FUNCIONES VECTORIALES

y

x

r(t)P

r(t) Q

r(t+t)

r

Vector velocidad

FUNCIONES VECTORIALES

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1

1

1

v0

vv

v

a

a

a

y0

altura inicial

v0 - v e lo c i d a d i n i c i a l

INDICE

FUNCIONES VECTORIALES___________________3

FUNCIÓN VECTORIAL_________________________________________________4

Dominio de una función vectorial_______________________________________________5

Operaciones con funciones vectoriales__________________________________________6

Límites y Continuidad________________________________________________________6

Derivación de funciones vectoriales_____________________________________________7

Integración de funciones vectoriales____________________________________________9

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN_______________________10

Definición de velocidad, aceleración y rapidez___________________________________11

Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico_____________________________________13

Vectores tangentes y vectores normales________________________________________17

Vector aceleración – componentes tangencial y normal____________________________23

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA___________________________________26

Longitud de arco___________________________________________________________27

Curvatura________________________________________________________________29


2

FUNCIONES VECTORIALES

En el capítulo anterior, cuando describimos la recta en el espacio, utilizamos un parámetro en las ecuaciones para encontrar las coordenadas de los puntos que conforman esa recta.

cada coordenada depende de el valor que le demos al parámetro t, en otras palabras, cada una está en función de t.

¿Qué pasa si a cada punto de la recta le asignamos un vector de posición Tendríamos un vector para cada valor de t, o sea que es, a su

vez, una función de t.

Por ejemplo, para la recta con ecuaciones paramétricas , la posición de

cada uno de sus puntos esta dada por , si tabulamos dádole valores a t para encontrar algunos vectores tenemos

t punto

-2

-1

0

1

2

x

z

y

5

1 5

-3

A

E

C

D

B

Recta


3

la recta dada por

FUNCIÓN VECTORIAL

Cualquier función de la forma se

conoce como función vectorial, con f, g y h como funciones reales del parámetro t. ( se conocen como las funciones componentes de )

En el plano, la función vectorial es .

En el ejemplo anterior, tanto f como g y h son funciones lineales de t por ésto la grafica de es una recta. Podemos usar una función vectorial para trazar una curva y además describir su trayectoria (cómo se dibuja cuando t crece).

En otro ejemplo. Sea la función vectorial .

Si entonces y por lo

tanto . Que es la ecuación de una parábola en el plano xy.

Algunos de los vectores: , , ,

, .

La curva representada por :

¿Cómo sería la curva ? Encontremos algunos vectores:

, , , ,

. Pasa por los mismos puntos que la curva de la función anterior ¿Qué cambió? Cambia el sentido del trazo, ahora es de derecha a izquierda conforme t crece.

Para la curva definida por la función con donde

. . Sumemos los cuadrados de cada función componente de

: . La gráfica es

de un círculo de radio 1 centrado en el origen.

,

, ,


4

1

1

x

y

r(-2) r(2)

1

1

x

y

r(2)r(-2)

x

y

r1

r3

r2

r5r6

r7

1r0-1 r8

1

r4

círculo unitarior(t)=<cos t, sen t>

, ....

es la función de una curva en el espacio. Calculemos

algunos de sus puntos para . ( en incrementos de rad)

t

0 1.00 0.00 0.000.262 0.87 1.50 0.260.524 0.50 2.60 0.520.785 0.00 3.00 0.791.047 -0.50 2.60 1.051.309 -0.87 1.50 1.311.571 -1.00 0.00 1.571.833 -0.87 -1.50 1.832.094 -0.50 -2.60 2.092.356 0.00 -3.00 2.362.618 0.50 -2.60 2.622.880 0.87 -1.50 2.883.142 1.00 0.00 3.14

Cuando t crece de 0 a 2, la curva describe una hélice haciendo dos espirales alrededor de un cilindro elíptico, la ecuación del cilindro la podemos obtener tomando las primeras dos funciones componentes de : e ,

de donde ó

Dominio de una función vectorialEl dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de sus

funciones componentes. Por ejemplo, el dominio de son los

valores reales que se encuentran en el intervalo , excepto cuando .

El domino de la función es la intersección de los

dominios de , y


5-1-2 21/4

DfDg

Dh

t

0

Dr

donde , y , o sea que

.

Operaciones con funciones vectoriales

Sean y funciones

vectoriales y un escalar:

Suma:

Diferencia:

Múltiplo escalar:

Producto escalar:

Producto vectorial:

Límites y Continuidad

El límite de una función vectorial cuando existe solo sí existen los limites en f, g y h cuando .

Una función vectorial es continua en el punto donde siempre y cuando

el exista. es continua en el intervalo I si es continua en cada

uno de los puntos del intervalo.

Ejemplo: Determinar el intervalo ( o intervalos) en que la funciön vectorial

es continua.

Solución:

El dominio de es , es decir que t puede tomar valores

mayores o iguales a ¼ excepto el 2. Probemos los límites con t= ¼ , t= 2 y t=3:


6

La función es continua en todo el dominio de , o sea que es continua en el intervalo y en el intervalo

Derivación de funciones vectoriales

Para derivar una función vectorial basta con derivar cada una de sus funciones componentes.

Definición: la derivada de una función vectorial se difine como

, siempre que el límite exista.

Para con f,g y h funciones derivables de t, entonces

Otras formas de notación para la derivada:

Ejemplo: sean las funciones y , hallar sus derivadas.

Solución: derivamos cada funcion componente

y

Propiedades de la derivada de funciones vectorialesSean y funciones vectoriales de t, f una función derivable de t y un escalar.

1. derivada de un múltiplo escalar

2. derivada de una suma/resta

3. derivada de un producto

4. derivada del producto escalar


7

5. derivada del producto vectorial

6. regla de la cadena

7. si entonces

8. derivada de la norma de

9. Si entonces .Ejemplos:

Sean las funciones vectoriales y , hallar:

a.b.

c.

d.

e.

f.

g.

Solución:

a.

b.

c.

d.

e.

f.


8

g.

Integración de funciones vectorialesAl igual que en el caso de la derivación, para integrar una función vectorial solo es necesario integrar cada una de sus funciones componentes. Definición: sea una funcion vectorial con

continuas en el intervalo cerrado [a,b], la integral indefinida de es

mientras que la integral definida en el intervalo cerrado [a,b] de es

Cuando integramos en una integral indefinida obtenemos una constante de integración , que es un vector constante y nos sirve para diferenciar una

familia de funciones vectoriales ( las primitivas de ) tal que

ó .

Ejemplo: integrar la función vectorial

Solución:

Ejemplo: integrar la función vectorial para

Solución:


9

Si conocemos la condición inicial de la función vectorial podemos aislar una de las primitivas de la familia de funciones que constituyen la integral definida de

tal que

Ejemplo: hallar la primitiva de sabiendo que

y que

Solución:

Si cuando , entonces , por lo

tanto es la

primitiva de que cumple con la condición inicial.

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Consideremos que la función vectorial indica la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una curva en el plano o el espacio en un tiempo t. Esta

posición la relacionamos con un punto en el plano ó en el espacio

donde las coordenadas x, y, z dependen, a su vez, del tiempo t, tal que , y de manera que la posición del cuerpo esta dada por la

funciónen el plano

en el espacio

Como sabemos, la velocidad promedio es la razón de cambio de posición del cuerpo en un intervalo de tiempo. Sea el cambio de posición y el intervalo

de manera que

Velocidad promedio

Conforme hacemos que el intervalo de t

sea más corto , la velocidad

promedio se irá acercando al valor que tiene la velocidad en el instante t (velocidad instantanea).


10

y

x

r(t)P

r(t) Q

r(t+t)

r

Vector velocidad

Vector velocidad: , si existe el límite.

De la sección anterior vimos que la derivada de es ,

por lo tanto la velocidad es igual a la derivada de la función posición en el plano

en el espacio

En la figura podemos notar que el vector velocidad es tangente a la curva en el punto P. La magnitud de representa la rapidez con la que se mueve el objeto en el tiempo en el que está en la posición P. La velocidad es un vector mientras que la rapidez es un escalar.

De manera análoga que como lo hicimos con la velocidad, la aceleración es la razón de cambio de las velocidades con respecto del tiempo transcurrido. Sea

el cambio de velocidad en el intervalo tal que , la

aceleración en el punto P está dada por .

Definición de velocidad, aceleración y rapidez

Sean x, y y z funciónes derivables de t y la función posición en

el plano ó en el espacio, definimos las funciones

velocidad

aceleración

rapidez caída libre de un

“puerco”

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la

función .

Hallar velocidad, aceleración y rapidez para .

Solución:

Velocidad:

Aceleración:


11

-10-5

0

5

0

10

20

-5

0

5

-10-5

0

5

0

10

20

Rapidez:

-1

0

1

3

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la

función para .

Hallar velocidad, aceleración y rapidez para

.

Solución:

Velocidad:

Aceleración:

Rapidez: Trayectoria

0 6

6

6

6

6

6

6

Vectores posición y velocidad .

Ejemplo: Dibuje la trayectoria de una partícula se mueve a lo largo de una curva

plana con función y trace los vectores velocidad y

aceleración para para .Solución: derivamos para obtener las funciones velocidad y aceleración

y , evaluamos: Vectores posición , velocidad y acleración

-1

0.5


12

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

1

1

r(0)

r(/6)

r()

r(/3)

r(/2)

r(3/2)

v(0)

v(/6)

v(/4)

v(/3)

r(/4)

v(3/2)

v(/2)

1

1

-2 3 5

r(0.5)

r(3)

r(4)

-5

r(-1)

4v(-1)

8

v(0.5) v(2)

r(2)

v(3)

-1

v(4)

Trayectoria r(t)

1

-4

5

a(-1)

a

a

a

a

x

y

2

3

Notese que la aceleración es constante y hacia abajo, de manera que, conforme la partícula se mueve hacia el vértice de la parábola, la velocidad va decreciendo en magnitud y crece de nuevo conforme se aleja del vértice.En el ejemplo anterior, podemos deducir la fórmula de la parábola que describe el movimiento usando las ecuaciones paramétricas despejando t de la primera y sustituyendo en la segunda:

ecuación:

Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico

Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.

Supongamos ahora que se lanza un proyectil desde una posición

en un ángulo de elevación y con una velocidad inicial con magnitud . Consideremos la trayectoria del proyectil en un plano vertical xy donde el suelo está a la altura del eje x.

Despreciando fricción, velocidad del viento, etc. Consideremos la acción de la gravedad como la única fuerza, despues del impulso inicial, que actúa sobre el proyectil.


13

1

1

v0

vv

v

a

a

a

y0

altura inicial

v0 - v e lo c i d a d i n i c i a l

La fuerza de la gravedad sobre el proyectil es que, de acuerdo a la 2ª.

Ley de Newton que estipula que , tenemos entonces que la aceleración

del proyectil es igual a ( g = 32.2 pie/s2 = 9.81 m/s2).

Sea la función vectorial de la aceleración del proyectil , la función que describe su velocidad la encontramos integrando

donde es un vector que representa una velocidad constante. De las

condiciones iniciales tenemos que es la velocidad cuando , o sea que

,

La velocidad del proyectil es .

Siendo y la dirección y magnitud de , podemos describirla por sus

componentes e incluirla en la función de la velocidad

Note que la componente horizontal es constante ( no depende de t) mientras

que la componente vertical es lineal y decreciente con respecto a t ( va desacelerando ).

Para describir la trayectoria del proyectil necesitamos conocer su posición la cual obtenemos integrando la función velocidad

con como un vector de posición constante. Si la posición inicial del

proyectil es , cuando entonces

La función posición del proyectil en cualquier tiempo t es

La componente horizontal es lineal en t mientras que la componente vertical es cuadrática, lo cual explica la trayectoria parabólica.


14

Ejemplo: Un atleta lanza una jabalina que inicia su recorrido desde una altura de 6 pies, con una velocidad inicial de 80 pies/s en un ángulo de 40. ¿Qué altura alcanzará la jabalina?.

Si la marca mínima para calificar a la siguiente ronda es de 200 pies. ¿Alcanzara el atleta la marca con este lanzamiento?

Solución:Tomamos la punta de la jabalina como la partícula que viaja siguiendo la trayectoria que describe

la parábola. La velocidad con la que viaja tiene dos componentes, una horizontal , constante y otra vertical que nos indica que la

rapidez con la que sube va disminuyendo hasta llegar a cero (cuando alcanza la máxima altura). Podemos calcular el instante en que llega a su punto máximo resolviendo la ecuación para t.

Sustituyendo en la componente vertical de la trayectoria:

obtenemos la altura en ese instante:

Altura máxima:

Situando el origen en el suelo justo debajo de la punta de la jabalina al instante en el que inicia el recorrido. Para saber su posición con respecto al origen al momento en que alcanza la altura máxima, sustituimos en

, donde y

Cuando alcanza su máxima altura la jabalina ha recorrido horizontalmente 98.5 pies.

Alcance máximoPara calcular el punto en el que la punta de la jabalina toca el suelo usamos la componente vertical de la trayectoria. Igualándola a cero y resolviendo para t:

- La altura en ese tiempo es cero

- resolvemos y tomamos el valor positivo de t

El alcance máximo es .

Por lo tanto el lanzamiento supera la marca requerida.


15

40o

6´

Grafica de la trayectoria de la jabalina en Excel

(Categoría varonil - Record mundial 98.48 m (323.3 ft), Record Olímpico 90.17 m (296 ft)).

Ejemplo: Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y lo dirige a un blanco situado sobre una loma de 30 m de alto y a 450 m de distancia horizontal (como se muestra en la figura). Calcule el ángulo de disparo

para que el proyectil impacte en el blanco.

Solución: Si queremos dar en el blanco, el proyectil

deberá estar en la posición en un cierto instante, o sea que

, despejamos t en la

ecuación 1, la sustituimos en la ecuación 2 y resolvemos para :

Utilizamos la identidad trigonométrica para obtener la ecuación

de segundo grado:

De donde existen 2 ángulos que resuelven el problema.


16

30 m

450 m

El tiempo que tarda el proyectil para es

El tiempo que tarda el proyectil para es

Vectores tangentes y vectores normales

Cuando representa un movimiento de una partícula en el tiempo, el vector velocidad apunta en la dirección del movimiento y es tangente a la trayectoria, como ya lo vimos e la sección anterior.

Esta característica la podemos trasladar a cualquier curva suave donde no necesariamente t represente el tiempo. La derivada es el vector tangente a la curva.

Ejemplo: Determine la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva C

representada por la función vectorial en el punto que

corresponde a .

Solución: La curva dada por es una parábola, que pasa por cuando

. La derivada de es , entonces

es un vector tangente a la curva C en el punto P.

La recta tangente a C en P es paralela al vector o sea que


17

angulo = 84.3

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0 100 200 300 400 500

angulo = 9.5

0

10

20

30

40

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

la ecuación de la recta tangente es . ( la pendiente es )

Para la recta normal, la pendiente es , la ecuación entonces es

.

Vector tangente unitario.

Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial en

un intervalo abierto I. El vector tangente unitario en t, se define como

Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario a la curva C dada por

en el punto que corresponde a .

Solución: La derivada de es

el vector tangente unitario es

para

El vector tangente unitario es

El punto de la curva cuando es


18

Ejemplo: Hallar los vectores unitarios tangentes a la curva dada por la función en los puntos correspondientes a rad.

Encuentre tambien un conjunto de ecuaciones paramétricas para cada recta tangente a la curva en esos puntos.



vector tangente unitario

en

en

en

Rectas tangentes


19

Rectas tangentes a

la hélice

Vector normal principal unitario.

En el plano, hay dos vectores ortogonales al vector tangente , uno que apunta hacia adentro de la curva y otro hacia afuera.

En el espacio, existen infinidad de vectores ortogonales a , uno de ellos es el vector normal principal que se obtiene

mediante la derivada del vector (ya sabemos que si entonces

y como entonces )

Si normalizamos a obtendremos el vector normal principal unitario

Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial en

un intervalo abierto I con como vector tangente unitario. Si , el vector normal principal unitario en t se define como

, si .

Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario y el vector normal principal a la curva

C dada por en el punto que corresponde a .



20

T(t)2 vectores ortogonales a T en el plano


para el vector tangente unitario es

La derivada de es

el vector normal principal es

para el vector normal principal es

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C

dada por en los puntos donde .

Solución:


el vector normal principal es


21

01

1

-1

2-2

3 C

T(t)N(t)

r(t)-1 1

-1

N(t)

T(t)

x

y

1

t=0

t=/6

t=/4

t=/3

t=/2

t=

todos los vectores normales apuntan hacia el centro del círculo

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C

dada por en los puntos donde .

Solución:

vector tangente unitario:

vector normal principal:


22

z

y

x

2

2

2 r(t)

T(t)

N(t)

t=0

t=/4

t=/2

t=

Los vectores normales principales de la helice

apuntan al eje z

Vector aceleración – componentes tangencial y normal

Como hemos observado en algunos de los ejemplos anteriores, el vector velocidad y el vector aceleración no siempre son ortogonales. En el caso del movimiento circular dado por , velocidad y la aceleración

son ortogonales y la rapidez es constante , esto se da

debido a que la, el vector aceleración no contribuye en nada en la dirección de la velocidad. Recordemos que si entonces .

En el problema del movimiento parabólico

vemos que la aceleración siempre es vertical ( y constante ) , mientras que la velocidad va variando su dirección el ángulo entre ambas va cambiando.

La rapidez del movimiento es variable el

vector aceleración actúa en dirección del movimiento ( positivamente, aumen-tando la velocidad o en forma negativa disminuyéndola).

r(t)-1 1

-1

N(t)

T(t)

x

y

1

t=0

t=/6

t=/4

t=/3

t=/2

t=

1

1

-2 3 5

r(0.5)

r(3)

r(4)

-5

r(-1)

4v(-1)

8

v(0.5) v(2)

r(2)

v(3)

-1

v(4)

Trayectoria r(t)

1

-4

5

a(-1)

a

a

a

a

x

y


23

Si velocidad y aceleración no son perpendiculares entonces podemos expresar al vector aceleración como la suma de 2 vectores componentes ortogonales, uno en dirección del movimiento, paralelo a la velocidad, y por lo tanto al vector tangente unitario . La otra componente sería paralela al

vector normal principal .

Teorema: Si es el vector posición de una curva suave C y existe el

vector , entonces el vector aceleración se encuentra en el plano

determinado por y .

Las proyecciones de sobre los

vectores y son las componentes

tangencial y normal de la eceleración.

y

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las proyecciones de la aceleración en dirección de los vectores y

son los vectores componentes de la aceleración:

y .

El vector tangente unitario , de donde , la aceleración

es la derivada de la velocidad, o sea:

componente tangencial:

componente normal:


24

r(t)T(t)

T(t)N(t)

N(t)

a(t)

a(t)

aT

aN

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la función vectorial . Calcule su posición, velocidad, rapidez,

aceleración, , , y al instante .

Solución: Posición:

Velocidad: ;

Rapidez: ;

Vector tangente unitario: ;

Vector normal principal: ;

* según el signo de t: - sí t es positivo y + si t es negativo

Aceleración: ;

Componente tangencial:

Componente normal:

Aceleracion:


25

x

y

1-1

a(t)

v(t)

aN

aT

N(t) T(t)

en ;

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la función vectorial . Calcule su posición, velocidad,

rapidez, aceleración, y al instante .

Solución:

Posición:

Velocidad: ;

Rapidez: ( la rapidez es constante )

Aceleración: ;

Componentes de la aceleración:

( cuando la rapidez es constante los vectores y son ortogonales, , la

aceleración no contribuye en nada con el incremento/decremento de la velocidad, )


26

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA

Supongamos que la función representa la trayectoria

que sigue un cuerpo en el espacio. En un instante determinado t=a sabremos la posición del móvil mediante el vector ó en t=b su nueva posición .

¿Qué pasa si lo que deseamos conocer es la distancia que recorrió desde el punto hasta siguiendo la trayectoria ?

Si el recorrido se efectuara en línea recta no habría mucho problema, solo tenemos que calcular la distancia entre los

dos puntos:

Pero sobre una trayectoria curva no es así de directo, más, si no sabemos que tantos recovecos tuvo que realizar el cuerpo para llegar de un

punto a otro.

Si partimos la curva en varios segmentos y calculamos la lon-gitud de cada uno como si fueran rectos, tendríamos una aproximación a la longitud de la curva - entre más segmentos mejor la aproximación.

Longitud de arco

Tenemos la curva con función , y queremos saber la

longitud de arco de la curva desde el punto correspondiente a t=a hasta el punto donde t=b. Tomemos un pedacito de la curva desde a

cuya longitud llamaremos . Si es muy pequeño entonces asumiremos que se comportará más como un segmento de recta.

En una recta, la distancia recorrida es igual a la rapidez multiplicada por el intervalo de tiempo.

Si sumamos todos estos pequeños intervalos tendremos una aproximación a la longitud de la curva:


27

y

zr(a)

r(b)

r´(a)

r(t)

D

y

z

r(a)

r(b)r´(a)

r(t)

y

x

r(a)

r(b)r´(a)

r(t)

Podemos aproximar la curva mendiante pequeños segmentos de recta

y

z

x

r(t)

r´(t)

r(t+

s

Dt)

incrementando el número de intervalos infinitamente hace que , toma-mos el límite para obtener la fórmula de longitud de arco de la curva.

Ejemplo: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

desde hasta .

Solución:

,

longitud de arco

Ejemplo 2: Calcule la longitud de arco de la curva

representada por la función desde

hasta .

Solución:

,

longitud de arco


28

r (t)

x

y

-1 1

1

-1

arco

t=0t=

Ejemplo 3: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función

desde hasta .

Solución:

,

longitud de arco

Definición: Sea C una curva suave dada por en un intervalo cerrado .

Para , la función longitud de arco viene dada por

la función longitud de arco es no-negativa. Mide la distancia

sobre C desde el punto inicial hasta el

punto . La variable s se denomina

parámetro longitud de arco.

Curvatura

Curvatura es la medida de que tan rápido se comba o tuerce una curva. Por ejemplo, círculos pequeños se comban más rápido que círculos más grandes.

Definición: sea C una curva suave dada por . La curvatura de C en t está definida como


29

B

A

menor curvatura

mayor curvatura

z

x

y

a

t

b

C

t =

t =

Si usamos el parámetro longitud de arco s para definir la función que describe la curva C, (espacio), entonces la curvatura estaría definida como la razón de cambio del vector tangente unitario con respecto a s. Tal que

La curvatura de C en s:

Ejemplo: Calcule la curvatura de un círculo de radio R.

Solución:

Tomemos un círculo con centro en el origen y radio R dado por la función , con .

;

la curvatura del círculo de radio R es

Si en lugar de tomar el parámetro t lo hacemos con la longitud de arco s, donde

Tenemos que si entonces , por lo tanto si parametrizamos la

ecuación del círculo en función de la longitud de arco s obtenemos la función:


30

R

R

Radio grandeCurvatura pequeña

Radio chicoCurvatura grande

K=1/R

donde y

curvatura:

Ejemplo 2: Calcule la curvatura de la curva C dada por en

Solución: Tenemos que donde

,

,

sustituimos en .


31

FUNCIONES VECTORIALES

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