Funciones Reales

Juan Guillermo Paniagua C 1

CÁLCULO DIFERENCIAL

FUNCIONES REALES


FUNCIÓN

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B, denotada por:

f : A→B ó A BEs una relación que permite asignar a todo elemento xA uno y sólo un elemento yB.

f


FUNCIÓN

Una Función f es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x en un conjunto, denominado dominio, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de todos los valores así obtenidos se denomina rango de la función


D(f) = Dominio de f = {1, 2, 3, 4, 5, x}r(f) = Rango de f = {a, b, c, d, e, f(x)}

1

2

3

4

5

x

a

b

c

d

e

f(x)

fA B


Tener en cuentaEn A no pueden sobrar elementos. El dominio de la función es igual al conjunto de partida ACada elemento de A sólo puede relacionarse con uno y sólo uno de BEl codominio de una función es aquel rango que es igual al conjunto de llegadaCuando la regla para una función está dada por medio de uan ecuación de la forma y=f(x), x es la variable independiente y y es la variable dependiente.


¿Cuales son funciones?*

+

\

~

1

a

c

e

*

+

\

~

1

a

c

e

1

2

3

4

a

a

b

c

d

1

2

3

4

No es Función No es Función

Si es Función Si es Función


Gráfica de Funciones

Cuando el dominio y el rango de una función son conjuntos de números reales, se puede describir la función mediante el trazo de su gráfica en un plano coordenado.

La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y=f(x)


EjemploBosqueje la gráfica de f(x)=x2-2

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y


Criterio de la recta verticalUna curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna línea vertical se interseca con la curva más de una vez

Función

y=x2x2+y2=1

No es Función


Funciones Crecientes y Decrecientes

Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I si: f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en I

Se dice que una función f es decreciente sobre un intervalo I si: f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en I


Observemos la siguiente función

A

B

f(a)

f(b)

a b c

Cf(c)

D

La función en el intervalo [a,b] es creciente

La función en el intervalo [b,c] es decreciente

¿Cómo es en el intervalo [c,d]?

d


Ejemplo

Determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y


Simetría de FuncionesFunción ParSi una función f satisface f(-x)=f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función par.El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica con respecto al eje y


Ejemplo:Determine si la función f(x)=x2+1es par

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

y=x2+1


Simetría de FuncionesFunción imparSi una función f satisface f(-x)=-f(x), para todo número x en su dominio, se denomina función impar.El significado geométrico de una función impar es que su gráfica es simétrica con respecto al origen.Si ya se tiene la gráfica de f para x0, para obtener la gráfica entera se rota 180° alrededor del origen


Ejemplo:Determine si la función f(x)=x3+2x es impar

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

y=x3+2x


Función InyectivaUna función es Inyectiva o “uno a uno” si y sólo si cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio

*

+

\

~

1

a

c

e

a

b

c

d

1

2

3

4

Función Inyectiva Función no Inyectiva


Criterio de la Recta Horizontal

Una Función es Inyectiva si y sólo si ninguna línea horizontal interseca su gráfica más de una vez

No es Función Inyectiva

y=x2

y=x3

Función Inyectiva


Función Sobreyectiva

Una Función f : A B es sobreyectiva o sobre, si todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A, es decirf : A B es sobre f(A) = B

a

b

c

d

1

2

3

4

a

b

c

d

1

2

3

4

Función Sobreyectiva No es Función Sobreyectiva


Función Biyectiva

Una función f : A B es biyectiva si y sólo si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

a

b

c

d

1

2

3

4

a

b

c

d

1

2

3

4

Función no InyectivaFunción no SobreyectivaFunción no Biyectiva

Función InyectivaFunción SobreyectivaFunción Biyectiva


Tipos de FuncionesFunciones

Polinómicas◦ Función Constante◦ Función Lineal◦ Función Cuadrática◦ Función Polinómica

Funciones Trascendentes◦ Función

Exponencial◦ Función logarítmica

◦ Funciones trigonométricas

Funciones Especiales◦ Función Valor

Absoluto◦ Función Racional◦ Funciones por

tramos◦ Función Mayor

Entero


Función PolinómicaUna función polinomial de grado n es de la forma

Donde:n Z+, an 0

a0, a1, …,an-1, an Coeficientes del polinomio

a0 es el coeficiente constante o término constanten es el grado del polinomio

011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nn


Un polinomio de grado cero tiene la forma P(x)=k, con k constante, llamada función constanteUn polinomio de grado uno tiene la forma P(x)=mx+b, llamado función linealUn polinomio de grado dos tiene la forma P(x)= ax2+bx+c, se llama función cuadráticaUn polinomio de grado tres tiene la forma P(x)=ax3+bx2+cx + d, llamada función cúbica


Función ConstanteLa función constante es de la forma f(x)=c, donde c es una constante.Es una función donde a cada número real x del dominio se le asigna el mismo valor c.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

f(x) = 3


Función Lineal

La función lineal es de la forma f(x)=mx+b y su gráfica es una línea recta. m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (intercepto con el eje y)Las funciones lineales crecen a una tasa constante. Esa tasa constante está representada por la pendiente, la cual se interpreta como la tasa de cambio de y con respecto a x


Ejemplo

Graficar f(x)=3x-2 X 0 1

Y -2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f(x) = 3x - 2


El dominio de la función lineal son los reales

D(f) = Re

El rango de la función lineal son los reales

r(f) = Re


EjemploA medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20°C y la temperatura a una altura de 1 Km es de 10°Ca. Exprese la temperatura T (en °C) en

términos de la altura h (en Km) (Suponga que la relación entre T y h es lineal)

b. Dibuje la gráfica de la ecuación lineal, ¿qué representa la pendiente?

c. ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 Km?


Funciones de Potencia

Son funciones de la forma f(x)=xa, donde a es una constante. D(f) = Re

1.Si a=n, n Z+

Función Identidad

-2 -1 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

f(x) = xn=1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2-1

1234567891011

x

y

f(x) = x2

n=2


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

y

f(x) = x3n=3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-200

-100

100

200

300

400

500

600

x

y

f(x) = x4

n=4

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-400

-200

200

400

600

800

1000

x

y

f(x) = x5

n=5

La función f(x)=xn en su forma depende de n si es par o impar. Si n es par, f(x)=xn es una función par y si n es impar, f(x)=xn es una función impar


2.Si a=1/n, n Z+

La función es una función raíz.

nn xxxf 1

)(

n = 2Función raíz cuadradaD(f) = [0, +)

1 2 3 4 5

-1

1

2

3

x

y

xxf )(

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-1

1

2

3

4

x

y

3)( xxf n = 3Función raíz cúbicaD(f) = Re


3.Si a=-1

Función recíproca. Su gráfica es una hipérbola con sus ejes coordenados como asíntotas

xxxf

1)( 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5-4-3-2-1

1234567

x

y

xxxf

1)( 1

D(f) = Re – {0}


Funciones Racionales

Una Función Racional f es una razón de dos polinomios.

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Su dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x) 0Por ejemplo,

D(f)= Re – {-2, 2}

)(

)()(

xQ

xPxf

4

12)(

2

24

x

xxxf


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

30

x

y


Funciones Algebraicas

Son funciones que se constituyen usando operaciones algebraicas.

-3 -2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

3)( xxxf

-15 -10 -5 5 10 15

1

2

3

4

x

y

4 2 25)( xxf

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

x

y

23

2

2)( xxxf


Funciones Seccionalmente DefinidasSon funciones que están definidas por fórmulas distintas, en diferentes partes de sus dominios. Por ejemplo:

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

y


-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y


Función Cuadrática

Una función f es una función cuadrática si

donde a, b y c Re, a 0

Su gráfica corresponde a una parábola con vértice fuera del origen de coordenadas


Por ejemplo

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


Si b = c = 0, entoncesLa gráfica es una parábola con vértice en el origen

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

x

y


Si b = 0 y c 0, entonces La gráfica es una parábola con vértice en (0,c)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

x

y


Si y b 0, completamos el trinomio cuadrado perfecto y lo llevamos a la forma

Donde (h, k) son las coordenadas del vértice de la parábola

Si a < 0 la parábola se abre hacia abajo y si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.


Ejemplo: Bosqueje la gráfica de

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

x

y

(-4,2)


El vértice de la parábolaTiene la coordenada x

Si , con a 0, entonces:

es valor máximo si a < 0

es valor mínimo su a > 0


Ejemplo 1Encuentre el valor máximo ó mínimo, el vértice y trace la gráfica de la parábola

Ejemplo 2Un objeto es lanzado en forma vertical hacia arriba con una velocidad inicial de Vo pies/s y su distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por

a.Si el objeto toca tierra después de 12 segundos, encuentre su velocidad inicial

b.Hallar su distancia máxima sobre el suelo


Ejemplo 3En la construcción de seis jaulas para animales han de utilizarse 1000 pies de enrejado, según la figura

a.Exprese el ancho y como función de la longitud xb.Exprese el área A encerrada como función de xc.Encuentre las dimensiones que maximicen el

área

x

y

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