funciones de variable compleja

LIMITES Y DERIVADAS

CAPITULO I

LIMITES Y DERIVADAS

Preliminares:

Para poder estudiar funciones de valor y variable compleja, es necesario traer a la memoria algunos conceptos básicos acerca del conjunto C de los números complejos es decir de: C = { R}

De igual manera : C = { C; }

A cada elemento de C denotado z, , ... , se les llaman números complejos. En C se hallan definidas dos operaciones internas, además de la igualdad en C.

Igualdad: (a,b) = (c,d) (a = c) (b = d) Suma: (a,b) + (c,d) = (a + c , b + d )

Producto: (a,b).(c,d) = (ac - bd , ad + bc ) División: (c,d) ≠ (0,0) ;

En estas operaciones tenemos:

(0,0) Elemento neutro aditivo de C.(1,0) Elemento neutro multiplicador de C.(a,b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) = (a,b).

(1,0) .(a,b) = (a – 0, b – 0) = (a,b).

Proposición:Existe una función inyectiva entre R y el eje real.dada por : γ : x → (x,0).

Se ha comprobado que γ es una función biyectiva y que además satisface para todo x, y en R :

γ (x + y) = γ (x) + γ (y)γ (x + y) = (x + y, 0) = (x,0) + (y,0) = γ (x) + γ (y)

Esto permite identificar R con el eje real.

Nota: Eje real = { (x,0) / x ∈ R }

Víctor D. Rojas Cerna pág.1

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Es decir que a = (a,0). Así obtenemos que:

(0,1)(0,1) = (-1,0) = -1

denotaremos la Unidad Imaginaria i como i = ( 0,1)

donde i2 = -1 , es por eso que incorrectamente se expresa i = √ -1 .A todo elemento de C se le llama un Numero Complejo y generalmente se le denota z1, z2, .....Consecuencia de esto Z = (a,b) ε C⇒ z = ( a,0) + (0,b) ⇒ z = (a,0) + (b,0)(0,1) ⇒ z = a + biEsto nos permite escribir C ={ a + bi / a,b ∈ R }

Definiciones: _

1.Conjugada de Z: Si z = a + ib, definimos el conjugado de z como z = a – ib

Interpretación: Z =(a,b)

∢θ

∢θ

‗ Z =(a,-b)

Propiedades:

1.1


x (x,0)

C

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1.2

1.3

1.4

2.Parte Real e Imaginaria:

Si z = a + ib, definimos Re(z) = a ‸ Im(z) = b

Propiedades:

_2.1 a = ( z + z )

2 _ _

2.2 b = ( z – z ) = -i( z – z ) 2i 2

2.3 Re(z+w) = Re(z) + Re(w) ; Im(z+w) = Im(z) +Im(w)

_ _2.4 Re(z) = Re(z) ; Im(z) = -Im(z)

3.Módulo: Dado z ε C , definimos el módulo de z = a + ib , como el número real no negativo, │z│dado por:

│z│= √ a2 + b2

Interpretación: Si z ε C - {0}, │z│es la longitud del radio vector que representa al número complejo z.

Propiedades:

3.1 │z│≥ 03.2 │z│=│z│3.3 │zw│= │z│.│w│

3.4 Si w ε C - {0}, z = │z│ / │w│


Z =(a,b)

│z│

∡θ

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w 3.5 │z│=0 ↔ z = 03.6 │z + w│≤ │z│ + │w│ (desigualdad triangular)3.7 ││z│ - │w││≤ │z + w│3.8 │ Re(z) │≤│z│, │Im(z) │≤ │z│ _3.9 │z│2 = z.z3.10 │zn│=│z│n , ∀ ℕ

4.Argumento: Dado un complejo z ε C - {0}, definimos el argumento principal

de z como el ángulo entre 0 y 2π que determinan los radios vectores 1 y z ,generalmente denotado θ . z

∡ θ 1Consecuencia: z ε C - {0}, z =│z│ (cos θ + isen θ), esta es la forma polar o

trigonométrica del número complejo z.

Apreciación: Si z =│z│ (cos θ + isen θ) entonces podemos escribir: z =│z│ (cos (θ + 2kπ)+ isen (θ + 2kπ)) , ∀ k ε ℤ

Comentario: Generalmente para z ε C - {0}, se define como argumento de Z a θ tal que: tg θ = b/a; z = a + ib además es conveniente

hacer notar algunas veces cuando uno habla del argumento principal, a veces se toma θ ε [-π, π > ( ó < -π, π] ) frecuentemente cuando se trabaja con un logaritmo. Denotaremos con Arg(z) el argumento principal de z ,tal que suceda que z ε C - {0}.

Propiedades: _4.1 Arg(z) + Arg(z) = 2π4.2 Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w)4.3 z ε ℝ+, Arg(z) = 04.4 z ε ℝ-, Arg(z) =π4.5 z ε C - {0} , │ Arg(z) - Arg(-z) │= π Si z ε C1 ⇒ -z ε C3 ⇒ Arg(-z) - Arg(z) = π , C1 primer cuadrante Si z ε C2 ⇒ -z ε C4 ⇒ Arg(-z) - Arg(z) = π , C2 segundo cuadrante Si z ε C3 ⇒ -z ε C1 ⇒ Arg(z) - Arg(-z) = π , C3 tercer cuadrante Si z ε C4 ⇒ -z ε C2 ⇒ Arg(z) - Arg(-z) = π , C4 cuarto cuadrante

Luego : │ Arg(z) - Arg(-z) │= π

Notación Fasorial


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Si z εC-{0}, podemos escribir z =│z│∡ θ, en caso: z =│z│ (cos θ + isen θ)

Notación Exponencial: Definamos cis θ = cos θ + isen θ

cis θ = eiθ

eiθ = cos θ + isen θ (fórmula de Euler)

observación: eiθ+2k∏= eiθ

5.Potenciación: Si n ε ℕ y z εC , definimos: zn =z.z.z.z.z.z....z (n factores)

Propiedades :

1. (z1z2)n = z1n z2

n ; ∀ n ε Z ‸ z1 , z 2 ε C

2. │z│n = │zn│ ; ∀ n ε Z ‸ z ε C

3. (z1/z2)n = z1n/ z2

n ; ∀ n ε Z ‸ z1 , z 2 ε C , ‸ z 2 ≠ 0

4. (zn)m = znm ; ∀ n ,m ε Z ‸ z ε C

5 (zn)m = (zm)n ; ∀ n ,m ε Z ‸ z ε C

6. i4n =1 , i4n+1 = i , i4n+2 = -1 , i4n+3 = -i n

7. (z1 + z2)n = Ʃ n z1n-k z2

k ; ∀ n ε Z+

k=0 k

Teorema de MOIVRE:

Si n ε ℕ entonces (cos θ + isen θ)n = cos nθ + isen nθ

Prueba: Por inducción matemática :

1º Si n = 1 (cos θ + isen θ)1 = (cos θ + isen θ) = cos 1θ + isen 1θ Se cumple para n = 1.2º Supongamos que se cumple para n = h , es decir:

(cos θ + isen θ)h = cos hθ + isen hθ

Veamos que se cumpla para n = h + 1

(cos θ + isen θ)h+1 = (cos θ + isen θ)(cos θ + isen θ)h

= (cos θ + isen θ)(cos hθ + isen hθ) = (cos hθ cos θ - sen hθsen θ)+ i(sen hθ cos θ + sen θ cos hθ)


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Luego se cumple para n = h + 1 , por lo tanto la propiedad es válida.

Comentarios:

(cis θ)n = cis nθ , ∀ n εℕ

cis θ = cis θ

Radicación:

Si n ε Z+ ‸ z ε C , diremos que el complejo b ε C es una raíz n-esima de Z si bn =z .En este caso escribimos b = z1/n .

Proposición:

Si n ε Z+ ‸ z =│z│ (cos θ + isen θ) entonces las raíces de Z están dadas por:

z = │z│ 1/n cos θ +2k π + i sen θ +2k π , k = 0,1,2, . . . . n-1 n n

Comentarios :

1. Si z ε C - {0} y n ε ℕ, las n raíces del número complejo z determinan un polígono regular de n lados , es decir las n raíces son los vértices de un

polígono regular de n lados.

2. las n raíces de z son : wk = │z│1/ncis θ + 2k π ;k ε {0, 1,2,3,4,...n-1} n

Ellas son las raíces del polinomio complejo: P(w) = wn-z

Por regla de Cardano:

n

Ʃ wj = 0 j=1

n

Re Ʃ wj = 0 ‸ j=1


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n

Im Ʃ wj = 0 j=0

n n

│z│1/n Ʃ cos θ + 2j π = 0 ^ │z│1/n Ʃ sin θ + 2j π = 0j=0 n j=0 n

n n

Ʃ cos θ + 2j π = 0 ^ Ʃ sin θ + 2j π = 0 j=0 n j=0 n

3. Las raíces de la unidad son los vértices de un polígono regular de n lados con centro en el origen, dadas por:

wk = cis θ + 2k π ; k ε { 0,1,2,3,4,...n-1} n

Además :n-1 n-1

Ʃ cos 2k π =- 1 ^ Ʃ sin 2k π = 0k=1 n k=1 n

Ejemplo:

Resolver : (z – i)n = (z + i)n , n ε Z+

Solución:

z – i n = 1 ⇒ z – i = e2k∏i/n k = 1,2, . . . . , n-1

z + 1 z + 1

(no hemos considerado k = 0 , pues no hay solución en esa alternativa.)

⇒ z – i = z e2ik∏in + i e2ik∏in ⇒ z = i (e 2ik ∏ i/n + 1) k = 1,2, . . . n-1 1 – e2ik∏i/n

Ejemplo:

Resolver (z2 + 2iz – 1)5 = (z + 2)10

Solución: [(z + i)2]5 = (z + 2)10 ⇒ (z + i )10 = (z + 2)10

z + i 10 = 1 ⇒ z + i = e2k∏i/n10


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z - 1 z +2

⇒ z = 2e 2k ∏ i /n5 - i , k = 1,2, . . , 9 1 – e2k∏i /5

Polinomio de grado n con coeficientes reales (o complejos) es toda expresión de la n

forma P(z) = Ʃ a k zn-k , ak ε R (ó C ) k=0

Propiedades:

1) Si P(z) es un polinomio con coeficientes reales, entonces: α es raíz de P(z) ⇔ α * es raíz de P(z) ; (α *: conjugada de α)

Ejemplo:

Hallar el polinomio P(z) con coeficientes reales, si sus dos raíces son complejos y una se ellas es el cuadrado de la otra.

Solución:

Sea una raíz a + ib , luego por lo comentado tendremos que la otra es (a + ib)n y deberá coincidir con a – ib .

Resolviendo :

* a – ib = (a + ib)2

* a – ib = a2 – b2 + 2iab ⇒ a = a2 – b2 ^ -b = 2ab * ⇒ a = -1/2 ^ -1/2 = 1/4 - b2 ⇒ a = -1/2 ^ b = ±

* Las raíces serán : , El polinomio es :

* P(z) = ⇒ P(z) = z2 + z + 1

2) Si P(z) es un polinomio de potencias pares, entonces α es raíz de P(z) ⇔ -α es raíz de P(z) .

Ejemplo:

Si tenemos P(z) = iz4 + 2z2-i , podemos ver que α = eiπ/4 es una raíz de P(z)

-α = ei5π/4 , P(ei5π/4) = i [ ei5π/4 ] 4 + 2[ ei5π/4 ]2 – i = -i + 2i – i = 0


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3) Si P(z) es un polinomio con coeficientes reales y todas las potencias son pares, se tiene:

α es raíz ⇔ -α es raíz ⇔-α * es raíz ⇔ α * es raíz n

Esto significa que si P(z) = Ʃ ak zn-k donde: ak ε R , k = 0,1, . . . , n k=0

Entonces, en caso conozcamos una raíz podemos obtener otras tres si ella es compleja (osea parte imaginaria no nula). Veamos un ejemplo, P(z) = z4 + 4 podemos ver que α = 1 + i es una raíz de P(z), luego α *, -α , -α * son también raíces de P(z). Luego las raíces son:

1 + i , 1 – i , -1 - i , -1 + i

4) Si P(z) es un polinomio simétrico de grado n , es decir P(1/z) = z-n P(z). Sabemos que n ≠ 0

α es raíz de P(z) ⇔ 1/α es raíz de P(z)

Veamos el siguiente ejemplo. Tomemos P(z) = z2 + bz + 1 , b ε R el cual es simétrico, la cual tiene una raíz compleja cuya parte real e imaginaria son iguales .Si la raíz es α = c + di también es raíz :

1 = 1 = c – id , luego tenemos : α c + di c2 + d2

c + di + c – id = -b ⇒ c + c = -b ^ d - d = 0 c + di c2 + d2 c2 + d2

⇒ b = -2c ^ c2 + d2 = 1

bastaría tomar c = d = (o c = d = para obtener la otra solución)

Así tendremos dos polinomios: P(z) = ( o P(z) = ).

Ejercicios:

(1) Hallar el polinomio mónico P(z) de grado 3, con termino independiente –8Cuyas raíces están en progresión geométrica de razón r =1- i , siendo los otros dos coeficientes números complejos.

Respuesta: P(z) = z3 – (5 - i)z2 + (10 – 2i)z – 8

(2) Hallar el polinomio mónico de tercer grado, que tiene sus raíces en progresión aritmética, cuya suma es 6 + 3i.

Respuesta:P(z) = z3 – (6 + 3i)z2 + (9 + 0i)z – (4 + 7i)

(2) Graficar R = { z ε C / │ z – 1 │ ≤ │ z + 1│ }


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Razonemos: │ z – 1 │2 ≤ │ z + 1 │2

⇒ ( z –1 )( z* –1) ≤ ( z + 1) (z* + 1)

⇒ z z* - z – z* + 1 ≤ z z* + z + z* + 1

⇒2(z + z*)≥ 0 ⇒ Re(z) ≥ 0

Por tanto la grafica es la mostrada en la figura adjunta .

(3) Grafique: V = { z ε C / │ z + 1 │ < 2│ z - 1│ } Razonemos:

z = x + iy , │ z + 1 │< 2 │ z - 1 │

⇒│ (x + 1) + iy │2 < 4│ (x-1) + iy │2

⇒ (x + 1)2 + y2 < 4[ (x – 1)2 + y2 ]

⇒3x2 – 10x + 3y2 + 3 > 0

⇒ (x – 5/3)2 + y2 > 16/9

La grafica es el exterior de la circunferencia de centro ( 5/3 , 0 ) y radio 4/3.

n-1 n-1

(4) Ver que Ʃ cos2k π = -1 ^ Ʃ sen 2k π = 0

k=1 n k=1 n

(5) Demostrar que: 1 + cos 72° + cos 144° + cos 216° + cos 288° = 0

Sugerencia: usar (4) con n = 5

CONCEPTOS TOPOLÓGICOS DEL PLANO COMPLEJO

(1) Dados z1 , z2 ε C definidos la distancia entre z1 y z2 como:

d(z1 , z2) = │ z1 - z2 │

Propiedades:

1. d(z1 , z2) ≥ 0

2. d(z1 , z2) = 0 ⇔ z1 = z2

3. d(z1 , z2) = d(z2 , z1)

4. d(z1 , z3) ≤ d(z1 , z2) + d(z2 , z3), ∀z2 ε C Con esta definición (C, d) es un espacio métrico.


1/3 | 5/3

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(2) Dado zo ε C y ɛ > 0 , definimos el disco abierto Vε (zo)como el siguiente conjunto:

Vε(zo) = { z ε C / │ z - zo│ < ɛ }

La vecindad reducida de centro de zo y radio ε denotadaV’ε(zo), es el disco abierto sin el centro zo.

_ (3) Dado zo ε C y ɛ > 0 , definimos el disco cerrado Vɛ(zo) como el conjunto:

_ Vɛ(zo) = { z ε C / │ z – zo │ ɛ }

_ Consecuencia: Vε(zo) с Vε(zo)

(4) Dado A с C, diremos que zo ε C es un punto de acumulación de A sí:

V’r(zo) ∩ A ≠0 , ∀r > 0

Esto significa que cualquier disco abierto de centro zo contiene infinitos puntos de A.

Ejemplo:

A = { (x, y) / 0 < x < 1 , 0 < y < 1 } , 1 es p. a. de A.

OBS. Si zo es p.a. de A, no necesariamente zo ε A.

(5) DefiniciónSi A с C , definimos el conjunto A’ como:


Vɛ (zo) V’ɛ (zo)

º

1

Z =1+i

Vɛ(1)

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A’ = { z ε C / z es p.a. de A }

(6) Punto InteriorSi A с C, y zo ε A, diremos que es un punto interior si:

existe Vr (zo) с A

z1 es un punto interior de A.z2 = 1 + (i/2) no es un punto interior de A.

(7) Punto Exterior

Si A с C, zo se dice que es un punto exterior de A si:

Existe Vr (zo) para algún r > 0 tal que Vr (zo) с ζ A(Complemento de A).

(8) Punto FronteraSi A с C , zo se dice que es un punto frontera de A, si no espunto interior ni punto exterior.

A = < 0, 1 > x < 0 , 1 > , ∂A son los lados

Notación. ∂A denotará la frontera de A, es decir el conjunto de los puntos frontera de A.

(9) Definición


1/2A

Z1

Z2

A

zo

1+ i

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Si A с C, A es abierto ↔todo punto de A , es punto interior de A.

(10) DefiniciónSi A с C , A es cerrado ↔ ζ A es abierto.

(11) Propiedades :a) La reunión de toda familia de conjuntos abiertos es abierto.b) La intersección de una familia finita de conjuntos abiertos es abierto.c) La intersección de toda familia de cerrados es cerrado.d) La unión finita de conjuntos cerrados es cerrado.

Demostración de c.Ai es cerrado ∀ i , ζ (∩ Ai) = U ζ Ai (Ley de morgan). i

Ai es cerrado ↔ ζ Ai es abiertoAplicando b, obtenemos lo deseado.

(12) Conjunto AcotadoSi A с C y se dice que es un conjunto acotado, si:∃ M > 0 / │ z │ ≤ M, ∀z ε A

(13) Conjunto CompactoSi A с C diremos que A es compacto si A es cerrado y acotado.

(14) CubrimientosLa familia (Aα) αεI se dice que es cubrimiento de A si todo z ε A está en

algún A α , para α ε I , en términos más simplesSi A с U A α , (A α) αεI es un cubrimiento de A. αεI

Así I = {1, 2} , A с U A α = A1 U A2

αεI

De igual manera (Aα) αεI donde I = { 1, 2, 3 } , es un cubrimiento de A conforme podemos apreciar en la figura:


M

A3

A2

A

A1

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(15) Teorema (HEINE – BOREL)Si A с C Compacto y { V(z) } zεA una familia de discos con centro en z ε A un cubrimiento de A, entonces existen z1, . . . zn ε A tales que: V(z1) , . . . ,V(zn) cubran A.

(16) Teorema (BOLZANO – WEIERSTRASS)Todo A с C , infinito y acotado posee un punto de acumulación.

(17) DiámetroSea A с C , A ≠ Ø , el diámetro de A denotado ∂ (A) se define por:

δ(A) = Supremo { │z – m │ / z, m ε A }

sea A el conjunto de puntos interiores de la elipse de centro cualquier punto con a = 5 y b = 4 , entonces δ(A) = 10

EJERCICIOS N° 1

(1) Si z = x + iy, comprobar que las raíces cuadradas de z son

w = ± . [ + isgn(y) ] , donde x R+

Solución:Veamos que w2 = z w = 1 [ + isgn(y) ] 2

2

= 1 [ x + │z│ + 2isgn(y) - sgn2(y)(-x + │z│)]

2

1 ( x + │x│ ) , y = 0 2 1 ( x + │z│ + 2iy + x - │z│ ) , y > 0

=

2

1 ( x + │z│ + 2iy + x - │z│ ) , y < 0 2

1 ( x + │x│ ) , y = 0 = 2 w2 = z z , y ≠0

(2) Hallar y graficar el lugar geométrico dado por


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z + (1 /z) ≤ 2

SoluciónZ = x + iy, z ≠ 0 (esto es indiscutible)

│z2 + 1│ ≤ 2 │z│ ⇒ │ x2 – y2 + 2ixy + 1 │ ≤ 2 │x + iy│

⇒ ( x2 – y2 + 1 )2 + 4 x2y2 ≤ 4 (x 2+ y2)

hemos elevado al cuadrado ambos miembros de la desigualdad

( x2 – y2 + 1 )2 - 4 y2 ≤ 0

( x2 + y2 – 1 – 2y )(x2 + y2 – 1 +2y) ≤ 0

Identificaremos las “fronteras” de nuestro lugar geométrico

(a) x2 + y2 – 1 – 2y = 0 ⇒ x2 + (y -1)2 = 2

(b) x2 + y2 – 1 +2y = 0 ⇒ x2 + (y + 1)2 = 2 _ Graficaremos dichas fronteras (circunferencias de radio √2 )

(3) Identificar y graficar el lugar geométrico dado por

(3 - │ z – i │ - │ z – 2i│ ) ( 3 - │ z │ ) ≤ 0

Solución:Graficando las “fronteras”a) 3 - │ z – i │ - │ z – 2i │ = 0 ⇒ │ z – i │ - │ z – 2i │ = 3elipse de focos (0, 1) y (0, 2) , a = 3/2

b) 3 - │ z │ = 0 ^ │ z │ = 3 ( circunferencia de radio 3, centro en el origen).


- i

- -i

3i

3-3

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(4) Demostrar que la ecuación z + 1 = c representa una circunferencia z - 1

si c > 0 ^ c ≠1

SoluciónEn tanto z ≠1, tenemos │ z + 1 │ = c │ z – 1 │ , asi si z = x + iytendremos que:

│ x + 1 + iy │ = c │ x – 1 + iy │

⇒ ( x + 1 )2 + y2 = c2( (x-1)2 + y2 )

⇒ x2 + 2x + 1 + y2 – c2x2 + 2c2x – c2 – c2y2 = 0

⇒ (1 – c2)x2 + (2 + 2c2)x + (1 – c2)y2 = c2 –1

⇒ ( x + 1+ c 2 )2 + y2 = c 2 – 1 + ( 1 + c 2 )2

1 – c2 1 – c2 1 – c2

⇒ ( x + 1+ c 2 )2 + y2 = ( 1 + c 2 ) 2 – 1 1 – c2 ( 1 – c2 )2

⇒ ( x + 1+ c 2 )2 + y2 = 4c 2 __ circunferencia 1 – c2 ( 1 – c2 )2

(5) Si z + ω ≠ 0 , demostrar que

SoluciónAplicando la desigualdad triangular en C

│z│-│ω│ ≤ │ z + ω │ ^ │ ω │ - │ z │ ≤ │ z + ω │

Como z + ω ≠ 0 , tendremos:

│ z │ - │ ω │ ≤ 1 ^ │ ω │ - │ z │ ≤ 1 │ z + ω │ │ z + ω │

por conocimientos acerca del valor absoluto, tenemos que:

│ z │ - │ ω │ ≤ 1 │ z + ω │

(6) Si z1 , z2 , z3 , ω 1 , ω 2 , ω 3 ε C, demostrar que 3 3 3

Ʃ zk ω k ≤ [ Ʃ │z u│2 ] [ Ʃ │ ω v │2 ] k=1 u=1 v=1

conocida como desigualdad Cauchy


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SoluciónVer Hausser, “Variable Compleja” , pág. 27

(7) Verificar las siguientes expresiones n

a) Ʃ zk = 1 – z n+1 , z ≠ 0 , 1 k=0 1 - z n sen 1θ + sen n +1 θ

b) Ʃ cosk θ = 2 2 _____ k=0 2 sen 1θ 2

n cos 1θ - cos n + 1 θc) Σ senk θ = 2 2 ____

k=0 2 sen 1θ 2

Solucióna) Hagamos uso del principio de inducción matemática

(i) Si n = 1 , se cumple (a)

n

Σ zk = z0 + z1 = 1 + z k=0

1 – z 1+1 = 1 – z 2 = (1 – z)( 1+z ) = 1 + z ( pues z ≠ 1) 1 – z 1 – z 1 - z 1

luego Σ zk = 1 – z 1 +1 k=0

1 - z

(ii) Supongamos que se cumpla para n = h

h

Σ zk = 1 – z h +1 ( hipótesis inductiva ) k=0

1 - z

Probemos que se cumple la igualdad para n = h + 1 h+1 h

Σ zk = Σ zk + zh+1 = 1 – z h +1 + zh+1 = 1 – z h +1 + z h+1 - z h+2 k=0

k=0

1 – z 1 – z

h+1

Σ zk = 1 – z (h+1)+ 1

k=0 1 - z


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Luego, por el primer principio de inducción matemática queda demostrada dichaPropiedad.

b) Apelamos a la parte (a) tomando z = e iθ tendremos

n

Σ ( eiθ)k = 1 – e (n+1)i θ k=0 1 – eiθ

n

Σ ( eiθ )k = 1 – e (n+1) iθ = i e -i θ /2 (1 – e i(n+1) θ ) k=0 eiθ/2 ( e-iθ/2 - eiθ/2 ) 2sen(θ /2)

n

Σ ( cosk θ + isenk θ ) = i ( e -i θ /2 – e i(n+1/2) θ ) k=0 2sen (θ /2)

i( cos (θ/2) - i sen (θ/2) - cos n +1 .θ – isen n +1 .θ ) = 2 2___ 2sen (θ/2)

Tomando partes reales e imaginarias a ambos miembros obtenemos las igualdades by c solicitadas.

(8) Demostrar que: n

cos nθ = Σ (-1)k/2 cos-k θ senk θ k=0

(k par)

n

sen nθ = Σ (-1)(k-1)/2 cosn-k θ senk θ k=0

(k impar)

Solución

Recordando la fórmula de MOIVRE

(cosθ + isenθ )n = cos nθ + isen nθ

Usando el teorema del binomio n

cos nθ + isen nθ = Σ (-1)(k-1)/2 cosn-kθ senkθ k=0

n

Σ (-1)(k-1)/2 cosn-kθ (i)ksenkθ k=0


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Sabemos que: i2k = (-1)k

cos nθ + isen nθ =

n n

Σ cosnn-kθ (-1)k/2 senkθ + Σ cosnn-kθ (-1)(k-1)/2 senkθ k=0 k=0

(k=par) (k=impar)

Luego tomando partes reales e imaginarias a ambos miembros obtenemos las identidades solicitadas.

(9) Resolver el siguiente sistema usando variable compleja.

x = x(t) , y = y(t)

x’ = x2 – y2

y’ = 2xy

Solución

Completando y simplificando el sistema:

x’ + iy’ = x2 – y2 + i2xy

z’(t) = z2(t) ⇒ 1_ = t + k1 + ik2

z(t)

⇒ x + iy = - 1 ⇒ x + iy = - (t + k1) + ik2

(t + k1)2 + i k2 (t + k1)2 + k22

x = - (t + k1) + ik2 y = (t + k1) + ik2_

(t + k1)2 + i k2 (t + k1)2 + i k2

(10) Hallar todos los z, que satisfagan:

Solución

Puede apreciarse que el corchete es cero, así tendremos que

│ z │ = 2

O sea, los puntos sobre el disco de centro en el origen y radio 2 son los z buscados.


LIMITES Y DERIVADAS

(11) Dado A с C, definimos –A = { -z/ z ε A }.Si A es abierto, entonces –A es abierto

Solución

Sea ω ε -A, luego

veamos que existe una vecindad de centro contenida en –A.

Como ω ε -A, ∃a ε A/ω = -a

Probaremos que: V(ω, r) с –A

Z ε V(ω,r) ⇒ │ z - ω │ < r ⇒ │- ω - (-z) │ < r ⇒│ a – (-z) │ < r

⇒ -z ε V(a,r) ⇒ -z < r ⇒ -(-z) ε -A

Luego –A es abiero.

(12) Análogamente al ejercicio anterior, ver que si A es abierto también lo es,

(13) Si p ε C, definimos p + A = { p + a / a ε A }

Ver que si A es abierto, entonces p + A es abierto.

Idea: y ε p + A ∃a ε A / y = p + a

a ε A ⇒ ∃ r > 0 / V(a,r) с A

veamos que: V(y,r) p + A lo cual significa que es un punto interior de p + A como era arbitrario, resulta que:

( p + A )° = p + A ( notacion: A° = interior de A )asi p + A es abierto.

ω ε V(y,r) ⇒ │ ω - y │ < r ⇒ │ ω - (p + a) │ < r

⇒ │ (ω - p) – a │ < r ⇒ ω - p ε V(a,r) с A

⇒ ω - p ε A

⇒ ∃ a1 ε A / ω - p = a1

⇒ ω = p + a1 , a1 ε A


LIMITES Y DERIVADAS

⇒ ω ε p + a

(14) Si A, B с C son abiertos, entonces A + B es abierto.

(A + B)° = A + B

Sea y ε A + B , veamos que y es un punto interior de A + B.

Existe a ε A ^ b ε B / y = a + b

Existe r1 , r2 > 0 / V(a , r1) с A ^ V(b , r2) с B

Sea r = min{ r1 , r2 } ahora ver que V(y , r) с A + B

ω ε V(y , r) ⇒ │ ω - y │ < r

⇒ │ ω - a - b │ <r

⇒ │ (ω - a ) - b │ < r2

⇒ ω - a ε V( b, r2 ) с B

Existe b1 ε B / ω - a = b1

ω = a + b1

ω ε A + B

V( y , r) с A + B

y es punto interior de A + B osea ( A + B )° = A + B

asi A + B es abierto.

(15) A с C A es abierto ⇒ B = { 1 + i – z / z ε C }

Ver si B es abierto.

Visualizando: Primero sabemos que A es abierto, entonces todos sus puntos son interiores.


a r prA

B

LIMITES Y DERIVADAS

p ε B ⇒ existe a ε A / p = 1 + i –a

a ε A ( abierto ) ⇒ existe r > 0 / V(a , r) с A

por ver que V(p , r) с B

ω ε V(p , r) ⇒ │ p – ω│ < r

│1 + i –a - ω │ < r │ (1 + i - ω ) - a│< r ⇒ 1 + i - ω ε A

Ahora, si tomamos un a1 ε A ⇒ 1 + i - ω = a1

ω = 1 + i – a1 ε B

⇒V(p , r) с B

⇒ existe r > 0 / V( p* , r ) с B*

veamos que : V( p, r ) с B

ω ε V(p , r) ⇒ │ ω - p │ < r

⇒ │ω * - p* │ < r

⇒ ω ε V( b, r2 ) с B

∃ b1 ε B / ω - a = b1

ω = a + b1

ω ε A + B

(16) Si A = { z ε C / │ z │ - │ z - i │ ≥ 2 ^arg(z) ε [0 , 2π]ver si es cerrado.

(17) Graficar, analizar si son abiertos o cerrados, determinar las fronteras de los siguientes conjuntos:

A = { 2z + z* / arg(z) ε [0 , π /2] }

B = { z* - 2z / arg(z) ε [0 , 2π ] }

C = { z2 / arg (z) ε [π , 2π] }

D = { [│ z │ ]-1 z / z ≠0 }


LIMITES Y DERIVADAS

(18) Si A= { z ε C /Re(z) + Im(z) ε Q} hallar ∂A

Tenemos : A={ (x,y) /x+y ε q, q ε Q}

ATomando un z ε C, cualquier vecindad de centro z y de radio r >0 ,siempre tendrá elementos de A y su complemento. Luego z es un punto frontera (no es punto interior, no es punto exterior).Como z es arbitrario ∂A=C.

(19)Si tenemos B={ z + │z│ / Re(z) ε Q} hallar ∂B Usar Re(z +│z │) ≥ 0

∂B resulta en el 1º y 4º cuadrante

(20)Si A,B ε C, A∩B≠∅, ambos dominios , entonces A∩B es un dominio

(21)Representar en el plano complejo los siguientes conjuntos: ___

1)A={ z - i / │ z + i │ ε [1 , 2] } _

Nota: A={ w / │ w│ ε [1 , 2] } ={ z / │ z │ ε [1 , 2] } ____

z - i = w ↔ z + i = w , A resulta ser una corona ,de centro en el origen y radios 1 y 2 _

2) B={ z - i / │ ez │ ≤ 2 }={ (x,y) / │ ex+1 │ ≤ 2 }={ (x,y) / x+1≤ ln 2 }

B={ (x,y) / x ≤ ln 2 -1 }

_3) D= { z +2z / │ ezi │ ≤ 2 }4) E= { z -2z /│ z2 +2zi-1 │ ≤ 4 }5) F= { zi +1 / z +1 ≤ 1 }

z+i

(22)Si A, B ε C ambos acotados entonces A+B es acotado.


B

LIMITES Y DERIVADAS

A acotado M εℝ+/ │a│ ≤ M, ∀ a ε A 0

B acotado N εℝ+/ │b│ ≤ N, ∀ b ε B 0

A+B={ a+b / a ε A ^ b ε B}│ a+b │ ≤ M+N , ∀ a+b ε A+BA+B es acotado.

(23) B es cerrado y acotado z0 + B ={ z0+b / b ε B} es cerrado y acotado B es abierto y acotado z0 + B es abierto y acotado.

(24) Sabiendo de ={ / z ε }, mostrar que: es acotado es acotado

⇒ Ǝ M εℝ+/│ b │ ≤ M , ∀ b ε B 0 _

Veamos que : │ p │ ≤ M , ∀ p ε B _

p ε B ⇒ p = , para algún b ε B _

│ p │ =│ b │ =│ b │ ≤ M

(25) Si A , B C ¿ ∂( A∪B ) = ∂A ∪ ∂B ?

(26) Sean A={ z с C / Re(z) >0 ^ Im(z) >0 }, B={ 0,1,-1} Ver si A+B es abierto.

A={ (x,y) / x > 0 y > 0 } A+B =A ∪{ (x+1,y) / x > 0 y > 0 }∪{ (x-1,y) / x > 0 y > 0 }A+B =A ∪{ (x,y) / x >-1 y > 0 }∪{ (x,y) / x > 1 y > 0 }A+B ={ (x,y) / x >-1 y > 0 }A+B es abierto

(27) Sea D={ z ε C / │z│≤ 1 } ,representar D+D Se aprecia que D+D ={ z ε C / │z│≤ 2 }

(28) Sea E={ z2 / │z│< 1 } ¿E es abierto? E={ z2 / │z│2< 1 }={ z2 / │z2│< 1 }={ w / │w│< 1 } abierto

(29) Sea P={ z ε C / Re(z) = Im(z) }, Q={ z ε C / Re(z) = - Im(z) } Determine los puntos interiores de P+Q.

Se observa que P+Q=C, Esto viene como consecuencia de que:


LIMITES Y DERIVADAS

Luego: C P+Q.

Por definición P+Q C. Es decir P+Q= C.Como C es abierto, entonces (P+Q)º = C .

(30) Determinar los puntos fronteras de F={ z ε C / Arg(z)= π/n , n ε ℕ }

Cualquier z = x , x > 0 es un punto frontera de F, así:∂F= F ∪ ℝ

31. Sean A,B Ì C, ver si cumple ¶ (A U B) = ¶ A u ¶ B, justificar su respuesta.

Solución:

A, B, C, D, entonces:

(A U B) ¶ (A U B)

Mientras ¶ (A)= ¶ B = ¶ A U ¶ B

Concluimos : ¶ (AUB) ¹ ¶ A U ¶ B . rpta


LIMITES Y DERIVADAS

32. demuestre que:

SOLUCION:

Supongamos lo siguiente :z = a + bi w = x +yientonces es evidente que (a + x)2 + (b + y)2 ³ (a - x)2 + (b - y)2

\ La desigualdad vendría invirtiendo lo anterior

multiplicando por a2 + b2 > 0

sacando raíz cuadrada

. lqav

33. Hallar todas las z = x + iy, que satisfacen y que

pertenecen a la región R: 1 <

SOLUCION:

separando desigualdades: ½z+i½ < ÷z-i÷ y ÷z-i÷ < Ö2÷z+i½

1) z=x +iy , luego : (y+1)^2 - (y-1)^2 < 0 ,entonces : y < 0

2) z=x +iy , luego: x^2+ (y-1)^2 < 2 (x^2 +(y+1)^2) ,entonces:


LIMITES Y DERIVADAS

, x^2+(y+3)^2 > 8 ,

,finalmente se debe intersectar 1) y 2) para obtener la region total

La intercepción es:

m Î Z -í0ý


Reunión 1

Conjunto discreto de puntos que se hace mas denso a medida que se acerca al origen

Reunión 2 2 3

2 3

LIMITES Y DERIVADAS

34. Usando números complejos Z tales que: halle:

SOLUCION:

reagrupando tenemos

Recordando:

2cosq = eiq – e-iq


LIMITES Y DERIVADAS

Respuesta


LÍMITES Y DERIVADAS

FUNCIONES

Una función f: C, c C asocia a cada número complejo de uno (monovaluada) o varios números complejos (multivaluada).

Así f(z) = z2 es una función monovaluada, g(z) = z1/2 es una función bivaluada (multivaluada).

Cuando se tiene una función multivaluada, podemos referirnos a una “rama” es decir a uno de sus “valores”.

Como aceleración tenemos g: C C, g(z) = z1/2

Sabemos que:

Así tenemos

Son dos funciones monovaluadas (de valor simple).

Para entender esta situación podemos superponer dos planos, pegados por el semieje positivo real de ambos planos, es decir AB pegado con RS.

Así tenemos que al “levantar” estos planos pegados tenemos una superficie conocida como una “superficie de Riemann”, cada uno de estos planos se denomina una “rama”, así siempre para funciones multivaluadas, se habla del valor principal de dicha función, en este caso es g1(z).

De igual manera para h(z) = z1/3 , h tiene 3 ramas.



La función bivaluada” , la podemos expresar como una transformación

, así tendríamos.

w2 = z2 – 1w = (z-1) (z+1)

z-1, z + 1 Î C, por tanto podemos escribir:

, por lo anteriormente visto tenemos:

Así tendremos dos ramas



LIMITES

Sea A с C una función f : A ↔ C puede ser monovaluada o multivaluada.

Comentario f : A → R , A с ℝ ( Df = A )

Para función es de valor y variable compleja no podemos hablar de gráfica de f .

g : A → R , A с ℝ2

graf. g с ℝ3

graf . g = { (x , y , z ) / z = f (x,y) }

Sistema Informal

f : ℝ2→ ℝ2

graf. f = (x , y ) , ( z , w ) / (z , w) = f (x,y) }

graf. g с ℝ4

Para compensar el vacío de la gráfica se habla de la aplicación de la transformación que ella determina.

Ejemplo:

f (z) = z2 Df = C

│z│2 z2

2θ

z → z2

z ε C ⇒ z = │ z │ eiθ ⇒ z2 = │ z│2.ei2θ

Si z = x + iy , f(z) = f( x,y ) = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2yxi

Toda función compleja (variable y valor complejo) que estamos estudiando se puede expresar como:

f(z) = f( x + iy ) = µ(x , y) + i v(x , y) ; donde µ , v : ℝ2→ ℝ


│z│ z

θx

y v

u

z=(a,b)


Así tendremos que: µ (x , y) = x2 - y2 µ (x , y) = 0

Si y = x ⇒v(x , y) = 2yx v(x , y) = 2x2

La recta y = x se transforma en el semieje positivo v.

Límites

V’ε(zo) = Vε(zo) – (zo) es llamada Vecindad Reducida.

Si V’r (zo) ∩ A≠ Ø al igual que en Mat. I definimos el limite de f : E → C, E с C Definición

zo ε E’ y f : E → C tal que∀ ɛ > 0 dado arbitrario Ǝ δ = δ(ɛ, zo) > 0 tal que 0 < │z – zo │< δ ^ zo ε Df ⇒│ f(z) - ℓ │ < ɛ diremos que el limite de f(z) cuando z tiende a zo es ℓ y escribiremos :

lim f(z) = ℓ z→ z0

Expresamos lo anterior en términos más simples:

lim f(z) = ℓ ↔∀ ɛ> 0, Ǝ δ = δ(ɛ,zo) > 0 tal que z ε V’δ (zo) ∩ Df ⇒ f(z) ε Vδ (ℓ)z→ z0

Definición

Una funcion f : E → C, E с C se dice que es acotada si Ǝ M > 0 / │ f(z) │ ≤ M , ∀z ε E

Proposición.

Si zo ε E1∩ E2 , f : E1 → C, g : E2 → C E1 , E2 с C y Ǝ lim f(z) ^ lim g(z) z→ z0 z→ z0

entonces :

a) Ǝ lim ( f + g )(z) = lim f(z) + lim g(z) z→ z0 z→ z0 z→ z0

b) Ǝ lim ( f .g )(z) = lim f(z). lim g(z) z→ z0

z→ z0

z→ z0


º zo ε

V’ε(zo) Vε(zo)zo

ε

. zE

. f (E)

Imagen de E mediante f


c) Si lim g(z) ≠ 0 , Ǝ lim ( f /g )(z) = lim f(z) / lim g(z) z→ z0 z→ z0

z→ z0

z→ z0

Cuestión Previa

Si f : E → C, E с C ,sea z = x + iy entonces la funcion f se puede expresar como f(z) = f( x + iy ) = µ (x , y) + i v(x , y) ; donde µ , v : E → ℝ2, E с ℝ2

Proposición

Si zo ε E , f : E → C entonces :

Ǝ lim f (z) ↔ Ǝ lim µ(x,y) ^ lim v(x,y) z→ z0

(x,y)→(x0

,y0

) (x,y) → (x0,y

0)

donde zo = xo + iyo y ademas en caso afirmativo:

lim f (z) = lim µ (x,y) + i lim v(x,y) z→ z0

(x,y)→(x0

,y0) (x,y) → (x

0,y

0)

Por ejemplo analicemos el caso siguiente, y hagamos lo que se ha descrito anteriormente: _

f(z) = z* , zo = 0 , Df = C , ( z* = z )

f(z) = f(x + iy) = ( x + iy )* = x - iy

µ (x,y) = x , v(x,y) = -y , E = ℝ2

zo = 0 + i0 → xo = 0 ^ yo = 0

lim µ (x,y) = 0 ^ lim v(x,y) = 0 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

⇒ lim f(z) = 0 + i0 = 0 z→0

Corolario

Si lim µ (x,y) no existe ó lim v(x,y) no existe entonces (x,y)→(x

0,y

0) (x,y)→(x

0,y

0)

lim f(z) no existe. z→0

Definición

I ) lim f(z) = ℓ, ℓ ε C ∀ ɛ > 0 , Ǝ M > 0 / │ z │ > M ^ z ε Df ⇒ │ f(z) - ℓ │ < ɛ z→∞



Interpretación

II ) lim f(z) = ∞ ↔ ∀ N > 0 , Ǝ M > 0 / │ z │ > M ^ z ε Df ⇒│ f(z) │ > N z→∞

Ejemplos

(1) Demostrar que lim z 3 + (z*) 3 = 0 z→0 z + (z*) 2

Solución

Usemos la definición:

z 3 + (z*) 3 ≤ │ z │ 3 + │ z* │3 ≤ 2 │ z │ 3 _ z + (z*) 2 │ z │ - │z* │2 │ z │ - │z │2

Tomemos un δ’ = 1 , │z - 0│ < 1 ⇒│ z │ - │ z │2 < 1 - 1 = 1 ⇒ 2 2 2 4 4

⇒ 1 < 4 │ z │ - │z │2

z 3 + z* 3 < 8 │ z │3 , ∀ z tal que │ z - 0│ < 1 ^ z ≠ 0z + z* 2 2

z 3 + z* 3 < ɛ ∀ z tal que 0 < │ z - 0│ < 1 ^ 8│ z │3 < ɛz + z* 2 2 3 _____

z 3 + z* 3 < ɛ ∀ z tal que 0 < │ z - 0│ < 1 ^ │ z │ < √ ɛ /8z + z* 2 2

3 _____

Elijamos δ = minimo { 1/2 , √ ɛ /8 ) , asi tendremos que :

0 < │ z - 0│ < δ ⇒ z 3 + z* 3 - 0 < ɛ

z + z* 2

(2) Demostrar que lim z + 1 = 0 z→∞ z2


M

ε

ℓ

NM

f(z) z


Solución

Partamos: z + 1 - 0 = z + 1 ≤ | z │ + 1 z2 z2 │z │2

Tomemos: M’ = 1 , │ z │ > 1 ⇒ │ z │ + 1 < 2│ z │

: z + 1 - 0 = 2│ z │ = _1_ , si │ z │>1 z2 2│ z │2 │ z │

z + 1 - 0 < ɛ, Si │ z │ > 1 ^ 1_ < ɛ z2 │ z │

z + 1 - 0 < ɛ, Si │ z │ > 1 ^ │ z │ < 1 / ɛ z2

Tomemos M = máximo {1,1/ ɛ} así tenemos que:

│ z - 0│ > M ⇒ z + 1 - 0 < ɛ ( fácil de comprobar ) z2

luego hemos demostrado que lim z + 1 = 0

z→∞ z2

(3) Demostrar que lim z2 = ∞ z→∞

SoluciónDado N > 0 , Ǝ M > 0 / │ z │ > M ^ z ε Df → │ z2 │ > N (definición)

│ z │ = │ z │ 2

│ z2 │ > N , si │ z │2 > N __

│ z2 │ > N , si │ z │ > √N __

Tomamos M = √N , así la definición del límite mencionado se cumple: __

│ z │ > M ⇒│ z │ > √N ⇒ │ z │ 2 > N ⇒ │ z2 │ > N

(4) Analizar y calcular en caso existan los siguientes límites

a) lim z 2 sen( π / │ z │ ) b) lim z(z*) 2 + (z*) 2 z z→0 z3 + 1 z→0 z3 + 1



c) lim z sen(z) d) lim ( z2 – z ) z→∞ z2 + 1 z→∞

e) lim z 8 + 10z 2 + 40z + 100 f) lim z + 1_ z→i │ z – i │ 10 z→∞ z* + 1

g) lim _z + 2 ___ __ h) lim z 4 + 16___ z→2 z2 + (1- √3. i)z – 2 + 2√3 i z→2eiπ/4 z - z * - 2√2 i

(5) Podría hallarse un A de manera que Ǝ lim f(z) z→4+3i

Az , si │ z │ >5donde f(z) =

z + 21 – 3i , si │ z │ ≤ 5

(6) Ver si existe o no, lim f(z) : z→0 _

cosz - cosz , si Re(z) > 0 z

donde f(z) = 0 , si Re(z) ≤ 0

Explicación del símbolo ∞ en C

El símbolo ∞ en ℝ denota el Mayor de los Reales (+) y el -∞ el Menor Real.Consideremos la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 1


N

P


Definimos la función σ : S – { N } → C

P → z = LNP ∩ Pxy

Por construcción de σ, σ es biyectiva

Inyectivaσ (P1) = σ (P2) ⇒ P1 = P2

Suryectiva

Dado z ε C ; Ǝ P / σ (P) = z

Ǝ σ -1 (definición inversa) .

Denotaremos con el símbolo ∞ , la imagen de N extendiendo la función a S cuando P tiene a N.

DERIVACIÓN

Dada f: C, z0 , dominio de C, f monovaluada, hallar las condiciones necesarias y suficientes para que f(z0)

Condición necesariaF(z)= m (x,y) + iv(x,y)

m (x,y)= Re (f(z))v(x,y)= Im(f(z))

Definiciones de derivada de f en z0 por:

En general se define la función derivada de f denotada por f´ como:



Otra notación:

Hallando la condición necesaria para que pueda existir f(z0)

Donde:

Podrá f´(z0), si a lo largo del eje real e imagino “los límites” no varían.1. A lo largo del eje real

= mx(x0,y0) + ivx(x0,y0)

2. A lo largo del eje imaginario

= -i my(x0,y0) + vy(x0,y0)

para ambas deben ser iguales para que pueda (tal vez) f´(Z0) es decir :(1) = (2):mx(x0,y0) = vy(x0,y0)........(1)my(x0,y0) = -vx(x0,y0).......(2)

Este par de ecuaciones se conoce como las ecuaciones de Cauchy – Riemann.Una condición que f´(z0) es que se cumplan las ecuaciones 1-2.



ConsecuenciaSi no se cumple las ecuaciones C-R entonces f´ en dicho punto Ejemplo:

Luego:

Luego: Entonces se puede afirmar que se cumple C-R en Z=0

Veamos si existe o no f´(0)



no f´(0)es decir se confirma que si las ecuaciones C-R se satisfacen, no implica que la derivada, es decir es una condición NECESARIA pero no suficiente.

Como podemos ver que no son continuas en (0,0) esto “ameritaría” la no existencia de la derivada.

Condición necesaria y suficienteDada f: C, dominio de C.

existirá f´(0) si se cumple las ecuaciones C-R y además u, v, ux, vx, uy y vy son continuas en ; así mismo:

Ejemplo: Determine en caso exista f´(0) f(z)=x2 + y2 + ixm(x,y)= x2 + y2 , v(x,y)=x

m, v, mx, my, vx, vy son continuas en (0,0) (m, v polinomios) veamos si se cumple C-R .mx(0,0)= 0; vy(0,0)= 0 mx(0,0)= vy(0,0)my(0,0)= 0; vx(0,0)= 1 my(0,0) -vx(0,0)Las ecuaciones C-R no se satisfacen \ no f´(0)

DefiniciónSea: f: C, dominio de C, z0 Diremos que f es analítica en z0, si r>0/ f´(z), zÎ V(z0,r) una función f que es analítica en C, se llama función entera.

Por ejemplo consideremos:

a) ¿ f´(0)?b) f es analítica en z = 0

Solución:



a) f(z)= (x3-3xy2) + i(y3-3x2y)mx(0,0)= vy(0,0) 0= 0

my(0,0)= -vx(0,0) 0= -0 m, v, mx, vx, my, vy son continuas f´(0)= 0 +0i= 0

b) Sea z0 ¹ 0, la condición necesaria para que f´(z0) es que se satisfaga C-R.

mx(x0,y0)= 3x02 – 3y0

2 x02=y0

2 ....... (1)vy(x0,y0)= 3y0

2 – 3x02

mx(x0,y0)= -6x0y0 -6x0y0= -(-6x0y0) vx(x0,y0)= -6x0y0 x0y0= 0.......(2) por (1) y (2) x0= 0= y0 (absurdo)

No se cumplen las ecuaciones C-R por lo tanto f´(Z0) z0ÎC F no es analítica en z = 0.Debe existir una pequeña unidad con f´(z0)

DefiniciónSea: f: C, dominio de C, z0 A C , f es analítica en f es analítica en z, zÎA.

Ejemplo:Determinar donde es analítica: g(z)= z2 es entera

, entonces: Así f es analítica en el interior de dicha región:

PropiedadSi: f: C, dominio de C, Si f analítica en A, A C , entonces f(z) es analítica en A.

Propiedad Si: f: C, dominio de C, y g(z)= f(z) Si f analítica en , entonces f y g son constantes:

Prueba:

Ambas analíticas en , luego: Sea z un punto arbitrario:



z0=x0+iy0

Ejemplo:Donde podrán f(z)= z2 y g(z)=z2 ser analíticas?

Por la propiedad anterior, ambas deberían ser constantes, lo cual se inhabilita, es imposible.Tienen que ser dos y no son dos.( dominio f y g son analíticas en f es analítica en ½x½< ½y½)

Ejemplo: Determine donde es analítica:

ojo: y

Si f(z)= m(x,y) + iv(x,y), f es analítica en A (A C , f: C)Se demuestra que f´(z)= mx(x,y) + ivx(x,y) = my(x,y) + ivy(x,y) también es analítica en A.

Consecuentemente:f´´(z)= mxx(x,y) + ivxx(x,y)f´´(z)= vyx(x,y) – i myx(x,y)f´´(z)= vxy(x,y) – i mxy(x,y)f´´ también es analítica en A.

PropiedadSi: f: C, dominio de Cf es analítica en , entonces:

f´(z)= m(z,0) + iv(z,0)f´(z)= mx(z,0) + ivx(z,0)f´´(z)= vxy(z,0) - iuxy(z,0)

Si f´ es analítica:



x Z, y 0 f´(z)= iz + i 2(0)= iz



FUNCIONES ARMÓNICAS

Sea , es un dominio de (abierto y conexo), para estas funciones que tengan derivadas parciales de orden 2 (o sea Î ) se define el Laplaciano de m como:

(x1,...,xn) Î

Nuestro interés especial, es cuando n=2. Así tendremos que:

, , un dominio.

El operador es conocido como el operador LAPLACIANO.

La ecuación de Laplace: , (x,y) Î , (x,y) Î

DEFINICIÓN.-Diremos que es armónica en , si , (x,y) Î .

Propiedad.Sea un dominio simétrico, m es armónica en es armónica en

es armónica en .

Prueba

Ida., t = -x q = -y

, ,

, , , , (x,y) Î , simétrico

El regreso es análogo.

Propiedad. Si dominio de .



m es armónica en es armónica, k constante.

Como ejemplo, tomemos

Observación.Condición de suficiencia para que exista una función armónica , nos lleva a considerar el problema en general.

Hallemos una armónica , t función de x e y.

Así en caso exista una función armónica se tendría que:

Aplicaciones

1) Veamos si existe una función armónica



No existe la armónica

2) Veamos si existe la función armónica:

3) Sea una función armónica, determinar en caso exista a Î R tal que , sea armónica.

, p = ax + y, q = x + 2y

^

4) Determinar en caso exista una función armónica en donde



Así: , A, B constantes.

Propiedad.Si , un dominio de C y analítica en , entonces y

son armónicas en .

Para la prueba tomar en cuenta que:

, ,

pues es continua. Por lo expuesto es armónica en .

Análogamente , , es decir que es armónica en .

DEFINICIÓN.- Dado , diremos que es una armónica conjugada de m, si ó es analítica en .

Así tendremos que si determinemos una armónica conjugada de m.

Tenemos dos alternativas: ó

1ª Alternativa:

lo cual es inaceptable.

2ª Alternativa:



A constante.

analítica en C (o sea es una función entera).

Ejemplo. Dada hallar una armónica conjugada de m.

Razonando:

constante real.

Como Z=1 , entonces es analítica en .

Ejemplo. Dada , Hallar una armónica

conjugada para v.

Consideremos:



, k constante real.

O sea:

Ejemplo. Determinar en caso exista una función armónica

SOLUCION :

Como hacemos:

condición para la existencia de una f armónica:

luego:



; luego:

hallando

, , Respuesta

Ejemplo. Determinar una función analítica cuyo módulo sea (x2 + y2)2.

Solución :

Datos :

1). Función analítica f(z) ; cumple C – R

2). Modulo = ; como z = x +iy ;

0

De 2 :

De 1 : aplicando C – R en C. Polares :



, , Respuesta

Ejmplo. Se ve de inmediato que pero no existe valor de Z para la cual no obstante que es continua en todo D. De una explicación.

Solución

Sabemos que: f(z) =ez se puede expresar como función de 2 variables de la siguiente forma

pero existe otra opción :

En general x -¥ es la única condición para que ez 0

\ ez es continua, pero esta es función vectorial de 2 variables x: -¥ < -1,0 >


Es cierto que los complejos no se pueden comparar; pero asumiendo que la 2da

componente de f(x,y) es nula; obtenemos y = kp

No se puede concluir que existe

Reunión 2

2 3


Ejemplo Gaficar en el plano u – v la transformación del rectángulo x = a, x = b, y = c, y = d mediante la transformación w = Senh Z.

SOLUCION:

Sabemos que:

finalmente:

de donde:

luego en el Plano UV:

x = a

x = b :

y = c

y = d :

Graficamos finalmente.


v C4

C2

C3

C1

C3

C4


Ejemplo. Evaluar :

a) E = arctg + arctgh

b) Demostrar:

Donde:

Sabemos que: +

Siendo Z = x + iy

En el problema Z1 =

+

Para la 2da parte:

Sabemos que: -



evaluando \ x = 0, y = 1

sumando

RPTA

Ejemplo. Determinar la verdad o falsedad de:

a. b.

SOLUCION:

No existe ningún Z, ya que la expresión compleja “log z” representa un conjunto de valores (elementos):

Log Z =

Es por eso que se le llama función MULTIVALUADA.

Es absurdo decir log z + log 2 z = 1: ya que estaríamos afirmando que la suma de 2 conjuntos es un elemento.

Así mismo es absurdo decir que ya que los números complejos no se pueden comparar, a menos que se comparen sus módulos o direcciones.

Ejemplo. Demostrar que todo disco abierto con centro cero, toma todos

los valores una infinidad de veces.



Solución:

Sea y sea para obtener con k cualquier

entero y q cualquier argumento de z.

Como , por lo tanto, cualquier disco abierto con centro

en cero contiene una infinidad de números de la forma ; y en cada

uno de estos . L.q.a.v.

Problemas Propuestos.

1. Si A, B Ì C deja el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando sus

respuestas.

2. Si A y B son absurdos, entonces A B es abierto

3. Si A y B son cerrados, entonces A U B es cerrado

4. Si A B ¹ , ¶ (A U B) = de ¶ A U ¶B. (¶: frontera)

5. Si A es abierto y B es cerrado, entonces A – B es abierto



6. Si ¶A = A, entonces A es cerrado

7. Si ¶B = , entonces A es abierto

8. Si A y B son abiertos, entonces pA + qB es abierto, p, q,Î C - 0

9. Si A y B son cerrados, entonces (pA) U (qB) es cerrado, p,qÎC-0

10. Si A es conexo, entonces pA es conexo, pÎ C - 0

11. Si A y B son dos dominios, entonces A + B es un dominio

12. Si A y B no son dominios, entonces A + B nunca son dominios

13. Si A y B son acotados, entonces A + B es acotado

14. Si A y B son acotados, entonces AB es acotado.

Nota: SI A,B Ì C se define

AB = zw/zÎAwÎB

15. Si A y B son convexos, entonces AB es convexo

16. Si A + B es acotado, entonces A y B son acotados

17. Si AB es un dominio, entonces A y B son dominios

18. Si ¶(A + B) = A + B, entonces A y B son cerrados

19. Si A es abierto, entonces A B es abierto, B Ì C si A B ¹

20. ¶(¶A) = ¶A

21. (A0 = z/z es punto interior de A)

22. Sea f : C, un dominio de C, f es analítica en w un punto interior de .¿ Existirá un punto p de , p ¹ w donde f es analítica . Justificar su respuesta.

23. Sea f : C C una función entera, demuestre que se cumple:

D es el operador Laplaciano. 24. Deduzca la forma compleja del teorema de Green.25. Determinar si se cumple o no:

26. Resolver: cos(z2 + 2) = sen(z2 – 2)

27. Sea E= 3z+1 / 6 z -2 Î D , si A es abierto ver que E es abierto..28.Sea E= 3z+1 / 6 z -2 Î D , si A es abierto ver que E es abierto.

28. Sean E= zÎC / Re(z)+Im(z)=0 y B = z ÎC/ Re(z)=Im(z) 0,determine E+B.



29. Si A+B es acotado y B= z1,z2,...,zn , ver si A es o no acotado.JSR.

30. Analizar las siguientes afirmaciones: 1.¶(¶(A))=¶(A) 2.(Ao)o=Ao (AÍC)

31. Si w es un p.a de A, muestre que w+i es un p.a de A+i

32. Sea f es analítica en .¿arg(f(z)) es armónica en ?.

33. Determine en caso exista una función analítica f(z) , cuyo argumento sea: a) b) x2-y2.

34. Determine donde se cumplen las ECR, para la función

Ñ(Ñ(z2z3)) , si êz ê 1F(z)=

Ñ(Ñ(êz ê2)) , si êz ê 1

35. Determine si existe o no una función armónica u(x,y)= (x+y). En caso afirmativo halle la función u(x,y) más general.

36. Determine todas las soluciones de: sen z = cos (i-2z).


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