De Matematicas OPERADORES VECTORIALES
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La densidad electrónica El gradiente La divergencia El laplaciano Grad, Div y Lap La densidad electrónica es un campo escalar en el espacio tridimensional ρ(x , y , z )= N Z |Ψ(r 1 , r 2 ,..., r N )| 2 d r 2 ... d r N Nos interesarán principalmente dos operaciones sobre este campo El gradiente: ∇ρ(r) La divergencia del gradiente o laplaciano: ∇·∇ρ(r)= ∇ 2 ρ(r) En donde usamos el operador vectorial ∇ =ˆ ı ∂ ∂ x +ˆ ∂ ∂ y + ˆ k ∂ ∂ z exp(-(x**2+y**2)) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
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OPERADORES VECTORIALES UNA INTERPRETACION FISICA
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La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
La densidad electrónica es un campo escalar en el espaciotridimensional
ρ(x , y , z) = N∫|Ψ(r1, r2, . . . , rN)|2dr2 . . . drN
Nos interesarán principalmente dos operaciones sobre este campoEl gradiente: ∇ρ(r)La divergencia del gradiente o laplaciano: ∇ · ∇ρ(r) = ∇2ρ(r)
En donde usamos el operadorvectorial
∇ = ı∂
∂x+
∂
∂y+ k
∂
∂z
exp(-(x**2+y**2))
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
20
0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
El gradiente es un vector
∇ρ(r) = ı∂ρ(r)
∂x+
∂ρ(r)
∂y+ k
∂ρ(r)
∂z
= r∂ρ(r)
∂r+ θ
1r∂ρ(r)
∂r+ φ
1r sin θ
∂ρ(r)
∂φ
O, más precisamente, uncampo vectorial: un vector paracada punto r.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat"
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
El gradiente es un vector
∇ρ(r) = ı∂ρ(r)
∂x+
∂ρ(r)
∂y+ k
∂ρ(r)
∂z
= r∂ρ(r)
∂r+ θ
1r∂ρ(r)
∂r+ φ
1r sin θ
∂ρ(r)
∂φ
O, más precisamente, uncampo vectorial: un vector paracada punto r.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat"
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
Su interpretación∇ρ(r) · dr = dρ
para un |dr| fijo se tiene el máximo valor de dρ si dr es paralelo a ∇ρ
dirección de máximo cambio
Por otro lado∇ρ(r) · dr = dρ = 0
si ∇ρ(r) y dr son ortogonales
es perpendicular al lugar geométrico de ρ constante
interpretación
∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección delmáximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
interpretación
∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección delmáximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante
exp(-(x**2+y**2))
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
20
0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat"
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
interpretación
∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección delmáximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante
(x**2+y**2)**2*exp(-(x**2+y**2))
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
20
0.10.20.30.40.50.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat" u 1:2:5:6
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
interpretación
∇ρ(r) es un vector en cada punto del espacio con la dirección delmáximo cambio y perpendicular a la (hiper)superficie de ρ constante
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat" u 1:2:5:6
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
La divergencia es una operación sobre un campo vectorial, produceun campo escalar
∇ · V(r) = ı · ı ∂Vx (r)
∂x+ ·
∂Vy (r)
∂y+ k · k ∂Vz(r)
∂z
=1r2∂r2Vr (r)
∂r+
1r sin θ
∂ sin θVθ(r)
∂θ+
1r sin θ
∂Vφ(r)
∂φ
f (r) = ∇ · V(r)
su interpretación requiere del concepto de flujo
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
flujo
líneas de campo que cruzan una (hiper)superficie dada
dφ = V · dσ
flujo a través de una superficie cerrada
φ =
∫S
dφ =
∫S
V · dσ
la divergencia es
lim Ωs → 0
∫S dφΩS
(flujo "puntual")
famoso ejemplo: ∇ · E(r) = ρ(r), el flujo del campo eléctrico es cero amenos que haya carga
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
laplaciano
la divergencia del gradiente de una función escalar (es un campoescalar)
potencial
U(r)
concentración
C0(r, t)
campo
E(r) = ∇U(r)
flujo
J(r, t) = ∇C0(r, t)
carga
ρ(r) = ∇2U(r)
flujo del flujo
∂C0(r, t)∂t
= D0∇2C0(r, t)
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
gradiente, divergencia y laplaciano
∇U(r): dirección de máximo cambio∇ · V(r): flujo puntual∇2U(r): curvatura, "fuente"
exp(-(x**2+y**2))
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
20
0.10.20.30.40.50.60.70.80.91
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat"
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
gradiente, divergencia y laplaciano
∇U(r): dirección de máximo cambio∇ · V(r): flujo puntual∇2U(r): curvatura, "fuente"
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat"(4*(x**2+y**2)-6)*exp(-x**2-y**2)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
2-6-5-4-3-2-101
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
gradiente, divergencia y laplaciano
∇U(r): dirección de máximo cambio∇ · V(r): flujo puntual∇2U(r): curvatura, "fuente"
(x**2+y**2)**2*exp(-(x**2+y**2))
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
20
0.10.20.30.40.50.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat" u 1:2:5:6
La densidad electrónicaEl gradiente
La divergenciaEl laplaciano
Grad, Div y Lap
gradiente, divergencia y laplaciano
∇U(r): dirección de máximo cambio∇ · V(r): flujo puntual∇2U(r): curvatura, "fuente"
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"dat.dat" u 1:2:5:6
((4*(x**2+y**2)-22)*(x**2+y**2)+20)*(x**2+y**2)*exp(-x**2-y**2)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2-1.5
-1-0.5
00.5
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![Transformaciones lineales - docencia.dim.uchile.cl · Definiciones básicas Semana 8 [2/62] Definición Transformación lineal U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5e18085d8671d9743a0a1b78/transformaciones-lineales-deiniciones-bsicas-semana-8-262-deinicin.jpg)
