.4094 0.1801 215.6



J3(x)



€


a



€

cm, j =2

a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr−a

a

∫

=2

a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 r4Jm αm, j r a( )dr

−a

0

∫ + r4Jm αm, j r a( )dr0

a

∫%

& '

(

) *

=2

a2 Jm+1 αm, j( )[ ]2 −1( )m r4Jm αm, j r a( )dr

−a

0

∫ + r4Jm αm, j r a( )dr0

a

∫%

& '

(

) *

€

Sea f r( ) = r3 −a < r < aEjemplo


€

c3, j =2a3

α3, jJ4 α3, j( )LMG Fac Ciencias-UNAM

Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr) Resumen Funciones Bessel de Primer Tipo Jm(lr)

€

r3 =…+ c3,2J3 α3,2 r a( ) + c3,1J3 α3,1 r a( )r<0

+ c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( )

r>0

+…

=…− c3,2J3 α3,2 r a( ) − c3,1J3 α3,1 r a( )r<0

+ c3,1J3 α3,1 r a( ) + c3,2J3 α3,2 r a( )

r>0

+…

a -a


π π π π π π π π

€

f ρ( ) =12 π − ρ( ) 0 < ρ < 2πf ρ + 2π( ) otro caso

% & '



€


% & '

a0 = 0, an = 0, bn =1n

f ρ( ) ≅sin nρ( )

nn=1

∞

∑


Fourier



€


% & '

f ρ( ) = Cm, j Jmγmj2π

ρ!

"#

$

%&

j=1

∞

∑

f ρ( ) ≅ πγ0 j J1 γ0 j( )j=1

∞

∑ J0γ0 j2π

ρ!

"#

$

%&−

2πγ1 j J2 γ1 j( )j=1

∞

∑ J1γ1 j2π

ρ!

"#

$

%&

a0 = 0, an = 0, bn =1n

f ρ( ) ≅sin nρ( )

nn=1

∞

∑


Fourier

Bessel


f ρ( ) ≈sin nρ( )

nn=1

100

∑

€

f ρ( ) ≅ πγ 0 jJ1 γ 0 j( )j=1

100

∑ J0γ 0 j2π

ρ'

( )

*

+ , −

2πγ1 jJ2 γ1 j( )j=1

100

∑ J1γ1 j2π

ρ'

( )

*

+ ,

Fourier

Bessel


g t, x( ) = ex2t−1t

"

#$

%

&'= tnJn x( )

n=−∞

∞

∑Función Generadora:

Teorema de la Adición:

€

Jm x + y( ) = Jm−n x( )Jn y( )n=−∞

∞

∑

Ecuación Integral de Bessel:

€

Jm x( ) =1π

cos x sinϑ −mϑ( )dϑ0

π

∫


Segunda Solución Linealmente Independiente: Función Neumman


)()()( 0201 xYcxJcxy +=

( )

( ) !"

#$%

& −+(

)

*+,

- +=

−=

∑

∑∞

=

+

∞

=

m

mm

mm

mm

mm

xmHxJxxY

mxxJ

2

122

1

00

022

2

0

!2)1()(

2ln2)(

,!2

)1()(

γπ




∞→#$

%&'

( −##$

%&&'

(≅

∞→#$

%&'

( −##$

%&&'

(≅

xxx

xY

xxx

xJ

as,4

sin2

)(

as,4

cos2

)(

2/1

0

2/1

0

ππ

ππ




( )[ ] 0,)(2ln)(2)( 121 >−+−= xxJxyxY γπ


Bessel de Orden no Entero


∞→#$

%&'

( −##$

%&&'

(≅#

$

%&'

( −##$

%&&'

(≅

##$

%&&'

(=##

$

%&&'

(=−

xxx

xYxx

xJ

xx

xJxx

xJ

as,4

sin2

)(,4

cos2

)(

sin2

)(,cos2

)(

2/1

0

2/1

0

2/1

2/1

2/1

2/1

ππ

ππ

ππ


Funciones de Bessel - WordPress.com · Funciones de Bessel Dra. Lucía Medina Depto. de Física...

Documents

Transcript of Funciones de Bessel - WordPress.com · Funciones de Bessel Dra. Lucía Medina Depto. de Física...