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Capítulo 1

Integración de Funciones deVarias variables

1. La σ-álgebra de Borel

2. La medida de Lebesgue

3. Funciones medibles

Una vez estudiada la medida de Lebesgue en Rn, vamos a desarrollarahora la integración de funciones medibles no negativas. Comenzaremos de-finiendo la integral de ciertas funciones elementales, las funciones simples ydespués se hará la extensión a cualquier función medible no negativa me-diante aproximaciones de éstas por funciones simples.

Funciones simples

En esta sección trabajaremos con funciones que toman un número finitode valores es decir con funciones de s : Rn → R tales Im s es un conjuntofinito de números reales.

Supongamos que s es una función de este tipo, que toma los valoresdistintos b1, b2, . . . , bp y sean Bj = {x : s(x) = bj}. Se tiene entonces:

Proposición 1.1 La función s es B-medible si y sólo si cada Bj es unconjunto de Borel.

1

2 Integración de Funciones de Varias variables 1.1

Demostración. Por definición cada Bj = s−1(bj) es decir la anti-imagenpor s de un conjunto de un cerrado. Luego si s es medible Bj debe ser unconjunto de Borel.

Para probar el recíproco sólo hay que tener en cuenta que para cada cadasubconjunto A de R, s−1(A) es el ∅ o la unión de algunos Bj . Por lo que silos Bj son de Borel entonces s−1(A) es un conjunto de Borel.

Definición 1.2 Una función s : Rn → R se dice simple si toma toma unnúmero finito de valores y es medible.

Ejemplo 1.3 De acuerdo con lo anterior es obvio que la función

XB(x) ={

1 si x ∈ B0 si x ∈ Bc.

es B-medible si y sólo si B es un conjunto de Borel. En particular, si Q esel conjunto de los racionales entonces la función XQ proporciona un ejemplode una función medible y discontinua en todo punto.

Definición 1.4 Con las notaciones anteriores, si 0 ≤ s es una función simpledefiniremos la integral de s como∫

s =p∑j=1

bjm(Bj).

En la definición anterior, se supondrá que 0 · ∞ = 0 i.e., bj = 0, m(Bj) =∞⇒ bjm(Bj) = 0.

Propiedades relativas a la integración de funciones simples:

La primera propiedad que vamos a ver es que, como cabía esperar, laintegral de una función simple no negativa es la medida del conjunto “com-prendido entre la gráfica de la función y el eje X".

Dada una función f : Rn → [0,∞] y B ⊂ Rn, llamaremos conjunto deordenadas de f sobre B al conjunto

OrdB f = {(x, y) ∈ Rn × [0,∞) : 0 ≤ y < f(x)}.

Observar que los puntos de la gráfica de f no están en OrdB f . CuandoB = Rn se escribirá Ord f en lugar de OrdRn f .

1. Si 0 ≤ s es una función simple entonces Ord s es un conjunto de Borely∫s = m(Ord s).

1.4 Integración de Funciones de Varias variables 3

Demostración. Si la función s toma los valores b1, b2, . . . , bp sobre los conjun-tos de Borel B1, B2, . . . , Bp, es inmediato comprobar que Ord f = ∪pi=1Bi ×[0, bi). Puesto que el producto de conjuntos de Borel es también de Borel ysu medida de Lebesgue es la producto de la de los factores, se tiene que

m(Ord f) = m(∪pi=1Bi × [0, bi)) =∑

bim(Bi) =∫s.

Nótese que en el cálculo anterior se ha tenido en cuenta que los conjuntosBi × [0, bi) son disjuntos dos a dos.

2. Si 0 ≤ s ≤ t son funciones simples, entonces∫s ≤

∫t.

Demostración. Obviamente 0 ≤ s ≤ t implica que Ord s ⊂ Ord t. Luego dela propiedad anterior se deduce que∫

s = m(Ord s) ≤ m(Ord t) =∫t.

3. Si s, t son funciones simples no negativas entonces∫

(s+ t) =∫s+

∫t.

Demostración. Sean b1, . . . , bp los valores de s, c1, . . . , cq los valores de t yBi = s−1(bi), Cj = t−1(cj). Obviamente la familia finita {Bi ∩Cj}i,j es unapartición de Rn y (s+ t)(x) = bi + cj cuando x ∈ Bi ∩Cj . Es claro entoncesque ∫

(s+ t) =∑i,j

(bi + cj)m(Bi ∩ Cj)

=∑i

bi∑j

m(Bi ∩ Cj) +∑j

cj∑i

m(Bi ∩ Cj)

=∑i

bim(Bi) +∑j

cjm(Cj) =∫s+

∫t.

4. Si s es función simple no negativa y medible y c un número real nonegativo, entonces

∫(cs) = c

∫s.

Demostración. Si c = 0 entonces cs = 0, luego∫

(cs) =∫

0 = 0 ·m(Rn) =0 · ∞ = 0 = 0

∫s.

Si c > 0 entonces cs es una función que toma el valor cbi justamente don-de s toma el valor bi (en Bi). Luego sc es simple y

∫(cs) =

∑(cbi)m(Bi) =

c∑bim(Bi) = c

∫s.


Es fácil ver que una función s : Rn → R es simple si y sólo existe unnúmero finito de conjuntos de Borel de Rn (no necesariamente disjuntos),B1, B2, . . . , Bp y números reales b1, b2, . . . , bp tal que s =

∑pi=1 biXBi (Ejer-

cicio).

5. Si s =∑pi=1 biXBi y cada bi ≥ 0, entonces

∫s =

∑pi=1 bim(Bi).

Demostración. Es consecuencia directa de la propiedad 3.

Integración de funciones medibles no negativas

A la hora de extender la definición de integral sucede como antes con lamedida, si queremos que el operador ïntegral"tenga buenas propiedades, enparticular la linealidad, debemos restringir el conjunto de funciones sobre elque opere la integral. Mediante la aproximación por funciones simples, vamosa extender a continuación el concepto de integral a las funciones medibles yveremos que la integración de estas funciones tiene esta agradable propiedad.

Lema 1.5 Sea f : Rn → R una función medible no negativa y acotada.Entonces para cada ε > 0 existe una función simple 0 ≤ s ≤ f y tal que0 ≤ f − s ≤ ε.

Demostración. La demostración de esta implicación se basa en una técnicaclásica de aproximación uniforme: dado ε > 0 consideremos la función

s(x) =

0 si f(x) ≤ εε si ε < f(x) ≤ 2ε· · ·(p− 1)ε si (p− 1)ε < f(x) ≤ pε· · ·

Es obvio entonces que para cada x ∈ Rn se tiene que 0 ≤ f(x) − s(x) ≤ ε.Como f es acotada, es evidente que a partir de algún p no existen puntosx tales que (p− 1)ε < f(x) ≤ pε, luego la función s toma un número finitode valores. Teniendo en cuenta por otra parte que esos valores se toman enlos conjuntos {x : iε < f(x) ≤ (i + 1)ε}, que son conjuntos de Borel (fmedible), se deduce que s es una función simple.

Corolario 1.6 Si f es una función medible, no negativa y acotada, entoncesexiste una existe una sucesión no decreciente de funciones simples no nega-tivas, que converge uniformemente hacia f . Abreviadamente, 0 ≤ sk ↗ f(uniformemente).


Demostración. Sea sp la función simple del lema anterior para ε = 1/2p.Puesto que 0 ≤ f(x)− sp(x) ≤ εp = 1/2p, ∀x, la sucesión {sp(x)} convergeuniformemente hacia f . Es fácil probar que la sucesión {sp} es creciente(comprobar como ejercicio que s1 ≤ s2).

Este corolario admite una extensión para funciones medibles, no nece-sariamente acotadas, que será esencial para establecer las propiedades de laintegración de dichas funciones.

Proposición 1.7 Si f : Rn → [0,∞] es una función medible entonces exis-te una sucesión monótona creciente de funciones simples, no negativas ymedibles que converge puntualmente a f . Abreviadamente, 0 ≤ sk ↗ f .

Definición 1.8 Si f : Rn → [0,∞] es una función medible, se define∫f = sup

{∫s : 0 ≤ s ≤ f, s simple

}.

Observar que ahora tenemos dos definiciones para la integral de unafunción simple no negativa. Habremos de ver que ambas son equivalentes esdecir:

Ejercicio. Si 0 ≤ t es una función simple, entonces∫t = sup

{∫s : 0 ≤ s ≤ t, s simple

}

Propiedades relativas a la integración de funciones mediblesno negativas.

De las propiedades dadas para la integración de funciones simples, sededuce:

1. Si f es una función no negativa y medible entonces el conjunto Ord fes un conjunto de Borel de Rn+1 y

∫f = m(Ord f).

Demostración. Ya sabemos que esto es cierto para funciones simples. Seaahora f : Rn → [0,∞] medible. Por la Proposición 1.7, sabemos que existeuna sucesión monótona creciente {sp} de funciones simples, no negativas,


que converge puntualmente a f . Es inmediato comprobar que, en estas con-diciones, se tiene que Ord s1 ⊂ Ord s2 ⊂ . . . ⊂ . . .Ord f. Además, de laconvergencia puntual de la sucesión a la función f se deduce que

Ord f = ∪∞p=1 Ord sp.

En efecto, si (x, y) ∈ Ord f , es decir 0 ≤ y < f(x) = lımp→∞ sp(x) entoncesa partir de un cierto término se tiene que y < sp(x) ≤ f(x), o sea (x, y) ∈Ord sp.

De lo anterior resulta que Ord f es medible, por ser unión numerable deconjuntos medibles, y que∫

f = sup{∫

s : 0 ≤ s ≤ f}

= sup {m(Ord s) : 0 ≤ s ≤ f} ≤ m(Ord f)

= lımp→∞

m(Ord sp) = lımp→∞

∫sp

≤ sup{∫

s : 0 ≤ s ≤ f}

=∫f.

2. Si f, g son funciones medibles y 0 ≤ f ≤ g entonces∫f ≤

∫g.

Demostración. Idéntica que para funciones simples.

3. (Teorema de la convergencia monótona) Sea {fp} una sucesióncreciente de funciones no negativas y medibles y f(x) = lım

p→∞fp(x),

entonces f es una función medible y∫f = lım

p→∞

∫fp.

Demostración. Que la función f es medible se deduce de la igualdad

{x : f(x) > α} = ∪p{x : fp(x) > α}.

Razonando como antes en la propiedad 1, se deduce que Ord f = ∪Ord fp,luego ∫

f = m(Ord f) = lımp→∞

m(Ord fp) = lımp→∞

∫fp.


4. Sean f, g funciones no negativas y medibles. Entonces la función f + ges medible y se tiene que∫

(f + g) =∫f +

∫g.

Demostración. Sean f, g no negativas y medibles y sean 0 ≤ sp ↗ f, 0 ≤tp ↗ g, dos sucesiones no decrecientes de funciones simples, convergiendo af y a g, respectivamente. Entonces 0 ≤ sp+tp ↗ f+g, por lo que, aplicandoel teorema de la convergencia monótona se deduce que f + g es medible y∫

(f + g) = lımp→∞

∫(sp + tp) = lım

p→∞

(∫sp +

∫tp

)=∫f +

∫g.

Más generalmente,

5. Si {fp} es una sucesión de funciones no negativas y medibles, entonces

(1.1)∫ ∑

fp =∑∫

fp.

Para probarlo sólo hay que aplicar el teorema de la convergencia monótonay la aditividad del operador integral a la sucesión de funciones no negativas

gp =p∑i=1

fi.

6. Si f es una función no negativa y medible y c un número real nonegativo, entonces

∫(cf) = c

∫f.

Demostración. Ejercicio.

Definición 1.9 Sea B un conjunto de Borel de Rn y f una función definida(como poco) sobre B. Se dice que f es medible sobre B o que la restricciónf|B es medible, si es medible la función

fXB(x) ={f(x) si x ∈ B0 si x ∈ Bc.

Si f es una función medible y no negativa sobre B, definiremos la integralde f sobre B como

∫B f =

∫fXB.


Ejercicio. Probar que una función f es medible sobre el conjunto de BorelB si y sólo si para cada número real α el conjunto {x ∈ B : f(x) > α} es deBorel. Deducir todas las propiedades de las funciones medibles se conservanpara las medibles sobre un conjunto B.

De acuerdo con la definición es obvio que si f es una función medible yno negativa sobre B entonces

∫B f = m(OrdB f), donde OrdB f = {(x, y) ∈

B × [0,∞) : 0 ≤ y < f(x)}. Como hemos venido haciendo, cuando B = Rnse escribirá

∫f en lugar de

∫Rn f y asimismo Ord f en lugar de OrdRn f .

Consecuencias1.10 Si f es una función medible y no negativa, la función de conjunto

µ(B) =∫Bf,

es una medida sobre B(Rn). Además esta medida es absolutamente continuarespecto a la medida m de Lebesgue i.e., si N es un conjunto de medida nulaentonces

∫N f = 0, cualquiera que sea la función f ≥ 0.

Demostración. Si {Bp} es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos dosa dos, del resultado anterior y la igualdad fX∪Bp =

∑fXBp , se deduce que

µ(∪Bp) =∫∪Bp

f = (∫fX∪Bp =

∑∫fXBp =

∑∫Bpf =

∑µ(Bp).

Para probar que µ es absolutamente continua respecto a la medida deLebesgue, supongamos en primer lugar que f es una función simple, luego sepuede escribir f =

∑finita

bkXBk con bk ≥ 0 y Bk conjuntos de Borel. Entonces

∫Nf =

∫ ∑(bkXBkXN ) =

∫ ∑bkXBk∩N

= b1m(B1 ∩N) + . . .+ bpm(Bp ∩N) = 0 + . . .+ 0 = 0.

En general,∫N f =

∫fXN = sup {

∫s : 0 ≤ s ≤ fXN} = 0, ya que si 0 ≤ s ≤

fXN entonces s = sXN ⇒∫s =

∫N s = 0.

Aplicando las propiedades de toda medida a la medida µ(B) =∫B f , se

deduce:

1. Si B1, B2 son conjuntos medibles B1 ⊂ B2, entonces∫B1f ≤

∫B2f.


2. Si B1 ⊂ B2 ⊂ . . . es una sucesión creciente de conjuntos mediblesentonces ∫

∪Bpf = lım

p→∞

∫Bpf.

3. B1 ⊃ B2 ⊃ . . . es una sucesión decreciente de conjuntos medibles y∫B1f <∞ entonces ∫

∩Bpf = lım

p→∞

∫Bpf.

En particular de la 2a de las consecuencias anteriores se deduce lo siguiente:

Corolario 1.11 Sea f una función de 1-variable, no-negativa y mediblesobre el intervalo (a, b),−∞ ≤ a < b ≤ +∞ y denotemos por

∫ ba f(x)dx a la

integral de f sobre el intervalo (a, b) i.e.∫ ba f(t)dt ≡

∫(a,b) f . Entonces,

(1.2)∫ b

af = lım

x→a+

y→b−

∫ y

xf(t)dt = lım

y→b−

∫ y

af(t)dt = lım

x→a+

∫ b

xf(t)dt.

Demostración. Demostremos por ejemplo que∫ ba f = lımy→b−

∫ ya f(t)dt. Pa-

ra ello consideremos una sucesión y1 < y2 < . . . en (a, b) tal que lımp→∞ yp =b. Puesto que (a, b) = ∪(a, yp) y (a, y1) ⊂ (a, y2) ⊂ . . . se tiene que

(1.3)∫ b

af = lım

p→∞

∫ yp

af(t)dt.

De esto es fácil deducir ya que∫ ba f = lımy→b−

∫ ya f(t)dt. Hagámolslo por

ejemplo en el caso en que b < ∞ y también∫ ba f < ∞. De (1.3) se deduce

que para ε > 0 existe un índice ν tal que 0 ≤∫ ba f(t)dt−

∫ yνa f(t)dt ≤ ε. Sea

δ = b − yν y tomemos y < b tal que b − y ≤ δ entonces yν ≤ y < b y portanto 0 ≤

∫ ba f(t)dt−

∫ ya f(t)dt ≤

∫ ba f(t)dt−

∫ yνa f(t)dt ≤ ε.

Hacer la prueba en los demás casos como un ejercicio.

4. Integración de Funciones Reales

Abordaremos ahora la integración de funciones medibles arbitrarias esdecir con valores en R o más generalmente en R ∪ {+∞,−∞}.


Definición 1.12 i) Si f es una función definida en todo Rn y medible sedefine ∫

f =∫f+ −

∫f−.

ii) Si f es una función medible sobre el conjunto de Borel B se define∫Bf =

∫fXB.

De esta definición y lo ya estudiado sobre integración de funciones mediblesno negativas se deduce fácilmente que∫

Bf =

∫fXB =

∫(fXB)+ −

∫(fXB)− =

∫f+XB −

∫f−XB

=∫Bf+ −

∫Bf− = m(OrdB f+)−m(OrdB f−).

La función f se dice integrable sobre B cuando∫B f es finita. Cuando∫

B f =∞−∞ se dice que no existe la integral de f sobre B.Conviene resaltar en primer lugar algunas consecuencias útiles de esta

definición:

Proposición 1.13 Si f es medible sobre los conjunto de Borel disjuntos B1y B2 entonces f es medible sobre B1 ∪B2 (y recíprocamente) y se satisfacela igualdad:

(1.4)∫B1∪B2

f =∫B1f +

∫B2f.

Demostración. ∫B1∪B2

f =∫B1∪B2

f+ −∫B1∪B2

f−

=∫B1f+ +

∫B2f+ −

( ∫B1f− +

∫B2f−)

=∫B1f +

∫B2f,

Importante: La igualdad anterior tiene además el sentido de que un miem-bro de la misma está bien definido si y sólo si el otro lo está. Esto no siempreocurre, de hecho hay un ejemplo particularmente importante, que da lugar a


lo que clásicamente se han denominado integrales impropias. En el Corola-rio 1.11 veíamos que para funciones medibles de 1-variable y “no negativas”era cierta la igualdad ∫ b

af = lım

y→b−

∫ y

af(t)dt.

Para funciones con signo variable puede obtenerse la siguiente extensión deese resultado:

Proposición 1.14 Sea f una función que admite integral sobre el intervalo(a, b) con a, b ∈ R, es decir

∫ ba f 6=∞−∞. Entonces,∫ b

af = lım

y→b−

∫ y

af(t)dt

Demostración. Puesto que el resultado es cierto tanto para f+ como paraf−, se tiene que∫ b

af =

∫ b

af+ −

∫ b

af− = lım

y→b−

∫ y

af+ − lım

y→b−

∫ y

af−

= lımy→b−

[∫ y

af+ −

∫ y

af−]

= lımy→b−

∫ y

af(t)dt

Es natural preguntar si la igualdad anterior es también válida cuando∫ ba f =∞−∞, en el sentido de si entonces también el segundo término tomala forma ∞−∞. La respuesta es que no y el ejemplo típico lo proporcionala función f(t) = sen t

t . Se puede probar (ver ) que∫∞

0sen tt dt =∞−∞ y sin

embargo (ver Apostol [1])

lımy→∞

∫ y

0

sen xx

= π

2 .

Si f es una función como la del ejemplo anterior i.e.,∫ ba f = ∞ − ∞

pero existe lımy→b−∫ ya f(t)dt, al valor de este límite es habitual llamarlo

integral impropia, pudiéndonos encontrar a veces con la notación∫→ba f =

lımy→b−∫ ya f(t)dt. (Análogas definiciones para

∫ b→a f,

∫→b→a f).

Proposición 1.15 Si f es una función medible y N es de medida nulaentonces

∫N f = 0.

Demostración.∫N f =

∫N f

+ −∫N f− = 0− 0 = 0.

En particular si f es una función medible de 1-variable entonces∫

[a,b] f =∫(a,b) f ≡

∫ ba f(t)dt.


El retículo vectorial L 1(B)

Definición 1.16 Si B es un conjunto de Borel, diremos que una funciónmedible sobre B pertenece a L 1(E) si f es finita e integrable sobre B i.e si|f(x)| <∞ para todo x ∈ B y −∞ <

∫B f <∞.

Las propiedades más utilizadas de L 1(B) son las siguientes:

1. Si f es una función medible sobre B, entonces f ∈ L 1(B) si y sólo si|f | ∈ L 1(B) y se satisface la fórmula

∣∣ ∫Bf∣∣ ≤ ∫

B|f |.

Demostración. Puesto |f | = f+ + f−, se tiene que

(1.5)∫B|f | =

∫Bf+ +

∫Bf−.

Por tanto∫B |f | es finita si y sólo

∫B f

+ y∫B f− son finitas, es decir si y sólo

si∫B f es finita. Además,

∣∣ ∫Bf∣∣ =

∣∣ ∫Bf+ −

∫Bf−∣∣ ≤ ∫

Bf+ +

∫Bf− =

∫B|f |.

2. Si f, g ∈ L 1(B) y f ≤ g en B entonces∫B f ≤

∫B g.

Demostración. Obviamente si f ≤ g en B entonces f+XB ≤ g+XB y fXB− ≥g−XB. Se tiene entonces:∫

B f+ ≤

∫B g

+∫B f− ≥

∫B g− ⇒

∫Bf =

∫f+ −

∫Bf− ≤

∫Bg+ −

∫Bg− =

∫Bg.

Ejercicio. Probar que si f ∈ L 1(B) y C es un conjunto de Borel tal queC ⊂ B entonces f ∈ L 1(C), pero en general

∫C f �

∫B f .

3. L 1(B) es un espacio vectorial, siendo la integral un operador linealsobre él i.e., si α, β ∈ R y f, g ∈ L 1(B) entonces

∫E(αf + βg) =

α∫E f + β

∫E g.


Demostración. Sean α, β ∈ R y f, g ∈ L 1(B). Se tiene entonces :

0 ≤∫B|αf + βg| ≤

∫B

(|α||f |+ |β||g|) = |α|∫B|f |+ |β|

∫B|g| <∞.

Vamos a probar la igualdad∫B(f + g) =

∫B f +

∫B g (de forma análoga

se procedería para probar que∫B(λf) = λ

∫B f). Teniendo en cuenta las

relaciones f = f+− f−, g = g+− g−, f + g = (f + g)+− (f + g)−, podemosescribir

(f + g)+ − (f + g)− = f+ − f− + g+ − g−,

equivalentemente

(f + g)+ + f− + g− = (f + g)− + f+ + g+.

por lo que, aplicando la aditividad del operador integral para funciones me-dibles no negativas, se tiene que∫

B(f + g)+ +

∫Bf− +

∫Bg− =

∫B

(f + g)− +∫Bf+ +

∫Bg+.

Como las funciones f , g y f + g son integrables, todos los sumandos ante-riores son 6=∞, luego∫

B(f + g)+ −

∫B

(f + g)− =∫Bf+ −

∫Bf− +

∫Bg+ −

∫Bg−,

es decir∫B(f + g) =

∫B f +

∫B g.

Proposición 1.17 Si f es una función medible y acotada sobre un conjuntode Borel B de medida finita, entonces f ∈ L 1(B).

Demostración. Si |f(x)| ≤ M para todo x ∈ B, entonces |f |XB ≤ MXB.Luego ∫

B|f | =

∫|f |XB ≤

∫MXB = Mm(B) <∞.

Es decir f es integrable sobre B.

Corolario 1.18 Toda función continua sobre un compacto es integrablesobre él.

Demostración. Si f es una función continua sobre el compacto K, entoncesf está acotada en el conjunto de medida finita K, luego es integrable sobreK según el criterio anterior.


5. Primitivas e Integrales

Todos sabemos de la relación entre primitivas e integrales para funcio-nes de 1-variable. La formulación precisa de esta relación la da el teoremafundamental del cálculo integral. Nosotros sólo veremos aquí la versión másclásica de este teorema que es para funciones continuas (ver [3] para el casogeneral).

Definición 1.19 Sea I un intervalo de R y f una función de I en R. Si Fes una función tal que F ′(x) = f(x), para cada x de I, se dice que F es unaprimitiva de la función f en I.

Observemos en primer lugar que dos primitivas de una misma funciónen un intervalo se diferencian en una constante . En efecto, si F ′ = G′ en Ientonces (F −G)′ = 0, luego F −G es constante en I.

Proposición 1.20 i) Toda función continua en un intervalo (de cual-quier tipo: abierto, cerrado,..., acotado, no acotado,...) de R admiteuna primitiva sobre él.

ii) (Fórmula de Barrow) Si f es continua en el intervalo I y G es unaprimitiva de f en I y el intervalo cerrado [a, b] ⊂ I, entonces

∫ b

af(t)dt = G(b)−G(a).

Demostración. i) Sea c ∈oI y definamos

F (x) ={∫ x

c f(t)dt si c ≤ x−∫ cx f(t) si c > x,

y vamos a ver primero que F ′+(x0) = f(x0) cualquiera que sea x0 ∈ I i.e.,que ∣∣∣∣F (x0 + h)− F (x0)

h− f(x0)

∣∣∣∣tiende a 0 cuando h → 0+. Observar que tanto si x0 ≥ c como si x0 < c se

1F Integración de Funciones de Varias variables 15

tiene que para h > 0, F (x0 + h)− F (x0) =∫ x0+hx0

f(t)dt, y por tanto∣∣∣∣F (x0 + h)− F (x0)h

− f(x0)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣F (x0 + h)− F (x0)− hf(x0)h

∣∣∣∣= 1h

∣∣∣∣∣∫ x0+h

x0f(t)dt−

∫ x0+h

x0f(x0)dt

∣∣∣∣∣= 1h

∣∣∣∣∣∫ x0+h

x0(f(t)− f(x0))dt

∣∣∣∣∣ ≤ 1h

∫ x0+h

x0|f(t)− f(x0)|dt

Teniendo en cuenta que f es continua en x0, dado ε > 0 existe δ > 0 tal quesi |t−x0| < δ entonces |f(t)− f(x0)| ≤ ε. Por tanto de lo anterior se deduceque si 0 < h < δ entonces:∣∣∣∣F (x0 + h)− F (x0)

h− f(x0)

∣∣∣∣ ≤ 1h

∫ x0+h

x0εdt = ε.

ii) Si G es una primitiva de f en I, entonces G(x) = F (x) + k luego

G(b)−G(a) = F (b)− F (a) =

∫ bc f −

∫ ac f si c ≤ a < b∫ b

c f +∫ ca f si a < c ≤ b

−∫ cb f +

∫ ca si a < b < c.

=∫ b

af.

Ejercicios1A Probar que si la función f : [a, b] → R es derivable entonces la función f ′,derivada de f , es una función medible.

1B Si f, g son funciones integrables ¿son integrables las funciones f∧g, f∨g, fg?.

1C Probar que la gráfica de una función medible f : Rn → R es un conjunto demedida nula.indicación. Gra (f) ⊂ Ord (f + 1/p) \Ord (f).

1D Sean f, g funciones medibles estrictamente positivas. Probar quef

1 + fg∈ L 1 ⇔ ınf

(f,

1g

)∈ L 1.

1E Demostrar que si f es una función integrable en R y existe lımx→∞ f(x) enton-ces este límite vale 0. Dar algún ejemplo de una función integrable que no admitalímite en el infinito.

1F Sea f ∈ L 1(R) derivable en 0 y tal que f(0) = 0. Probar que la funcióng(x) = f(x)/x es integrable en R.

16 Integración de Funciones de Varias variables 1G

1G Demostrar que si f es una función medible no negativa que toma el valor 1 enun conjunto de puntos de medida infinita, entonces

∫f =∞.

1H Estudiar la integrabilidad en el intervalo [0, 1] de las funciones

f(x) = sen 1/x, g(x) = x− 1ln x .

1I Estudiar la integrabilidad de las funciones

e1/x sen x, x ∈ [0, 1]; ln xx2 − ln x,

ln x√x(1 + x)

, x ∈ (0,∞)

1x(ln x)2 , x ∈ [e,∞]

1J Obtener una primitiva en todo R para la función f(x) = e−|x| y calcular∫R f .

Capítulo 2

Cálculo Integral

1. El Teorema de la Convergencia DominadaLos dos teoremas de convergencia básicos en la integración son el teo-

rema de la convergencia monótona (Lema 3), que vimos el capítulo y elde la convergencia dominada, que veremos ahora. En ambos se establecencondiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedanpermutar los símbolos “

∫” y “ lım ”, es decir para que

(2.1) lım∫Bfk =

∫B

lım fk.

El de la convergencia monótona es para funciones no negativas y el de laconvergencia dominada para funciones integrables.

Es fácil encontrar ejemplos de sucesiones de funciones integrables sobreun conjunto B que converjan puntualmente (e incluso uniformemente) auna función, pero que las sucesiones de integrales sean no convergentes o noconverjan a la integral del límite:

Ejemplos 2.1 (1) Consideremos la sucesión {fp} definidas en en [0, 1] por

fp(x) ={p sen(px) si 0 ≤ x ≤ π/p0 si x ≥ π/p.

Es fácil ver que la sucesión converge puntualmente a 0 en [0, 1] y que∫ 1

0 fp =− cos(px)

]π/p0 = 2,∀p. Luego lımp→∞

∫ 10 fp 6=

∫ 10 (lım fp).

(2) Sea ahora

fp(x) ={p3x sen p(1− p2x2) si 0 ≤ x ≤ 1/p0 si x ≥ 1/p.

17

18 Cálculo Integral 2.1

De nuevo esta sucesión converge puntualmente a 0 en [0, 1], pero ahora lasucesión de integrales no converge, pues

∫ 10 fp = 1/2 cos p(1 − p2x2)

]1/p0 =

1/2(1− cos p).

Antes de establecer los resultados de este tema, veremos otra buenapropiedad de las funciones medibles:

Lema 2.2 Si {fp} es una sucesión de funciones medibles que converge encada punto del conjunto medible B a la función f , entonces f es mediblesobre B.

Demostración. Basta tener en cuenta si {fp(x)} → f(x) para cada x ∈ B,entonces

{x ∈ B : f(x) > α} = ∪r ∪k ∩p≥k{x ∈ B : fp(x) > α+ 1/r}.

Teorema 2.3 Sea {fp} una sucesión de funciones medibles sobre B queconverge puntualmente a la función f y supongamos que existe una funciónF integrable sobre B tal que |fp| ≤ F para todo p, entonces(a) f es integrable sobre B.

(b)∫Bf = lım

∫Bfp.

Demostración. De la condición |fp| ≤ F y la convergencia puntual de lasucesión {fp} hacia la función f , se deduce trivialmente que |f | ≤ F en B,lo que implica (por ser F integrable sobre B) que cada función fp y f sonfunciones de L 1(B).

Consideremos la sucesión

gp(x) = supk≥p|fk(x)− f(x)|.

Es fácil ver que {gp} es una sucesión decreciente de funciones medibles sobreB que converge puntualmente 0 en B. Además estas funciones son integra-bles sobre B, ya que 0 ≤ gp ≤ 2F . Aplicando entonces el teorema de laconvergencia monótona a la sucesión

0 ≤ g1 − g2 ≤ g1 − g3 ≤ . . . → g1,

se tiene que∫B gp → 0. Finalmente, teniendo en cuenta que∣∣ ∫

Bfp −

∫Bf∣∣ ≤ ∫

B|fp − f | ≤

∫Bgp,

se deduce que lımp→∞∫B fp =

∫B f.

2.5 Cálculo Integral 19

Como es bien conocido, en integración Riemann, la convergencia unifor-me de una sucesión de funciones integrables sobre un intervalo compactoes una condición suficiente para la convergencia de la sucesión de integraleshacia la integral del límite de la sucesión. Este resultado se extiende paravarias variables (de hecho el mismo no es más que un caso particular delteorema de la convergencia dominada).

Proposición 2.4 Sea B un conjunto medible y de medida finita, y sea {fp}una sucesión de funciones en L 1(B), que converge uniformemente sobre Ba una función f , entonces f ∈ L 1(B) y

∫B f = lımp→∞

∫B fp.

Demostración. De la hipótesis se deduce que, dado ε > 0, existe un índiceν tal que si p ≥ ν entonces |fp(x)− f(x)| ≤ ε, para todo x ∈ B. Luego

1. |f(x)| ≤ |fp(x) − f(x)| + |fp(x)| ≤ ε + |fp(x)| en B ⇒∫B |f | ≤∫

B(ε+ |fp|) = εm(B) +∫B |fp| <∞. Luego f ∈ L 1(B).

2. Si p ≥ ν, |∫B fp −

∫B f | ≤

∫B |fp − f | ≤ εm(B). Es decir

∫B f =

lımp→∞∫B fp.

Nota. El resultado puede no ser cierto cuando se trabaja en intervalos nocompactos:

Consideremos la sucesión {fp} de funciones definidas en R por

fp(x) ={

1/p si |x| ≤ p0 si |x| ≥ p.

Es claro que la sucesión {fp} converge uniformemente a 0 en R, sin embargo,la integral del límite y el límite de las integrales no coinciden, pues para cadap,∫fp = 2, luego lımp→∞

∫fp = 2 mientras que la integral del límite es igual

a 0.

Ya hemos visto que la integral de una serie de funciones medibles y no-negativas coincide con la serie de las integrales (propiedad 5 de la integraciónde funciones medibles no-negativas). Esto no es verdad, en general, parafunciones integrables. Sin embargo, como consecuencia del teorema de laconvergencia dominada podremos obtener un importante caso particular enel que sí es posible permutar la integral con la suma.

Corolario 2.5 Sea {fp} una sucesión de funciones medibles sobre un con-junto de Borel B, y supongamos que la serie

∑∫B |fp| es convergente, en-

tonces:


a) La serie∑fp(x) es convergente para casi todo x ∈ B i.e. el conjunto

{x ∈ B : la serie∑fp(x) no converge} es de medida nula.

b)∫B

∑fp =

∑∫B fp.

Demostración. Vamos a probar primero b) dando por válido a) y, más exac-tamente, que la serie

∑fp(x) converge absolutamente para casi todo x ∈ B,

es decir que el conjunto (de Borel) N = {x ∈ B :∑|fp(x)| =∞} es de me-

dida nula. De acuerdo con esto la función f(x) =∑fp(x) está definida en

B \N y m(N) = 0. Vamos a aplicar el teorema de la convergencia dominadaa la sucesión g1 = f1; g2 = f1 + f2; . . . de las sumas parciales de la serie∑fp. (convergente en B \N a f). Como |gp| ≤

∑pj=1 |fj | ≤

∑∞j=1 |fj | = F,

y F ∈ L 1(B \N):∫B\N

F =∫BF =

∫B

∑|fj | =

∑∫B|fj | <∞,

se deduce de dicho teorema que

i) f =∑fp ∈ L 1(B \N).

ii)∫B f =

∫B\N f =

∫B\N

∑fp =

∑∫B\N fp =

∑∫B fp.

Observemos que nos estamos refiriendo a∫B f a pesar de que f sólo está

definida en B \N . Cuando hacemos esto suponemos que la restricción de fa N es cualquier función medible sobre N (por ejemplo f(x) = 0, ∀x ∈ N).Puesto que

∫N f = 0 es obvio que

∫B f =

∫B\N f .

La prueba de a) es una consecuencia directa de aplicar el lema siguientea la función integrable F .

Lema 2.6 Si una función ϕ es integrable sobre el conjunto de Borel B,entonces el conjunto N = {x ∈ B : |ϕ(x)| =∞} es un conjunto de Borel demedida nula, con otras palabras ϕ es finita en casi todo punto de B o casisiempre en B (abreviadamente en c.t.p de B ó c.s. en B).

Demostración. Para cada p = 1, 2, . . . , sea Np = {x ∈ B : |ϕ(x)| ≥ p}.Puesto que N = ∩∞p=1Np y los Np son conjuntos de Borel, se deduce queN es también de Borel. Para probar que m(N) = 0 basta tener en cuentaque N ⊂ Np para todo p y que m(Np)→ 0. En efecto, como

∫B |ϕ| <∞, se

tiene que ∫B|ϕ| ≥

∫Np|ϕ| =

∫|ϕ|XNp ≥

∫pXNp = pm(Np)

⇒ m(Np) ≤ 1/p∫B|ϕ| → 0.


Integrales dependientes de un parámetroLlamaremos integral dependiente de un parámetro a toda expresión del

tipo∫B ϕ(t, x)dx, donde B es un conjunto de Borel de Rn, t (el parámetro)

pertenece a un intervalo J de R y ϕ(t, x) es una función real e integrablerespecto a x cualquiera que sea t ∈ J (i.e perteneciente a L 1(B)). Todaintegral paramétrica define por tanto una función de J en R,

g(t) =∫Bϕ(t, x)dx, t ∈ J.

A continuación estableceremos condiciones para que g sea continua o deri-vable.

Teorema 2.7 Con las condiciones y notaciones que se acaban de establecer,sea t0 un punto del intervalo J o bien un extremo de J (en caso de que Jsea no acotado puede ser t0 = ±∞). Si se satisfacen las condiciones:

i) existe lımt→t0 ϕ(t, x), para todo x ∈ B;ii) existe una función F ∈ L 1(B) y un entorno J0 de t0 tal que |ϕ(t, x)| ≤

F (x), para todo t ∈ J ∩ J0,

entonces lımt→t0 g(t) existe y se tiene que

lımt→t0

g(t) =∫B

lımt→t0

ϕ(t, x)dx.

Demostración. Para probar esto bastará con que para cada sucesión {tp}de puntos de J ∩ J0 que tienda a t0 exista lımt→t0{g(tp)} y su valor seajustamente

∫B lımt→t0 ϕ(t, x)dx. Sea pues {tp} → t0. Puesto que existe, por

hipótesis, lımt→t0 ϕ(t, x) para todo x ∈ B, se tiene que lımt→t0 ϕ(t, x) =lımp→∞ ϕ(tp, x), o sea que si denotemos

fp(x) = ϕ(tp, x), f(x) = lımt→t0

ϕ(t, x),

entonces lımp→∞ fp(x) = f(x). Como además |fp(x)| = |ϕ(tp, x)| ≤ F (x),podemos aplicar a la sucesión {fp} el teorema de la convergencia dominada.Luego f ∈ L 1(B) y lımp→∞

∫B fp =

∫B f i.e.∫

Blımt→t0

ϕ(t, x)dx =∫Bf = lım

p→∞

∫Bϕ(tp, x)dx = lım

p→∞g(tp).


Teorema 2.8 Con las condiciones y notaciones del preámbulo y suponiendoque J es un intervalo abierto, si t0 es un punto de J para el cual existe unentorno J0 ⊂ J tal que:

i) existe ∂ϕ∂t

(t, x), para todo x ∈ B y todo t ∈ J0;

ii) existe una función G ∈ L 1(B) tal que

∣∣∂ϕ∂t

(t, x)∣∣ ≤ G(x), ∀x ∈ B, t ∈ J0

entonces g es derivable en t0 y

g′(t0) =∫B

∂ϕ

∂t(t0, x)dx.

Demostración. Para t 6= t0 denotemos

h(t) = g(t)− g(t0)t− t0

, ψ(t, x) = ϕ(t, x)− ϕ(t0, x)t− t0

.

De la hipótesis i) y de que ϕ(t, x) es integrable sobre B para todo t ∈ J ,se deduce que ψ(t, x) también es integrable y que existe lımt→t0 ψ(t, x) =∂ϕ

∂t(t0, x), luego, teniendo en cuenta que

h(t) = g(t)− g(t0)t− t0

=∫B

ϕ(t, x)− ϕ(t0, x)t− t0

dx =∫Bψ(t, x)dx,

vamos a probar que lımt→t+0h(t) = lımt→t−0

h(t) =∫B lımt→t0 ψ(t, x). Para

ello veremos que la función h satisface las hipótesis del teorema anterior enlos intervalos (t0,∞)∩ J0 y (−∞, t0)∩ J0. En efecto, usando la hipótesis ii)y el teorema del valor medio en [t0, t], t ∈ J0 se sigue que existe t′x ∈ (t0, t)tal que

ψ(t, x) = ϕ(t, x)− ϕ(t0, x)t− t0

= ∂ϕ

∂t(t′x, x),

|∂ϕ∂t

(t′x, x)| ≤ G(x),

es decir |ψ(t, x)| ≤ G(x) si t ∈ (t0,∞) ∩ J0. Por tanto lımt→t+0h(t) =∫

B lımt→t0 ψ(t, x). Y análogamente lımt→t−0h(t) =

∫B lımt→t0 ψ(t, x).

2D Cálculo Integral 23

Corolario 2.9 Si ϕ es función (con valores en R) y clase C1 en J × B,siendo J un intervalo abierto y B un compacto de Rn entonces la funcióng(t) =

∫B ϕ(t, x)dx, es de clase C1 sobre J y

g′(t) =∫B

∂ϕ

∂t(t, x)dx

Demostración. La función x→ ϕ(t, x) es continua sobre B que es compactoy por tanto es integrable sobre B. Para probar que g es derivable en cadapunto t0 ∈ J aplicaremos el Teorema 2.8:

Puesto que ∂ϕ∂t es continua en J × B, es continua, en particular, en el

compacto [t0 − r, t0 + r] × B ⊂ J × B (para algún r > 0) y por lo tantoacotada i.e., existe alguna constante M tal que

|∂ϕ∂t

(t, x)| ≤M, t ∈ [t0 − r, t0 + r] = J0, x ∈ B.

Puesto que la función G(x) = M es integrable sobre B (B es compacto), elcorolario se deriva ya de dicho Teorema 2.8.

Ejercicios2A Estudiar y calcular, cuando sea posible, los siguientes límites

lımk→∞

∫ ∞0

k

kx2 +√x, lım

k→∞

∫ ∞0

k

(x+ k)2 + kx2

lımk→∞

∫ ∞0

x

x3 + k cos2 x, lım

k→∞

∫ ∞0

sen2 kx

x2 + k2 sen2 x

2B Demostrar que si f es una función integrable entonces

lımm→∞

∫ ∞0

e−m sen2 x · f(x) = 0.

2C Sea f(x) =∑∞p=1

1− cosx2p . Calcular

∫ π0 f y

∫∞0 f .

2D Probar que ∫ 1

0ln 1

1− xdx =∫ 1

0

∞∑p=1

xp

p=∞∑p=1

1p

∫ 1

0xp = 1.

24 Cálculo Integral 2E

2E Sea f(x) ={

sen xx si x 6= 0

1 si x = 0.Probar que

f(x) =∞∑p=0

(−1)p x2p

(2p+ 1)!∫ x

0f(t)dt =

∞∑p=0

(−1)p x2p+1

(2p+ 1)(2p+ 1)!

2F Demostrar que∫ ∞0

(∑ sen px2 sen x+ p6x3

)dx =

∑∫ ∞0

sen px2 sen x+ p6x3 dx.

2G 1. Obtener mediante una doble integración por partes la función g(t) =∫∞0 e−x sen(tx)dx.

2. Probar que g se puede derivar en cada punto t ∈ R bajo el signo integral ycalcular entonces

∫∞0 xe−x cos(tx)dx.

2H Sea ϕ(t, x) = sen txx

con t ∈ R, x ∈ (0, 1).

1. Demostrar que para todo t ∈ R, la función ϕ es integrable respecto a x en(0, 1) es decir, la integral

∫ 10

sen txx dx es finita para todo t.

2. Sea g(t) =∫ 1

0 ϕ(t, x)dx. Probar que g es derivable en todo punto t ∈ R ycalcular g′(t).

2I Sea g(t) =∫∞

0x+tx3+tdx.

Comprobar que g está bien definida en (0,∞) y además es continua en esteintervalo. ¿Cuánto vale lımt→∞ g(t)? ¿Y lımt→0 g(t).

2J Teniendo en cuenta que ∂

∂t[tg(tx)] = x

cos2(tx) ,

calcular ∫ 1

0

x

cos2(tx)dx,

para t ∈ (−π/2, π/2).


2. El Teorema de Fubini-TonelliVeremos a continuación que el cálculo de una integral múltiple se reduce al

de integrales simples. Concretamente se va a probar que si f(x, y) es una funciónmedible de n + k variables, que no cambia de signo o que es integrable, entonceslas integrales iteradas

(2.2)∫ ( ∫

f(x, y) dy)dx ,

∫ ( ∫f(x, y) dx

)dy

existen y son iguales, siendo su valor precisamente∫f . Por tanto repitiendo el

proceso tantas veces como sea necesario, el cálculo de∫f se reducirá al de ciertas

integrales simples.

El teorema de TonelliEl primer caso que vamos a considerar en el que se da la igualdad entre la

integral de una función y sus integrales iteradas, es el de funciones Borel-mediblesno negativas.

Teorema 2.10 Sea f : Rn × Rk → [0,+∞] B-medible. Entonces:

1. La función de la variable y ∈ Rk, f(x,−) : y → f(x, y), es [y]-medible parax ∈ Rn.

2. La función g(x) =∫f(x, y) dy, es [x]-medible.

3. la integral de f y las integrales iteradas de f coinciden, es decir∫f(x, y) dx dy =

∫g(x) dx =

∫(∫f(x, y) dy) dx.

Demostración. Denotemos por T al conjunto de las funciones medibles y no ne-gativas que satisfacen las tres condiciones del teorema de Tonelli. Obviamente, loque se trata de probar es que cualquier f ≥ 0 y medible pertenece a T . Para elloobservemos en primer lugar que el conjunto T tiene las siguientes propiedades:

i) Si las funciones f, g ∈ T entonces af + bg ∈ T cualesquiera que sean losnúmeros reales positivos a, b.(Ejercicio)

ii) Si {fp} es una sucesión monótona creciente de funciones de T , que convergepuntualmente a la función f (0 ≤ fp ↗ f), entonces f ∈ T .

La prueba de (ii) consiste en aplicar sucesivamente el teorema de la convergenciamonótona:

a la sucesión de funciones de y que se obtienen al fijar x (para cada x ∈ Rn).Obviamente 0 ≤ fp(x,−) ↗ f(x,−) y puesto que cada fp ∈ T , se trata deuna sucesión de funciones [y]-medibles . Luego su límite “f(x,−) es también[y]-medible” y

∫f(x, y) dy = lımp→∞

∫fp(x, y) dy.


a la sucesión de funciones de x, gp(x) =∫fp(x, y) dy ([x]-medibles ya que

fp ∈ T ). Como 0 ≤ gp(x) ↗ g(x) =∫f(x, y) dy, se tiene que “g(x) =∫

f(x, y) dy es [x]-medible” y∫ ( ∫f(x, y) dy

)dx =

∫g(x) dx = lım

p→∞

∫gp(x) dx

= lımp→∞

∫ ( ∫fp(x, y) dy

)dx.

A la sucesión de funciones {fp}, [x, y]-medibles por hipótesis. Entonces∫f(x, y) dx dy = lımp→∞

∫fp(x, y) dx dy, siendo este límite igual a

lımp→∞

∫ ( ∫fp(x, y) dy

)dx

(ya que fp ∈ T ) y, según lo anterior, igual también a∫ ( ∫

f(x, y) dy)dx.

Esto prueba que f ∈ T .Observemos entonces que, después de lo anterior, la demostración de que cada

función medible no negativa satisface el teorema de Tonelli, se reduce a probar queesto es verdad para las funciones del tipo f = XB , con B un conjunto de Borel. Enefecto, si XB ∈ T para todo conjunto de Borel B, entonces por la propiedad i) deT toda función simple no negativa s =

∑pi=1 biXBi

pertenece a T . Finalmente sif es no negativa y medible sabemos que existe una sucesión de funciones simples0 ≤ sp ↗ f , por lo que de la propiedad ii) de T se deduce que f ∈ T .

Veamos pues si B ⊂ Rn+k es un conjunto de Borel entonces el teorema deTonelli se satisface para la función XB :

1. Fijemos x ∈ Rn y denotemos por B(x) = {y ∈ Rk : (x, y) ∈ B}. Es obvio quela función de y, XB(x,−) es igual a XB(x) y, por tanto, será [y]-medible si y sólo siB(x) es un conjunto Borel. Para demostrar esto basta observar que B(x) = T−1(B)siendo T la aplicación continua de Rk en Rn × Rk definida por T (y) = (x, y).

2. Sea g(x) =∫XB(x, y)dy =

∫XB(x)dy = m(B(x)). Hemos de probar que g es

[x]-medible cualquiera que sea B.Supongamos en primer lugar que B es un semintervalo, es decir B = I × J con

I un semintervalo de Rn y J un semintervalo de Rk. Entonces es claro que

B(x) ={J si x ∈ I∅ si x 6∈ I.

=⇒ m(B(x)) ={m(J) si x ∈ I0 si x 6∈ I.

Luego g(x) = m(B(x)) = m(J)XI(x) que es una medible ya que es simple.Supongamos ahora que B es un conjunto abierto. Escribiendo entonces B como

unión numerable de semicubos disjuntos, es decir B = ∪pCp, se tiene que B(x) =∪pCp(x) siendo obviamente los conjuntos Cp(x) intervalos disjuntos dos a dos. Portanto

g(x) = m(B(x)) =∑

m(Cp(x)).


Puesto que, al ser Cp semintervalos, las funciones gp(x) = m(Cp(x)) son funcionesmedibles, se deduce que g es medible por ser una serie de funciones medibles.

Ahora probaremos que si B es un conjunto de Borel y U un abierto acotadoentonces la función g(x) = m((B∩U)(x)) es medible. Sea A la familia de conjuntosde Borel con esta propiedad. A es una σ-álgebra pues trivialmente ∅ y Rn × Rkestán en A y si Bp es una colección numerable de conjuntos de A disjuntos entoncestambién son disjuntos los conjuntos (Bp ∩ U)(x) luego

m(((∪Bp) ∩ U)(x)) = m(∪(Bp ∩ U)(x)) =∑

m((Bp ∩ U)(x)).

Se tiene pues que la función g(x) = m(((∪Bp) ∩ U)(x)) es la suma de una seriede funciones medibles y por tanto también medible. Luego ∪Bp ∈ A . Veamos, porúltimo, que A es cerrada respecto al paso a complementarios: si B ∈ A entonces

m((Bc ∩ U)(x)) = m((U \B ∩ U)(x)) = m(U(x) \ (B ∩ U)(x))= m(U(x))−m((B ∩ U)(x)).

(Observar que en lo anterior se ha usado el hecho de U es un conjunto acotado).Luego la función g(x) = m((Bc ∩ U)(x)) es medible por ser diferencia de dosfunciones medibles. Resulta por tanto que A es una σ-álgebra que contiene a losabiertos, luego debe coincidir con la σ-álgebra de Borel.

Finalmente veamos que g(x) = m(B(x)) es medible para cada conjunto de BorelB. Sea U1 ⊂ U2 ⊂ . . . una sucesión de abiertos acotados que recubran Rn × Rk.Entonces es claro que m(B(x)) = lımp→∞m((B ∩Up)(x)). Luego, de lo visto en laetapa anterior, se deduce que la función g(x) = m(B(x)) es medible.

3. Sólo queda probar la fórmula∫XB(x, y)dxdy =

∫g(x) dx =

∫ ( ∫XB(x, y)dy

)dx

=∫ ( ∫

XB(x)dy)dx =

∫m(B(x))dx.

Puesto que∫XB(x, y)dxdy = m(B), bastará probar que si definimos µ(B) =∫

m(B(x))dx, entonces µ es una medida sobre la σ-álgebra de Borel de Rn × Rkque coincide con la de Lebesgue sobre los intervalos. En efecto, si {Bp} es una co-lección numerable de conjuntos de Borel disjuntos, entonces también son disjuntoslos conjuntos de Borel Bp(x) y las funciones m(Bp(x)) son [x]-medibles, luego

µ(∪Bp) =∫m(∪Bp(x))dx =

∫ ∑m(Bp(x))dx

=∑∫

m(Bp(x))dx =∑

µ(Bp).

Si B es el semintervalo I × J , ya sabemos (lo veíamos más atrás en el punto2.) que g(x) = m(B(x)) = m(J)XI(x), luego µ(B) =

∫m(B(x))dx =

∫m(J)XI =

m(J)×m(I) = m(I × J) = m(B).


El teorema de FubiniComo ya señalamos al principio las integrales iteradas también coinciden con la

integral de la función cuando ésta es una función integrable. El enunciado precisode este hecho lo constituye el teorema de Fubini:

Teorema 2.11 Sea f : Rn × Rk → R integrable. Entonces:

(i) La función de la variable y ∈ Rk, f(x,−) : y → f(x, y), es [y]-integrable p.c.t.x ∈ Rn i.e., el conjunto N = {x : f(x,−) no es [y]-integrable} es un conjuntode Borel de medida nula.

(ii) Si g es una función medible, definida en cada punto x ∈ N c como g(x) =∫f(x, y) dy, entonces g es [x]-integrable.

(iii)∫g dx =

∫f (es decir la integral de f coincide con sus integrales iteradas).

Demostración. Sea f = f+ − f−. Por hipótesis f+ y f− son integrables y al sertambién no negativas, satisfacen el teorema de Tonelli, es decir∫ ( ∫

f+(x, y) dy)dx =

∫f+ < +∞ ,∫ ( ∫

f−(x, y) dy)dx =

∫f− < +∞,

por tanto, si g1(x) =∫f+(x, y) dy, y g2(x) =

∫f−(x, y) dy, se tiene que g1 y g2

son funciones de x integrable y en consecuencia finitas c.s.(ver Lema 2.6) i.e. elconjunto N de los x tales g1(x) = ∞ o g2(x) = ∞ es un Borel de medida nula.Luego si x ∈ N c las funciones de y, f+(x,−) y f−(x,−) son integrables y por lotanto también f(x,−) = f+(x,−) − f−(x,−) . Si g está definida en cada x ∈ N c

por g(x) =∫f(x, y)dy, entonces en N c, g(x) = g1(x)− g2(x) luego g es integrable

(lo es sobre N c y por tanto en Rn ya que m(N) = 0). Por último,∫f =

∫f+ −

∫f− =

∫ ( ∫f+(x, y) dy

)dx−

∫ ( ∫f−(x, y) dy

)dx

=∫Nc

( ∫f+(x, y) dy −

∫f−(x, y) dy

)dx

=∫Nc

( ∫(f+(x, y)− f−(x, y)) dy

)dx

=∫Nc

( ∫f(x, y) dy

)dx =

∫g(x)dx.

Nota. Para aplicar el teorema de Fubini-Tonelli a funciones cuyo dominio no estodo Rn+k, basta tener en cuenta la fórmula∫

B

f =∫fXB .

2N Cálculo Integral 29

Por tanto, si f ≥ 0 o integrable sobre el conjunto medible B, se tiene que∫B

f =∫fXB =

∫ ( ∫B(x)

f(x, y)dy)dx =

∫A

( ∫B(x)

f(x, y)dy)dx,

donde A = {x ∈ Rn : m(B(x)) > 0}. Los conjuntos A y B(x) son “los límites deintegración”, y el proceso descrito para su obtención será el que se seguirá habi-tualmente en la práctica.

Ejercicios2K Consideremos la función

f(x, y) = y2 − x2

(x2 + y2)2 .

Probar las dos integrales iteradas de f sobre el conjunto B = [0, 1] × [0, 1] existenpero son diferentes.

2L Sea f una función medible. Probar que f es integrable si y sólo si alguna delas integrales iteradas de la función |f | es finita.

2M Determinar el recinto B para que∫B

f(x, y)dxdy =∫ 1

0

( ∫ x

x2f(x, y)dy

)dx

2N (a) Probar que en las condiciones de aplicabilidad del teorema de Fubini-Tonelli, se tiene que∫ b

a

( ∫ x

a

f(x, y)dy)dx =

∫ b

a

( ∫ b

y

f(x, y)dx)dy

(b) Deducir que si f(x, y) = f(y, x) en el rectángulo B = [a, b] × [a, b] entoncesel valor común de las integrales anteriores es

12

∫B

f(x, y)dxdy.

(c) En particular, demostrar que si a > 0 entonces∫ a

0

( ∫ a

x

f(y)y

dy)dx =

∫ a

0f(x)dx.

30 Cálculo Integral 2P

2Ñ Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones

f(x) = 1x√

1− x, g(x) = 1

x

y la recta x = 1.

2O Hallar ∫D

yzdxdydz,

donde D es el recinto limitado por los planos coordenados y los planos x+ y = 1 yz = 4.

2P Calcular ∫B

sen(x+ y)dxdy,

donde B = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y; 0 ≤ y ≤ 1; x+ y ≤ π/2}.

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