Funciones (parte II)

M. Sc. Jorge E. Hernández H.

UCLA – DAC.

12/04/23Hecho por Jorge Hernández UCLA - DAC

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Contenido.1. Valor numérico de una función. (α)2. Búsqueda del dominio de una función. (α)3. Ejemplos propuestos.(α)4. Funciones con más de una regla de

correspondencia.(α)5. Algunos ejercicios propuestos. (α)6. Fin de la presentación.


2

En la clase anterior estudiamos el concepto de lo que es una función, y expresamos que es una regla que asocia cada número de un conjunto de partida un único número en un conjunto de llegada.


3

x ( )f xf

Lo que hemos denotado con

es lo que se denomina “valor numérico de la función en x” . También se le llama “imagen de x por medio de f”.


4

( )f x

Ejemplos:

1. Supongamos que la función f está definida por medio de la siguiente regla:

Entonces, si

tenemos que el valor numérico de la función es


5

2( ) 3 5f x x

3x

2(3) 3.3 5 32f

2. Supongamos que la función f está definida por medio de la regla

Entonces, si

tenemos que el valor numérico de la función es

Ω


6

3

4 5( )

2

x xf x

x

x c

3

4 5( )

2

c cf c

c

También, en la clase anterior definimos lo que se conoce como dominio, y además mostramos una tabla básica de funciones con dominios conocidos.

Lo que pretendemos aquí es conocer cual es el dominio de una función dado que la regla que la define involucra operaciones como la división o la extracción de raíces con índice par.


7

Ejemplos de tales funciones:

1.

2.


8

4( )

5

xf x

x

2( ) 2 5f x x x

Analicemos el primero de los casos, es decir, cuando la función se expresa por medio de una división que contiene a la variable en el denominador, y cuyo numerador sea un polinomio

En este caso nos interesa encontrar los posibles valores numéricos de la variable x que anulan el denominador.


9

( )( )

( )

g xf x

h x

El procedimiento entonces es:

1. Resolver la ecuación

2. Eliminar del conjunto de los números reales las soluciones de la ecuación anterior, quedando el dominio de la siguiente forma:


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( ) 0h x

( ) ( ) 0Dom f R soluciones de h x

Ejemplo:

Encontrar el dominio de la función definida por medio de

Solución:

Claramente esta función se expresa por medio de la división de dos funciones


11

2

2

4( )

8 12

xf x

x x

2 2( ) 4 y ( ) 8 12g x x h x x x

Aplicamos el procedimiento.

1. Resolvemos

es decir,

Nos damos cuenta de que es una cuadrática, por lo tanto, aplicamos la resolvente cuadrática, y encontramos:


12

( ) 0h x

2 8 12 0x x

6 y 2x x

2. Escribimos el dominio como:

Ahora, analicemos lo que esto significa. Analíticamente, la función no puede procesar o transformar los valores x = 2 y x = 6, dado que para cualquiera de ellos tendríamos una división entre cero.


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( ) 2,6Dom f R

Geométricamente, significa que el gráfico de la función no tiene los puntos correspondientes a x = 2 y x = 6. No existe un punto por donde pase la gráfica de la función cuando la variable x tome estos valores.


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El segundo caso es aquel donde está involucrada una raíz con índice par.

Para encontrar el dominio de esta función procedemos resolviendo la desigualdad

La solución de esta desigualdad es precisamente Dom(f).


15

2( ) ( )nf x g x

( ) 0g x

Ejemplo: Encontrar el dominio de la función definida por medio de

Solución:

Debemos resolver la desigualdad

es decir,


16

4( ) 3 6f x x

( ) 0g x

3 6 0x

Entonces,

los valores de x que son mayores o iguales que -2, forman el dominio buscado

Ω


17

3 6 0

3 6

6

32

x

x

x

x

( ) 2,Dom f

Ejemplo 1: Encontrar el dominio de la función definida por

medio de

Solución: De acuerdo a la forma de esta expresión vemos que se clasifica como una división de funciones.


18

2

2( )

2

xf x

x x

Entonces la función del denominador es

Debemos resolver la igualdad,

Es decir,


19

2( ) 2h x x x

( ) 0h x

2 2 0x x

Usando factor común, tenemos

entonces, el dominio de la función f es


20

2 2 0

( 2) 0

0 o 2

x x

x x

x x

( ) 0,2Dom f R

Ejemplo 2:

Encontrar el dominio de la función definida por medio de

Solución: Esta función clasifica como una con raíz con índice par.


21

2( ) 3f x x x

La función dentro del radical es

Debemos resolver la desigualdad

es decir,


22

2( ) 3g x x x

( ) 0g x

23 0x x

Usando factor común, encontramos


23

23 0

(3 ) 0

( 0 y 3 0) o ( 0 y 3 0)

(0 3)

x x

x x

x x x x

x

La desigualdad nos dice que la raíz permite valores para x que estén entre 0 y 3, inclusive.

De esta forma el dominio de la función dada es

Ω


24

( ) 0,3Dom f

Por definición conocemos que una función es una regla que asocia cada elemento de un conjunto con un único elemento de otro conjunto.

Ahora es posible que darle a ciertos valores del dominio de una función una regla y otros otra regla.


25

Observemos la siguiente expresión:

Al leer comprendemos que una regla es aplicable cuando x es negativo y otra es aplicable cuando x es positivo o cero.


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4 2 si 1 ( )

8 si 1

x xf x

x x

Geométricamente, significa que el plano cartesiano estará dividido en dos sectores, uno determinado por los valores de x menores que 1 y otro determinado por valores de x mayores o iguales a 1.


27

En consecuencia, habrá un gráfico en un lado del plano y otro gráfico en el lado restante, no pueden interceptarse.

Ω


28

A continuación se le proponen una serie de ejercicios.

Para cada una de las funciones dadas encuentre

y

Simplifique bien sus respuestas.


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1. ( ) 4 5f x x

a) ( )f x h

( ) ( ) b)

f x h f x

h

22. ( ) 2f x x x

13. ( )f x

x

84. ( )

xf x

x

En el siguiente grupo de ejercicios encuentre el dominio de las funciones dadas.


30

9 91. ( )

2 7

xf x

x

2

22. ( )

1f r

r

2

43. ( )f y

y y

4. ( ) 4 3f x x

5. ( ) 4 2 2 1f x x x

Encuentre la gráfica de las siguientes funciones con varias reglas.

Ω


31

2

si 31. ( )

2 si 3

x xf x

x x

-1 si 0

2. ( ) 0 si 0

1 si 0

x

f x x

x

2

2

2

si 1

3. ( ) 4 si 1 1

si 1

x x

f x x x

x x

Gracias por la atención prestada……

Jorge E. Hernández H.


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