Funciones

Funciones

por: Marta Bonacina

año: 2011

Definición de Función:

Dados dos conjuntos, A y B; llamamos función de A en B , a

“una regla o ley que a cada elemento de A asigna un único elemento de B ”

AREGLA ó LEY

2

3

11

2

3

1 4 8

3 9 2 5

16 2

25 7.

B

2

244 25

1649

f (- 2)

Una forma “moderna” de representar funciones es con los llamados:

"DIAGRAMAS DE MAQUINA"

x MÁQUINA f (x) (TECLADO) (CALCULADORA – PC ) (VISOR – PANTALLA)

f sería como una “procesadora” que :

acepta x como “entrada”

lo procesa según cierto “mecanismo” (la regla de f ), produce y = f (x) como “salida”.

La máquina, procesa los x´s a partir de distintos “mecanismos” , los que se pueden representar por “ecuaciones”. Por ej, y = f (x)= x2 - 4x + 1. Luego,

la x se “visualiza” como un “hueco a llenar al interior de la máquina” ; y,

la regla o ley de f: como el “proceso” al que hay que someter a la x

cuando se “rellena” con ella, los huecos al interior de la máquina . 2 - 4 . + 1 13

-2-2

1 4 8

3 9 2 5

16 2

25 7.

4916

25

2

3

4

[ + 1]21122

Definición de Función: Dados A y B; llamamos función de A en B , a

“una regla o ley que a cada elemento de A asigna un único elemento de B”.

En el ejemplo inicial, la función está presentada como una “máquina”.

¿Podremos “descubrir” la ecuación que gobierna el mecanismo de la misma?

A B

REGLA ó LEY

2

2

11

2

3

4

La ecuación es: y = ( x + 1)2

Que “leemos” : y = f ( x) con f ( x) = ( x + 1)2

BRegla o Ley y

f

f función de A en B

xA

CONVENCION DE NOMBRES y SIMBOLOS:

f : A B ; se lee : f aplica A en B .

al conjunto de partida ( A ), lo llamamos: DOMINIO

al conjunto de llegada ( B ), lo llamamos: CODOMINIO

a los elementos del dominio o del codominio los llamamos: VARIABLES.

Las variables las representamos con letras minúsculas: x, y, z, t , u, ….

si y representa el valor obtenido de aplicar “ f ” a un x de A entonces:

llamamoslo imagen de x por f

y

indicamoslo y = f(x)

Símbolo que usamos para enfatizar la función aplicada ( f ) y, la variable elegida (x).

A X

B y

fde partida

de llegada

y= f(x)

“ el valor de x en el dominio ,

se elige en forma arbitraria (entre los valores “posibles” para x ) ;

el correspondiente valor de y en el codominio ,

depende del valor de x previamente seleccionado ”

A X

B

y = f(x)

f

Llamamos graf. f al conjunto de todos los pares ordenados cuya 1er componente es un elemento x del dominio (A) y, su 2da componente, la imagen de x por f ; la indicamos:

graf f = { (x ; y) / x A, y = f ( x ) }

graf f = { (x; f (x)) / x A }

graf f

f : A B

Existen otros conjuntos importantes asociados a función.

Uno de ellos: el conjunto “graf f ”. (gráfico de f )

Llamamos graf f al conjunto de todos los pares ordenados cuya

primer componente es un elemento x del dominio y, su

segunda componente, la imagen de x por f ; lo indicamos:

graf f = { (x; y) / x A, y = f (x) }

graf f

f : A B

Observación:

Introducido un sistema de referencia

en el plano ( ); se verifica que: ( x ; y ) P

Esta correspondencia permite

representar gráficamente al conj. graf f.

eje horizontal Dominio (A) x

eje vertical Codominio (B) y = f (x)

B

x x

y C = graf f

f(x)

A

P

{ P(x; y) / y = f (x); x A } C: CURVA PLANA

OBSERVACIONES y EJEMPLOS:

¿Cuándo estamos ante una función ? :

cada vez que tengamos una

magnitud que “dependa” de otra.

Al abrir una canilla para llenar un tanque,

el volumen de agua acumulado depende del tiempo.

el volumen de agua acumulado es función del tiempo .

Si : V = volumen de agua en el tanque.

t = tiempo transcurrido desde que se empieza a llenar el tanque.

V = f ( t )

x

t

0

t (hs)

8

32

V(ls)

x

t

0

V = 12

16

24

4

8

2

8

16

V(2) = 4 ls

V(8) = 8 ls

V(32)= 16 ls

4

8

16

t (hs) V(ls.)

0

2

8

32

LEY

0

máquina

Uno de los objetivos de la matemática es hallar, si existe, una “ecuación” que muestre como “opera” la “máquina” (LEY)

sobre la “v.i.”, para obtener la “v.d.”

.....8 .....8

.....8 .....8

.....8 .....8

.....8 .....8

OBSERVACIONES y EJEMPLOS:

¿Cuándo estamos ante una función ? :

cada vez que tengamos una

magnitud que “dependa” de otra.

Al abrir una canilla para llenar un tanque,

el volumen de agua acumulado depende del tiempo.

el volumen de agua acumulado es función del tiempo .

Si : V = volumen de agua en el tanque.

t = tiempo transcurrido desde que se empieza a llenar el tanque.

V = f ( t )

x

t

0

t (hs)

8

32

V(ls)

x

t

0

V = 12

16

24

4

8

2

8

16

V(2) = 4 ls

V(8) = 8 ls

2 hs.

6 hs. ΔV = 4 ls

24 hs.

V(32)= 16 lsΔV = 16 ls

Con el tiempo el concepto de función evoluciona;

se usa tanto para representar relaciones de dependencia,

del tipo causa-efecto, pertenecientes al mundo de lo concreto y real ;

como relaciones de dependencia relativas al mundo de lo abstracto o ideal.

EJEMPLO 3

Las ecuaciones algebraicas con dos variables “abstractas” son ejemplos

típicos de relaciones de dependencia en el mundo de lo abstracto o ideal.

a) y = x +1

f : R R x y = x +1

y = f(x) con f(x) = x +1

esta ecuación establece una relación entre dos variables abstractas.

En ella, a cada valor de x corresponde un único valor de y.

Luego, considerando como dominio y codominio el conjunto R, la

relación descripta por esta ecuación, define función.

dominio codominio

LEY

Por definición:

graf f { P(x; y) / y = f(x); xD }

graf f { P(x; y) / y = x + 1; xR }

x

y

rrr = graf fr = graf f

La Geometría nos dice que:

{ P(x; y) / y = x +1; xR } RECTA

Luego, y finalmente, tenemos que:

graf f RECTA

==

==

==

f g==

==

==

g h

Ejemplo:

Analizar si “c” (costo) y “p” (perímetro) dadas a continuación son iguales:

(I) c = c(n) con c(n) = costo de ´n´ lápices de “costo unitario” $4.

(II) p = p(L) con p(L) = perímetro de un cuadrado de lado L.

1º) damos ley de cada función a través de una ecuación (facilita comparar)

( I ) c = c(n) con c(n) = 4.n [ n: cantidad de lápices ]

( II ) p = p(L) con p(L)= 4.L [ L : longitud del lado del cuadrado ]

2º) damos el dominio natural de cada función.

( I ) Dnc = N [ n N ; por ser una cantidad ]

( II ) Dnp = R 0

[ L 0 ; por ser una medida ]

3º) Conclusión : ley c = ley p ; Dnc Dn p 4º) Rta: las funciones costo y perímetro dadas no son iguales

B´´

B´ y= f(x) B

Observaciones: ► Im f B ► Im f “menor” codominio posible

Im f

NOTA:

en general a distintas leyes corresponden conjuntos imagen distintos;

pero; a leyes iguales pueden también corresponder imágenes distintas

c p

( c: función “costo” )

Ley : n c = 4 n

Dominio = N

Codominio = R

Im c = { 4; 8; 12; 16,…}

(p: función “perímetro”)

Ley : L p = 4 L

Dominio = R+

Codominio = R

Im p = ( 0 ; + )

graf c = { P(n;c) / c = 4n ; n N } graf p = { Q(L;p) / p = 4L ; LR+ }

graf cgraf c graf pgraf p

Las distintas formas de dar “la ley” de una función.

EJEMPLO 1: ►LEY: ECUACIÓN EN 2 VARIABLES

f : {1;2;3} R x y = 2.x + 3 (*)

(*) se lee: y = f (x) con f (x) = 2.x + 3 ( imagen de x por f )

►LEY: TABLA DE VALORES

►LEY: GRÁFICO

graf f = {P(x;y) / xD; y = f(x)}

graf f = { (1;5) ; (2;7) ; (3;9)}

x 1 2 3 y 5 7 9

D = DOMINIO = {1;2;3} CODOMINIO = R

DOMINIO

IMAGEN

[1 ; 3] [1 ; 3]

graf f = { P(x; y) / x [1; 3] ; y = 2x + 3 }

EJEMPLO 2: procedemos a analizar las siguientes expresiones coloquiales a los efectos de decidir si las mismas ´definen función´ : ( I ) "el volumen de una esfera de metal (II) "el volumen de una esfera de metal varia con el radio de la misma" varia con la temperatura de la misma" (*) detectamos una relación de dependencia (*) detectamos una relación de dependencia en que la correspondencia es unívoca en que la correspondencia es unívoca FUNCION FUNCION

¿ Cómo expresamos estas funciones en "lenguaje matemático" ? ( I ) "el volumen de una esfera de metal ( II ) "el volumen de una esfera de metal varia con el radio de la misma" varia con la temperatura de la misma" 1ro) reconocemos variables y elegimos letras apropiadas para identificarlas: ( I ) (radio)= r ; (volumen)= V ( II ) (temperatura)= t ; (volumen)= V

2do) establecemos el ´orden´ de dependencia:

( I ) el volumen depende del radio ( II ) el volumen depende de la temperatura el volumen es función del radio. el volumen es función de la temperatura V = f (r ) V = g ( t ) 3ro) explicitamos (de ser posible) la regla de correspondencia e indicamos Dn y Cn

( I ) V = f (r ) con f (r )= 4/3 r3 (II) V = g (t) con g (t )= ??? Dn = R+ Cn =R+

(*) en este caso, acudiendo a la Geom. ; (*) en este caso desconocemos una fórmula

podemos escribir la “ ley de f ” que relacione las variables; no podemos a través de una fórmula. dar la “ley de g” con una “ecuación”

Esto plantea un problema: hallar la fórmula.

EJEMPLO 5

En un libro leemos: “el perímetro p de un cuadrado de lado L es; p = 4.L ” Esta conocida fórmula puede ser abordada desde dos perspectivas distintas:

desde la Geometría: donde esto es una ecuación ; la cual india como

se calcula el perímetro conocido el lado;

y las letras tienen el carácter de dato ó incógnita

desde el Cálculo: donde se reconoce como una relación de dependencia ,

o sea, como una expresión que muestra como el perímetro depende del lado

y en la que las letras tienen el carácter de variables.

Conclusión: la forma de interpretar y trabajar una fórmula depende del contexto en

el que se esté operando.

Así, desde la óptica del Cálculo Matemático, la expresión leída en el libro la

registramos como una ´relación entre dos variables´.

Como a cada valor de L corresponde un único valor de p,

vemos que esta relación cumple con una de las condiciones de función.

Esta relación de dependencia. ¿ define función?

LEY : f(L) = 4.L (*)

DOMINIO = ? CODOMINIO = ?

LEY : f(L) = 4.L (*)

DOMINIO = R+ CODOMINIO = R+

Problema: p = 4. L, ¿define función ? .

( ?) El conjunto de partida y el de llegada no están indicados; luego:

¿tenemos función?:

Sí, estos conjuntos existen aún cuando no estén explícitamente Indicados.

La ley se ´aplica´ y ´produce´ números positivos. Luego, p =4. L , define función:

f : R+ R+ L p = 4 .L

f es función

p = f(L) con f(L)= 4. L p =4. L

El registro de datos en forma gráfica posibilita la búsqueda de una ecuación para f.

Según la curva (recta, parábola..) con la que aproximemos los “puntos dato” podemos obtener

distintas ecuaciones; luego, elegir entre ellas la que mejor ““aapprrooxxiimmaa”” a los “puntos dato”.

Por ej., las sgtes ecuacs resultan de aapprrooxxiimmaarr,

(I) con una recta; (II) con una parábola

(I) Modelo lineal =13,6 + 1.24 t (II) Modelo cuadrático = 15,3 + 0.7 t + 0.018 t 2

(*) ¿ Qué modelo ´ajusta mejor´ los datos ?.

(*) Se utilizó una de las curvas de ajuste para predecir la temperatura de la solución a los 40´ . El resultado obtenido fue, 72,1 º C. ¿Qué modelo se usó?.

(*) ¿ Qué modelo ´ajusta mejor´ los datos ?.

(*) Se utilizó una de las curvas de ajuste para predecir la temperatura de la solución a los 40´ . El resultado obtenido fue, 72,1 º C. ¿Qué modelo se usó?.

y = f (t) con f (t) = yo + vo t + 21 a t2

EJEMPLO 4 la Física, muestra que, establecido un “sistema de referencia”

la altura y , en cada instante t , de un cuerpo arrojado hacia arriba,

se puede calcular según la siguiente ecuación:

y = yo + vo .t + 21 a . t2

► Esta ecuación ¿define función ?:

► Analizamos un caso particular:

y0 = 0 ; v0 = 5 ; a = - 2 y = 5 t - t2

Luego: y = f (t)

Dn f = ¿???

Cod f = ¿??? Img f = ¿???

[ 0; 5 ]

oR

[ 0; 6.25 ]

Trayectoria No permite verel instante “ t”

en que tiene la altura “y”

y0 = altura inicialv0 = velocidad iniciala = "g” acel. de la grav.

y

y

ymax

SI

graf f

t

y

2,5

¿ Existirá alguna función que describa la altura de este cuerpo, “ para todo t 0” ?.

Si , tal función existe; lo que no es posible es

describir dicha altura con “una” ecuación. Así:

cuando el cuerpo está cayendo, la altura del mismo respecto

del piso se expresa a través de la correspondiente fórmula física,

cuando el cuerpo queda en “reposo” debemos acudir a otra ecuación:

y = 0.

El hecho que la ley de la función esté constituida por

más de una fórmula, lo indicamos como sigue: 5t - t2 ; 0 t 5 f(t) = 0 ; t > 5

Las funciones definidas por varias leyes, como la del ejemplo, reciben el nombre de funciones seccionalmente definidas .

yt = 5

I - ALGEBRAICAMENTE con una (ej. 2), dos (ej. 10 ) ó más ecuaciones.

II- NUMÉRICAMENTE con una TABLA de VALORES (ej.1: = f ( t ) ) III - GRÁFICAMENTE con una gráfica (ej. 9: = f ( t ) ) IV- VERBALMENTE con una descripción en palabras (ej. 5 )

RESUMEN DISTINTAS FORMAS DE ´DAR´ LA LEY DE UNA FUNCIÓN.

Ej. 2

1 3 8

3 9 2 5

15 7 8 3,4

1

2

3

4

1

2

3

4

Definición de FUNCIÓN: Dados A y B; llamamos función de A en B , a “una regla o ley que a cada elemento de A

asigna un único elemento de B”.

A B

Regla o Ley

2

23

423

7

16que puedo dar como

3 4 7 16

3 4 7 16

x

y

3 4 7 16

par"" esx y Df x si;x

impar"" esx y Dfx si;1x2)x(f 2

“el perímetro p de un cuadrado de lado L es igual a 4 veces L ”