FUNCIONES Y SUCECIONESI.P.S

JHON ARCHILA

DEFINICION DE FUNCIONESEn matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...  −2 → +4,  −1 → +1,  0 → 0,     +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9,  ... Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B a → f(a),donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N k → k2, o sencillamente f(k) = k2;g: V → A p → Inicial de p;si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

TIPOS DE FUNCIONESEn matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable independiente. Se la representa de la forma:

FUNCIÓN LINEALDefiniciones webEn geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como: donde m y b son constantes reales y x es una variable real.

FUNCIÓN CUADRÁTICAEn matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una.

FUNCIÓN POLINÓMICAEn matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo. Formalmente, es una función

FUNCIÓN RACIONALEn matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.1 Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES Dominio: Grupo de valores en donde está definida una función.

Condominio: Grupo de valores en donde está definida una función luego de ser redefinida.

Rango o Imagen: Grupo de valores que resulta de evaluar cada uno de los valores del dominio en la función.

FUNCIÓN INYECTIVA Ejemplo de función inyectiva. En matemáticas, una función f \colon X \to Y es inyectiva si a elementos

distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y (codominio) de f. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una anti imagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada por f(x)=x^2 no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Ejemplo de función inyectiva:

FUNCIÓN SOBREYECTIVA En matemática, una función \scriptstyle f \colon X \to Y \, es sobreyectiva1

(epiyectiva, suprayectiva,1 suryectiva, exhaustiva1 o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de \scriptstyle Y es la imagen de como mínimo un elemento de \scriptstyle X.

Formalmente,

\forall y \in Y \quad \exists x \in X : \quad f(x) = y

FUNCIÓN BIYECTIBA

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición

Es decir, si para todo de se cumple que existe un único de tal que la función evaluada en x es igual a y.

Dados dos conjuntos x e y finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si x e y tienen el mismo número de elementos

FUNCIÓN PAREn matemáticas, se puede clasificar a las funciones de variable real según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Las funciones pares e impares son usadas en muchas áreas del análisis matemático, especialmente en la teoría de las series de potencias y series de Fourier. Deben su nombre a la paridad de las potencias de las funciones monómicas que coinciden y por tanto satisfacen las condiciones de paridad. Así, la función xn es una función par si n es un entero par o una función impar si n es un entero impar.

Una función par es cualquier función que satisface la relación y si x es del dominio de f entonces -x también.

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto, x2, x4, cos(x), y cosh(x).

FUNCIÓN CRECIENTE Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 x2, entonces f(x1 ) f(x2 ).Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNCIÓN DECRECIENTE Son aquellas funciones que tienen como dominio y condominio a R, es decir; f : R sobre R, y que si un elemento del dominio es mayor que otro, entonces su imagen será menor que la imagen del otro

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

COMO SE APLICAN LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS EN LA VIDA COTIDIANA?Generalmente se hace uso de las funciones reales, aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Función Afín Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

GRAFICAS