Agrupación Astronómica de Madrid

Curso de Física Básica

Apuntes Matemáticas IV

Trigonometría

I. ÁNGULOS Y SUS UNIDADES

Un ángulo es una manera de medir el espacio comprendido entre dos rectas que

se cortan en un punto. Los ángulos se suelen representar mediante letras griegas,

α, β, γ, · · · o con letras mayúsculas de nuestro alfabeto, A, B, C, · · · En la �gura

se representan dos ejemplos de ángulos más o menos abiertos.

Como toda magnitud física, los ángulos hay que expresarlos en alguna unidad de

medida. Una cosa importante a tener en cuenta es que un ángulo no tiene dimen-

siones. Pero, a pesar de no tener dimensiones, se usan unidades de medida para

diferenciar un ángulo de cualquier otra magnitd física adimensional. Las unidades

más comunes son:

• radianes, rad. Un ángulo α puede estar en el intervalo en radianes 0 ≤ α < 2π.

• grados, ◦. Un ángulo α puede estar en el intervalo en grados 0◦ ≤ α < 360◦.

1

• horas, h. En este caso el intervalo es 0 ≤ α < 24h.

Puesto que un ángulo expresa una magnitud alrededor de un origen (por ejemplo un

cuerpo que gira alrededor de otro), un ángulo nos mide vueltas o fracciones de vuelta

alrededor de ese origen. Todos los ángulos que se diferencian en una vuelta exacta

(360◦, 2π o 24h, según queramos expresar la unidad de medida) son en realidad

el mismo. Por tanto, es convencional de�nir un ángulo siempre en los intervalos

[0◦, 360◦), [0, 2π) ó [0, 24). Para ello, si un ángulo se sale de estos intervalos, es

necesario sumar o restar vueltas enteras tantas veces como sea necesario.

Dado un ángulo en unas unidades de medida, se puede transformar a otra unidad

de medida. Puesto que 360◦ equivalen a 2π rad (ambos representan una vuelta

completa), tenemos las equivalencias

1◦ =2π

360rad =

π

180rad, 1 rad =

360

2π◦ =

180

π◦

Para transformar ángulos en h, tenemos en cuenta que 360◦ equivalen a 24h, por lo

que

1◦ =24

360h =

1

15h, 1 h =

(360

24

)◦ = 15 ◦

En el caso de que midamos un ángulo en ◦ ó en h, hay a su vez dos métodos

equivalentes:

2

• grados (◦) u horas (h) decimales: son ángulos expresados en términos de un

número real con sus decimales.

• ◦ ′ ′′ ó h m s: son números dados por dos números enteros y uno real. Por

ejemplo, podemos tener un ángulo expresado como

23◦ 10′ 34.897′′

que se lee como 23 grados, 10 minutos de arco y 34.897 segundos de arco, ó

4h 35m 10.2s

que se lee 4 horas, 35 minutos y 10.2 segundos. Para cambiar de un formato a

otro, sólo tenemos que saber que 1◦ = 60′ = 3600′′ y que 1h = 60m = 3600s

(el factor 15 para pasar entre ◦ y h se mantiene a nivel de los minutos, ′ y m,

y de los segundos, ′′ y s, de manera que 15′ = 1m y 15′′ = 1s).

Como ejemplo de transformación, consideremos el ángulo 45, 67425◦ y pasémoslo al

formato ◦ ′ ′′. Los grados serán 45◦. Para obtener los minutos, hacemos el siguiente

cálculo:

60(′/◦) . (45, 67425◦ − 45◦) = 60 . 0, 67425′ = 40, 45500′

Los minutos son por tanto 40′. Finalmente, para obtener los segundos de arco,

hacemos:

60(′′/′) . (40, 45500′ − 40′) = 60 . 0, 45500′′ = 27, 3′′

de manera que tenemos:

45, 67425◦ = 45◦ 40′ 27, 3′′

Para transformar a la inversa procedemos como sigue:

45◦ +40′

60(′/◦)+

27, 3′′

3600(′′/◦)= 45◦ + 0, 66667◦ + 0, 00758◦ = 45, 67425◦

3

A. El arco de un circunferencia

Sea una circunferencia de radio r. Su perímetro (longitud de su arco completo) es

s = 2πr. ¾Cuál es la longitud s de un arco comprendido por un ángulo α? Una

simple regla de tres conduce a la relación

s = rα (1)

Se puede comprobar que, cuando α = 2π, recuperamos el perímetro de la circunfer-

encia completa. Vemos que la longitud de un arco asociado a un ángulo es igual al

ángulo expresado en radianes multiplicado por el radio de la cincumferencia. Aquí

se ve el hecho de que un ángulo no puede tener dimensiones: la expresión s = rα es

dimensionalmente correcta sólo si α no tiene dimensiones (ya que tanto s como r

son distancias). Otra consecuencia de esta relación entre longitud de arco y ángulo

en radianes es que un radian es aquel ángulo para el cual la longitud de su arco es

igual al radio de la circunferencia.

4

II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas surgen originalmente a partir de la relación entre las

diversas partes de un triángulo rectángulo. Sea el triángulo de la �gura, donde los

lados a y b son los catetos, y el lado c es la hipotenusa. α es el ángulo inscrito entre

los lados a y c. Se de�nen las siguientes dos cantidades:

• seno:

sinα =b

c→ b = c sinα

• coseno:

cosα =a

c→ a = c cosα

Como cantidad derivada de estas dos, de�nimos además:

• tangente:

tanα =sinα

cosα=

b

a→ b = a tanα

Es además costumbre utilizar las siguientes funciones adicionales, aunque son mucho

menos importantes:

• cosecante:

cosecα =1

sinα=

c

b

5

• secante:

secα =1

cosα=

c

a

• cotangente:

cotanα =1

tanα=

a

b

A. Ángulos particulares

Es instructivo obtener los valores de las funciones trigonométricas para ciertos án-

gulos particulares. Estos se obtienen sin más que discutir los valores de los lados a,

b y c del triángulo rectángulo cuando �jamos el valor del ángulo.

• 0◦. Del triángulo anterior vemos que, cuando hacemos tender α a cero, la

cantidad b decrece hasta cero también, mientras que a y c tienden a hacerse

iguales. Esto indica que

sin 0◦ = 0, cos 0◦ = 1, tan 0◦ = 0

• 90◦. Este caso hace que a se torne cero comparado con b y c, que tienden a

hacerse iguales. Estonces:

sin 90◦ = 1, cos 90◦ = 0, tan 90◦ → +∞

• 45◦. Ahora a = b, ya que los dos catetos se hacen iguales. Aplicando el teorema

de Pitágoras, c =√a2 + b2 = a

√2 = b

√2, con lo cual

sin 45◦ =b

b√2=

1√2=

√2

2, cos 45◦ =

a

a√2=

1√2=

√2

2, tan 45◦ = 1

• 60◦. En este caso podemos partir de un triángulo equilatero dividido por una

bisectriz (ver la �gura de abajo). Como los ángulos internos de un triángulo

equilatero son iguales a 60◦, surgen entonces dos triángulos rectángulos idén-

ticos, con ángulos de 30◦, 60◦ y 90◦. La hipotenusa c de estos triángulos

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rectángulos se relaciona con su cateto menor, b = c/2, pues los lados del trián-

gulo equilatero inicial son iguales. Tenemos entonces, aplicando el teorema de

Pitágoras, que

a =√

c2 − b2 =√c2 − (c/2)2 =

c√3

2

y

sin 60◦ =a

c=

√3

2, cos 60◦ =

b

c=

1

2, tan 60◦ =

√3

• 30◦. Procediendo como en el caso anterior, pero �jándonos en el ángulo de 30◦,

llegamos a que

sin 30◦ =b

c=

c/2

c=

1

2, cos 30◦ =

a

c=

√3

2, tan 30◦ =

1√3

B. Generalización

Podemos hacer otra construcción que permite generalizar los valores de los ángulos

más allá de 90◦ y dar signi�cado a los valores de las funciones trigonométricas

para estos ángulos. Dibujemos dos ejes, x e y, formados por dos rectas reales

mutuamente perpendiculares con origen común, O, y tal que el eje x mide distancias

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positivas hacia la derecha, y el eje y mide distancias positivas hacia arriba. Además,

dibujemos un círculo de radio r = 1 con origen en O. Los ejes dividen el círculo en

cuatro regiones o cuadrantes, señalados en el dibujo y numerados de 1 a 4.

Consideremos un punto sobre la circunferencia de ese círculo, indicado en el dibujo.

Hemos trazado en azul el radio que separa el origen de este punto, y que de�ne al

punto en términos del ángulo α que forma este radio con el eje x. En rojo hemos

indicado también las proyecciones perpendiculares del punto sobre cada uno de

los ejes. Pues bien, las funciones trigonométricas del ángulo α no son más que

las longitudes desde el origen O de esas proyecciones, sobre el eje x (el cosα) y

el eje y (el sinα). Si lo pensamos en términos del anterior esquema basado en un

triángulo rectángulo, estas nuevas de�niciones tienen perfecto sentido. Al estar

ambas proyecciones sobre los respectivos semiejes positivos de cada eje, concluimos

que las funciones trigonométricas de un ángulo situado en el primer cuadrante, con

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0◦ ≤ α < 90◦, son ambas positivas.

Pero, además, el nuevo esquema nos permite de�nir de manera natural las

funciones trigonométricas de ángulos más allá de 90◦. En la siguiente �gura se

consideran ángulos situados en diferentes cuadrantes. Por ejemplo, si el ángulo

está en el segundo cuadrante, vemos que la proyección del punto correspondiente

sobre el eje y (su función seno) sigue siendo positiva, pero la proyección sobre el

eje x es negativa, con lo que el coseno de ese ángulo es negativo. Si realizamos la

construcción en los cuatro cuadrantes llegamos a la combinación de signos indicada

en la �gura.

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Tenemos pues:

• α en primer cuadrante, 0◦ ≤ α ≤ 90◦ ó 0 ≤ α ≤ π2 ó 0h ≤ α ≤ 6h

0 ≤ cosα ≤ 1, 0 ≤ sinα ≤ 1

• α en segundo cuadrante, 90◦ ≤ α ≤ 180◦ ó π2 ≤ α ≤ π ó 6h ≤ α ≤ 12h

−1 ≤ cosα ≤ 0, 0 ≤ sinα ≤ 1

• α en tercer cuadrante, 180◦ ≤ α ≤ 270◦ ó π ≤ α ≤ 3π2 ó 12h ≤ α ≤ 18h

−1 ≤ cosα ≤ 0, −1 ≤ sinα ≤ 0

• α en cuarto cuadrante, 270◦ ≤ α ≤ 360◦ ó 3π2 ≤ α ≤ 2π ó 18h ≤ α ≤ 24h

0 ≤ cosα ≤ 1, −1 ≤ sinα ≤ 0

Se puede concluir que, globalmente, las funciones trigonométricas seno y coseno

tienen siempre valores en el intervalo [−1, 1].

Con respecto a la función tangente la situación es un poco más delicada. Como

tanα = sinα/ cosα, y el seno no es cero cuando el coseno lo es, vamos a tener una

indeterminación en los ángulos α = 90◦ (ó π/2) y 270◦ (ó 3π/2). Se puede ver que,

si nos aproximamos a α = 90◦ desde valores más pequeños (es decir, desde el primer

cuadrante), sinα tiende a ser 1 desde valores positivos, mientras que cosα tiende

a ser 0 también desde valores positivos; por tanto, tanα tiende a +∞ (escribimos

tanα → +∞). Pero, si nos aproximamos a α = 90◦ desde el segundo cuadrante

(a base de disminuir α), sinα nuevamente tiende a ser 1 desde valores positivos,

pero cosα tiende a ser 0 desde valores negativos. Tenemos pues que tanα → −∞

(estas son las sutilezas de las matemáticas...) La función tangente tiene una seria

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patología en α = 90◦ porque, no sólo carece de un valor �nito, sino que además

su signo es distinto según cómo nos aproximemos a ese ángulo. Lo mismo pasa en

α = 270◦, ya que tanα → +∞ cuando nos acercamos desde el tercer cuadrante

(tanto seno como coseno son negativos), pero tanα → −∞ cuando nos acercamos

desde el cuarto cuadrante (donde el coseno es positivo pero el seno es negativo).

Los valores posibles de la función tanα están en el intervalo (−∞,∞).

C. Cálculo numérico de las funciones trigonométricas

Los valores de las funciones trigonométricas básicas, seno, coseno y tangente, se

obtienen cómodamente con cualquier calculadora. Sólo hay que tener cuidado con

expresar los ángulos en las unidades de�nidas por la calculadora en ese momento

(grados o radianes, unidades que se pueden cambiar en la calculadora en cualquier

momento).

Como resultado importante que podemos comprobar con una calculadora, citamos

una aproximación muy útil para las funciones trigonométricas, válida para ángulos

pequeños. Ya hemos visto que, si α = 0◦, entonces sinα = 0 y cosα = 1. ¾Qué

pasa si el ángulo no es cero pero pequeño? La función seno arranca desde cero

cuando α aumenta desde cero, mientras que la función coseno disminuye (ver la

�gura anterior). Entonces, con el mismo orden de aproximación, se puede demostrar

que

sinα ≃ α, cosα ≃ 1, tanα =sinα

cosα≃ α (2)

Es importante hacer notar que el ángulo α en los segundos miembros hay que expre-

sarlo en radianes; si lo queremos pasar a otra unidad angular, deberemos multiplicar

por el factor apropiado. Por ejemplo, veamos cómo funciona esta aproximación para

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α = 1◦ = 0, 017453293 rad. Tenemos:

sin 1◦ = 0, 017452406, cos 1◦ = 0, 999847695, tan 1◦ = 0, 017455065

Comparando con el valor de α en radianes, vemos que estamos cometiendo un error

que no supera el 0.01%. Este error va aumentando a medida que α se aparta de 1◦,

y disminuyendo a medida que α se acerca a 0◦.

D. Propiedades del ángulo suma y resta

Dos ángulos se pueden sumar y restar (ver �gura). El seno y el coseno de estos

ángulos suma y resta se puede poner como productos y sumas de los correspondientes

senos y cosenos de los ángulos individuales, de acuerdo con las siguientes fórmulas:

sin (α± β) = sinα cos β ± cosα sin β

cos (α± β) = cosα cos β ∓ sinα sin β, (3)

donde α y β son dos ángulos cualesquiera. De acuerdo con estas expresiones, pode-

mos relacionar las funciones trigonométricas de los llamados ángulos complemen-

tarios: dos ángulos α y β se dicen complementarios cuando cumplen la relación

α+ β = 90◦. Entonces, α = 90◦ − β, y:

sinα = sin (90◦ − β) = sin 90◦ cos β − cos 90◦ sin β = cos β

cosα = cos (90◦ − β) = cos 90◦ cos β + sin 90◦ sin β = sin β.

Es decir, los cosenos y los senos de los ángulos complementarios se intercambian.

Aunque ya lo hemos deducido indirectamente a partir del comportamiento de las

funciones trigonométricas en los distintos cuadrantes, podemos también ver cómo

se comportan las funciones cuando el signo del ángulo cambia (pasa de positivo a

negativo o viceversa). A partir de las fórmulas (3), y haciendo α = 0 (con lo que

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sinα = 0, cosα = 1), tenemos:

sin (±β) = ± sin β, cos (±β) = cos β. (4)

Por lo tanto, el seno cambia de signo cuando el ángulo cambia de signo, pero el

coseno se mantiene igual.

E. Funciones trigonométricas inversas

Muy a menudo tenemos que obtener un ángulo α a partir del conocimiento del

valor de una función trigonométrica. Tal cosa no se puede hacer de manera única.

Por ejemplo, imaginemos que sabemos que el valor del coseno de un ángulo α

es cosα = 0, 3491. Al ser el coseno positivo, el ángulo ha de estar en el primer

o en el cuarto cuadrante. Pero, al no tener más información, no podemos dis-

criminar entre los dos valores posibles. En este caso los ángulos posibles serían,

uno α = 69, 6◦, y el otro 360◦ − 69, 57◦ = 290, 43◦ (podemos comprobar que el

coseno de ambos ángulos es igual a 0, 3491). La otra información que necesitamos

sobre el ángulo es, o bien su cuadrante, o bien el valor de su seno (o su signo),

ya que el cuadrante y el signo del seno son distintos para cada uno de los dos

ángulos posibles. En este ejemplo, si nos dijeran que el seno es negativo, entonces

sabríamos con seguridad que el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante,

o sea, el ángulo correcto sería 290, 43◦. Para un ángulo con coseno negativo,

cosα < 0, la incertidumbre aparece nuevamente entre los ángulos α y 360◦ − α

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(que están en el segundo y tercer cuadrantes, respectivamente), ya que ambos

tienen el mismo valor de cosα (no tenemos más que aplicar las fórmulas (3) y

ver que es así), y nuevamente el signo (o valor) del seno nos saca de la incertidumbre.

En caso de que nos den el valor del seno de un ángulo, sinα, vamos a tener

una indeterminación entre los ángulos α y 180◦ − α (en el primer y segundo

cuadrantes si el seno es positivo, o en el tercer y cuarto cuadrantes, si el seno es

negativo), ya que ambos tienen el mismo valor de sinα (no tenemos más que aplicar

las fórmulas (3) y ver que es así). Es el valor o el signo de cosα (que discrimina

entre primer y segundo cuadrantes, o entre el tercer y cuarto cuadrantes) lo que

nos saca de dudas, ya que ambos ángulos tienen distinto signo de su coseno.

A las funciones trigonométricas inversas se les dan nombres especiales. Así,

si nos dicen que x = sinα, entonces α = arcsin x (que se lee `arcoseno de x', o sea,

α es el ángulo cuyo seno es x). Como ya hemos dicho, esta función inversa tiene la

incertidumbre de que corresponde a dos ángulos posibles. Si x = cosα, entonces

α = arccos x (que se lee `arcocoseno de x', o sea, α es el ángulo cuyo coseno es

x). Esta función inversa también tiene la misma incertidumbre. Finalmente, si

x = tanα, entonces α = arctan x (que se lee `arcotangente de x', o sea, α es el

ángulo cuya tangente es x). En este caso la función inversa también tiene una

incertidumbre, ya que tanto α como α+180◦ son ángulos válidos con el mismo valor

de la tangente, y necesitamos o bien el signo del seno o del coseno para averiguar el

ángulo con total certidumbre.

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III. ALGUNOS EJEMPLOS DEL USO DE ÁNGULOS

A. Eratóstenes

El astronómo griego Eratóstenes midió el radio de la Tierra hacia el siglo II a.e.

haciendo la suposición razonable de que el Sol se encuentra muy lejos, de manera

que sus rayos son paralelos cuando llegan a la Tierra. Sabía que en Siena, que se

encuentra cerca del Trópico de Cáncer, el Sol alcanzaba el cénit en el solsticio de

verano y por tanto iluminaba el interior de los pozos a mediodía. Suponiendo además

que Siena y Alejandría tenían la misma longitud, midió el ángulo que proyectaban

las sombras en Alejandría el día del solsticio, obteniendo α = 7, 2◦ (ver �gura).

Aunque no está claro cómo midió la distancia del arco entre ambas ciudades, obtuvo

el equivalente a 924 km (no los 843 km reales). Por tanto, aplicando la ecuación (1),

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obtuvo para el radio terrestre:

r =s

α (rad)=

924 km

7.2◦ × π180 (rad/

◦)= 7353 km

Aunque las suposiciones de Eratóstenes no son completamente correctas, es increíble

como pudo tener el ingenio de llegar a un valor tan cercano al real (6370 km).

B. La paralaje

La paralaje es el ángulo bajo el cual se ve una cierta longitud desde un cierto obser-

vador. Damos dos ejemplos en astronomía. Uno es la llamada paralaje diurna de la

Luna, que se puede de�nir de manera genérica como el ángulo bajo el cual se vería

el radio de la Tierra desde el centro de la Luna. La palabra diurna hace referencia

a la Tierra, ya que, como veremos en otro tema, la paralaje diurna permite calcular

la dirección en la que se ve la Luna para un cierto observador terrestre sabiendo en

qué dirección se vería desde el centro de la Tierra. Su de�nición geométrica aparece

en la �gura.

De la �gura se puede de�nir un triángulo rectángulo, con uno de los catetos igual al

radio de la Tierra R y el otro igual a la distancia geocéntrica de la Luna d. Se in-

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dica también el ángulo de paralaje p. De la de�nición de tangente podemos escribir

directamente

tan p =R

d, d =

R

tan p. (5)

Por tanto, sabiendo p y el radio de la Tierra, podemos calcular la distancia d. Es

costumbre expresar la distancia Tierra-Luna en unidades del radio ecuatorial de la

Tierra, R = 6371 km. Por tanto,

d =1

tan p(radios ecuatoriales de la Tierra)

La paralaje diurna de la Luna ronda el medio grado, 0, 5◦. En radianes, esta cantidad

es 0, 5 . π/180 = 0, 0087 rad. Por lo tanto, es lícito sustituir tan p por p expresado

en radianes, de acuerdo con (2); el error porcentual es

100× tan p− p

p,

que, para p = 0, 5◦, ronda el 0, 003%. Finalmente, pasando los radianes a minutos

de arco con p(rad) = p(′)× π180 ×

160 = 0, 00029p(′),

d =1

0, 00029p(′)=

3437, 7

p(′)(radios ecuatoriales de la Tierra)

Otra paralaje interesante es la llamada paralaje estelar, que se re�ere a las estrellas.

En este caso el radio con el que se compara la distancia al astro es el radio de la

órbita terrestre (ver �gura de abajo). Se veri�ca la misma relación (5), donde ahora

d es la distancia del Sol a la estrella y R es el radio de la órbita de la Tierra. En este

caso la aproximación tan p ≃ p es todavía más correcta que en el caso de la Luna, ya

que p, incluso para las estrellas más cercanas, es una pequeña fracción de segundo

de arco. Expresando p en ′′, teniendo en cuenta que p(rad) = p(′′) × π180 ×

13600 =

4, 848 . 10−6 p(′′), y poniendo R = 1 UA, tenemos:

d =1

4, 848 . 10−6 p(′′)=

206264, 8

p(′′)(UA)

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Es costumbre de�nir una nueva unidad de distancia, el parsec, como 1 pc= 206264, 8

UA = 3, 26 años-luz. Si expresamos d en parsec, la fórmula es:

d =1

p(′′)(pc)

El parsec es la distancia a la que la paralaje es igual a 1′′. Por tanto, sabiendo la

paralaje de una estrella en ′′, obtenemos la distancia en pc calculando el inverso

de la paralaje. Por ejemplo, la paralaje de Capella, α Aur, es de p = 76.20 msa

(milisegundos de arco), o sea, 0, 07620′′. En consecuencia su distancia al Sol en pc

es d = 1/0, 07620 = 13, 12 pc.

C. Azimut en el orto y el ocaso

Como ejemplo adicional en astronomía, consideremos el cálculo aproximado del

azimut del Sol a lo largo del año. En la �gura de abajo se representa un horizonte

típico de latitudes medias del hemisferio boreal terrestre, con el ecuador y el punto

cardinal W, y la situación del Sol en el momento de su ocaso. Suponemos que la

declinacíon del Sol, δ, es negativa, pero los mismos argumentos utilizados en lo

que sigue son válidos en otros momentos del año. En la �gura se puede de�nir

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un triángulo rectángulo de�nido por: una hipotenusa, que es el arco de ecuador

comprendido entre el meridiano celeste del Sol (en línea azul discontinua) y el

meridiano celeste que pasa por el W; un cateto, que es igual a la declinación; y otro

cateto, que es el azimut A del ocaso solar medido desde el W hacia el S. El ángulo

interno del ecuador en el horizonte es igual a 90◦ − φ, siendo φ la latitud del lugar.

En realidad el cálculo que vamos a hacer, basado en la trigonometría plana que

estamos estudiando, es sólo aproximado, ya que el triángulo rectángulo que hemos

de�nido es un triángulo esférico y, sólo en el límite en que un triángulo esférico es

pequeño, la trigonometría plana es una aproximación aceptable. Aquí la desviación

de la realidad asociada a esta aproximación es grande salvo cerca de los equinoccios,

pero sirve a efectos ilustrativos y de hecho, como veremos, es cuantitativamente

razonable.

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Según el dibujo, tenemos la relación

δ = A sin (90◦ − φ) = A cosφ

donde A y δ pueden expresarse en grados o en radianes. Despejando el azimut A:

A =δ

cosφ. (6)

Como, en Madrid, φ = 40◦, tenemos cosφ = 0, 766, y

A =δ

0, 766= 1, 305δ.

Puesto que δ varía entre −23.5◦ en el solsticio de invierno, pasando por 0◦ en el

equinoccio de otoño, y +23.5◦ en el solsticio de verano, el azimut A varía entre

−1, 305 . 23.5 = 30, 7◦ (azimut hacia el S desde el W) en el solsticio de invierno

y +1, 305 . 23.5 = 30, 7◦ (azimut hacia el N desde el W) en el solsticio de verano.

La situación es idéntica en el punto cardinal E a la hora del orto. En realidad, la

fórmula exacta, obtenida de la trigonometría esférica, es

sinA =sin δ

cosφ.

(obsérvese que la fórmula (6) de la trigonometría plana se obtiene de la exacta a

base de suponer que tanto A como δ son ángulos pequeños, de manera que se puede

aproximar el seno por el ángulo). Metiendo números tenemos, para δ = +23.5◦,

sinA = 0, 5205, de donde A = 31, 4◦; el error cometido por la trigonometría plana

es menor que 1◦, lo cual no está nada mal. En otros momentos del año hay que

esperar que el error sea menor, ya que el triángulo esférico implicado es mas pequeño

que en los solsticios.

D. Elongación

Se llama elongación al ángulo en el cielo entre dos astros 1 y 2. La elongación

se puede calcular si conocemos las coordenadas ecuatoriales (ascensión recta α y

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declinación δ) de los astros, digamos α1, δ1 y α2, δ2. La expresión para la elongación

ϵ (obtenida de la trigonometría esférica) es:

cos ϵ = sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos (α2 − α1) (7)

La elongación entre dos astros nunca puede ser mayor que 180◦ (si los astros estu-

vieran diametralmente opuestos en la esfera celeste su elongación sería exactamente

de 180◦). Esto es una ventaja, ya que entre 0◦ y 180◦ la función coseno sólo tiene

un único valor posible, no existiendo ninguna incertidumbre (ϵ está o bien en el

primer cuadrante o bien en el segundo; recordemos que, para el coseno, la incer-

tidumbre ocurre entre el primero y el cuarto cuadrantes, o entre el segundo y el

tercer cuadrantes). Podemos pues hacer

ϵ = arccos (sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos (α2 − α1))

Aquí, salvo que los astros se encuentren a muy poca distancia angular, no se puede

hacer la aproximación de ángulos pequeños.

Por ejemplo, las coordenadas del Sol el 1 de abril de 2017 a las 18:20 UT

son

αS = 0h 44m 54, 3s, δS = +4◦ 49′ 24′′

y las del planeta Marte, en el mismo instante, son:

αM = 2h 54m 38, 2s, δM = +17◦ 04′ 09′′

21

Entonces:

sinαS = 0, 19468, cosαS = 0, 98087,

sin δS = 0, 08408, cos δS = 0, 99646,

sinαM = 0, 69036, cosαM = 0, 72346,

sin δM = 0, 29353, cos δM = 0, 95595,

cos (αS − αM) = 0, 84402.

Metiendo los datos en (7), obtenemos cos ϵ = 0, 82867 y, tomando el arcocoseno,

ϵ = arccos(0, 82867) = 0, 59408 rad = 34, 0◦.

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