GENERALIZACIÓN DE LAS NOCIONES DE Φ-VARIACIÓN DE FUNCIONES...

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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ciencias División de Postgrado Coordinación Programa de Doctorado en Matemáticas GENERALIZACIÓN DE LAS NOCIONES DE Φ-VARIACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Autor: MSc. Mireya R. Bracamonte P. Tutor: Dr. José P. Giménez Q. Co-tutor: Dr. Nelson J. Merentes D. Tesis Doctoral Presentada ante la Ilustre Universidad de los Andes para optar al grado de Doctor en Matemáticas. Mérida - Venezuela Enero / 2012

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UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFacultad de CienciasDivisión de Postgrado

Coordinación Programa de Doctorado en Matemáticas

GENERALIZACIÓN DE LAS NOCIONES DEΦ-VARIACIÓN DEFUNCIONES VECTORIALES

Autor : MSc. Mireya R. Bracamonte P.Tutor : Dr. José P. Giménez Q.Co-tutor : Dr. Nelson J. Merentes D.

Tesis DoctoralPresentada ante la IlustreUniversidad de los Andes

para optar al grado deDoctor en Matemáticas.

Mérida - VenezuelaEnero / 2012

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GENERALIZACIÓN DE LAS NOCIONES DEΦ-VARIACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES

Mireya Bracamonte

Enero 2012

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Índice general

1. Definiciones básicas 1

1.0.1. Notación y terminologías generales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Variación de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Segunda variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2

1.3. p-variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3

1.4. Φ-variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4

1.5. Φ-variación en el sentido de Schramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 6

1.6. Funciones de varias variables con variación acotada . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7

1.6.2. Diferencia de Vitali y particiones . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.3. Variación de Vitali-Hardy-Krause. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.4. Φ-variación en el sentido de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 10

2. Funciones de segundaΦ-variación 12

2.1. SegundaΦ-variación en el sentido de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12

2.2. Funciones de segundaΦ-variación en el sentido de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1. Caracterización de las funciones de segundaΦ-variación acotada. . . . . . . . . . . . . . 25

3. Funciones deΦ-variación en el sentido Schramm-Riesz 35

3.1. El espacioBV SR(Φ,1)[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. El espacioBV SR(Φ,2)([a, b],X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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ÍNDICE GENERAL II

4. Φ-variación acotada bidimensional 46

4.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 46

4.2. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 55

4.3. Funciones absolutamente continuas. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. Lema tipo Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 60

5. Funciones de varias variables conΦ-variación acotada 63

5.1. El espacioRVΦ([a,b],M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68

5.3. El espacioBRVΦ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4. Un teorema de representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 82

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.

A:

Anabel, Adriana y Gabriela por regalar sutiempo, a ellas se debe mi trabajo,

mi madre por su apoyo incondicional y aquien debo mis metas,

Arturo y la memoria de mi padre porquesu orgullo es un gran compromiso.

Mireya

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AGRADECIMIENTOS

Estos últimos años han sido para mí unos de los más importantes, intensos y fascinantes en mi trayectoriaprofesional, pues en este tiempo he tenido la enorme bendición de conocer y de trabajar con personas que me hanayudado, de una forma u otra, en una iniciación en la investigación, que se recoge en el presente documento, y alas que les estoy profundamente agradecida. Aunque el hechode exponer una lista de personas siempre supone unriesgo de olvidar a alguna de ellas, sí quisiera hacer una especial mención de agradecimiento para las siguientes:

En primer lugar, por supuesto, a mi Dios Todopoderoso por serfuente de vida, que ha considerado que terminareste trabajo es para mi bien y por haber puesto en mi camino a las personas que han sido mi soporte y compañíadurante todo el periodo. Luego quisiera mencionar al Dr. José Giménez, que ha sido para mi un auténtico privilegioy honor tenerlo como tutor, y al que me gustaría agradecerle la gran oportunidad que me ha dado, su amistad y laconfianza que ha depositado en mí en el desarrollo de esta tesis doctoral. También quisiera darle las gracias porhaber considerado conveniente trabajar conjuntamente conuno de las personas más trabajadoras y productivas quehe conocido, a la que realmente admiro como persona y como profesional: Dr. Nelson Merentes, mi co-tutor. Aellos quisiera francamente agradecerle, quienes a pesar deotras muchas ocupaciones y dificultades, me brindaronla oportunidad y apoyo en estos últimos años. Muchas graciasde todo corazón y que sea Dios quien se encarguede derramar sus bendiciones sobre ustedes en pago a su dedicación.

Así mismo, debo mencionar que esta tesis pudo ser realizada gracias al apoyo de tres instituciones: La Univer-sidad de los Andes (ULA), que me abrigó en su programa doctoral y que entre su personal docente cuenta al Dr.Giménez (Tutor); al Banco Central de Venezuela (BCV), en especial, a su Presidente, Dr. Nelson Merentes y a laUniversidad Centroccidental “Lisandro Alvarado” quien meotorgó una beca de tres años para el desarrollo de esteproyecto, especialmente a la Decana Yenny Salazar, por su apoyo.

Quisiera también darle las gracias a todos aquellos integrantes del, cada vez más sólido, grupo de investigaciónde funciones de Variación Acotada del BCV, sin duda merecen muchas y buenas palabras, especialmente aquelloscon los cuales he tenido el privilegio de compartir: Dr. JoséLuis Sánchez, Lic. Odalis Mejia, Lic. Zorely Jesús,porque siempre son quienes de forma pronta nos han atendido las necesidades propias de la investigación y brindanauxilio inmediato y diligente en el desarrollo de la misma; al Dr. José Luis Sánchez por su oportuna revisión yvaliosas sugerencias. A Jurancy, con quien además de compartir amistad hemos compartido parte del trabajo.

¿Cómo no podría tener un recuerdo muy especial para el Dr. Diómedes Bárcenas? Con quien inicié mi trabajodoctoral y que aún estando muy enfermo, hasta el momento de sufallecimiento, estuvo pendiente de mi desarrolloprofesional; eso es invalorable; además de ser un ejemplo dededicación y profesionalismo, me enseño que nodebemos dejar pasar la vida sin ocuparnos de las cosas más importantes.

Tuve la gran oportunidad de conocer algunos excelentes profesionales fuera de Venezuela: Dr. J. Matkoski,Dr. J. Banas, Dr. Nikodem, gracias por su valiosa y desinteresada colaboración al realizar comentarios y valiosassugerencias del trabajo en desarrollo. Y de igual forma, aquí en nuestro país: al Dr. Hugo Leiva y MSc.Sergio Rivaspor sus valiosas sugerencias.

En el plano personal, realizar este trabajo significa menos dedicación y atención a la familia, por ello por último,pero sin duda el agradecimiento más importante es para ellos: mi mamá, por su comprensión, inestimable ayuday constante estímulo para seguir adelante. A mis hijas: Adriana, Anabel y Gabriela porque apenas han dispuestodurante este tiempo de una madre a tiempo parcial y limitado,pero son mi razón de seguir adelante. Arturo, quesiempre ha estado allí para echarme la mano y le ha dado una nueva estrella a la casa: Mariangela. Entre lasamistades más cercanas, Miguel Vivas, siempre estuvo ahí, en ocasiones con más confianza en el trabajo que yomisma; así como Lorena López, a quien también le he robado el tiempo en la realización de mí trabajo, gracias porbrindarnos tu tiempo, casa y amistad. ¿ Quién puede pedir más?

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Agradezco a toda mi familia y amigos: todos me han ayudado, desde los que insistían en enterarse del temade la tesis hasta los que preguntaban que cuándo estaría terminada, pasando por los que se reían de ella y de lainvestigación en Matemáticas, contribuyendo así a aligerar el peso. Cada uno sabe la parte que le corresponde.

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Resumen

Este trabajo contiene los resultados de la investigación realizada sobre la generalización de la noción deΦ-variación acotada de funciones, con valores en un semigrupo métrico, las cuales extienden la importante clasede funciones de variación acotada.

La misma se divide en capítulos. El capítulo 1 establece un marco referencial adecuado, la notación a utilizary los resultados fundamentales, a partir de los cuales se desarrollará el resto del trabajo.

El capítulo 2 está dedicado a presentar dos diferentes generalizaciones del concepto de funciones con segundavariación acotada. Se demuestra que una funciónf ∈ X [a,b], con valores en un espacio de BanachX, tienesegundaΦ-variación acotada, en el sentido de Young si, y sólo si, puede ser expresada como la integral de Bochnerde una función con primeraΦ-variación acotada. Resultados similares se demuestran para funcionesf ∈ X [a,b],de segundaΦ-variación acotada, en el sentido de Riesz y finalizamos el capítulo presentando el lema tipo Riesz, elcual ofrece una desigualdad que nos permite realizar una estimación de la segundaΦ−variación. Estos resultadosextienden los presentados por Russell y Upton en 1983 ( [51])y por Young en 1937 ([59]) y fueron publicados en[9] y [10] respectivamente.

En el capítulo 3 presentamos el concepto de funciones deΦ-variación en el sentido de Schramm-Riesz parafunciones con valores en un espacio normado y definidas sobreun intervalo[a, b] ⊂ R dando paso al estudio defunciones con segundaΦ-variación en el sentido de Schramm-Riesz.

Finalizamos con el capítulo 5 presentando una generalización de la noción de funciones deΦ-variación aco-tada, en el sentido de Riesz, para funciones de varias variables reales que toman valores en un semigrupo métrico.Esto extiende el trabajo realizado en [4], en el cual los autores presentan la noción deΦ-variación acotada, enel sentido de Riesz, definidas sobre un rectángulo enR2, así como un trabajo realizado por los responsables delpresente trabajo en [8] para funciones definidas en un rectángulo, con valores en un espacio de Banach reflexivo.Además, de extender algunos resultados de V. Chistyakov ([15]) y una versión del lema de Riesz para el caso defunciones de varias variables que toman valores en un espacio de Banach reflexivo.

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Introducción

Es una tarea difícil tratar de aislar, en la historia, el origen de las funciones de variación acotada, sinembargo, muchos autores coinciden al afirmar que esta clase tiene su origen en la búsqueda de resolver la conjeturaplanteada, en 1807, por Fourier que establece: “Toda función arbitraria definida en un intervalo puede representarsecomo una serie de senos y cosenos” [29]. En 1829 P. L. Dirichlet demostró el hoy llamado Criterio de Dirichlet sobrela convergencia de series de Fourier, que garantiza que: “ Toda función real, definida por medio de un número finitode partes monótonas, tiene serie de Fourier puntualmente convergente enR” [27], y es en 1881 cuando C. Jordan[35] introduce las funciones de variación acotada y demuestra que ellas se pueden representar como diferencia defunciones monótonas y, en consecuencia, satisfacen el teorema de Dirichlet.

Por otra parte, según [13], dos preguntas que atrajeron la atención de algunos matemáticos a finales del sigloXIX son:

1. ¿Cuál es el espacio lineal más pequeño que contenga las funciones monótonas?

2. ¿Para qué clase de funcionesf se tiene que su gráfico{(x, y) : y = f(x)} tiene longitud finita?.

Du Bois-Reymond, por su lado, atacó el primer problema, señaló que una funciónf que es integral de su derivadapuede escribirse como

f(x) = f(a) +

∫ x

a[f(t)]+dt−

∫ x

a[f(t)]−dt,

donde[f(x)]+ := max{f(x), 0} y [f(x)]− := mın{−f(x), 0}. Esto lo llevó a un problema más difícil ¿Quéfunciones son la integral indefinida de su derivada?. C. Jordan, resuelve estos problemas con la introducción de lasfunciones de variación acotada.

Desde entonces, la noción de funciones de variación acotada, introducida por Jordan, desempeña un papel cen-tral en muchas investigaciones y ha dado lugar a algunas generalizaciones del concepto, sobre todo, con intenciónde buscar una clase de funciones “más grande” cuyos elementos tengan serie de Fourier puntualmente convergente.Al igual que en el caso clásico, estas generalizaciones han encontrado muchas aplicaciones en el estudio de ciertasecuaciones diferenciales integral ([12]). N. Wiener fue probablemente el primero en modificar la definición dadapor Jordan y mejorar el teorema de la convergencia; cuando introduce la variación cuadrática. Esta generalizaciónse le han encontrado una gran cantidad de aplicaciones, es utilizada en el estudio del Movimiento Browniano oproceso de Wiener, el cual es un proceso estocástico continuo basado en la teoría de probabilidad. Este proceso esaplicado en la teoría matemática de las finanzas en la determinación de modelos de precios del mercado de valores.

Posteriormente, L. C. Young y E. R. Love basado en el trabajo de Wiener y, finalmente, Musielak y Orliczintroducen laΦ-variación que incluye las generalizaciones anteriores. Salem introduce una condición suficiente enla funciónΦ para la convergencia de Series de Fourier.

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En esta tesis se expone el trabajo de investigación realizado sobre la generalización de la noción deΦ-variaciónacotada de funciones, con valores en un semigrupo métrico, las cuales extienden la importante clase de funcionesde variación acotada.

La misma se divide en capítulos. El capítulo 1 establece un marco referencial adecuado, la notación a utilizary los resultados fundamentales, a partir de los cuales se desarrollará el resto del trabajo.

El capítulo 2 está dedicado a presentar dos diferentes generalizaciones del concepto de funciones con segundavariación acotada. Se demuestra que una funciónf ∈ X [a,b], con valores en un espacio de BanachX, tienesegundaΦ-variación acotada, en el sentido de Young si, y sólo si, puede ser expresada como la integral de Bochnerde una función con primeraΦ-variación acotada. Resultados similares se demuestran para funcionesf ∈ X [a,b],de segundaΦ-variación acotada, en el sentido de Riesz y finalizamos el capítulo presentando el lema tipo Riesz, elcual ofrece una desigualdad que nos permite realizar una estimación de la segundaΦ−variación. Estos resultadosextienden los presentados por Russell y Upton en 1983 ( [51])y por Young en 1937 ([59]) y fueron publicados en[9] y [10] respectivamente.

En el capítulo 3 presentamos el concepto de funciones deΦ-variación en el sentido de Schramm-Riesz parafunciones con valores en un espacio normado y definidas sobreun intervalo[a, b] ⊂ R dando paso al estudio defunciones con segundaΦ-variación en el sentido de Schramm-Riesz.

Finalizamos con el capítulo 5 presentando una generalización de la noción de funciones deΦ-variación aco-tada, en el sentido de Riesz, para funciones de varias variables reales que toman valores en un semigrupo métrico.Esto extiende el trabajo realizado en [4], en el cual los autores presentan la noción deΦ-variación acotada, enel sentido de Riesz, definidas sobre un rectángulo enR2, así como un trabajo realizado por los responsables delpresente trabajo en [8] para funciones definidas en un rectángulo, con valores en un espacio de Banach reflexivo.Además, de extender algunos resultados de V. Chistyakov ([15]) y una versión del lema de Riesz para el caso defunciones de varias variables que toman valores en un espacio de Banach reflexivo.

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Capítulo 1

Definiciones básicas

En este capítulo inicial presentamos definiciones básicas y resultados generales sobre las nociones defunciones de variación acotada, en el sentido de Jordan; segunda variación,Φ-variación acotada, tanto en el sentidode Wiener como en el sentido de Riesz y funciones de varias variables de variación acotada. El objetivo es esta-blecer en un marco referencial adecuado, y para comodidad del lector, presentaremos la notación a utilizar y losresultados fundamentales a partir de los cuales se desarrollará el resto del trabajo. Sin embargo, no incluimos lasdemostraciones de estos resultados y las mismas pueden verse en la bibliografía citada en cada caso.

1.0.1. Notación y terminologías generales

La terminología empleada a lo largo del trabajo es estándar,N denota el conjunto de los enteros positivos yN0 = N ∪ {0}. Dados dos conjuntosA y B, escribiremosBA para denotar el conjunto de todas las funcionesdefinidas enA con valores enB. Dado un intervalo cerradoI = [a, b] enR, una partición deI es una colecciónfinita de puntosξ = {t0, t1, · · · , tn} que satisfacen la relacióna = t0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn−1 ≤ tn = b. Enel caso en que una particiónξ deba tener por lo menosk de puntos, dondek es un entero mayor a 2, se escribeξ ∈ πk[a, b]. Nuestras referencias básicas para consultar estas definiciones son [15, 16, 49].

1.1. Variación de Jordan.

La clase de las funciones de variación acotada sobre un intervalo [a, b] juega un papel importante en el análisisreal; como este trabajo está dedicado a dar generalizaciones de funciones de variación acotada, es justificablededicar espacio para considerar las definiciones y propiedades de variación acotada que se han dado, y que son lasresponsables de haber generado el interés por este concepto.

C. Jordan en 1881, [35], define las funciones de variación acotada sobre un intervalo[a, b] con valores reales,como se muestra a continuación.

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Seanf una función de valores reales sobre un intervalo cerrado[a, b]. Se define lavariación totalde

f sobre[a, b] porTV (f) := sup

{n∑

i=1|f(ti)− f(ti−1)| : {ti}

ni=0

∈ π[a, b]

}. La funciónf se dice de

variación acotadasobre[a, b] si TV (f) < ∞.

Definición 1 ([35, 49]).

Jordan, además, establece la relación entre esta clase y lasfunciones monótonas, demostrando que:Una funciónf : [a, b] → R es de variación acotada si, y sólo si, es la diferencia de dos funciones monótonas. Este hecho tieneconsecuencias importantes:en primer lugar, todas las funciones de variación acotada en un intervalo cerrado[a, b]son regladas o regulares, es decir, los límites laterales para cada punto de[a, b] existen; ypor otra parte, por uncélebre teorema de H. Lebesgue (véase, [49, pág 112]) una función de variación acotada es diferenciable en casitodas partes en[a, b]. Esto quiere decir que esta clase es sorprendentemente grande: incluye, por ejemplo, todas lasfunciones Lipschitz. Históricamente una de las implicaciones más importantes de la caracterización de Jordan esque permite extender el criterio de Dirichlet sobre la convergencia de las series de Fourier de una función monótonade la clase de funciones de variación acotada.

Otras propiedades más generales de estas funciones de variación acotada así como sus aplicaciones son estudia-das ampliamente en Matemática clásica y en Análisis como en Matemática constructiva (Ver [7, 11, 60]). Además,el interés generado por este concepto ha llevado a algunas generalizaciones del concepto, sobre todo, destinadas ala búsqueda de una clase de funciones más grande, cuyas funciones tengan series de Fourier puntual convergentes.Como en el caso clásico, esta generalización también ha encontrado muchas aplicaciones en el estudio de ciertasecuaciones integro-diferenciales (ver [12]).

1.2. Segunda variación

Ch.J. De La Vallée Poussin en 1908 ([26]) generaliza el concepto de Jordan de variación acotada cuando definelas funciones de segunda variación acotada sobre un intervalo [a, b], como se muestra a continuación.

Seanf una función de valores reales definida sobre un intervalo cerrado [a, b]. Se define lasegundavariacióndef sobre[a, b] por:

V 2(f) = sup

n−1∑

j=1

∣∣∣∣f(tj+1)− f(tj)

tj+1 − tj−

f(tj)− f(tj−1)

tj − tj−1

∣∣∣∣ : {ti}ni=0 ∈ π3[a, b]

.

Si V 2(f) < ∞ se dice quef tienesegunda variación acotadasobre[a, b].

Definición 2 ([26, 51]).

La clase de todas las funciones que tienen segunda variaciónacotada sobre[a, b] se denota porBV 2([a, b]). Esconocido que sif tiene segunda variación acotada sobre[a, b], entoncesf es absolutamente continua sobre[a, b]y puede ser representada como diferencia de funciones convexas. Además, esta clase, equipada con la norma‖f‖BV 2([a,b]) := |f(a)|+ |f ′(a)|+ V 2(f), es un espacio de Banach.

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Unos años más tarde, F. Riesz [47], en 1911, demuestra que unafunción F tiene segunda variación acotadasobre [a, b] si, y sólo si, es la integral indefinida de Lebesgue de una función f de variación acotada.

1.3. p-variación

F. Riesz en 1910 [46], para cada1 < p < ∞, introduce la clase de funciones dep-variación acotada sobre[a, b], llamada hoy funciones dep-variación acotada en el sentido de Riesz.

Seanf una función de valores reales definida sobre el intervalo[a, b], 1 < p < ∞. Lap variación def ,se define como:

V Rp (f ; [a, b]) =

{n∑

i=1

|f(ti)− f(ti−1)|p

|ti − ti−1|p−1: {ti}

ni=0

∈ π[a, b]

}.

Se dice quef tienep-variación acotadasi V Rp (f ; [a, b]) < ∞.

Definición 3 ([46]).

Además, Riesz demostró que, para1 < p < ∞, esta clase coincide con la clase de las funcionesf que sonabsolutamente continuas y cuya derivadaf ′ ∈ Lp[a, b] . De hecho, el famosoLema de Rieszestablece que

V Rp (f ; [a, b]) < ∞ ⇐⇒ V R

p (f ; [a, b]) = ‖f ′‖pLp[a,b]

.

F. Riesz demostró que estas funciones dep-variación acotada se corresponden con aquellas funcionesabsoluta-mente continuas con derivada en el espacioLp. Con esto, se sientan las bases para nuestras generalizaciones,relacionadas al papel desempeñado por la funcióntp en esta definición. Posteriormente, en 1924, N. Wiener ([58]) generaliza el concepto dado por Jordan, cuando introduce el concepto de funciones dep-variación acotada, hoyconocido como funciones dep-variación acotada en el sentido de Wiener; para1 < p < ∞.

Seaf una función de valores reales sobre un intervalo cerrado[a, b]. Se define lap-variación totaldefsobre[a, b] por

Vp(f ; [a, b]) := sup

{n∑

i=1

|f(ti)− f(ti−1)|p : {ti}

ni=0 ∈ π[a, b]

}.

La funciónf se dice dep-variación acotada sobre[a, b] si Vp(f ; [a, b]) < ∞.

Definición 4 ([58]).

Note que, sip = 1, se obtiene queBV1([a, b]) es el espacio de funciones introducido por Jordan. Además, envirtud de la desigualdad de Jensen, se ha demostrado queBVp([a, b]) ⊆ BVq([a, b]) para1 ≤ p < q < ∞.

Hoy día, para distinguir estas dos últimas clases, se hace referencia a ellas comop-variación acotada en elsentido de Riesz, definición 3, yp-variación acotada en el sentido de Wiener, definición 4.

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1.4. Φ-variación

En el trabajo, se consideran funcionesΦ : [0,+∞) → [0,+∞), continuas, estrictamente crecientes,Φ(t) = 0

si, y sólo si,t = 0 y lımt→∞

Φ(t) = +∞. Al conjunto formado por todas las funcionesΦ que satisfagan estas

condiciones se le denotará porN , además, se denotará porN∞. Al conjunto de todas las funcionesΦ ∈ N , que

satisfacen lacondición de Orlicz(también llamada condición∞1, por algunos autores): lımt→∞

Φ(t)

t= ∞. En [42]

a las funciones deN se les llamaϕ-funciones, y en [36] las funciones deN∞ son llamadasN-funciones.

Cualquier funciónΦ ∈ N es estrictamente creciente y, por lo tanto, su función inversaΦ−1 es una

función continua y cóncava; además, las funcionest 7−→Φ(t)

ty t 7−→ tΦ−1

(1

t

)son no decrecientes

parat > 0, de esta manera tendremos que:

Φ′(0) = lımt→0+

Φ(t)

t∈ [0,+∞), [Φ] = lım

t→+∞

Φ(t)

t∈ (0,+∞].

Por otra parte, siΦ ∈ N∞, entonces

lımt→0+

tΦ−1(ct

)= c lım

t→∞

t

Φ(t)= 0, c ∈ [0,+∞).

En 1937, L.C. Young, mientras estudia el comportamiento de las series de Fourier, introduce la nocióndeΦ-variación de una función real, [59], que parece ser una de las generalizaciones más importantes dela variación clásica en el sentido de Jordan. El espacio de las funciones deΦ-variación acotada, desde elpunto de vista del análisis funcional y algunas aplicaciones, fue estudiado por J. Musielak y Orlicz W.[43], por R. Lesniewicz y W. Orlicz [37]. Además, la composición de funciones deΦ-variación acotada esinvestigada por J. Ciemnoczolowski y W. Orlicz [24]; en particular, ellos demuestran una generalizacióndel resultado dado por M. Josephy [34] con respecto a la composición de funciones de variación acotadaen el sentido de Jordan.

SeanΦ ∈ N , f una función de valores reales sobre un intervalo cerrado[a, b] y ξ = {ti}ni=0

una partición de[a, b]. Se define laΦ-variación def , en el sentido de Wiener, con respecto aξpor

VW

Φ (f, ξ) :=

n∑

i=1

Φ(|f(ti)− f(ti−1)|),

y laΦ-variación total, en el sentido de Wienerdef sobre[a, b] por

VW

Φ (f ; [a, b]) := sup{VΦ(f, ξ) : ξ ∈ π[a, b]}.

La función f se dice deΦ-variación acotada en el sentido de Wiener, sobre [a, b] siV

W

Φ (f ; [a, b]) <∞.

Definición 5.

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La clase de todas las funciones tales queVW

Φ (f ; [a, b]) < ∞ no es necesariamente un espacio lineal,por ello se considera el menor espacio lineal que contiene dicha clase y se denota porBV

W

Φ [a, b]. Seha demostrado quef ∈ BV

W

Φ [a, b] si, y sólo si„ existeλ > 0 tal queVW

Φ (λf ; [a, b]) < ∞. Además,BV

W

Φ [a, b] es un espacio de Banach dotado de la norma‖f‖W

Φ := ‖f‖∞+ınf{k > 0 : VW

Φ (f/k; [a, b]) ≤1}, donde‖ · ‖∞ denota la norma del supremo sobre[a, b].

Así, en 1953, Yu. T Medvedev [44], posterior al trabajo de L.C. Young, presentó la siguiente genera-lización de lap-variación acotada en el sentido de Riesz.

SeanΦ ∈ N , f una función de valores reales definida sobre el intervalo[a, b]. Se define laΦ-variación def , en el sentido de Riesz, como:

V RΦ (f ; [a, b]) = sup

{n∑

i=1

Φ

(|f(ti)− f(ti−1)|

ti − ti−1

)(ti − ti−1) : {ti}

ni=0 ∈ π[a, b]

}<∞.

Se dice quef tieneΦ-variación finitao acotada, en el sentido de Riesz, siV RΦ (f ; [a, b]) <∞.

Definición 6.

Esta clase de funciones es denotada porRVΦ[a, b]. Medvedev también presentó una generalizacióndel clásico lema de Riesz, al demostrar la siguiente proposición:

Proposición 1 f ∈ RVΦ[a, b] si, y sólo si„ f es absolutamente continua sobre[a, b] y∫ b

aΦ(|u′(t)|)dt <∞. De hecho,V R

Φ (f ; [a, b]) =∫ b

aΦ(|f ′(t)|)dt.

SeaΦ ∈ N .

(i) Se dice queΦ satisface la condiciónδ2, Φ ∈ δ2, si existen constantesx0 > 0 y K > 0

tales queΦ(2t)

Φ(t)≤ K para cadat ∈ (0, x0].

(ii) Se dice queΦ satisface la condición∆2, Φ ∈ ∆2, si existenx0 ≥ 0 y K > 0 tales queΦ(2t)

Φ(t)≤ K para cadat ≥ x0. Si t0 = 0, es usual decir queΦ satisfaceglobalmentela

condición.

Definición 7 ([1, 36]).

Musielak y Orlicz ([43]) demuestran que la clase de las funciones tales queVW

Φ (f ; [a, b]) < ∞ eslineal si, y sólo si,Φ satisface la condiciónδ2. Es decir,

{f : [a, b] → R / V

W

Φ (f ; [a, b]) <∞}= BV

W

Φ [a, b] ⇐⇒ Φ ∈ δ2.

Observación 1 Usualmente se pide que la funciónΦ satisfaga las condiciones:

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(i) Φ sea convexa, (ii) lımt→0+

Φ(t)

t= 0, (iii) lım

t→+∞

Φ(t)

t= +∞.

Las dos últimas condiciones nos garantizan queBVW

Φ [a, b] es una generalización deBV [a, b], mien-tras que la primera hace más accesibles los cálculos.

En el resto del trabajo consideramos queΦ satisface las dos primeras condiciones y si satisface latercera condición, se indicará que satisface la condición de Orlicz o condición∞1.

1.5. Φ-variación en el sentido de Schramm

Una sucesión deϕ-funcionesΦ = {ϕn}n≥1 es llamada unaN -sucesión si para todot > 0 :

ϕn+1(t) ≤ ϕn(t), n ≥ 1, y∑

n≥1

ϕn(t) = +∞.

Si cadaϕn ∈ Φ pertenece aN∞ escribiremosΦ ∈ N∞.

Definición 8 (N -suceción).

Denotaremos porI[a, b] a la familia de todas las sucesiones{In := [an, bn]}n≥0 de sub-intervaloscerrados de[a, b] tales que|In| := bn − an > 0, para cadan ≥ 0.

SeaΦ = {ϕn}n≥1 unaN -sucesión. Una funciónf [a, b] → R se dice que es una función deΦ-variación, en el sentido de Schramm, si

V S(Φ,1)(f ; [a, b]) := sup

{[an,bn]}∈I[a,b]

n

ϕn(|f(bn)− f(an)|) < ∞.

Definición 9 ([52]).

BV SΦ ([a, b]) denota la colección de todas las funcionesf tales quecf es deΦ-variación acotada en el

sentido de Schramm para algunac > 0. Sobre este espacio de define la norma

‖f‖ = |f(a)|+ ınf

{k > 0 : V S

(Φ,1)

(f

k; [a, b]

)≤ 1

},

con la cual es un espacio de Banach.

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1.6. Funciones de varias variables con variación acotada

La noción de funciones de varias variables con variación acotada (Ver [33, 38]), se remonta a Vitali[57], Hardy [32] y Krause [25]. Seis de estas definiciones dadas se asocian generalmente con los nombresde Vitali ([56]), Hardy ([32]), Arzelá ([?]), Pierpont ([?]), Fréchet ([28]) y Tonelli ([55]). Aún cuando noha sido completamente determinada la relación entre las diferentes definiciones, existen trabajos como[25] donde se investigan algunas de estas relaciones.

Presentamos aquí el espacio de funciones den variables con variación total finita en el sentido deVitali, Hardy y Krause, definidas sobre un rectángulo enRn, dada por V.V. Chistyakov en [21] paran = 2 y posteriormente generalizada en 2002 [22].

1.6.1. Notación

Comencemos dando algunas notaciones y definiciones que se utilizan en el resto del trabajo, que nose presentaron en la sección 1.0.1, propias de funciones de variables variables y/o funciones de variasvariables con variación acotada. Algunas de ellas fueron presentados por V.V. Chistyakov en [16, 20], yen aras de optimizar la notación se ha complementado con notaciones dadas en [54].

Un punto típico enRn se denotará comox = (x1, x2, · · · , xn) := (xi)ni=1; los vectores unitarios deRn

que se denotarán porej (j = 1, 2, . . . , n); esto es,ej := (ej1, ej2, · · · , e

jn) donde,ejr :=

{0 if r 6= j1 if r = j.

.

La n-upla(0, 0, . . . , 0) se denotará por0, y por1 denotaremos lan-upla1 = (1, 1, . . . , 1).

Si α = (α1, α2, · · · , αn), conαj ∈ N0, es unan-upla de enteros no negativos, será llamadaα unmulti-indice([1]).

Si a,b ∈ Rn la notacióna < b indicará quexi < yi para cadai = 1, · · · , n y de forma semejante

son definidasa = b, a ≤ b, a ≥ b y a > b. Si a < b, el conjuntoJ := [a,b] =n∏

i=1

[ai, bi] es llamado

un intervalo cerradon-dimensional. El volumen euclidiano de un intervalo cerradon-dimensional se

denotará porV ol [a,b]; esto es,V ol [a,b] =n∏

i=1

(bi − ai).

Además, paraα = (α1, α2, · · · , αn) ∈ Nn0 y x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn usaremos las notaciones

|α| := α1 + α2 + · · ·+ αn y αx := (α1x1, α2x2, · · · , αnxn).

α es llamada,normadeα.

Consideramos funciones cuyo dominio es un intervalo cerrado n-dimensional[a,b] y cuyo rango seencuentra en un semigrupo métrico(M, d,+) ([19]); es decir,(M, d,+) es una triada, donde(M, d) es unespacio métrico con métricad invariante por traslación y(M,+) es un semigrupo abeliano. En particular,la desigualdad triangular implica que, para cadau, v, p, q ∈M , se cumplen las siguientes desigualdades:

d(u, v) ≤ d(p, q) + d(u+ p, v + q), y

d(u+ p, v + q) ≤ d(u, v) + d(p, q).

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Es claro que todo espacio normado es un semigrupo métrico.

1.6.2. Diferencia de Vitali y particiones

Sea[a,b] un rectángulo enRn, f : [a,b] → R y x,y ∈ Rn, x < y. La n-diferencia Vitali def sobre el rectángulo[x,y] ⊆ [a,b] es la cantidad ([57]):

mdn(f ; [x,y]) :=∑

0≤θ≤1

(−1)|θ|f(x+ θ(y − x)).

Definición 10.

Consideramos ahora,particiones tipo malla, o simplementemallas, de [a,b] =n∏

i=1

[ai, bi]; esto es ,

las particiones del tipoξ = ξ1 × ξ2 × · · · × ξn conξi := {t(i)j }kij=0, i = 1, . . . , n. donde,{ki}ni=1 ⊂ N ycadai, ξi es una partición de[ai, bi]. El conjunto de todas las mallas de un intervalo[a,b] se denotaráporπ([a,b]).

En el caso den = 3 un intervalo3-dimensionalcon una malla determinada por:

ξ1 = {t10 = a1, t11, t

12, t

13, t

14 = b1}

ξ2 = {t20 = a2, t21, t

22, t

23, t

24 = b2}

ξ3 = {t30 = a3, t31, t

32, t

33 = b3},

luce co-

mo se muestra en la figura adjunta.

Un punto en una mallaξ es llamadonodo([54])y es de la forma

tα := (t(1)α1, t(2)α2

, t(3)α3, · · · , t(n)αn

)

donde0 ≤ α = (αi )ni=1 ≤ κ, conκ := (ki)

ni=1.

En aras de la simplicidad en la notación, nos li-mitaremos a escribirξ = {tα}, para referirnos atodos los nodos que forman una particiónξ dada.

En el caso den = 3, un nodo corresponde a unvértice de uno de los paralelepípedos generados porla malla.

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Unaceldade un intervalon-dimensional[a,b]es un sub-intervalon-dimensional de la forma[tα−1, tα], para0< α ≤ κ. En el caso en quen = 3una celda corresponde a uno de los paralelepípedosgenerados por la partición tipo malla.

Note quet0 = (t(1)0 , t

(2)0 , · · · , t(n)0 ) = (a1, a2, · · · , an) y tκ = (t

(1)k1, t

(2)k2, · · · , t(n)kn

) = (b1, b2, · · · , bn).

1.6.3. Variación de Vitali-Hardy-Krause.

La n-esima variación de Vitali def : [a,b] → R se define por

Vn(f, [a,b]) := supξ

1≤σ≤κ

|mdn(f, [tσ−1, tσ])|,(1.1)

donde el supremo es tomado sobre todas las mallasξ ∈ π([a,b]).

Definición 11([23]).

Si n = 1, Vn(f, [a,b]) es la variación de Jordan, definida en la sección 1.1.

V.V. Chistyakov en [23] define la noción de variación def de orden inferior (menor quen), queinicialmente, se debe a Hardy y Krause ([18, 32, 38]). Para ello, se definen para cada multi-índice0 6=α ≤ 1 el truncamiento de un puntox ∈ Rn, comox⌊α = (xi : i ∈ {1, 2, · · · , n}, αi = 2) ∈ R|α|. Seestablece además, el truncamiento de un intervalo, como

[a,b]⌊α := [a⌊α,b⌊α] =∏

i∈{1,2,··· ,n}αi=1

[ai, bi].

Claramente six⌊1 = x, [a,b]⌊1 = [a,b] y si x ∈ [a,b] entoncesx⌊α ∈ [a,b]⌊α.

Si f : [a,b] → R, z ∈ [a,b] y 0 6= α ≤ 1, se define el truncamientof zα : [a,b]⌊α → R con basez

como sigue:

f zα(x⌊α) := f(z+ α(x− z)) = f(αx+ (1− α)z), x ∈ [a,b].

La idea detrás de esto es quef zα depende sólo de|α| variablesxi ∈ [ai, bi] (esto es, para los cuales

αi = 1), y las otras variables son fijas e iguales azi (si αi = 0).

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Luego, dadosf : [a,b] → R y 0 6= α ≤ 1, la funciónf zα depende de|α|-variables y, por lo

tanto, haciendo uso de (1.1) y la definición 10, conn = |α|, f reemplazada porf zα y [a,b] por [a,b]⌊α,

obtenemos la definición de la|α|-variación def , ó Hardy-Krause variación, la cual se denotará porV|α|(f

zα, [a,b]⌊α).

La variación total def : [a,b] → R en el sentido de Hildebrandt [33] y Leonov [38] es definidapor

TV (f, [a,b]) :=∑

0 6=α≤1

V|α|(fzα, [a,b]⌊α).

Definición 12.

V. V. Chistyakov define el espacio de funciones con variacióntotal finita (en el sentido Vitali, Hardyy Krause) comoBV ([a,b];R) := {f : [a,b] → R : TV (f, [a,b]) < +∞} y es equipado con la norma

‖f‖BV ([a,b];R)

= |f(a)|+ TV (f, [a,b]),(1.2)

(Ver [33] paran = 2 y [38] para todon).

Hildebrandt ha demostrado ([33], paran = 2) y Leonov ([38] paran ∈ N) que el espacioBV ([a,b];R) coincide con el conjunto de todas las funciones de variaciónfinita en la modificaciónde Hardy y Krause ([2]). Además, en [33] (paran = 2) y en [38] (paran ∈ N) se demuestra queBV ([a,b];R) es un espacio de Banach con la norma (1.2).

1.6.4. Φ-variación en el sentido de Riesz

Es natural considerar la generalización de la noción deΦ-variación acotada, dadas en la sección 1.4,a funciones de varias variables. En efecto, la noción de funciones reales deΦ-variación acotada, en elsentido de Riesz, definidas sobre un rectángulo[a,b] ⊆ R2, es presentada en 2010 por W. Aziz, J.Giménez y N. Merentes en [4]; como se muestra a continuación.

a) Seaf : [a,b] → R una función. Se define lavariación en el sentido de Jordandef en [a1, b1]×{x2} porV[a1 , b1 ](f(·, x2)) := supξ

∑mi=1

∣∣∆10f(ti, x2)∣∣,

donde el supremo es tomado sobre el conjunto de las particionesξ del intervalo[a1, b1].

b) De manera similar parax1 ∈ [a1, b1] fijo, se define lavariación en el sentido de Jordandef en{x1} × [a2, b2], porV[a2 , b2 ](f(x1 , ·)) := supη

∑nj=1

∣∣∆01f(x1, sj)∣∣, donde el supremo es tomado

sobre el conjunto de las particionesη del intervalo[a2, b2].

c) Se define la variación de Hardy-Vitali de f : [a,b] → R por V[a,b](f) :=

supξ×η

∑mi=1

∑nj=1

∣∣∣∆11f(ti, sj)∣∣∣, donde el supremo es tomado sobre el conjunto de todas las par-

ticiones(ξ, η) de[a1, b1]× [a2, b2].

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d) La variación total def se define como

TV (f) = TV (f ; [a,b]) := V[a1,b1](f(·, a2)) + V[a2,b2](f(a1, ·)) + V[a,b](f).

Se dice que la funciónf : [a,b] → R tiene variación total acotadasi

TV (f) = V[a1,b1](f) + V[a2,b2](f) + V[a,b](f) <∞.

Definición 13.

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Capítulo 2

Funciones de segundaΦ-variación

En este capítulo presentamos una generalización del concepto de segunda variación para funcionescon valores en un espacio normado, definidas sobre un intervalo [a, b] ⊂ R. Demostramos que unafunción f ∈ X [a,b], con valores en un espacio de BanachX, tiene segundaΦ-variación acotada, en elsentido de Young, si y sólo si, puede ser expresada como la integral (Bochner) de una función de primeraΦ-variación acotada. Además, demostraremos que siX es un espacio de Banach reflexivo, la funciónf ∈ X [a,b], es de segundaΦ-variación acotada, en el sentido de Riesz, si y sólo si puedeexpresarsecomo la integral (Bochner) de una función de primeraΦ-variación. Finalizamos el capítulo presentando,el lema tipo Riesz, el cual ofrece una desigualdad que nos permite realizar una estimación de la segundaΦ−variación.

Estos resultado, extiende los presentado por Russell y Upton en 1983 ( [51]) y por Young en 1937 ([59] ).

2.1. SegundaΦ-variación en el sentido de Young

Los resultados presentados en esta sección han sido publicados en [9], en la que consideramos parti-ciones del intervalo[a, b] que contiene al menos dos puntost, s ∈ (a, b), π4 [a, b] (Ver sección 1.0.1);Xdenota un espacio normado con norma‖ · ‖X o simplemente‖ · ‖, si no hay posibilidad de confusión.

La Φ-variación en el sentido de Wiener, definida en 5, es generalizada para funciones con valores enun espacio normadoX, como se indica en la siguiente definición.

SeaΦ ∈ N , la Φ-variación(generalizada) de una funciónf : [a, b] → X es definida por

(2.1) VΦ(f ; [a, b]) = VΦ(f ; [a, b],X) := supξ

n∑

i=1

Φ(‖f(ti)− f(ti−1)‖)

donde el supremo es tomado sobre el conjunto de las particiones ξ = {ti}ni=0 del intervalo[a, b].

Definición 14([20]).

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Al igual que las funciones deΦ-variación de la sección 1.4,VΦ(f ; [a, b]) ≤ VΦ(f ; [c, d]) si[a, b] ⊂ [c, d]; VΦ essub-aditiva: VΦ(f ; [a, c]) + VΦ(f ; [c, b]) ≤ VΦ(f ; [a, b]) para todoa < c < b;y es secuencialmente semicontinua inferiormente.

El conjunto de todas las funcionesf ∈ X[a,b]

, para las cuales se tiene queVΦ(f ; [a, b]) < ∞, no esnecesariamente un espacio lineal; sin embargo, es un subconjunto convexo deX

[a,b]y VΦ(·, [a, b]) es un

funcional convexo.

La claseWΦ(f ; [a, b], X) := {f ∈ X[a,b]

: ∃λ > 0, VΦ(f/λ) < ∞} es un espacio lineal, llamadola clase de las funciones conΦ-variación acotada, en el sentido de Young. Este puede ser equipado conla norma:‖f‖ := ‖f(a)‖ + ρ

Φ(f), dondeρ

Φ(f) := ınf{λ > 0 : VΦ(f/λ) < 1}. Para ver más sobre

WΦ(f ; [a, b], X) puede consultarse [20].

Dada una funciónf : [a, b] → X, empleamos la notación, a la cual llamaremos diferencia dividida:

U(f ; xj , xi) :=f(xj)− f(xi)

xj − xi.(2.2)

De inmediato presentamos la definición segundaΦ-variación de una función, que generaliza la defi-nición 2.

Seanf : [a, b] → X una función,ξ = {xj}mj=0 ∈ π4[a, b] y Φ ∈ N . La segundaΦ-variación

def sobre[a, b], en el sentido de Young, se define como

V 2Φ(f ; [a, b],X) := sup

ξ∈π4 [a,b]

m−2∑

j=1

Φ ( ‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj, xj−1)‖ ) .

Si V 2Φ (f ; [a, b], X) < ∞ diremos que la funciónf tiene segundaΦ- variation acotada, en

el sentido de Young, y escribiremosf ∈ BV 2Φ ([a, b], X).

Definición 15.

Ejemplo 1 Recordemos que el espacioℓ∞ = ℓ∞(N) denota el espacio normado de todas las sucesionesx = {xi}i∈N, dotado con la norma‖x‖∞ := sup{|xi| : i ∈ N}. El espacioc0 = c0(N) es el subespaciodeℓ∞ que consiste de todas las sucesiones escalares tales quelım

i→∞xi = 0. Seaf : [a, b] → c0 en [a, b]

definido porf(t) :=

(|t|

n

)

n∈N

.

Si 0 < a < b, para toda particiónξ = {xi}mj=0 ∈ π4 [a, b]:

m−2∑j=1

Φ

(∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1

−f(xj)− f(xj−1)

xj − xj−1

∥∥∥∥)

=m−2∑j=1

Φ(‖(0)n∈N‖) =m−2∑j=1

Φ(0) = 0. Esto

significaf ∈ BV 2Φ ([a, b], X), y V 2

Φ(f ; [a, b], X) = 0.

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Por otro lado, sia > 0, y ξ ={−a, 0,

a

2, a}

, entonces

Φ

(∥∥∥∥f(a)− f(a/2)

a− a/2−

f(0)− f(−a)

−a/2 + a

∥∥∥∥)

= Φ

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

(an

)n∈N

(a/2

n

)

n∈N

a− a/2−

(0

n

)

n∈N

−(an

)n∈N

0− (−a)

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

= Φ( 2 ) .

Por consiguiente,0 < Φ (2) ≤ V 2Φ(f ; [−a, a]).

Veamos que algunas de las propiedades básicas de las funciones de segunda variación, también lassatisface esta definición.

Lema 1 Si f, g ∈ BV 2Φ ([a, b], X), λ es una constante con|λ| ≤ 1 y α, β son números tales que

α + β = 1, entonces:

(i) V 2Φ (λf ; [a, b], X) ≤ |λ| V 2

Φ (f ; [a, b], X),

(ii) V 2Φ es convexo en argumento funcional; esto es:

V 2Φ (αf + βg; [a, b],X) ≤ α V 2

Φ (f ; [a, b],X) + β V 2Φ (g; [a, b],X).

Se omite la demostración y es fácil verificar que el resultadoes consecuencia inmediata de la convexidadde las funcionesΦ y la norma del espacioX.

Una funciónf : [a, b] → X se diceabsolutamente continuasi para cualquierǫ > 0 existeδ > 0 de manera que para cualquier colección finita{ai, bi}ni=1 ⊂ [a, b] tal que a1 < b1 ≤

a2 < b2 < · · · ≤ an < bn, entoncesn∑

i=1

(bi − ai) < δ implica quen∑

i=1

‖f(bi)− f(ai)‖ < ǫ.

Definición 16([20]).

Lema 2 Seaf ∈ BV 2Φ([a, b], X). Entonces

(i) U(f ; y0, y1) es acotada para today0, y1 ∈ [a, b],

(ii) f es absolutamente continua sobre[a, b],

(iii) Si x0, y0 ∈ [a, b] con x0 6= y0, entoncesU(f ; x0, x) es continua enx = y0.

Demostración.

(i) La demostración es análoga a la dada por Russel y Upton en [51]. Seany0, y1 ∈ [a, b] y c ∈ (a, b).Consideremos los siguientes casos, relativos a la ubicación dey0, y1 con respecto aa, b y c.

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Caso 1: a < y0 < c < y1 < b.

En este caso, paray2 ∈ (y1, b) tenemos

‖U(f ; y0, y1)‖

≤ ‖U(f ; y0, y1)− U(f ; y2, b)‖ + ‖U(f ; y2, b)− U(f ; a, c)‖ + ‖U(f ; a, c)‖

= Φ−1(Φ(‖U(f ; y0, y1)− U(f ; y2, b)‖)) + Φ−1(Φ(‖U(f ; y2, b)− U(f ; a, c)‖)) + ‖U(f ; a, c)‖

≤ 2Φ−1(V 2Φ(f ; [a, b],X)

)+ ‖U(f ; a, c)‖.

Caso 2: a < y0 < c < y1 = b. Aquí, paray2 ∈ (a, y0) :

‖U(f ; y0, y1)‖≤ ‖U(f ; y0, y1)− U(f ; a, y2)‖+ ‖U(f ; a, y2)− U(f ; c, b)‖ + ‖U(f ; c, b)‖= Φ−1(Φ(‖U(f ; y0, y1)− U(f ; a, y2)‖)) + Φ−1(Φ(‖U(f ; a, y2)− U(f ; c, b)‖)) + ‖U(f ; c, b)‖≤ Φ−1(V 2

Φ(f ; [a, b],X)) + Φ−1(V 2Φ(f ; [a, b],X)) + ‖U(f ; c, b)‖

= 2Φ−1(V 2Φ(f ; [a, b],X)) + ‖U(f ; c, b)‖.

En cualquier otro caso se procede de la misma forma y se obtienen resultados similares. Ahora bien,dado quec es un punto fijo pero arbitrario, se obtiene queU(f ; y0, y1) debe ser acotado.

(ii) Por (i) existeM ≥ 0 de manera que‖U(f ; y0, y1)‖ ≤ M para caday0, y1 ∈ [a, b]. Por consi-guientef es Lipschitz, así absolutamente continua.

(iii) Es inmediata. ♦

Lema 3 Seaf ∈ BV 2Φ([a, b], X) y c ∈ (a, b), entoncesf ∈ BV 2

Φ([a, c]) ∩BV 2Φ([c, b]) y

V 2Φ(f ; [a, c], X) + V 2

Φ(f ; [c, b], X) ≤ V 2Φ(f ; [a, b], X).(2.3)

Demostración.Seanc ∈ (a, b) y ξ = {xi}mj=0 ∈ π4 [a, c]. Entonces,ξ ∪ {b} ∈ π4 [a, b]. Por lo tanto

m−2∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥)

≤m−2∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥)

(∥∥∥∥f(b)− f(xm)

b− xm−

f(xm)− f(xm−1)

xm − xm−1

∥∥∥∥)

≤ V 2Φ(f ; [a, b],X).

Puesto que esto es válido para todas las particionesξ = {xi}mj=0 de [a, c], resulta quef ∈BV 2

Φ(f ; [a, b], X) y V 2Φ(f ; [a, c], X) ≤ V 2

Φ(f ; [a, b], X).

Del mismo modo, se obtieneV 2Φ(f ; [c, b], X) ≤ V 2

Φ(f ; [a, b], X).

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Por otro lado, siξ = {xj}mj=0 ∈ π4 [a, c] y η = {xj}nj=0 ∈ π4 [c, b], entoncesξ ∪ η ∈ π4 [a, b];

hacemosτ := {yj}m+nj=0 , dondeyj :=

{xj si 0 ≤ j ≤ mxm−j si m ≤ j ≤ n +m

.

Entoncesm−2∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥)+

n−2∑

j=0

Φ

(∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥)

≤m−2∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥)+Φ

(∥∥∥∥f(x1)− f(x0)

x1 − x0−

f(x0)− f(xm−1)

x0 − xm−1

∥∥∥∥)

+

n−2∑

j=0

Φ

(∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥)

≤m+n∑

j=0

Φ

(∥∥∥∥f(yj+2)− f(yj+1)

yj+2 − yj+1−

f(yj+1)− f(yj)

yj+1 − yj

∥∥∥∥)

= 2Φ(f ; [a, b], ξ ∪ η) ≤ V 2Φ(f ; [a, b],X).

Por consiguiente:V 2Φ(f ; [a, c]) + V 2

Φ(f ; [c, b]) ≤ V 2Φ(f ; [a, b], X). ♦

Observación 2 La desigualdad(2.3) es la mejor posible; esto es, no puede ser reemplazada por unaigualdad y puede verificarse considerando el ejemplo1, con a = −1, b = 1, c = 0 y tomandoξ ={−1, 0, 1/2, 1}.

Caracterización de las funciones con segundaΦ-variación en el sentido de Young

Seanf ∈ BVΦ([a, b], X) y F (x) :=∫ x

af(t)dt (en el lado derecho se considera la integral de

Bochner ). EntoncesF ∈ BV 2Φ([a, b]) y V 2

Φ(F ; [a, b], X) ≤ VΦ(f ; [a, b], X).

Teorema 17.

Demostración.Para una particiónξ = {xi}

mi=0 ∈ π4 [a, b], hacemosu :=

t− xj+1

xj+2 − xj+1, v :=

t− xj−1

xj − xj−1y utilizamos la

desigualdad de Jensen, con lo cual obtenemos la siguiente desigualdad:

m−2∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥F (xj+2)− F (xj+1)

xj+2 − xj+1−

F (xj)− F (xj−1)

xj − xj−1

∥∥∥∥)

=

m−2∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥∫ 1

0f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)du−

∫ 1

0f(v[xj − xj−1] + xj−1)dv

∥∥∥∥)

=

m−2∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥∫ 1

0{f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)− f(u[xj − xj−1] + xj−1)} du

∥∥∥∥)

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≤m−2∑

j=1

∫ 1

0Φ (‖f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)− f(u[xj − xj−1] + xj−1)‖) du

=

∫ 1

0

m−2∑

j=1

Φ (‖f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)− f(u[xj − xj−1] + xj)‖) du

∫ 1

0VΦ(f ; [a, b])du = VΦ(f ; [a, b]).

Dado que esta desigualdad se cumple para cualquier partición ξ ∈ π4 [a, b], concluimos queV 2Φ(F ; [a, b], X) ≤ VΦ(f ; [a, b]). ♦

Presentamos los siguientes lemas, que nos dan paso a la obtención del recíproco del teorema anterior.

Lema 4 SeanE un subconjunto denso de[a, b], g una función definida enE y K sea una constantepositiva tal que

m−1∑

j=0

Φ(‖g(xj+1)− g(xj)‖) ≤ K,(2.4)

dondea ≤ x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm ≤ b y xj ∈ E para j = 0, 1, 2, · · · , m. Entonces,gE(x− 0)

existe para todax ∈ (a, b]\E, dondegE(x− 0) = lım

h→0+

x−h∈E

g(x− h).

Demostración.Supongamos que el resultado es falso, esto es, supongamos que existe unt ∈ (a, b]\E de forma que

lımh→0+

t−h∈E

g(t− h) = lıms→t−

s∈E

g(s) no existe.

Entonces por el criterio de Cauchy (en el espacio métrico completo X), existe unǫ > 0 y una sucesióncreciente:{yn}n≥1

∈ E ∩ (a, t) tal queyn → t y ‖g(yj+1)− g(yj)‖ > ǫ para todo j.

Por lo tanto, sin ≥ N tenemos queN+k∑

n=N+1Φ (‖g(xj+1)− g(xj)‖) >

N+k∑n=N+1

Φ (ǫ) para todok > 0, lo

cual contradice (2.4) dado queΦ ∈ N∞. ♦

De forma similar se demuestra el siguiente lema.

Lema 5 SeanE un subconjunto denso de[a, b], g una función definida sobreE y K una constantepositiva que satisface la desigualdad

m−1∑

j=0

Φ(‖g(xj+1)− g(xj)‖) ≤ K,(2.5)

dondea ≤ x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm ≤ b y xj ∈ E para ,j = 0, 1, 2, · · · , m. Entonces,gE(x+0)

existe para todax ∈ (a, b]\E, definida porgE(x+ 0) = lım

h→0+

x+h∈E

g(x+ h).

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SeaF ∈ BV 2Φ([a, b], X). Entonces existe una funciónf ∈ BVΦ([a, b]) tal queF ′ = f, en

casi todas partes de[a, b] y

VΦ(f ; [a, b], X) = V 2Φ(F ; [a, b], X).(2.6)

Teorema 18.

Demostración.El lema 2 garantiza queF es absolutamente continua. Por lo tanto, es fuertemente diferenciable en casitodas parte (Ver [5]), con derivada fuertemente medible. SeaE un conjunto de medida de Lebesgue cerotal queF ′ existe en todo punto deE′ = [a, b] \ E.

Consideremos los puntos(xj)m0 en [a, b] ∩ E′ tales quea ≤ x0 < x1 < · · · < xm ≤ b y sean

h0, h1, · · · , hm números reales positivos que satisfacenxj+1 − xj

2≥ hj para todoj = 0, · · · , m− 1 y

xm−1 + hm−1 < xm − hm. A continuación, definimos la partición{yj}2mj=0 de [a, b] como

yj =

xj/2 si 0 ≤ j ≤ m− 1 is parx j−1

2+ h j−1

2si 0 ≤ j ≤ m− 1 es impar

xm − hm si j = 2mxm si j = 2m+ 1.

Entonces,

m−2∑

j=0

Φ

(∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥)

(∥∥∥∥F (xm)− F (xm − hm)

hm−

F (xm−1 + hm−1)− F (xm−1)

hm−1

∥∥∥∥)

=

m−2∑

j=0

Φ

(∥∥∥∥F (y2(j+1)+1)− F (y2(j+1))

y2(j+1) − y2(j+1)+1−

F (y2(j+1)−1)− F (y2(j+1)−2)

y2(j+1)−1 − y2(j+1)−2

∥∥∥∥)

(∥∥∥∥F (y2m+1)− F (y2m)

y2m+1 − y2m−

F (y2m−1)− F (y2(m−1))

y2m−1 − y2(m−1)

∥∥∥∥)

=

m−1∑

j=0

Φ

(∥∥∥∥F (y2(j+1)+1)− F (y2(j+1))

y2(j+1) − y2(j+1)+1−

F (y2(j+1)−1)− F (y2(j+1)−2)

y2(j+1)−1 − y2(j+1)−2

∥∥∥∥)

=

2m−1∑

k=0

Φ

(∥∥∥∥F (yk+2)− F (yk+1)

yk+1 − yk+2−

F (yk)− F (yk−1)

yk − yk−1

∥∥∥∥)

≤ V 2Φ(F ; [a, b],X).

Si en la desigualdad anterior, hacemoshj → 0, se obtiene

m−1∑

j=1

Φ (‖F ′(xj+1)− F ′(xj)‖) ≤ V 2Φ(F ; [a, b], X).(2.7)

Así, los lemas 4 y 5 nos garantizan queF ′E(x− 0) y F ′

E(x+ 0) existen para todox ∈ (a, b]\E′.

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Podemos ahora definir la función

f(x) :=

F ′(x) cuando x ∈ E′,

F ′E(x− 0) cuando x ∈ (a, b]\E′,

F ′E(a+ 0) si x = a y a /∈ E′.

(2.8)

Claramente,F ′ = f en casi todas partes. Sólo falta por verificar quef satisface (2.6).

Con este fin, consideremosξ := {xj}mj=0 una partición de [a, b] y supongamos que existe exacta-mente un puntoa 6= xk ∈ ξ de manera quexk /∈ E′. En este caso, podemos elegirx′k ∈ E′ de formaque xk−1 < x′k < xk y hacemosξ′ = {x0, x1, · · · , xk−1, x

′k, xk+1, · · · , xm}. Obsérvese que

lımx′k→xk

f(x′k) = lımx′k→xk

x′k∈E′

f(x′k) = fE(xk − 0).

Además, para cadax ∈ (a, b]\E′,

f(x) = F ′E(x− 0) = lım

h→0+

x−h∈E′

F ′(x− h) = lımh→0+

x−h∈E′

f(x− h) = fE(x− 0).(2.9)

Por consiguiente,

k−2∑j=0

Φ (‖f(xj+1)− f(xj)‖) + Φ (‖f(x′k)− f(xk−1)‖)

+Φ (‖f(xk+1)− f(x′k)‖) +m−1∑j=k+1

Φ (‖f(xj+1)− f(xj)‖) ≤ V 2Φ(F ; [a, b],X).

En esta última desigualdad, haciendo quex′k → xk tendremos que

k−2∑

j=0

Φ (‖f(xj+1)− f(xj)‖) + Φ (‖f(xk)− f(xk−1)‖)

+Φ (‖f(xk+1)− f(xk)‖) +m−1∑

j=k+1

Φ (‖f(xj+1)− f(xj)‖) ≤ V 2Φ(F ; [a, b], X).

Si, ocurre quex0 = a es el único punto deξ pero que no esté enE′, podemos considerar unacolección {x′0, x1, · · · , xk−1, x

′k, xk+1, · · · , xm}, dondex′0 ∈ E′, a < x′0 < x1. Luego,

lımx′0→x0

f(x′0) = lımx′0→x0

x′0∈E′

f(x′0) = fE(x0 + 0).

y

f(a) = F ′E(a+ 0) = lım

h→0+

x+h∈E

F ′(a+ h) = lımh→0+

x+h∈E

f(a+ h) = fE(a + 0).(2.10)

Procediendo como anteriormente, obtenemos:

Φ (‖f(x1)− f(x′0)‖) +m−1∑j=1

Φ (‖f(xj+1)− f(xj)‖) ≤ V 2Φ(F ; [a, b], X). Al hacer x′0 → x0, se tiene

Φ (‖f(x1)− f(x0)‖) +m−1∑j=1

Φ (‖f(xj+1)− f(xj)‖) ≤ V 2Φ(F ; [a, b], X).

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Para completar la demostración de quef es una función deΦ-variación acotada y satisface (2.6), con-sideramosξ := {xj}mj=0 ∈ π

4([a, b]) arbitraria, y el conjuntoξ′ = {x′0, x

′1, · · · , x

′k−1, x

′k, x

′k+1, · · · , x

′m}

donde: x′j = xj si xj ∈ E′; a 6= xj /∈ E′. Entonces, escogemosxj−1 < x′j < xj , mientras que sia /∈ E′ tomamos a < x′0 < x′1.

De (2.7) obtenemos quem−1∑j=0

Φ (‖f(xj+1)− f(xj)‖) ≤ V 2Φ(F ; [a, b], X).

De ahí, tomando el supremo sobre todas las particionesξ de [a, b] se tiene que:

VΦ(f ; [a, b]) ≤ V 2Φ(F ; [a, b], X).(2.11)

Para demostrar la desigualdad inversa se utiliza el hecho dequeF es absolutamente continua y enconsecuencia es fuertemente derivable (Lebesge) en casi todas partes sobre[a, b]. Luego,

F (x) = F (a) +

∫ x

a

F ′(t)dt = F (a) +

∫ x

a

f(t)dt.

Por lo tanto, por el teorema 17, la funciónϕ(x) := F (x)− F (a) es también una función de segundaΦ-variación acotada, en el sentido de Young, y

V 2Φ(F ; [a, b], X) ≤ VΦ(f ; [a, b]).

Esta última desigualdad y (2.11) implican (2.6). ♦

2.2. Funciones de segundaΦ-variación en el sentido de Riesz

Introducimos ahora una noción que generaliza el clásico concepto de la Vallée Poussin de segundavariación acotada, para lo cual suponemos que todas las particiones sobre el intervalo cerrado[a, b] tienenpor lo menos tres puntos (Véase sección 1.0.1). Estos resultados fueron publicados en [10].

Dada la funciónf : [a, b] → X, ξ = {xj}mj=0 ∈ π3[a, b] se definela segunda variación de una

funciónf sobre[a, b], en el sentido de Riesz, como

V 2,RΦ (f ; [a, b],X) := sup

ξ∈π3 [a,b]

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj).

SiV 2,RΦ (f ; [a, b], X) < ∞ diremos que la funciónf es desegundaΦ -variación, en el sentido

de Riesz, y escribiremosf ∈ BV 2,RΦ ([a, b], X).

Definición 19.

De la misma forma que se hizo en la sección 2.1, comencemos presentando las propiedades básicasque satisface la diferencia dividida definida en 2.2, en relación esta clase. Comenzamos con la contrapartedel Lema 2.

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Lema 6 Seaf ∈ BV 2,RΦ ([a, b], X). Entonces

(i) Parax < y < z en[a, b] existe una constanteK > 0 de manera que‖U(f ; z, y)−U(f ; y, x)‖ ≤ K.

(ii) U(f ; y0, y1) es acotada para todoy0, y1 ∈ [a, b].

(iii) f es absolutamente continua sobre[a, b].

(iv) Si x0, y0 ∈ [a, b] con x0 6= y0, entoncesU(f ; x0, x) es continuo enx = y0.

Demostración.

(i) Consideremos tres puntosx < y < z in [a, b], y note que siz − x ≤ 1

‖U(f ; z, y)− U(f ; y, x)‖ = Φ−1 (Φ (‖U(f ; z, y)− U(f ; y, x)‖))

= Φ−1

((z − x)

‖U(f ; z, y)− U(f ; y, x)‖

z − x

))

≤ Φ−1

(‖U(f ; z, y)− U(f ; y, x)‖

z − x

)(z − x)

)

≤ Φ−1(V 2,R

Φ (f ; [a, b], X)).

Si por el contrarioz − x > 1, se tiene que

‖U(f ; z, y) − U(f ; y, x)‖ =‖U(f ; z, y)− U(f ; y, x)‖

z − x(z − x)

= Φ−1

(‖U(f ; z, y) − U(f ; y, x)‖

z − x

))(z − x)

= Φ−1

(‖U(f ; z, y) − U(f ; y, x)‖

z − x

)(z − x)

1

z − x

)(z − x)

≤ Φ−1

(V 2,RΦ (f ; [a, b],X)

1

z − x

)(z − x)

≤ Φ−1(V 2,RΦ (f ; [a, b],X)

)(b− a).

Entonces,

‖U(f ; z, y)− U(f ; y, x)‖ ≤ max{Φ−1

(V 2,RΦ (f ; [a, b],X)

)(b− a),Φ−1

(V 2,RΦ (f ; [a, b],X)

)}.

(ii) Seany0, y1 ∈ [a, b] y c ∈ (a, b). La demostración depende de la ubicación dey0, y1 con respectoaa, b y c.

Caso 1: a < y0 < c < y1 < b.

En este caso, paray2 ∈ (y1, b), se tiene que

‖U(f ; y0, y1)‖ ≤ ‖U(f ; y0, y1)− U(f ; y1, y2)‖+ ‖U(f ; y1, y2)− U(f ; c, y1)‖

+‖U(f ; c, y1)− U(f ; a, c)‖ + ‖U(f ; a, c)‖

≤ 3K + ‖U(f ; a, c)‖,

dondeK es dada por (i).

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Caso 2: a < y0 < c < y1 = b.

Aquí, paray2 ∈ (c, y1) :

‖U(f ; y0, y1)‖ ≤ ‖U(f ; y0, y1)− U(f ; a, y0)‖+ ‖U(f ; a, y0)− U(f ; y0, y2)‖

+‖U(f ; y0, y2)− U(f ; y1, y2)‖+ ‖U(f ; y1, y2)− U(f ; c, y2)‖

+‖U(f ; c, y2)− U(f ; a, c)‖ + ‖U(f ; a, c)‖

≤ 5K + ‖U(f ; a, c)‖,

dondeK es dado por (i). En cualquier otro caso, se procede de forma similar y dado quec es fijo, peroarbitrario, se obtiene que el resultado deseado.

(iii) Por (ii) existe M ≥ 0 tal que‖U(f ; y0, y1)‖ ≤ M para todoy0, y1 ∈ [a, b]. En consecuencia,fes Lipschitz y, así, absolutamente continua.

(iv) Es inmediata. ♦

Ejemplo 2 SeanC0 y f : [a, b] → (C0, ‖ ‖∞) , definidos como en el ejemplo 4,f(t) :=

(|t|

n

)

n∈N

.

Si a > 0, como en el mencionado ejemplo, se puede verificar fácilmenteque

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥∞

xj+2 − xj

(xj+2 − xj) =

m−2∑

j=0

Φ

(‖(0)n∈N‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj) = 0,

lo cual significa quef ∈ BV 2,RΦ ([a, b], X) y V 2,R

Φ (f ; [a, b], X) = 0.

Por otro lado, consideremos la funciónf(t) :=

(|t|

n

)

n∈N

sobre el intervalo

[−2

3,2

3

]y la partición

{−2

3,−1

3,1

3,2

3

}∈ π3

([−2

3,2

3

]). Entonces:

Φ

∥∥∥∥f(1/3)− f(−1/3)

1/3 − (−1/3)−

f(−1/3) − f(−2/3)

−1/3− (−2/3)

∥∥∥∥∞

1/3 − (−2/3)

(1/3− (−2/3))

∥∥∥∥f(2/3) − f(1/3)

2/3 − 1/3−

f(1/3) − f(−1/3)

1/3 − (−1/3)

∥∥∥∥∞

2/3 − (−1/3)

(2/3 − (−1/3)) = 2Φ(1).

De modo que, en este casoV 2,RΦ (f ; [−2/3, 2/3]) ≥ 2Φ (1) > 0.

Ahora la contraparte del Lema 1, se muestra a continuación.

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Lema 7 Si f, g ∈ BV 2,RΦ ([a, b], X), λ es una constante compleja con|λ| ≤ 1 y α, β ∈ [0, 1] de

manera queα + β = 1, entonces

(i) V 2,RΦ (λf ; [a, b], X) ≤ |λ| V 2,R

Φ (f ; [a, b], X).

(ii) V 2,RΦ es convexa como función del argumento; esto es

V 2,RΦ (αf + βg; [a, b], X) ≤ α V 2,R

Φ (f ; [a, b], X) + β V 2,RΦ (g; [a, b], X).

Demostración.Sea ξ = {x0, x1, · · · , x2n} una partición enπ3 [a, b]. Entonces

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(λf ;xj+1, xj+2)− U(λf ;xj, xj+1)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

=

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥λf(xj+2)− λf(xj+1)

xj+2 − xj+1−

λf(xj+1)− λf(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

≤ |λ|m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

= |λ|m−2∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+1, xj+2)− U(f ;xj , xj+1)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj).

Se sigue que

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(λf ;xj+1, xj+2)− U(λf ;xj, xj+1)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

≤ |λ|m−2∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+1, xj+2)− U(f ;xj, xj+1)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj).

En consecuenciaV 2,RΦ (λf ; [a, b], X) ≤ |λ|V 2,R

Φ (f ; [a, b], X).

Para demostrar la segunda parte, observe quem−2∑

j=0

Φ

(‖U(αf + βg;xj+1, xj+2)− U(αf + βg;xj , xj+1)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

=

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥(αf + βg)(xj+2)− (αf + βg)(xj+1)

xj+2 − xj+1−

(αf + βg)(xj+1)− (αf + βg)(xj)

xj+1 − xj

∥∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

≤ α

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥(f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xj

)∥∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

m−2∑

j=0

Φ

(∥∥∥∥(g(xj+2)− g(xj+1)

xj+2 − xj+1−

g(xj+1)− g(xj)

xj+1 − xj

)∥∥∥∥)

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= α

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+1, xj+2)− U(f ;xj , xj+1)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(g;xj+1, xj+2)− U(g;xj , xj+1)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj).

De esto, se sigue (ii). ♦

Lema 8 Seaf ∈ BV 2,RΦ ([a, b], X) y c ∈ (a, b), entoncesf ∈ BV 2,R

Φ ([a, c]) ∩BV 2,RΦ ([c, b]) y

V 2,RΦ (f ; [a, c]) + V 2,R

Φ (f ; [c, b]) ≤ V 2,RΦ (f ; [a, b], X).(2.12)

Demostración.

Si f ∈ BV 2,RΦ ([a, b], X) y c ∈ (a, b), procediendo de forma similar a la demostración del lema 3, se

verificaf ∈ BV 2,RΦ ([a, c]) ∩BV 2,R

Φ ([c, b]).

Por otra parte, siξ = {xj}mj=0 ∈ π3 [a, c] y η = {xj}nj=0 ∈ π3 [c, b], entoncesξ ∪ η ∈ π3 [a, b]. Hacemos

τ := {yj}m+nj=0 , dondeyj :=

{xj si 0 ≤ j ≤ m

xj−m si m ≤ j ≤ n+m.

Entonces

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥ f(xj+2)−f(xj+1)xj+2−xj+1

−f(xj+1)−f(xj)

xj+1−xj

∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

+

n−2∑

j=0

Φ

∥∥∥ f(xj+2)−f(xj+1)xj+2−xj+1 − f(xj+1)−f(xj )

xj+1−xj

∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

≤m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥ f(xj+2)−f(xj+1)xj+2−xj+1

−f(xj+1)−f(xj)

xj+1−xj

∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

∥∥∥f(x1)−f(x0)x1−x0 − f(x0)−f(xm−1)

x0−xm−1

∥∥∥x1 − xm−1

(x1 − xm−1)

+

n−2∑

j=0

Φ

∥∥∥ f(xj+2)−f(xj+1)xj+2−xj+1 − f(xj+1)−f(xj )

xj+1−xj

∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

=

m+n−2∑

j=0

Φ

∥∥∥ f(yj+2)−f(yj+1)yj+2−yj+1

−f(yj+1)−f(yj )

yj+1−yj

∥∥∥yj+2 − yj

(yj+2 − yj)

= 2Φ(f ; [a, b], ξ ∪ η) ≤ V 2,RΦ (f ; [a, b],X).

Por consiguienteV 2,RΦ (f ; [a, c]) + V 2,R

Φ (f ; [c, b]) ≤ V 2,RΦ (f ; [a, b], X). ♦

Observación 3 La desigualdad(2.12)no puede ser reemplazada por una igualdad como puede verifi-carse con el ejemplo4, haciendoa = −2/3, b = 2/3, c = 0. En este caso, considerando la particiónξ = {−2/3. − 1/3, 1/3, 2/3}, se demuestra que

V 2,RΦ (f ; [−2/3, 0]) + V 2,R

Φ (f ; [0, 2/3]) = 0 < 2Φ(1) ≤ V 2,RΦ (f ; [−2/3, 2/3],X).

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2.2.1. Caracterización de las funciones de segundaΦ-variación acotada.

Ahora, estamos listos para caracterizar las funciones enX [a,b] con segundaΦ-variación acotada entérminos de funciones deΦ-variación acotada de primer orden, que corresponde al teorema similar alteorema 17.

Supongamos quef ∈ BV RΦ ([a, b], X) y sea F (x) :=

∫ x

af(t)dt. Entonces,F ∈

BV 2,RΦ ([a, b]) y

V 2,RΦ (F ; [a, b], X) ≤ V R

Φ (f ; [a, b], X).

Teorema 20.

Demostración.Dada una particiónξ ∈ π3 [a, b], haciendou :=

t− xj+1

xj+2 − xj+1, v :=

t− xjxj+1 − xj

y usando la desigualdad

de Jensen, obtenemos

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

=

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∫ 10 f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)du−

∫ 10 f(v[xj+1 − xj ] + xj)dv

∥∥∥xj+2 − xj

(xj+2 − xj)

∫ 1

0

m−2∑

j=0

Φ

(‖f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)− f(u[xj+1 − xj] + xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)du.

Comou ∈ [0, 1], [xj+2 − xj+1] + xj+1 − u[xj+1 − xj ] − xj ≤ xj+2 − xj . En consecuencia, si hacemosK = u[xj+2 − xj+1] + xj+1 − u[xj+1 − xj ]− xj , tenemos que

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

∫ 1

0

m−2∑

j=0

Φ

(‖f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)− f(u[xj+1 − xj] + xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)du

=

∫ 1

0

m−2∑

j=0

Φ

(‖f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)− f(u[xj+1 − xj] + xj)‖

K

K

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)du

∫ 1

0

m−2∑

j=0

Φ

(‖f(u[xj+2 − xj+1] + xj+1)− f(u[xj+1 − xj] + xj)‖

K

)K

xj+2 − xj(xj+2 − xj)du

∫ 1

0VΦ(f ; [a, b])du = VΦ(f ; [a, b]).

Dado que esta desigualdad se cumple para cualquier partición ξ ∈ π3 [a, b], se obtiene (??). ♦

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Corolario 1 Seanf ∈ BV RΦ ([a, b], X) y F (x) :=

∫ x

af(t)dt. Entonces,F ∈ BV 2,R

Φ ([a, b]) y

V 2,RΦ (F ; [a, b], X) ≤

∫ b

a

Φ(‖f ′(t)‖)dt.(2.13)

El siguiente ejemplo demuestra que es posible tener una desigualdad estricta en (2.13).

Ejemplo 3 SeaX = R con la norma definida por el valor absoluto. SeaF (x) := x2 definida sobre[0, 1] y supongamos queξ = {xi}mi=0 ∈ π3[0, 1]. Entonces

m−2∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

=

m−2∑

j=0

Φ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2j+2 − x2j+1

xj+2 − xj+1−

x2j+1 − x2jxj+1 − xj

xj+2 − xj

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(xj+2 − xj)

=m−2∑

j=0

Φ

(xj+2 + xj+1 − xj+1 − xj

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

=m−2∑

j=0

Φ (1) (xj+2 − xj)

= Φ (1) [xm − x1 + xm−1 − x0]

= Φ (1) [1− x1 + xm−1 − 0].

Tomando ahora el supremo sobre todas las particionesξ ∈ π3[0, 1] se obtiene:

supξ∈π3[a,b]

m−1∑

j=0

Φ

f(xj+2)− f(xj+1)

xj+2 − xj+1−

f(xj+1)− f(xj)

xj+1 − xjxj+2 − xj

(xj+2 − xj)

= supξ∈π3[a,b]

Φ (1) [1− x1 + xm−1]

= 2Φ (1) .

Claramente,F (x) =∫ x

0f(t)dt (dondef(t) = 2t) es absolutamente continua,f ′(t) = 2 ∈ LΦ[0, 1], y

‖f ′‖LΦ[0,1] =

∫ 1

0

Φ(|f ′(τ)|)dτ =

∫ 1

0

Φ(2)dτ = Φ(2).

Ahora, si consideramosΦ(t) := |t|p, para1 < p <∞, se tiene que

‖f ′‖LΦ[0,1] = Φ(2) = 2p > 2 = Φ(1)2 = 2V 2,RΦ (f, [a, b]).

Así, en este caso, la desigualdad(2.13)es estricta.

Ahora, al igual que en el caso de funciones con segundaΦ-variación acotada, se tiene que las funcio-nes pertenecientes a estas clases son regulares, como se muestra en el siguiente lema, la contraparte dellema 4.

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Lema 9 SeanΦ ∈ N∞, E un subconjunto denso de[a, b], y g : E → X una función, dondeX es unespacio de Banach, yK una constante positiva tal que

m−1∑

j=0

Φ

(‖g(xj+1)− g(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj) ≤ K,(2.14)

dondea ≤ x0 < x1 < · · · < xm−1 < xm ≤ b y xj ∈ E para j = 0, 1, 2, · · · , m. Entonces,gE(x− 0)

existe para todox ∈ (a, b]\E, dondegE(x− 0) = lım

h→0+

x−h∈E

g(x− h).

Una afirmación análoga se cumple paragE(x+ 0), (x ∈ [a, b)), con una definición semejante.

Demostración.Es suficiente demostrar quegE(x − 0) existe para todox ∈ (a, b]\E. Supongamos que este no es elcaso; esto es, supongamos que existe unat ∈ (a, b]\E de manera que

lımh→0+

t−h∈E

g(t− h) = lıms→t−

s∈E

g(s) no existe.

Entonces por el criterio de Cauchy ( en el caso de espacios métrico X), existenǫ > 0 y una sucesióncreciente:{yn}n≥1

∈ E ∩ (a, t) de forma queyn → t y ‖g(yj+1)− g(yj)‖ > ǫ para todo j.

Ahora bien, dado queyn → t se puede hallarN ∈ N de modo que

n ≥ N implica que |yn − t| <1

2. En consecuencia, sin ≥ N tendremos que

yn+1 − yn ≤ |yn+1 − t| + |yn − t| < 1.

Ahora consideramos la sub-sucesión{xn}n≥1definida porxn := yn+N . Note que en este caso se tiene

quexj+1 − xj < 1 para todoj. En consecuencia para todoN > 0

N∑j=1

Φ(‖g(xj+1)−g(xj)‖

xj+1−xj

)(xj+1 − xj) >

N∑j=1

Φ

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj), lo cual contradice (2.14)

dado queΦ ∈ N∞. ♦

Si V 2,RΦ (f ; [a, b], X) < ∞ dondeΦ ∈ N∞, entoncesf tiene segunda variación acotada.

Teorema 21.

Demostración.Seaξ = {ti}ni=0 una partición de[a, b]. Dado queΦ satisface la condición∞1, dador > 0 podemoselegirx0 > 0 de forma que six ≥ x0, entoncesΦ(x) > rx.

Escribimos,ex0 =

{j = 0, · · · , n− 2 :

‖U(f ; xj+2, xj+1)− U(f ; xj+1, xj)‖

xj+2 − xj> x0

}, entonces

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m−2∑

j=0

‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

=m−2∑

j=0

‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj(xj+2 − xj)

=

j /∈ex0

+∑

j∈ex0

(

‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

≤∑

j /∈ex0

x0(xj+2 − xj) +∑

j∈ex0

‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖ .(2.15)

Ahora, para cadaj ∈ ex0 se tiene que

‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖ <1

(‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj).

Sustituyendo esto en (2.15) obtenemos

m−2∑

j=0

‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

≤∑

j /∈ex0

x0(xj+2 − xj) +1

r

j∈ex0

Φ

(‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj)

= x0(b− a) +1

r

n∑

j=0

Φ

(‖U(f ;xj+2, xj+1)− U(f ;xj+1, xj)‖

xj+2 − xj

)(xj+2 − xj).

Dado que esta desigualdad se cumple para toda particiónξ de[a, b], obtenemos

V 2Φ (f ; [a, b],X) ≤ x0(b− a) +

1

rV 2,RΦ (f ; [a, b],X).

Corolario 2 Supongamos queX es un espacio de Banach reflexivo yΦ ∈ N∞. SiV 2,RΦ (f ; [a, b], X) <

∞, entoncesf es absolutamente continua sobre[a, b]. Además,f ′ es también absolutamente continua.

SeaX un espacio de Banach reflexivo. SiF ∈ BV 2,RΦ ([a, b], X) y Φ ∈ N∞, entonces existe

una funciónf ∈ BV RΦ ([a, b]) tal queF ′ = f, casi siempre, y

V 2,RΦ (F ; [a, b], X) ≤ V R

Φ (f ; [a, b], X).

Teorema 22.

Demostración.Usaremos el hecho de queF es una función absolutamente continua y por lo tanto fuertemente diferen-ciable (Lebesgue) en casi todo punto de[a, b]. En consecuencia (ver [5])F (x) = F (a) +

∫ x

aF ′(t)dt =

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F (a)+∫ x

af(t)dt. Entonces, por el teorema 20, la funciónϕ(x) := F (x)−F (a) es también una función

de segundaΦ-variación acotada, en el sentido de Riesz, y

V 2,RΦ (F ; [a, b], X) = V 2,R

Φ (F − F (a); [a, b], X) ≤ V RΦ (f ; [a, b]).

SeaX un espacio de Banach reflexivo,Φ ∈ ∆2 con constanteK > 0 y t0 como en la definición7. Si F ∈ BV 2,R

Φ ([a, b], X), entonces existe una funciónf ∈ BV RΦ ([a, b]) tal queF ′ = f, en

casi todas partes, y

V RΦ (f ; [a, b],X) ≤

K

2V 2,RΦ (F ; [a, b],X) + 2Φ(t0)(b− a).(2.16)

Teorema 23.

Demostración.Dado queF es absolutamente continua (Lema 6) yX es un espacio de Banach reflexivo en consecuenciaf es fuertemente diferenciable en casi todas partes, con derivada fuertemente medible. SeaE el conjuntode medida de Lebesge cero tal queF ′ existe para todo punto deE := [a, b] \E. Consideramos los puntos

(xj)m0 en[a, b] ∩E′ de manera quea ≤ x0 < x1 < · · · < xm ≤ b, y seanh0, h1, · · · , hm números reales

positivos de forma quexj + hj < xj+1 para todoj = 0, · · · , m− 1 y xm−1 + hm−1 < xm − hm.

A continuación, definimos la particiónξ := {yj}2m+1j=0 de [a, b] como

yj =

xj/2 si 0 ≤ j ≤ 2m− 1 es par,x j−1

2+ h j−1

2si 1 ≤ j ≤ 2m− 1es impar,

xm − hm si j = 2m,xm si j = 2m+ 1.

En consecuencia,

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

∥∥∥∥F (xm)− F (xm − hm)

hm−

F (xm−1 + hm−1)− F (xm−1)

hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1)

=m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj

xj+1 − xj

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+

F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

∥∥∥∥F (xm)− F (xm − hm)

hm−

F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1

xm − xm−1

+

F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1−

F (xm−1 + hm−1)− F (xm−1)

hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1),

haciendo uso de la convexidad deΦ obtenemos,

≤m−2∑

j=0

1

2

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

+

m−2∑

j=0

1

2

∥∥∥∥F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

+1

2

∥∥∥∥F (xm)− F (xm − hm)

hm−

F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1)

+1

2

∥∥∥∥F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1−

F (xm−1 + hm−1)− F (xm−1)

hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1).

Para facilitar la escritura, hacemos

A1 :=

j = 0, 1, · · · ,m− 2 :

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

≥t02

A2 :=

j = 0, 1, · · · ,m− 2 :

∥∥∥∥F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

≥t02

.

Luego, a partir de la desigualdad anterior se obtiene

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

∥∥∥∥F (xm)− F (xm − hm)

hm−

F (xm−1 + hm−1)− F (xm−1)

hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1)

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j∈A1

+∑

j /∈A1

1

2

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

+

j∈A2

+∑

j /∈A2

1

2

∥∥∥∥F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

+1

2

∥∥∥∥F (xm)− F (xm − hm)

hm−

F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1)

+1

2

∥∥∥∥F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1−

F (xm−1 + hm−1)− F (xm−1)

hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1)

≤m−2∑

j=0

K

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj) +

m−2∑

j=0

1

2Φ (t0) (xj+1 − xj)

+

m−2∑

j=0

K

∥∥∥∥F (xj+1)− F (xj + hj)

xj+1 − xj − hj−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj) +

m−2∑

j=0

1

2Φ (t0) (xj+1 − xj)

+K

∥∥∥∥F (xm)− F (xm − hm)

hm−

F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1)

+1

2Φ (t0) (xm − xm−1)

+K

∥∥∥∥F (xm − hm)− F (xm−1 + hm−1)

xm − hm − xm−1 − hm−1−

F (xm−1 + hm−1)− F (xm−1)

hm−1

∥∥∥∥xm − xm−1

(xm − xm−1)

+1

2Φ (t0) (xm − xm−1).

De donde,

m−2∑

j=0

Φ

∥∥∥∥F (xj+1 + hj+1)− F (xj+1)

hj+1−

F (xj + hj)− F (xj)

hj

∥∥∥∥xj+1 − xj

(xj+1 − xj)

≤K

2V 2,RΦ (F ; [a, b],X) + 2Φ(t0)(b− a).

Haciendohj → 0, j = 0, 1, 2, · · · , m, se obtiene

m−1∑

j=0

Φ

(‖F ′(xj+1)− F ′(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj) ≤

K

2V 2,RΦ (F ; [a, b],X) + 2Φ(t0)(b− a),(2.17)

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por lo tanto, por el lema 9,F ′E(x− 0) y F ′

E(x+0) existe para todosx ∈ (a, b]\E, lo cual nos permite

definir la función

f(x) :=

F ′(x) cuando x ∈ E,

F ′E(x− 0) cuando x ∈ (a, b]\E,

F ′E(a+ 0) si x = a y a /∈ E.

(2.18)

Claramente,F ′ = f en casi todas partes.

Sólo es necesario comprobar quef satisface (2.16), para lo cual consideremosξ := {xj}mj=0 unapartición de [a, b]. Si ξ contiene exactamente un puntoa 6= xk ∈ ξ tal que xk /∈ E. En este caso,elegimos x′k ∈ E de forma quexk−1 < x′k < xk y hacemosξ′ = {x0, x1, · · · , xk−1, x

′k, xk+1, · · · , xm}.

Obsérvese quelımx′k→xk

f(x′k) = lımx′k→xk

x′k∈E

f(x′k) = lımx′k→xk

x′k∈E

F ′(x′k) = FE(xk − 0) = f(xk).

Por lo tanto

k−2∑

j=0

Φ

(‖f(xj+1)− f(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj) + Φ

(‖f(x′k)− f(xk−1)‖

x′k − xk−1

)(x′k − xk−1)

(‖f(xk+1)− f(x′k)‖

xk+1 − x′k

)(xk+1 − x′k) +

m−2∑

j=k+1

Φ

(‖f(xj+1)− f(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj)

=k−2∑

j=0

Φ

(‖F ′(xj+1)− F ′(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj) + Φ

(‖F ′(x′k)− F ′(xk−1)‖

x′k − xk−1

)(x′k − xk−1)

(‖F ′(xk+1)− F ′(x′k)‖

xk+1 − x′k

)(xk+1 − x′k) +

m−2∑

j=k+1

Φ

(‖F ′(xj+1)− F ′(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj)

≤K

2V 2,RΦ (F ; [a, b],X) + 2Φ(t0)(b− a),

y tomando el límite cuandox′k → xk tenemos que

k−2∑

j=0

Φ

(‖f(xj+1)− f(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj)

(‖f(xk)− f(xk−1)‖

xk − xk−1

)(xk − xk−1) + Φ

(‖f(xk+1)− f(xk)‖

xk+1 − x′k

)(xk+1 − xk)

+

m−2∑

j=k+1

Φ

(‖f(xj+1)− f(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj)

≤K

2V 2,RΦ (F ; [a, b],X) + 2Φ(t0)(b− a).

Por otra parte, six0 = a es el único punto deξ que no está enE, entonces consideramos unacolección {x′0, x1, · · · , xk−1, xk, xk+1, · · · , xm}, dondex′0 ∈ E, a < x′0 < x1, y tendremos que:

lımx′0→x0

f(x′0) = lımx′0→x0

F ′(x′0) = F ′(x0 + 0) = f(a).

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Así, procediendo como antes, obtenemos la desigualdad

Φ

(‖f(x1)− f(x′0)‖

x1 − x′0

)(x1 − x′0) +

m−2∑

j=1

Φ

(‖f(xj+1)− f(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj)

≤K

2V 2,RΦ (F ; [a, b], X) + 2Φ(t0)(b− a);

en la cual haciendox′0 → x0, nos permite obtener:

Φ

(‖f(x1)− f(x0)‖

x1 − x0

)(x1 − x0) +

m−2∑

j=1

Φ

(‖f(xj+1)− f(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj)

≤K

2V 2,RΦ (F ; [a, b], X) + 2Φ(t0)(b− a).

Para completar la demostración, siξ := {xj}mj=0 ∈ π3([a, b]) es una partición arbitraria y seaξ′ =

{x′0, x′1, · · · , x

′k−1, x

′k, x

′k+1, · · · , x

′m} donde :x′j = xj si xj ∈ E; si a 6= xj /∈ E. A continuación,

elegimosxj−1 < x′j < xj , mientra que sia /∈ E tomamos a < x′0 < x′1.

Luego, a partir de las estimaciones anteriores se obtiene

m−2∑

j=0

Φ

(‖f(xj+1)− f(xj)‖

xj+1 − xj

)(xj+1 − xj) ≤

K

2V 2,RΦ (F ; [a, b], X) + 2Φ(t0)(b− a).

Por lo tanto, al tomar el supremo sobre todas las particionesξ de [a, b]:

V RΦ (f ; [a, b]) ≤

K

2V 2,RΦ (F ; [a, b], X) + 2Φ(t0)(b− a).(2.19)

Por el teorema, 18 podemos reescribir este último teorema dela siguiente forma:

Corolario 3 SeanX un espacio de Banach reflexivo yΦ ∈ ∆2 globalmente, con constanteK > 0 de∆2−. Si F ∈ BV 2,R

Φ ([a, b], X), entonces existe una funciónf ∈ BV RΦ ([a, b]) tal que F ′ = f, casi

siempre, y

V 2,RΦ (F ; [a, b], X) ≤

∫ b

a

Φ(‖F ′′(t)‖)dt ≤K

2V 2,RΦ (F ; [a, b], X).(2.20)

Demostración.El teorema 18 nos garantiza la existencia de una funciónf ∈ BV R

Φ ([a, b]) (en el sentido de Riesz) deforma queF ′ = f, y

V 2,RΦ (F ; [a, b], X) ≤ V R

Φ (f ; [a, b], X) ≤K

2V 2,RΦ (F ; [a, b], X).(2.21)

Ahoraf es fuertemente diferenciable en casi todas partes de[a, b] con derivadaf ′ fuertemente medi-ble y Bochner integrable sobre[a, b], y

V RΦ (f ; [a, b]) =

∫ b

a

Φ(‖f ′(t)‖)dt.(2.22)

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Luego,

V 2,RΦ (F ; [a, b],X) ≤

∫ b

aΦ(‖f ′(t)‖)dt =

∫ b

aΦ(‖F ′′(t)‖)dt ≤

K

2V 2,RΦ (F ; [a, b],X).

El teorema 18 (corolario 3) generaliza el lema de Riesz se adelantó al considerar, parap > 1, lafunciónΦp(t) := |t|p, la cual satisface la condición∆2, con constanteK = 2p. De hecho, en este casotenemos:

Corolario 4 SeaX un espacio de Banach reflexivo. Sip > 1, y F ∈ BV 2,RΦp

([a, b], X), entonces existeuna funciónf ∈ BV R

Φp([a, b]) tal queF ′ = f, en casi todas partes, y

V 2,RΦp

(F ; [a, b], X) ≤

∫ b

a

‖F ′′(t)‖p dt ≤ 2p−1 V 2,RΦp

(F ; [a, b], X).(2.23)

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Capítulo 3

Funciones deΦ-variación en el sentido Schramm-Riesz

En este capítulo presentamos el concepto de segundaΦ-variación en el sentido de Schramm-Riesz,sin embargo, a diferencia del capítulo anterior, no contamos con la noción de primeraΦ-variación en elsentido de Schramm-Riesz para funciones con valores en un espacio normado y definidas sobre un inter-valo [a, b] ⊂ R, por lo cual debemos primero definir dicha clase de funciones, así se justifica considerarpor separado estas clases.

3.1. El espacioBV SR(Φ,1)[a, b]

Presentamos una generalización de la noción introducida por M. Schramm en [52] (Ver también [30]) quien considera funciones reales definidas sobre un intervalo [a, b].

SeaΦ = {ϕn}n≥1 unaN -sucesión. Una funciónf ∈ X [a,b] se dice que tieneΦ-variación enel sentido de Schramm-Riesz, si

V SR(Φ,1)(f ; [a, b],X) := sup

{[an,bn]}∈I[a,b]

n

ϕn

(‖f(bn)− f(an)‖

bn − an

)(bn − an) < ∞.(3.1)

Definición 24.

Observación 4 En lo que sigue, en aras de la simplicidad en la notación, si está claro por el contextoque una funciónf , definida sobre[a, b] que toma valores en un espacio de BanachX escribiremossimplementeV SR

(Φ,1)(f) en lugar deV SR(Φ,1)(f ; [a, b], X).

Como una consecuencia de la convexidad de la norma‖ · ‖ y de cada funciónϕn enΦ, se obtieneque la funciónV SR

(Φ,1)(·) := V SR(Φ,1)(·; [a, b], X), definida sobreX [a,b] por (3.1), es convexa. En particular, si

c1 > 0 y f ∈ X [a,b], entonces, para todo0 < c ≤ c1:

V SR(Φ,1)(cf) ≤ V SR

(Φ,1)(c1f).

Además, por la definición se ve fácilmente que{f ∈ X [a,b] ; V SR

(Φ,1)(f) <∞}

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es un subconjunto convexo y simétrico deX [a,b]. Por lo tanto, el espacio lineal generado por dicho con-junto es igual a {

f : [a, b] → X : V SR(Φ,1)(λ f) <∞, para algúnλ > 0

}.

Denotamos este espacio linealBV SR(Φ,1)([a, b], X).

Observación 5 Con un argumento similar, como el que se da en el caso de valores reales(Ver [52],Lema 1.1 y Teorema 1.2), se verifica que en(3.1) el sup

{In}∈I[a,b]

puede ser reemplazado porsup sobre

colecciones finitas{In}m

n=1enI[a, b].

Además, note que sif es una función constante, entoncesV SR(Φ,1)(u; [a, b]) = 0; por lo tanto, la clase

BV SR(Φ,1)([a, b], X) es no vacía.

La siguiente proposición se sigue fácilmente de las definiciones. Por lo tanto se omiten los detallesde la demostración.

Proposición 2 Seaf ∈ X [a,b], entoncesV SR(Φ,1) (f) = 0 si y sólo sif es una función constante.

Al igual que en el caso de funciones reales, las funciones pertenecientes a esta clase tienen, a lo sumo,discontinuidades simples.

Proposición 3 Si {ϕn}n≥1 es unaN -sucesión entonces cualquierf ∈ BV S(Φ,1)([a, b], X) sólo puede

tener discontinuidades simple.

Demostración.Supongamos quef ∈ BV S

(Φ,1)([a, b], X) y que existex ∈ (a, b] tal que lımx→x−

f(x) no existe. Entonces

podemos hallar una secuencia de{xi}i≥1 en (a, x) que converge ax y de tal manera que{f(xi)}i≥1

diverge. Así{f(xi)}i≥1 no es una sucesión de Cauchy, y por lo tanto, existen un númeroreal ǫ0 > 0 yuna subsucesión{xin}n≥1 tal que para todon > 0 ‖f(xin+1)− f(xin)‖ ≥ ǫ0. Pasando a otra subsucesiónsi es necesario, podemos suponer, que{xin}n≥1 es creciente y que

ϕn

(ǫ0

xin+1 − xin

)(xin+1 − xin) ≥ 1 para todon > 0.(3.2)

Por lo tanto∑n≥1

ϕn

(‖f(xin+1

)−f(xin)‖

xin+1−xin

)(xin+1 − xin) ≥

∑n≥1

ϕn

(ǫ0

xin+1−xin

)(xin+1 − xin) = +∞.Esto contradice

quef ∈ BV S(Φ,1)([a, b], X). Para demostrar quelım

x→x+f(x) existe se procede de manera similar. ♦

La demostración del siguiente lema, básicamente, se sigue de las definiciones, por tal razón omitimoslos detalles de la misma.

Lema 10 SeaΦ unaN -sucesión. El conjunto

K :={f ∈ BV SR

(Φ,1)([a, b], X) : V SR(Φ,1)(f) ≤ 1

}(3.3)

es un subconjunto convexo, absorbente y balanceado deX [a,b].

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En virtud del lema 10, el funcional de Minkowski del conjuntoK

ρΦ(f) := ınf

{t > 0 : t−1f ∈ K

},(3.4)

define una seminorma sobreBV SR(Φ,1)([a, b], X).

¿Hasta qué punto esρΦ(·) es una norma enBV SR

(Φ,1)([a, b], X) ?. La respuesta, como sabemos, estárelacionada con el “tamaño”(dimensión) del subespacio

K0 := {f ∈ BV SR(Φ,1)([a, b], X) : ρ

Φ(f) = 0}.

Ahora, de (3.4) y el hecho de queK es convexo y equilibrado (y en particular0 ∈ K), fácilmente sededuce que

(3.5) si a > ρΦ(f) entoncesa−1f ∈ K.

Por lo tanto,ρΦ(f) = 0 implica queǫ−1f ∈ K para todo0 < ǫ ≤ 1, por lo cual podemos concluir (dado

queK es balanceado) queV SR(Φ,1)(f) = 0. Además, a partir de (3.4) y la definición de ínfimo, tenemos que

(3.6) Si a−1f ∈ K para cada a ≥ c, entonces ρΦ(f) ≤ c.

Los argumentos anteriores nos permiten concluir que

(3.7) K0 ={f ∈ BV SR

(Φ,1)([a, b], X) : V SR(Φ,1)(f) = 0

}.

Observación 6 En realidad, las propiedades(3.5)y (3.6)son satisfechas por el funcional de Minkowski,ρ, de cualquier subconjunto convexo y absorbenteK de un espacio vectorial en general. Note que(3.7),a su vez, implica quedim(K0) = 1.

Una consecuencia directa de (3.7) y la proposición 2 es el siguiente teorema:

SeaΦ unaN -sucesión. El funcional

‖f‖ := ‖f(a)‖+ ρΦ(f)(3.8)

define una norma sobreBV SR(Φ,1)([a, b], X).

Teorema 25.

Nuestro próximo objetivo es mostrar queBV S(Φ,1)([a, b], X) equipado con la norma (3.8) es un espacio

de Banach.

Lema 11 Seaf ∈ BV SR(Φ,1)([a, b], X). Entonces

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(i) Si f 6= 0, entoncesV SR(Φ,1)(f/‖f‖) ≤ 1; (ii) Si ‖f‖ ≤ 1, entoncesV SR

(Φ,1)(f) ≤ ‖f‖.

Demostración.

Si k > ‖f‖ entoncesk > ρΦ(f) y por (3.5):V SR

(Φ,1)

(f

k

)≤ 1. Por lo tanto, para cualquier colección

{[an, bn]}n≥1 ∈ I[a, b],

n

ϕn

(‖f(bn)− f(an)‖

‖f‖(bn − an)

)(bn − an) = lım

k→‖f‖+

n

ϕn

(‖f(bn)− f(an)‖

k(bn − an)

)(bn − an) ≤ 1.

Lo que implica (i).

(ii) Se desprende de (i) y el hecho de queV SR(Φ,1)(·) es convexo. ♦

SiX es un espacio de Banach,ϕ1 ∈ N∞, entoncesBV SR(Φ,1)([a, b], X) es un espacio de Banach.

Teorema 26.

Demostración.

Sea{fn}n≥1 una sucesión de Cauchy enBV SR(Φ,1)([a, b], X). Sin pérdida de generalidad, podemos

suponer quefn(a) = 0 para cadan (de lo contrario, consideramos la sucesióngn(x) := fn(x)− fn(a)).Entonces, para cadaǫ > 0 podemos hallarN ∈ N de forma que

‖fn − fm‖ < ǫ para n > m > N.

Note que sin > m > N , entonces por el lema 11, para cadax ∈ [a, b] :

ϕ1

(‖(fn − fm)(x)‖

ǫ(x− a)

)(x− a) = ϕ1

(‖(fn − fm)(x)− (fn − fm)(a)‖

ǫ(x− a)

)(x− a)

≤ V SR(Φ,1)

(fn − fm

ǫ

)

= V SR(Φ,1)

(‖fn − fm‖

ǫ·fn − fm‖fn − fm‖

)

≤ V SR(Φ,1)

((fn − fm)

‖fn − fm‖

)≤ 1.

Ahora, dado quelımρ→+∞

ϕ1(ρ)

ρ= +∞, podemos elegirM ∈ N tal que

ϕ1(ρ)

ρ> 1 cuando ρ > M.(3.9)

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Por lo tanto, sin > m > N , entonces: o bien‖(fn − fm)(x)‖

ǫ(x− a)≤ M ó

‖(fn − fm)(x)‖

ǫ(x− a)> M .

En el primer caso‖(fn − fm)(x)‖ ≤M ǫ(x− a) ≤M(b− a)ǫ, mientras que, en el segundo caso, dela desigualdad (3.9), obtenemos

‖(fn − fm)(x)‖

ǫ=

‖(fn − fm)(x)‖

ǫ(x− a)(x− a) < ϕ1

(‖(fn − fm)(x)‖

ǫ(x− a)

)(x− a) ≤ 1.

Por lo tanto,{fn}n≥1 es una sucesión de Cauchy enB := B([a, b], X), el espacio de Banach de todaslas funciones acotadas enX [a,b] con la norma uniforme usual. Por lo tanto, existe una funciónf demanera quefn → f, cuandon → ∞, uniformemente. Para verificar quefn converge af en la normadeBV SR

(Φ,1)([a, b],X), consideramos{[ak, bk]}k≥1 ser una colección finita deI[a, b]. Entonces, paran >m > N (N como antes):

k

ϕk

(‖fn(bk)− fn(ak)− (f(bk)− f(ak))‖

ǫ(x− a)

)(x− a)

= lımm→∞

k

ϕk

(‖fn(bk)− fn(ak)− (fm(bk)− fm(ak))‖

ǫ(x− a)

)(x− a)

≤ lımm→∞

V SR(Φ,1)

(fn − fm

ǫ

)≤ 1.

Por lo tanto,fn − f ∈ BV SR(Φ,1)([a, b], X) para cadan > N y por lo tantof = f − fn + fn ∈

BV SR(Φ,1)([a, b], X); además, para todos losn > N

‖fn − f‖ := ınf

{k > 0 : V SR

(Φ,1)

(fn − f

k

)≤ 1

}≤ ǫ.

3.2. El espacioBV SR(Φ,2)([a, b], X)

Ahora estamos en condiciones de presentar el concepto de segundaΦ-variación en el sentido deSchramm-Riesz. Vamos a demostrar que existe una relación fundamental entre las funciones de primeray segundaΦ-variación en el sentido de Schramm-Riesz.

En lo que sigue, vamos a considerar las colecciones de los intervalos deI[a, b] que contienen al menosdos subintervalos de[a, b]. Denotaremos esta colección comoI2[a, b].

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SeaΦ = {ϕn}n≥1 unaN -sucesión. Una funciónf ∈ X [a,b] se dice de segundaΦ-variaciónacotada en el sentido de Schramm-Riesz, si

V SR(Φ,2)(f ; [a, b],X) := sup

n≥0

ϕn

∥∥∥∥f(bn+1)− f(an+1)

bn+1 − an+1−

f(bn)− f(an)

bn − an

∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an) < ∞,

cuando el supremo es considerado sobre todas las particiones{[an, bn]}n ∈ I2[a, b].

Definición 27.

Al igual que en el apartado anterior, para simplificar la notación, a menudo se escribiráV SR(Φ,2)(f) en lugar

deV SR(Φ,2)(f ; [a, b], X).

Para indicar queV SR(Φ,2)(f) <∞ utilizaremos la notaciónf ∈ BV SR

(Φ,2)([a, b], X).

Ejemplo 4 Seaf : [a, b] → X := (c0, ‖ · ‖∞) definida porf(t) :=

(|t|

k

)

k∈N

.

SeaΦ = {ϕn}n≥1 cualquierN -sucesión. Sia > 0, entonces para cualquier{[an, bn]}n≥1 ∈ I2[a, b]

n

ϕn

∥∥∥∥∥∥∥∥

(|bn+1|

k

)

k∈N

(|an+1|

k

)

k∈N

bn+1 − an+1−

(|bn|

k

)

k∈N

(|an|

k

)

k∈N

bn − an

∥∥∥∥∥∥∥∥∞

bn+1 − an

(bn+1 − an)

=∑

n≥0

ϕn

(‖(0)k‖∞

)(bn+1 − an) =

n≥0

ϕn(0)(bn+1 − an) = 0.

Lo cual significa quef ∈ BV SR(Φ,2)([a, b], X) y V SR

(Φ,2)(f ; [a, b], X) = 0. Una situación similar ocurre sia < b < 0.

Proposición 4 SeanΦ = {ϕn}n≥1 unaN -sucesión yf : [a, b] → X una función. Entonces

(a) La función νΦ,2(x) := V SR(Φ,2)(f ; [a, x], X) es no decreciente sobre[a, b].

(b) El funcional V SR(Φ,2) : BV SR

(Φ,2)([a, b], X) → R, definido porV SR(Φ,2)(f) := V SR

(Φ,2)(f ; [a, b], X) esconvexo.

(c) Si |λ| ≤ 1, entoncesV SR(Φ,2)(λf) ≤ |λ|V SR

(Φ,2)(f).

Demostración.La proposición es una consecuencia de la definición, las propiedades del supremo y la convexidad decadaϕn, por lo tanto se omiten los detalles. ♦

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SeaΦ = {ϕn}n≥1 unaN -sucesión. Sif ∈ BV SR(Φ,2)([a, b], X), entoncesf es una función

Lipschitz y, en consecuencia,f es absolutamente continua.

Teorema 28.

Demostración.

Fijemosc ∈ (a, b) y sean s, t ∈ [a, b]. La demostración depende de las diferentes ubicaciones des, tcon respecto aa, b y c.

Caso 1 a < s < c < t < b. Aquí tenemos

(b− a)−1

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s

∥∥∥∥

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s−

f(b)− f(t)

b− t

∥∥∥∥b− a

+

∥∥∥∥f(b)− f(t)

b− t−

f(c)− f(a)

c− a

∥∥∥∥b − a

+

∥∥∥∥f(c)− f(a)

(c− a)

∥∥∥∥b− a

=

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s−

f(b)− f(t)

b− t

∥∥∥∥b − s

b− s

b− a+

∥∥∥∥f(b)− f(t)

b− t−

f(c)− f(a)

c− a

∥∥∥∥b− a

+

∥∥∥∥f(c)− f(a)

(c− a)(b − a)

∥∥∥∥

= ϕ−11

ϕ1

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s−

f(b)− f(t)

b− t

∥∥∥∥b− s

b− s

b− a

+ϕ−11

ϕ1

∥∥∥∥f(b)− f(t)

b− t−

f(c)− f(a)

c− a

∥∥∥∥b− a

+

∥∥∥∥f(c)− f(a)

(c− a)(b − a)

∥∥∥∥

≤ ϕ−11

[V SR(Φ,2)(f)

b− a

]+ ϕ−1

1

[V SR(Φ,2)(f)

b− a

]+

∥∥∥∥f(c)− f(a)

(c− a)(b − a)

∥∥∥∥

= 2ϕ−11

[V SR(Φ,2)(f)

b− a

]+

∥∥∥∥f(c)− f(a)

(c− a)(b − a)

∥∥∥∥ .

Por lo tanto, en este caso llegamos a la conclusión de que

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s

∥∥∥∥ ≤ K donde

(3.10) K = (b− a)2ϕ−11

[V SR(Φ,2)(f)

b− a

]+

∥∥∥∥f(c)− f(a)

c− a

∥∥∥∥ .

Caso 2 a < s < c < t = b. En este caso

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(b− a)−1

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s

∥∥∥∥

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s−

f(s)− f(a)

s− a

∥∥∥∥b− a

+

∥∥∥∥f(s)− f(a)

s− a−

f(b)− f(c)

b − c

∥∥∥∥b − a

+

∥∥∥∥f(b)− f(c)

b− c

∥∥∥∥b− a

= ϕ−11

ϕ1

∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s−

f(s)− f(a)

s− a

∥∥∥∥b− a

+ϕ−11

ϕ1

∥∥∥∥f(s)− f(a)

s− a−

f(b)− f(c)

b − c

∥∥∥∥b − a

+

∥∥∥∥f(b)− f(c)

b− c

∥∥∥∥b− a

≤ ϕ−11

[V SR(Φ,2)(f)

b− a

]+ ϕ−1

1

[V SR(Φ,2)(f)

b− a

]+

∥∥∥∥f(b)− f(c)

b− c

∥∥∥∥b− a

= 2ϕ−11

[V SR(Φ,2)(f)

b− a

]+

∥∥∥∥f(b)− f(c)

b− c

∥∥∥∥b− a

.

Por lo tanto, como en el caso anterior, se tiene que∥∥∥∥f(t)− f(s)

t− s

∥∥∥∥ ≤ K,

dondeK está dado por (3.10).

En los otros casos :a < s < t ≤ c < b, a = s < c < t < b, a < c ≤ s < t < b ya = s < c < t = b, se obtiene un resultado similar. ♦

Corolario 5 Si X es un espacio de Banach reflexivo yf ∈ BV SR(Φ,2)([a, b], X), entoncesf es fuerte-

mente diferenciable en casi todas partes, con derivada fuertemente medible.

SeaΦ = {ϕn}n≥1 unaN -sucesión,f ∈ BV SR(Φ,1)([a, b], X) y F (x) :=

∫ x

a

f(t)dt. Entonces

F ∈ BV SR(Φ,2)[a, b] y V SR

(Φ,2)(F ) ≤ V SR(Φ,1)(f).

Teorema 29.

Demostración.Sea{[an, bn]}n≥1 ∈ I2[a, b] una colección finita. Entonces

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∥∥∥∥F (bn+1)− F (an+1)

bn+1 − an+1−

F (bn)− F (an)

bn − an

∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an)

=

∥∥∥∥∥∥∥∥

∫ bn+1

af(t)dt−

∫ an+1

af(t)dt

bn+1 − an+1−

∫ bn

af(t)dt−

∫ an

af(t)dt

bn − an

∥∥∥∥∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an)

=

∥∥∥∥∥

∫ bn+1

an+1

f(t)dt

bn+1 − an+1−

∫ bn

an

f(t)dt

bn − an

∥∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an)

=

∥∥∥∥∫ 1

0f(an+1 + s(bn+1 − an+1))ds −

∫ 1

0f(an + s(bn − an))ds

∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an)

=

∥∥∥∥∫ 1

0[f(an+1 + s(bn+1 − an+1))− f(an + s(bn − an))]ds

∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an).

Por lo tanto, una aplicación de la desigualdad de Jensen nos permite obtener la desigualdad

n

ϕn

∥∥∥∥F (bn+1)− F (an+1)

bn+1 − an+1−

F (bn)− F (an)

bn − an

∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an)

=∑

n

ϕn

∥∥∥∥∫ 1

0

[f(an+1 + s(bn+1 − an+1))− f(an + s(bn − an))]ds

∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an)

∫ 1

0

[∑

n

ϕn

(‖f(an+1 + s(bn+1 − an+1))− f(an + s(bn − an))‖

bn+1 − an

)(bn+1 − an)

]ds.

Ahora, paras ∈ [0, 1]: an+1 + s(bn+1 − an+1) ∈ [an+1, bn+1], an + s(bn − an) ∈ [an, bn], yK := an+1 + s(bn+1 − an+1)− [an + s(bn − an)] ≤ bn+1 − an.

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En consecuencia,

n

ϕn

∥∥∥∥F (bn+1)− F (an+1)

bn+1 − an+1−

F (bn)− F (an)

bn − an

∥∥∥∥bn+1 − an

(bn+1 − an)

∫ 1

0

[∑

n

ϕn

(‖f(an+1 + s(bn+1 − an+1))− f(an + sbn − an)‖

bn+1 − an

)(bn+1 − an)

]ds

=

∫ 1

0

[∑

n

ϕn

(‖f(an+1 + s(bn+1 − an+1))− f(an + sbn − an)‖

K

K

bn+1 − an

)(bn+1 − an)

]ds

∫ 1

0

[∑

n

ϕn

(‖f(an+1 + s(bn+1 − an+1))− f(an + sbn − an)‖

K

)(bn+1 − an)

K

bn+1 − an

]ds

=

∫ 1

0

[∑

n

ϕn

(‖f(an+1 + s(bn+1 − an+1))− f(an + sbn − an)‖

K

)K

]ds

∫ 1

0

V SR(Φ,1)(f ; [a, b], X)ds

= V SR(Φ,1)(f ; [a, b], X).

Por lo tanto,V SR(Φ,2)(F ) ≤ V SR

(Φ,1)(f), como deseamos. ♦

Por la proposición 3 se tiene que cualquier funciónf ∈ BV S(Φ,1)([a, b] es regular, es decir, tiene

límites laterales en cada punto de[a, b]. Esta idea deberá ser presentada como una hipótesis para obtenerel siguiente resultado, que es una versión del clásico lema de Riesz.

SeaX un espacio de Banach reflexivo. SupongamosF ∈ BV SR(Φ,2)[a, b], Φ ∈ N∞ y que los

límites lateralesF ′(x−) y F ′(x+) existenx ∈ (a, b] y x ∈ [a, b), respectivamente. Entonces,F ′ ∈ BV SR

(Φ,1)([a, b], X) y V SR(Φ,1)(F

′) = V SR(Φ,2)(F ).

Teorema 30.

Demostración.En virtud del teorema 28, se tiene queF es absolutamente continua. Por lo tanto, tiene derivada encasi todas partes sobre(a, b) y F (x) = F (a) +

∫ x

aF ′(t)dt, para todox ∈ [a, b] (Véase [5]). Para

demostrar queF ′ ∈ BV SR(Φ,1)([a, b], X) es necesario demostrar, en primer lugar, queF ′(x) existe para

todox ∈ (a, b). En efecto, si este no fuese el caso, podemos hallar un puntox0 ∈ (a, b) de manera queF ′(x0+)− F ′(x0−) 6= 0; en consecuencia, podemos elegirǫ > 0 y δ > 0 tal que

‖F ′(x0 + h)− F ′(x0 − h)‖ ≥ ǫ

para todoh ∈ (−δ, δ). Así, por la definición del funcionalV SR(Φ,2), la definición y propiedades de las

funcionesϕn que forman parte de laN -sucesión, obtenemos

V SR(Φ,2)(F ) ≥ lım

h→0

n≥0

ϕn

∥∥∥∥F (x0 + h)− F (x0)

h−

F (x0)− F (x0 − h)

h

∥∥∥∥2h

2h ≥ lım

h→0ϕ1

( ǫ

2h

)2h = ∞.

Lo cual es una contradicción. Por lo tanto,F ′ existe en todas partes de(a, b), y definimosF ′(a) y F ′(b)como los respectivos límites lateralesF ′(a+) y F ′(b−).

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Para demostrar queF ′ ∈ BV SR(Φ,1)([a, b] consideremos{[ai, bi]}ni=1 ∈ J [a, b] . Entonces, para todo

i = 1, · · · , n− 1, se tiene que

n−1∑

i=0

ϕi

(‖F ′(bi)− F ′(ai)‖

bi − ai

)(bi − ai) =

n−1∑

i=0

ϕi

lım

h→0

∥∥∥∥F (bi + h)− F (bi)

h−

F (ai + h)− F (ai)

h

∥∥∥∥bi − ai + h

(bi − ai)

=n−1∑

i=0

lımh→0

ϕi

∥∥∥∥F (bi + h)− F (bi)

h−

F (ai + h)− F (ai)

h

∥∥∥∥bi − ai + h

(bi − ai)

= lımh→0

n−1∑

i=0

ϕi

∥∥∥∥F (bi + h)− F (bi)

h−

F (ai + h)− F (ai)

h

∥∥∥∥bi − ai + h

(bi − ai + h)

≤ V SR(Φ,2)(F ).

Dado que la desigualdad anterior vale para todos losn, concluimos que

n≥0

ϕn

(‖F ′(bn)− F ′(an)‖

bn − an

)≤ V SR

(Φ,2)(F ).

En consecuenciaf := F ′ ∈ BV SR(Φ,1)([a, b], X) y V SR

(Φ,1)(f) ≤ V SR(Φ,2)(F ); así, por el teorema 29, obtenemos

V SR(Φ,1)(f) = V SR

(Φ,2)(F ). ♦

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Capítulo 4

Funciones de valores vectoriales deΦ-variación acotadabidimensional

En este capítulo, presentamos la noción deΦ-variación acotada, en el sentido de Riesz, de fun-ciones con valores en un espacio de BanachX definidas sobre un rectángulo[a,b] ⊆ R2, generalizandola noción deΦ-variación presentada por W. Aziz, J. Giménez y N. Merentes en [4] (Ver 1.6.4). En parti-cular, se generalizan algunos resultados dados por V. V. Chistyakov [15] al dar una contraparte del clásicolema de Riesz para funciones enXI , dondeX es un espacio de Banach reflexivo.

4.1. Definiciones básicas

En este capítulos hacemos uso de la notación dada en las secciones 1.0.1 y 1.6.1. Además, en elresto del capítulo,X denota un espacio lineal normado.

Dados, un intervalo cerrado[a,b] ⊆ R2 y una funciónf : [a,b] → X introducimos la siguientenotación:

1. Si ξ = {ti}mi=1 ∈ π[a1, b1], laΦ-variación acotada def con respecto a la particiónξ, se denotarápor:

V RΦ (f, [a1, b1], ξ) :=

m∑

i=1

Φ

[‖f(ti, a2)− f(ti−1, a2)‖

ti − ti−1

](ti − ti−1)

2. Siη = {sj}nj=1 ∈ π[a2, b2], laΦ-variación acotada def con respecto a la particiónη, se denotarápor:

V RΦ (f, [a2, b2], η) :=

n∑

j=1

Φ

[‖f(a1, sj)− f(a1, sj−1)‖

sj − sj−1

](sj − sj−1).

3. Ladiferencia de Vitalien el subrectángulo[t1, t2]× [s1, s2] ⊂ [a,b] (Ver ??):

∆(f, [t1, t2]× [s1, s2]) := f(t1, s1)− f(t1, s2)− f(t2, s2) + f(t2, s2).(4.1)

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4. La Φ-variación def con respecto aξ × η, dondeξ = {ti}ni=0 ∈ π[a1, b1] y η = {sj}mj=0 ∈π[a2, b2], está dada por:

V RΦ (f, [a,b], ξ × η) :=

n∑

i=1

m∑

j=1

Φ

[‖∆(f, [ti−1, ti]× [sj−1, sj])‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

](ti − ti−1)(sj − sj−1).

Observación 7 .

1. Six,y ∈ [a,b], note quef(x1, x2)− f(y1, x2)− f(x1, y2) + f(y1, y2) es igual a escribir

|α|≤2

(−1)|α|f(αx+ (1− α)y),

donde las operacionesαx+ (1− α)y se realizan de acuerdo a(??).

En consecuencia, sixij = (ti−1, sj−1) y yij = (ti, sj), la expresión ∆(f, [xij ,yij ]), definidapor (4.1), puede re-escribirse como

(4.2)∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij).

2. La función∆(f, ·) definida en(4.1)es aditiva, en consecuencia la función‖Delta(f, ·)‖ es subadi-tiva.

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SeaX un espacio de Banach,Φ ∈ N (ver sección 1.4),[a,b] un rectánguloR2 y f : [a,b] →X.

(a) Se define laΦ-variación, en el sentido de Riesz, de la funciónf(·, a2) como

V R10,Φ(f, [a1, b1]) := sup

ξ∈π[a1,b1]

V RΦ (f, [a1, b1], ξ).

(b) Del mismo modo, laΦ-variación, en el sentido de Riesz, def(a1, ·) es definida como

V R01,Φ(f, [a2, b2]) := sup

η∈π[a2,b2]

V RΦ (f, [a2, b2], η).

(c) LaΦ-variación bidimensional, en el sentido de Riesz, def es definida por

V R11,Φ(f, [a,b]) := sup

ξ∈π[a1,b1]η∈π[a2,b2]

V RΦ (f, [a,b], ξ × η).

(d) Si

TV RΦ [f ; [a,b],X] := V R

10,Φ(f, [a1, b1]) + V R01,Φ(f, [a2, b2]) + V R

11,Φ(f, [a,b]) < ∞,

se dice quef tieneΦ-variación total acotada, en el sentido de Riesz, sobre[a,b], y

esta clase se denotará porRBVΦ([a,b];X).

Definición 31.

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5 Seaf : [0, 1]× [0, 1] → C0 definida por

f(x, y) :=

(x− y

n

)

n∈N

.

Si consideramosξ = {ti}ni=0 ∈ π[a1, b1] se tiene que

V R10,Φ(f, [0, 1], ξ) =

m∑

i=1

Φ

∥∥∥∥(tin

)

n∈N

(ti−1

n

)

n∈N

∥∥∥∥ti − ti−1

(ti − ti−1) = Φ(1)

m∑

i=1

(ti − ti−1) = Φ(1).

De la misma forma, se verifica queV R01,Φ(f, [0, 1]) = Φ(1). Además, siξ = {ti}ni=0 ∈ π[a1, b1] y

η = {sj}mj=0 ∈ π[a2, b2] es fácil ver que

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij) = (0)N.

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En consecuencia,

V RΦ (f, [0,1]) := sup

(ξ,η)

m∑

i=1

n∑

j=1

Φ

∥∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥∥(ti − ti−1)(sj − sj−1)

(ti − ti−1)(sj − sj−1) = 0,

lo cual, a su vez implica queTV RΦ (f ; [0, 1]× [0, 1], C0) = 2Φ(1) <∞. Así,f ∈ RBVΦ([0, 1]; C0).

Propiedades deRBVΦ([a,b];X)

A continuación, se presentan algunas propiedades que son satisfechas por las funciones enRBVΦ([a,b];X), las cuales son las contrapartes de varios resultados que figuran en [4] en el caso defunciones reales.

Comenzamos presentando, sin demostración, la propiedad que se deriva de la convexidad de la norma‖ · ‖

Xdel espacioX y de la funciónΦ, como es la convexidad de la clase y del ”funcional variación”.

Proposición 5 RBVΦ([a,b];X) como subespacio lineal deX[a,b]

es un conjunto convexo y el funcionalTV R

Φ [·; [a,b];X ] : RBVΦ([a,b];X) → [0,∞) es convexo.

Como en el caso clásico, el funcional definido por la variación satisface ciertas condiciones de mo-notonía y aditividad, como se muestra en las siguientes proposiciones 6, 16 y el teorema 32.

Proposición 6 Seanξ y η particiones de[a1, b1] y [a2, b2] respectivamente, y suponga que(t, s) ∈[a,b]− {ξ × η}. Entonces

V RΦ (f, [a1, b1], ξ) ≤ V R

Φ (f, [a1, b1], ξ ∪ {t});(4.3)

V RΦ (f, [a2, b2], η) ≤ V R

Φ (f, [a2, b2], η ∪ {s});(4.4)

V RΦ (f, [a,b], ξ, η) ≤ V R

Φ (f, [a,b], ξ ∪ {t}, η),(4.5)

V RΦ (f, [a,b], ξ, η) ≤ V R

Φ (f, [a,b], ξ, η ∪ {s}),(4.6)

y

V RΦ (f, [a,b], ξ, η) ≤ V R

Φ (f, [a,b], ξ ∪ {t}, η ∪ {s}).(4.7)

Demostración.Seanξ = {ti}ni=0 ∈ π[a1, b1], η = {sj}mj=0 ∈ π[a2, b2] y fijemos k ∈ {1, 2, . . . , n} y r ∈ {1, 2, . . . , m}tales quetk−1 < t < tk y sr−1 < s < sr. (4.3) y (4.4) se derivan inmediatamente de la convexidad deΦy ‖ · ‖

X.

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Por otro lado, para todo1 ≤ j ≤ n, se tiene que

Φ

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxkj + ( 1− α)ykj)

∥∥∥∥

(tk − tk−1)(sj − sj−1)

(tk − tk−1)(sj − sj−1)

≤ Φ

(‖f(t, sj)− f(t, sj−1)− f(tk−1, sj) + f(tk−1, sj−1)‖

(t− tk−1)(sj − sj−1)

)(sj − sj−1)(t− tk−1)

+ Φ

(‖f(tk, sj)− f(tk, sj−1)− f(t, sj) + f(t, sj−1)‖

(tk − t)(sj − sj−1)

)(sj − sj−1)(tk − t).

Hacemosξ ∪ {t} := {xi}n+1i=0 , dondexi :=

ti 0 ≤ i ≤ k − 1t i = kti−1 k + 1 ≤ i ≤ n + 1.

Entonces,

V RΦ (f, [a,b], ξ, η)

=

k−1∑

i=1

m∑

j=1

Φ

[‖f(ti, sj)− f(ti, sj−1)− f(ti−1, sj) + f(ti−1, sj−1)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

](ti − ti−1)(sj − sj−1)

+

m∑

j=1

Φ

[‖f(tk, sj)− f(tk, sj−1)− f(tk−1, sj) + f(tk−1, sj−1)‖

(tk − tk−1)(sj − sj−1)

](tk − tk−1)(sj − sj−1)

+n∑

i=k+1

m∑

j=1

Φ

[‖f(ti, sj)− f(ti, sj−1)− f(ti−1, sj) + f(ti−1, sj−1)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

](ti − ti−1)(sj − sj−1)

≤k∑

i=1

m∑

j=1

Φ

[‖f(xi, sj)− f(xi, sj−1)− f(xi−1, sj) + f(xi−1, sj−1)‖

(xi − xi−1)(sj − sj−1)

](xi − xi−1)(sj − sj−1)

+

n∑

i=k

m∑

j=1

Φ

[‖f(xi+1, sj)− f(xi+1, sj−1)− f(xi, sj) + f(xi, sj−1)‖

(xi+1 − xi)(sj − sj−1)

](xi+1 − xi)(sj − sj−1)

=n+1∑

i=1

m∑

j=1

Φ

∥∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥∥(xi − xi−1)(sj − sj−1)

(xi − xi−1)(sj − sj−1)

= V RΦ (f, [a,b], ξ ∪ {t}, η).

Esto demuestra (4.5), y procediendo de manera similar cuando a2 < s < b2 se obtiene (4.6). Por último,mediante la combinación de (4.5) y (4.6) obtenemos (4.7). ♦

Proposición 7 SeaΦ ∈ N , y supongamos quea1 ≤ x1 < u1 < u2 < x2 ≤ b1, a2 ≤ y1 < v1 < v2 <y2 ≤ b2, y quef : [a,b] → X. Entonces

(a) V RΦ (f, [u1, u2]) ≤ V R

Φ (f, [x1, x2]);

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(b) V RΦ (f, [v1, v2]) ≤ V R

Φ (f, [y1, y2]) ;

(c) V RΦ (f, [u1, u2]× [v1, v2]) ≤ V R

Φ (f, [x1, x2]× [y1, y2]);

(d) ‖f(u2, a2)− f(u1, a2)‖ ≤ Φ−1(u2 − u1)

(V RΦ (f(·, s); [a1, b1])

u2 − u1

);

(e) ‖f(a1, v2)− f(a1, v1)‖ ≤ Φ−1(v2 − v1)

(V RΦ (f(t, ·); [a2, b2])

v2 − v1

);

(f) ‖∆(f, [u1, u2]× [v1, v2])‖ ≤ Φ−1

(V RΦ (f ; [a,b])

(u2 − u1)(v2 − v1)

)(u2 − u1)(v2 − v1).

Demostración.

Seaξ := {ti}ni=0 una partición de[u1, u2] ⊂ [x1, x2]. Entonces

V RΦ (f, [u1, u2], ξ) ≤ Φ

[‖f(u1, a2)− f(x1, a2)‖

(u1 − x1)

](u1 − x1)

+n∑

i=1

Φ

[‖f(ti, a2)− f(ti−1, a2)‖

(ti − ti−1)

](ti − ti−1)

+ Φ

[‖f(x2, a2)− f(u2, a2)‖

(x2 − u2)

](x2 − u2)

≤ V R10,Φ(f, [x1, x2]).

En consecuencia,V R10,Φ(f, [u1, u2]) ≤ V R

10,Φ(f, [x1, x2]). Procediendo del mismo modo se demuestra(b).

Ahora vamos a demostrar la parte (c). Para ello consideramosξ como antes yη = {si}mi=0 unapartición de[v1, v2]. Entonces

V R11,Φ(f, [u1, u2]× [v1, v2], ξ, η)

≤m∑

j=1

Φ

[‖f(u1, sj)− f(u1, sj−1)− f(x1, sj) + f(x1, sj−1)‖

(u1 − x1)(sj − sj−1)

](u1 − x1)(sj − sj−1)

+

n∑

i=1

m∑

j=1

Φ

∥∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥∥(ti − ti−1)(sj − sj−1)

(ti − ti−1)

(sj − sj−1)

+m∑

j=1

Φ

[‖f(x2, sj)− f(x2, sj−1)− f(u2, sj) + f(u2, sj−1)‖

(x2 − u2)(sj − sj−1)

](x2 − u2)(sj − sj−1)

= V RΦ (f, [x1, x2]× [v1, v2], {x1} ∪ ξ ∪ {x2}, η).

Hacemos ζ = {ti}n+2i=0 := {x1} ∪ ξ ∪ {x2} =

x1, i = 0ti−1, 1 ≤ i ≤ n + 1x2, i = n+ 2;

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y = {sj}m+2j=0 := {y1} ∪ ξ ∪ {y2} =

y1, j = 0sj−1, 1 ≤ j ≤ m+ 1y2, j = m+ 2.

Entonces

V R11,Φ(f, [u1, u2]× [v1, v2], ξ, η)

≤n+2∑

i=1

m∑

j=1

Φ

[‖f(ti, sj)− f(ti, sj−1)− f(ti−1, sj) + f(ti−1, sj−1)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

](ti − ti−1)(sj − sj−1)

≤n+2∑

i=1

[‖f(ti, y2)− f(ti, v2)− f(ti−1, y2) + f(ti−1, v2)‖

(ti − ti−1)(y2 − v2)

](ti − ti−1)(y2 − v2)

+

m∑

j=1

Φ

[‖f(ti, sj)− f(ti, sj−1)− f(ti−1, sj) + f(ti−1, sj−1)‖

(ti − ti−1)(si − si−1)

](ti − ti−1)(si − si−1)

+ Φ

[‖f(ti, v1)− f(ti, y1)− f(ti−1, v1) + f(ti−1, y1)‖

(ti − ti−1)(v1 − y1)

](ti − ti−1)(v1 − y1)

}

=

n+2∑

i=1

m+2∑

j=1

Φ

[‖f(ti, sj)− f(ti, sj−1)− f(ti−1, sj) + f(ti−1, sj−1)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

](ti − ti−1)(sj − sj−1)

= V R11,Φ(f, [x1, x2]× [v1, v2], ζ, )

≤ V R11,Φ(f, [x1, x2]× [v1, v2]).

lo cual completa la demostración de la parte (c).

Por otra parte, es claro que

V R10,Φ(f, [a1, b1]) ≥ Φ

[‖f(u2, a2)− f(u1, a2)‖

u2 − u1

](u2 − u1);

y en consecuencia,

Φ−1

[V R10,Φ(f, [a1, b1])

u2 − u1

](u2 − u1) ≥ ‖f(u2, a2)− f(u1, a2)‖.

Con lo cual queda demostrado (b), y procediendo de forma similar se obtiene (e).

Finalmente, siξ = {ti}3i=0 := { a1, u1, u2, b1} y η = {si}3i=0 := {a2, v1, v2, b2}, entonces

V R11,Φ(f, I

ba, ξ, η) ≥

3∑

i=1

3∑

j=1

Φ

∥∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥∥(ti − ti−1)(sj − sj−1)

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

≥ Φ

[‖f(u2, v2)− f(u2, v1)− f(u1, v2) + f(u1, v1)‖

(u2 − u1)(v2 − v1)

](u2 − u1)(v2 − v1).

Por consiguiente

Φ−1

[V R11,Φ(f)

(u2 − u1)(v2 − v1)

](u2 − u1)(v2 − v1) ≥ ‖f(u2, v2)− f(u2, v1)− f(u1, v2) + f(u1, v1)‖.

con lo cual se obtiene (f), completando la demostración. ♦

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Si a1 < t < b1 y a2 < s < b2, entonces

TV RΦ (f ; [a,b], X) = TV R

Φ (f ; [a1, t]× [a2, b2]) + TV RΦ (f ; [t, b1]× [a2, b2]),(4.8)

TV RΦ (f ; [a1, b1]× [a2, b2], X) = TV R

Φ (f ; [a1, b1]× [a2, s]) + TV RΦ (f ; [a1, b1]× [s, b2], X),(4.9)

y

TV RΦ (f ; [a,b], X) = TV R

Φ (f ; [a1, t]× [a2, s]) + TV RΦ (f ; [a1, t]× [s, b2], X)

+ TV RΦ (f ; [t, b1]× [a2, s], X) + TV R

Φ (f ; [t, b1]× [s, b2], X).(4.10)

Teorema 32.

Demostración.Sean ξ = {ti}ni=0 ∈ π[a1, t] y ζ = {τi}mi=0 ∈ π[t, b1]. Entonces,

V R10,Φ(f, [a1, t], ξ) + V R

10,Φ(f, [t, b1], ζ) = V R10,Φ(f, [a1, b1], ξ ∪ ζ),

por lo tanto

V R10,Φ(f, [a1, t]) + V R

10,Φ(f, [t, b1]) = V R10,Φ(f, [a1, b1]).

Del mismo modo, se obtiene

V R01,Φ(f, [a2, s]) + V R

01,Φ(f, [s, b2]) = V R01,Φ(f, [a2, b2]).

Supongamos ahora queξ, ζ, η son particiones de[a1, t], [t, b1] y [a2, b2] respectivamente. Enton-ces

V R11,Φ(f ; [a1, t]× [a2, b2], ξ, η) + V R

11,Φ(f ; [t, b1]× [a2, b2], ζ, η) = V R11,Φ(f ; [a,b], ξ ∪ ζ, η),

lo que implica (4.8).

Además, paraξ ∈ π[a1, b1], ∈ π[a2, s] y χ ∈ π[s, b2]:

V RΦ (f ; [a1, b1]× [a2, s], ξ, ) + V R

Φ (f ; [a1, b1]× [s, b2], ξ, χ)

= V RΦ (f ; [a1, b1]× [a2, b2], ξ, ∪ χ),

que produce (4.9). Finalmente, aplicando (4.9) a (4.8) se obtiene (4.10). ♦

Similar al caso unidimensional, las funciones que pertenecen a esta clase, satisfacen la propiedad desemi-continuidad inferior.

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Sea {Φn}n≥1 una sucesión enN y {fn}n≥1 ⊆ X [a,b]. Suponga que

lımn→∞

‖fn(t, s)− f(t, s)‖ = 0, ∀ (t, s) ∈ [a,b],

ylımn→∞

Φn(ρ) = Φ(ρ), ∀ ρ ∈ [0,+∞).

Entonces

V R10,Φ(f ; [a1, b1]) ≤ lım inf

n→∞V R10,Φn

(fn; [a1, b1]),

V R01,Φ(f ; [a2, b2]) ≤ lım inf

n→∞V R01,Φn

(fn; [a2, b2]), y(4.11)

V R11,Φ(f, [a,b]) ≤ lım inf

n→∞V R11,Φn

(fn, [a,b]).(4.12)

Teorema 33.

Demostración.Si hacemosψ(t) := f(t, a2) y ψn(t) := fn(t, a2) paran = 1, 2, ...,, entonces, parat ∈ [a1, b1]

lımn→∞

‖ψn(t)− ψ(t)‖ = lımn→∞

‖fn(t, a2)− f(t, a2)‖ = 0.

Por lo tanto, teniendo en cuentaǫ > 0 existeN1 ∈ N tal que

‖ψn(t)− ψ(t)‖ <ǫ

2para todo n ≥ N1, t ∈ [a1, b1].

Luego, por el lema 3.1(d) de [15]

V RΦ (ψ; [a1, b1]) ≤ lım inf

n→∞VΦn(ψn, [a1, bn]),

lo cual implicaV R10,Φ(f ; [a1, b1]) ≤ lım inf

n→∞V R10,Φn

(fn; [a1, b1]).

De forma similar se puede obtener la desigualdad (4.11).

Para demostrar la última parte, consideremos particionesξ = {ti}ni=0 ∈ π[a1, b1] y η = {sj}mj=0 ∈π[a2, b2], así

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥X

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

≤‖f(ti, sj)− fn(ti, sj)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)+

‖fn(ti, sj−1)− f(ti, sj−1)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

+‖fn(ti−1, sj)− f(ti−1, sj)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)+

‖fn(ti−1, sj−1)− f(ti−1, sj−1)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

+‖fn(ti, sj)− fn(ti, sj−1)− fn(ti−1, sj)− fn(ti−1, sj−1)‖

(ti − ti−1)(sj − sj−1).

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Ya que esto se cumple para todon ∈ N, existe lım inf de los términos el lado derecho de la desigual-dad anterior, luego, haciendo uso de la continuidad deΦ, se obtiene que

Φ

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

≤ lım inf

n→∞Φ

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|fn(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

.

Ahora, hacemos uso de la desigualdad triangular, para obtener

Φ

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

≤ lım inf

n→∞

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Φ

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|fn(αxij + ( 1− α)yij )

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

− Φn

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|fn(αxij + ( 1− α)yij )

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ Φn

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|fn(αxij + ( 1− α)yij )

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

.

y dado que el límite del primer término del lado derecho existe y es igual a cero, debe ser

Φ

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|f(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

≤ lım inf

n→∞Φn

∥∥∥∥∑

|α|≤2

(−1)|α|fn(αxij + ( 1− α)yij)

∥∥∥∥

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

,

de donde obtenemos (4.12), dado queξ, η son particiones arbitrarias. ♦

4.2. Linealidad

Una pregunta natural que queda por responder es la siguiente: ¿ Bajo qué condiciones se tiene queRBVΦ([a,b];X) es un espacio lineal?. Como en el caso de dimensión uno, la respuesta es:Φ debesatisfacer la condición∆2. De hecho, esta condición también es necesaria. La prueba deeste hechoes similar a la dada en [4]. Sin embargo, proporcionamos los detalles para funciones de valores en unespacio de BanachX.

Supongamos queΦ ∈ ∆2, X es un espacio de Banach (Complejo),c ∈ R (resp.C) y f, g ∈RBVΦ([a,b];X).

Si |c| ≤ 1, la convexidad deRBVΦ([a,b];X), dada en la proposición 5, asegura quecf ∈RBVΦ([a,b];X). Si, por el contrario,|c| > 1, entonces el hecho de queΦ satisface la condición∆2

(Ver definición 7) garantiza que podemos elegir constantes positivasK(c) y ρ0 tales que

Φ(|c|ρ) ≤ K(c)Φ(ρ) para todo ρ ≥ ρ0.

A continuación, observamos que la relaciónΨ(ρ) := Φ(|c|ρ) define unaϕ-function Ψ que satisface

lımρ→+∞

Ψ(ρ)

Φ(ρ)<∞.

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Fácilmente se deduce queRBVΦ([a,b];X) ⊆ RBVΨ([a,b])

yTV R

Φ,X[cf, [a,b]] = TV RΨ,‖·‖[f, [a,b]] <∞.

Por otro lado,

TV RΦ,X [f + g, [a,b]] ≤

1

2TV R

Φ,X [2f, [a,b]] +1

2TV R

Φ,X [2g, [a,b]] < ∞.

Así, RBVΦ([a,b];X) es un espacio lineal cuandoΦ ∈ ∆2.

Para demostrar la implicación recíproca, observe que siRBVΦ([a,b];X) es un espacio lineal entoncesf ∈ RBVΦ([a,b];X) implica que 2f ∈ RBVΦ([a,b];X), que, a su vez, implica queRBVΦ([a,b];X) ⊆RBVΨ([a,b]), donde Ψ(ρ) := Φ(2ρ), ρ ≥ 0. Por lo tanto,existen constantesC > 0 y ρ0 > 0 tales queΦ(2ρ) = Ψ(ρ) ≤ CΦ(ρ) para todoρ ≥ ρ0. Esto significa queΦ ∈ ∆2.

La siguiente proposición resume los hechos que acabamos de discutir.

Proposición 8 RBVΦ([a,b];X) es un espacio lineal si y sólo siΦ ∈ ∆2.

4.3. Funciones absolutamente continuas.

Presentamos ahora el concepto de funciones vectoriales absolutamente continuas, definidas sobre un rectánguloI ⊆ R2. Con este fin, como en [4], nos basamos en la definición dada porCarathéodory [14], en 1918, y en sureciente reinterpretación debido a Jirí Šremr [53].

Si I ⊆ [a,b] entonces, denotaremos por| I | su área.

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Dos rectángulosI1 y I2 se dicenadjuntossi ellos no se sobreponen yI1 ∪ I2 ∈ π([a,b]) (Ver [4]). Esdecir, los rectángulosI1 = [a1, b1]× [x1, y1] y I2 = [a2, b2]× [x2, y2], son adjuntos si ocurre uno de lossiguientes casos:

1. Que[x1, y1] = [x2, y2] y [a1, b1] ∩ [a2, b2] ={a2}.

2. Que[a1, b1] = [a2, b2] y [x1, y1] ∩ [x2, y2] ={x2}.

Definición 34.

Una función rectánguloF : π([a,b]) → X es llamadaaditiva si, dado cualquier par de rectángulosadyacentesI1 y I2 ∈ π([a,b]), se cumple la igualdad:

F (I1 ∪ I2) = F (I1) + F (I2).

Definición 35.

Es fácil obtener a partir de la definición que, sif : [a,b] → X es una función arbitraria la función rectángulo,definida por

Ff ([t1, t2]× [s1, s2]) := f(t1, s1)− f(t1, s2)− f(t2, s1) + f(t2, s2),(4.13)

para [t1, t2]× [s1, s2] ∈ π([a,b]), es aditiva. Nos referiremos a la funciónFf como lafunción rectángulo inducidapor f .

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Diremos que la función rectángulo aditivaF : π([a,b]) → X es absolutamente continua, en el sentidode Carathéodory-Šremr, si, dadoǫ > 0, arbitrario, existeδ > 0 tal que: para cualquier colección finitaI1, ..., Ik ∈ π([a,b]), de rectángulos que no se sobreponen se tiene que:

k∑

j=1

|Ij | ≤ δ =⇒k∑

j=1

‖F (Ij)‖ ≤ ǫ.

Definición 36.

Una funciónF : [a,b] → X la llamaremosabsolutamente continua, en el sentido de Carathéodory-Šremr, si satisface las siguientes condiciones:

(a) La función rectángulo inducida porf , Ff es absolutamente continua;

(b) Las funcionesf(a1, ·) : [a2, b2] → X y f(·, a2) : [a1, b1] → X son absolutamente continuas.

Definición 37.

Denotaremos al conjunto de todas las funciones abolutamente continuas, en el sentido de Carathéodory-Šremr,definidas sobre[a,b], comoAC([a,b];X).

Ejemplo 6 Seaf : [a,b] → C0 definida por

f(t, s) :=

(t+ s

n

)

n∈N

, donde [a,b] =: [0, 1] × [0, 1].

Se ve fácilmente que las funcionesf(·, 0) y f(0, ·) son absolutamente continuas sobre[0, 1]. Por otra parte, siIi := [ti, t

′i]× [si, s

′i], i = 1, 2, . . . ,m, entonces

m∑

i=1

‖f(ti, si)− f(ti, s′i)− f(t′i, si) + f(t′i, s

′i)‖∞ =

m∑

i=1

∥∥∥∥(0

n

)

n∈N

∥∥∥∥ = 0 < ǫ.

En consecuencia,f es abolutamente continua sobre[a,b]. Note que este ejemplo también demuestra que lafunción rectánguloFf , inducida porf , es una función rectángulo aditiva absolutamente continua.

Ahora, vamos a demostrar que toda función deΦ-variación bidimensional, en el sentido de Riesz, es abso-lutamente continua en el sentido de Carathéodory-Šremr. Vamos a necesitar la siguiente propiedad de la funciónΦ ∈ N∞, que ya hemos mencionado en el capítulo 1 en (??).

lımr→0+

rΦ−1(c/r) = c lımv→∞

v/Φ(v) = 0 ∀ c ∈ [0,+∞).(4.14)

Lema 12 Supongamos queΦ ∈ R(0,∞) es una función convexa, y que{ρi}ni=1 y {pi}ni=1, n ∈ N, son dos

sucesiones finitas arbitrarias de números reales de manera que ρi ≥ 0, y pi > 0, ∀ 1 ≤ i ≤ n. Entonces

Φ

(∑ni=1 ρi∑ni=1 pi

)≤

n∑

i=1

pi∑ni=1 pi

Φ

(ρipi

).

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Demostración.

En efecto, si hacemosk :=n∑

i=1pi entonces

Φ

(∑ni=1 ρik

)= Φ

(n∑

i=1

ρik

)= Φ

n∑

i=1

pi

(ρipi

)

k

n∑

i=1

pikΦ

(ρipi

),

que es lo que deseábamos demostrar. ♦

Como consecuencia de este sencillo lema, se tiene las siguientes estimaciones, que serán de gran utilidad en eltrabajo:

m∑

i=1

‖f(si, a2)− f(ti, a2)‖ ≤ Φ−1

V R10,Φ(f, [a1, b1])m∑i=1

(si − ti)

m∑

i=1

(si − ti).(4.15)

m∑

i=1

‖f(a1, yi)− f(a1, xi)‖ ≤ Φ−1

V R01,Φ(f, [a2, b2])m∑i=1

(yi − xi)

m∑

i=1

(yi − xi).(4.16)

and

m∑

i=1

‖f(xi, yi)− f(xi, si)− f(ti, yi) + f(ti, si)‖ ≤ Φ−1

V R11,Φ(f, [a1, b1])

m∑i=1

(si − ti)(yi − xi)

m∑

i=1

(si − ti)(yi − xi).(4.17)

Proposición 9 SiΦ ∈ N∞, y f ∈ RBVΦ([a,b];X), entoncesf(·, a2), f(a1, ·) son funciones absolu-tamente continuas(en el sentido clásico como funciones de una variable), y la función rectánguloFf

inducida porf , es absolutamente continua en el sentido de Carathéodory-Šremr.

Demostración.Es fácil ver que las funcionesf(·, a2) y f(a1, ·), son absolutamente continuas. Aquí, nos limitaremos ademostrar queFf es absolutamente continua.

Seaǫ > 0. Hacemosc = V RΦ (f ; [a, b]) en (5.16) tenemos que existeδ > 0 de manera que

0 < r < δ implies

∣∣∣∣rΦ−1

(V RΦ (f ; [a,b])

r

)∣∣∣∣ < ǫ.(4.18)

Ahora, consideremos una familia finita de rectángulos

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Iij := [ti, xi]× [sj , yj] ⊂ [a,b], i = 1, · · · , n, j = 1, 2, · · · , m, tal que

t1 ≤ x1 ≤ t2 ≤ x2 ≤ · · · ≤ tn ≤ xn, s1 ≤ y1 ≤ s2 ≤ y2 ≤ · · · ≤ sm ≤ ym,

yn∑

i=1

m∑

j=1

(xi − ti)(yj − sj) ≤ δ.

Entonces, por (4.17) obtenemos quen∑

i=1

m∑

j=1

‖f(xi, yj)− f(xi, sj)− f(ti, yj) + f(ti, sj)‖

≤ Φ−1

V RΦ (f ; [a,b])

n∑i=1

m∑j=1

(xi − ti)(yj − sj)

n∑

i=1

m∑

j=1

(xi − ti)(yj − sj) < ǫ.

Con lo cual queda completa la demostración. ♦

4.4. Lema tipo Riesz

Nuestro siguiente resultado es una contraparte del clásicolema de Riesz ([48], ver también [4]) en el ámbitobidimensional, cuandoX es un espacio de Banach reflexivo.

Sea(X, ‖ · ‖), un espacio de Banach reflexivo, y supongamos queΦ ∈ N∞ y f ∈ RBVΦ([a,b];X).Entonces, las derivadas parciales (Lebesgue)

∂f(x, a2)

∂x,∂f(a1, y)

∂yy

∂2f(x, y)

∂x∂y

existen para casi todo puntox ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2], y (x, y) ∈ [a,b], respectivamente. Ellas sonfuertemente medibles,f es Bochner integralbe sobre[a,b], y

TV RΦ [f, [a,b];X ] =

∫ b1

a1

Φ

(∥∥∥∥∂f(x, a2)

∂x

∥∥∥∥)dx +

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂f(a1, y)

∂y

∥∥∥∥)dy +

∫ b1

a1

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)dydx.

Teorema 38.

Demostración.Ya que las funcionesf(a1, ·), y f (·, a2) son absolutamente continuas y,X es un espacio de Banach reflexivo,ellas admiten derivadas fuertes para casi todo puntox ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2], respectivamente ( Ver Teorema 3.3

in [?]).Estos derivados son iguales a∂f(x, a2)

∂xy

∂f(a1, y)

∂y, respectivamente. Por consiguiente,

V R10,Φ(f, [a1, b1]) =

∫ b1

a1

Φ

(∥∥∥∥∂f(x, a2)

∂x

∥∥∥∥)dx,(4.19)

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V R01,Φ(f, [a2, b2]) =

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂f(a1, y)

∂y

∥∥∥∥)dy.(4.20)

Por otro lado, se observa que para cada(xi, yj) ∈ [a,b], el límite

lım(h1,h2)→(0,0)

f(xi + h1, yj + h2)− f(xi, yj + h2)− f(xi + h1, yj) + f(xi, yj)

h1h2

existe, ya queFf es absolutamente continua.

Ahora, si a1 = x0 < x1 < · · · < xn = b1 y a2 = y0 < y1 < . . . < yn = b2 son particiones de[a1, b1] y[a2, b2], respectivamente, debemos tener

lım|∆x|→0|∆y|→0

n∑

i=1

m∑

j=1

Φ

(∥∥∥∥∂2f(xi, yj)

∂x∂y

∥∥∥∥)∆xi∆yj ≤ lım

|∆x|→0|∆y|→0

lımh1→0h2→0

V R11,Φ(f, [a1, b1]× [a2, b2], ξ, η),

donde|∆x| := max1≤i≤n

(xi − xi−1), |∆y| := max1≤j≤m

(yj − yj−1), y

parah1, h2 lo suficientemente pequeño,ξ es la partición de[a1, b1] formada por los puntos

a1 < x1 < x1 + h1 ≤ x2 < x2 < x2 + h1 ≤ · · · ≤ xi−1 < xi < xi + h1 ≤ · · · ≤ b1

mientras queη ∈ π([a2, b2]) está determinada por los puntos

a2 < y1 < y1 + h2 ≤ y2 < y2 < y2 + h2 ≤ · · · ≤ yj−1 < yj−1 < yj + h2 ≤ · · · ≤ b2.

La desigualdad (4.7) de la proposición 6 garantiza que si(h1, h2) → (0, 0) y (∆t,∆s) → (0, 0),la expresiónV R

11,Φ(f, [a,b], ξ, η) es no-decreciente, y dado quef ∈ RBVΦ([a,b];X), debe converger asu supremo; esto es,

∫ b1

a1

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)dydx ≤ V R

11,Φ(f, [a,b]).

De este modo, mediante la combinación de esta última desigualdad con (4.19) and (4.20), obtenemos

TV RΦ [f, [a,b];X ] ≥

∫ b1

a1

Φ

(∥∥∥∥∂f(x, a2)

∂x

∥∥∥∥)dx+

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂f(a1, y)

∂y

∥∥∥∥)dy +

∫ b1

a1

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)dydx.

Además, podemos elegirN ∈ N de tal manera que

u ≤ Φ(u) para todo u ≥ N,

en cuyo caso tenemos,∫ b1

a1

∫ b2

a2

∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥ dydx

=

∫∫∥∥∥∂2f(x,y)

∂x∂y

∥∥∥≤N

∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥ dydx+∫∫

∥∥∥∂2f(x,y)∂x∂y

∥∥∥>N

∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥ dydx

≤ N(b1 − a1)(b2 − a2) +

∫ b1

a1

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)dydx <∞.

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El teorema II.2 de [?] nos garantizan que todas estas derivadas parciales son Bochner integrable en[a,b].

Ahora, podemos asumir que cada uno de los intervalos[xi−1, xi], (i = 1, 2, ..., n), tiene la mismalongitud, es decir,|∆x|. Del mismo modo, se puede suponer que|∆y| = ∆yi = yi − yi−1, para todoi = 1, 2, ..., m; por otra parte, si tomamosxi := ti−1, h1 := |∆x| y h2 := |∆y|, obtenemos

∫ b1

a1

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)dydx

= lım|∆t|→0|∆s|→0

n,m∑

i=1j=1

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)∆xi ∆yj

= lım|∆t|→0|∆s|→0

n,m∑

i=1j=1

Φ

(∥∥∥∥∥ lım∆t→0∆s→0

f(ti, sj)− f(ti, sj)− f(ti, sj−1) + f(ti−1, sj−1)

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

∥∥∥∥∥

)∆xi ∆yj

= lım|∆t|→0|∆s|→0

n,m∑

i=1j=1

Φ

(∥∥∥∥f(ti, sj)− f(ti, sj)− f(ti, sj−1) + f(ti−1, sj−1)

(ti − ti−1)(sj − sj−1)

∥∥∥∥)∆xi ∆yj

= lım|∆t|→0|∆s|→0

{V11,Φ(f, [a,b])} = V11,Φ(f, [a,b]).

Como consecuencia inmediata de la última proposición, y de su demostración, se puede afirmar ahorael siguiente corolario que generaliza el lema de Riesz.

Corolario 6 SeaΦ ∈ N y supongamos quef : [a,b] → X, dondeX es un espacio de Banachreflexivo.f ∈ RBVΦ([a,b];X) si y sólo sif es absolutamente continua y

∫ b1

a1

Φ

(∥∥∥∥∂f(x, a2)

∂x

∥∥∥∥)dx+

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂f(a1, y)

∂y

∥∥∥∥)dy +

∫ b1

a1

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)dydx < ∞.

De hecho:

TV RΦ [f, [a,b];X ] =

∫ b1

a1

Φ

(∥∥∥∥∂f(x, a2)

∂x

∥∥∥∥)dx+

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂f(a1, y)

∂y

∥∥∥∥)dy +

∫ b1

a1

∫ b2

a2

Φ

(∥∥∥∥∂2f(x, y)

∂x∂y

∥∥∥∥)dydx.

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Capítulo 5

Funciones de varias variables conΦ-variación acotada

La noción generada de variación acotada clásica ha dado lugar a algunas generalizaciones del con-cepto, sobre todo, la intención de buscar una clase “más grande” de funciones cuyos elementos tenganserie de Fourier puntualmente convergente. Al igual que en el caso clásico, estas generalizaciones hanencontrado muchas aplicaciones en el estudio de ciertas ecuaciones diferenciales e integrales (véase [12]).

En este capítulo presentamos una generalización de la noción de funciones deΦ-variación acotada, enel sentido de Riesz, para funciones de varias variables reales, que toman, valores en un semigrupo métrico.Esto extiende el trabajo realizado en [4], en el cual los autores presentan la noción deΦ-variación acotada,en el sentido de Riesz, definidas sobre un rectángulo enR2. Además, extendemos algunos resultados deV. Chistyakov ([15]) y una versión del lema de Riesz para el caso de funciones de varias variables, quetoman valores en un espacio de Banach reflexivo.

Para empezar, damos algunas notaciones y definiciones que seutilizan en el resto de este trabajo,algunas de ellas fueron presentadas por V. Chistyakov en [16, 20], y las hemos complementado con lanotación utilizada en [54], para hacerlas más comprensibleal lector.

Un punto típico deRn es denotado comox = (x1, x2, · · · , xn) := (xi)ni=1; los vectores unitarios

canónicos deRn son denotados porej (j = 1, 2, . . . , n); esto es,ej := (ej1, ej2, · · · , e

jn), dondeejr :={

0 if r 6= j1 if r = j.

. Lan-upla(0, 0, . . . , 0), cuyas componentes son todas nulas se denota por0, y por1 se

denota lan-upla1 = (1, 1, . . . , 1).

Si α = (α1, α2, · · · , αn), conαj ∈ N0, es unan-upla de enteros no negativos, será denotada porα yllamadamulti-indice([2]). Notemos que cada vector canónico también es un multi-índice.

Si a,b ∈ Rn usaremos la notacióna < b para indicar quexi < yi para cadai = 1, · · · , n y de

forma similar se definena = b, a ≤ b, a ≥ b y a > b. Si a < b, el conjuntoJ := [a,b] =n∏

i=1

[ai, bi]

es llamadointervalo cerradon-dimensional. El volumen euclidiano de este intervalo es denotado por

Vol [a,b]; esto es, Vol[a,b] =n∏

i=1

(bi − ai).

Además, paraα = (α1, α2, · · · , αn) ∈ Nn0 y x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn, usaremos las siguientes

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notaciones:

|α| := α1 + α2 + · · ·+ αn y αx := (α1x1, α2x2, · · · , αnxn).

En el resto del capítulo se consideran funciones cuyo dominio es un intervalo cerradon-dimensional[a,b] y cuyo rango está en un semigrupo métrico(M, d,+); esto es,d es una métrica invariante portraslación sobreM y (M,+) es un semigrupo abeliano. En particular, la desigualdad triangular implicaque, para todou, v, p, q ∈M ,

d(u, v) ≤ d(p, q) + d(u+ p, v + q), y

d(u+ p, v + q) ≤ d(u, v) + d(p, q).(5.1)

Claramente, cualquier espacio normado es un semigrupo métrico.

Ahora definimos dos grupos que desempeñan una función importante en este trabajo:

E(n) := {θ ∈ Nn0 : θ ≤ 1 y |θ| es par}

O(n) := {θ ∈ Nn0 : θ ≤ 1 y |θ| es impar}.

Tengamos en cuenta que estos grupos están relacionados de manera uno a uno; en efecto, siθ =(θ1, · · · , θn) ∈ E(n) entonces podemos definirθ := (θ1, · · · , θi−1, 1 − θi, θi+1, · · · θn) ∈ O(n), y estaoperación es claramente invertible.

Dadaf : [a,b] → M , definimos ladiferencian-dimensional tipo Vitalidef sobre un intervalon-dimensional[x,y] ⊆ [a,b], por

∆n(f ; [x,y]) := d

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y),∑

θ∈O(n)

f(θ x+ (1− θ)y)

.(5.2)

Definición 39([17, 18, 57]).

Notemos que en el caso en quen = 2, se tieneE(2) := {(0, 0), (1, 1)} y O(2) = {(1, 0), (0, 1)}, así∆2(f, [x,y]) = d

(f(x1, x2) + f(y1, y2), f(y1, x2) + f(x1, y2)

).

Aún cuando∆n(f ; [x,y]), en (5.2), es definida parax < y, si xi = yi para algúni, entonces el ladoderecho de (5.2) es igual a cero para toda funciónf : [a,b] → M . Esta diferencia es también llamadadiferencia mixtay es usualmente asociada a los nombres de Vitali, Lebesgue, Hardy, Krause, Fréchet yDe la Vallée Poussin ([17, 18, 33]).

Ahora vamos a definir laΦ-variación de una funciónf : [a,b] → M . Con ese fin, consideramos

particiones tipo mallao simplementemallasde[a,b] =n∏

i=1

[ai, bi]; esto es, particiones del tipo

ξ = ξ1 × ξ2 × · · · × ξn con ξi := {t(i)j }kij=0, i = 1, . . . , n.(5.3)

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Donde,{ki}ni=1 ⊂ N y para cadai, ξi es una partición de[ai, bi]. El conjunto de todas las mallas de unintervalo[a,b] se denota porπ([a,b]).

Un punto de la mallaξ es llamadonodo([54]) y es de la forma

tα := (t(1)α1, t(2)α2

, t(3)α3, · · · , t(n)αn

)

donde0 ≤ α = (αi )ni=1 ≤ κ, conκ := (ki)

ni=1.

En aras de la simplicidad en la notación, nos limitaremos a escribir ξ = {tα}, para referirse a todoslos nodos que forman una partición determinadaξ.

Una celda de un intervalon-dimensional[a,b] es un sub-intervalon-dimensional de la forma[tα−1, tα], para0< α ≤ κ.

Notemos que

t0 = (t(1)0 , t

(2)0 , · · · , t(n)0 ) = (a1, a2, · · · , an) y tκ = (t

(1)k1, t

(2)k2, · · · , t(n)kn

) = (b1, b2, · · · , bn).

5.1. El espacioRVΦ([a,b],M)

En primer lugar definimos la variación en el sentido deVitali-Riesz.

Seanf : [a,b] → M y Φ ∈ N . LaΦ-variación, en el sentido de Vitali-Rieszdef es definidacomo

RV nΦ (f ; [a,b]) := sup

ξ∈π[a,b]RV n

Φ (f ; [a,b], ξ),(5.4)

dondeξ = {tα}, y

RV nΦ (f ; [a,b], ξ) :=

1≤α≤κ

Φ

(∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα].

Definición 40.

El objetivo principal de esta sección es definir laΦ-variación de una funciónf en el sentido de Vitali-Hardy-Riesz. Con el fin de hacer eso, será necesario definir la variación deuna función considerandoalgunas variables fijas, así como se hizo en [17], definimosel truncamientode un punto, de un intervaloy de una función, por un multi-índice dado0 < η ≤ 1. Tengamos en cuenta que en este caso, las entradasde un multi-índiceη son0 o 1.

El truncamiento de un puntox ∈ Rn por el multi-índice0 < η ≤ 1, el cual es denotado porx⌊η, esdefinido como ha|η|-upla que se obtiene al suprimir dex las entradas correspondientes, dondeη esigual a0. Esto es,x⌊η = (xi : i ∈ {1, 2, · · · , n}, ηi = 1). Por ejemplo, six = (x1, x2, x3, x4, x5) yη = (0, 1, 1, 0, 1), entoncesx⌊η = (x2, x3, x5).

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El truncamiento de un intervalon-dimensional[a,b], por un multi-índice0 < η ≤ 1, es definidocomo[a,b]⌊η := [a⌊η,b⌊η].

Dados una funciónf : [a,b] → M , un multi-índice0 < η ≤ 1 y un puntoz ∈ [a,b], se definef zη : [a,b]⌊η →M , el truncamiento def porη, por la fórmula

f zη (x⌊η) := f(ηx+ (1− η)z), x ∈ [a,b].

Notemos que la funciónf zη depende sólo de|η| variablesxi para las cualesηi = 1.

Observación 8 Dada una funciónf : [a,b] → M y un multi-índiceη 6= 0, entonces la|η|-diferenciatipo de Vitali parafa

η (cf. (5.2)), es dada por

∆|η|(faη , [x,y]) := d

θ∈E(n)θ≤η

f (η(θx+ (1− θ)y) + (1− η)a) ,∑

θ∈O(n)θ≤η

f(η(θx+ (1− θ)y) + (1− η)a)

.

SeanΦ ∈ N y f : [a,b] → M una función. Denotaremos por

TRVΦ(f, [a,b]) :=∑

0 6=η≤1

RV|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η)

la Φ-variación def en el sentido de Vitali-Hardy-Riesz (brevemente,Φ-variación def ) en[a,b]. El conjunto de todas las funcionesf que satisfacen la condiciónTRVΦ(f, [a,b]) < ∞será denotado porRVΦ([a,b];M).

Definición 41.

Se ve fácilmente que sif es una función constante entonces∆n(f ; [x,y]) = 0 y en consecuenciaRV n

Φ (f, [a,b]) = 0. De hecho,TRVΦ(f, [a,b]) = 0 si, y sólo si,f es constante, como se muestra acontinuación.

TRVΦ(f, [a,b]) = 0 si, y sólo si,f es una función constante.

Teorema 42.

Demostración.Acabamos de verificar la condición necesaria. Supongamos ahora queTRVΦ(f, [a,b]) = 0 y seax =(x1, · · · , xn) un punto en[a,b]. Entonces,x determina, para cada1 ≤ i ≤ n, una particiónξi :=

{ai, xi, bi} := {t(i)0 , t(i)1 , t

(i)2 }.

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Dado queTRVΦ(f, [a,b]) = 0, tenemos que∆|η|(faη , [tα−1, tα]) = 0 para todo1 ≤ α ≤ 2 y todo

0 6= η ≤ 1. En particular, siη = ei y α = 1 se obtiene que

0 = d (f(ηt1 + (1− η)a), f(a)) .

Así,

f(a1, · · · , xi, ai+1, · · · , an) = f(ηt1 + (1− η)a) = f(a), para todo 1 ≤ i ≤ n.(5.5)

Por otra parte, siη = ei + ej coni < j, entonces

d(f(ηt1 + (1− η)a) + f(a), f(ejt1 + (1− ej)a) + f(eit1 + (1− ei)a)) = 0.(5.6)

Por lo tanto, haciendo uso de (5.5) y (5.6), se obtiene que

f(ηt1 + (1− η)a) + f(a) = f(ejt1 + (1− ej)a) + f(eit1 + (1− ei)a)

f(ηt1 + (1− η)a) + f(a) = f(a) + f(a).

Equivalentemente,

f(ηx+ (1− η)a) = f(a).(5.7)

Ahora, supongamos que (5.7) es válido para cualquier multi-índiceη, 0 < η ≤ 1, conk entradas nonulas.

Luego, siλ es un multi-índice tal que0 < λ ≤ 1, conk+1 entradas no nulas y∆|λ|(faλ , [tα−1, tα]) = 0

para todo1 ≤ α ≤ 2, entonces∑

θ∈E(n)θ≤λ

f (λ(θt0 + (1− θ)t1) + (1− λ)a) =∑

θ∈O(n)θ≤λ

f(λ(θt0 + (1− θ)t1) + (1− λ)a).(5.8)

Notemos que siθ 6= 0 se tiene queλ(θt0+ (1− θ)t1) + (1−λ)a posee a lo másk entradas iguales alas correspondientes entradas dex y el resto de entradas es igual a la correspondiente entrada dea. In thiscase (5.7) implies thatf(λ(θt0+(1−θ)t1)+(1−λ)a) = f(a). Por lo tanto, ya queE(n) tiene el mismonúmero de elementos queO(n), se desprende de la identidad (5.8) quef (λt1 + (1− λ)a) = f(a).Concluimos quef es una función constante. ♦

Observación 9 Notemos que siM es un espacio normado, entonces (5.2) puede ser reemplazadopor

∆n(f ; [x,y]) :=

∥∥∥∥∥∑

θ≤1

(−1)|θ| f(θ x+ (1− θ)y)

∥∥∥∥∥ .(5.9)

Ejemplo 7 Seanc0 (como en el ejemplo 1),f : [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] → c0 definida por

f(x) :=

{3∑

i=1

(−1)i+1xin

}

n≥1

.

Sea ξ = ξ1 × ξ2 × ξ3, dondeξi := {t(i)1 , t(i)2 , · · · , t

(i)ki}, i = 1, 2, 3. Entonces,

∥∥∥∥∥∥

θ≤ei

(−1)|θ| f(ei(θtα−1 + (1− θ)tα) + (1− ei)0)

∥∥∥∥∥∥∞

= ‖ f(eitα)− f(ei tα−1)‖∞

=

∥∥∥∥∥

(t(i)αi − t

(i)αi−1

n

)

n∈N

∥∥∥∥∥∞

.

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Por lo tanto,

1≤α≤κ

Φ

(∆1

(f0ei, [tα−1, tα]⌊ei

)

Vol [tα−1, tα]⌊ei

)Vol [tα−1, tα]⌊ei

=∑

1≤α≤κ

Φ

∥∥∥∥∥

(t(i)αi − t

(i)αi−1

n

)

n∈N

∥∥∥∥∥∞

t(i)αi − t

(i)αi−1

(t(i)αi− t(i)αi−1

)

=∑

1≤α≤κ

Φ

(t(i)αi − t

(i)αi−1)

∥∥∥∥(1

n

)

n∈N

∥∥∥∥∞

t(i)αi − t

(i)αi−1

(t(i)αi

− t(i)αi−1)

=∑

1≤α≤κ

Φ(1) (t(i)αi− t(i)αi−1

) = Φ(1).(5.10)

En consecuencia, para cadai = 1, 2, 3 se tiene queRV 1Φ(f

0ei, [a,b]) := Φ(1). Además,

∥∥∥∥∥∥

θ≤e1+e2

(−1)|θ| f((e1 + e2)(θtα−1 + (1− θ)tα) + (1− (e1 + e2))0)

∥∥∥∥∥∥∞

=

∥∥∥∥∥

(t(1)α1 − t

(2)α2

n

)−

(t(1)α1−1 − t

(2)α2

n

)−

(t(1)α1 − t

(2)α2−1

n

)+

(t(1)α1−1 − t

(2)α2−1

n

)∥∥∥∥∥ = 0,

así,RV 2Φ(f

0(1,1,0), [a,b]) = 0.

De forma similar se puede verificar queRV 2Φ(f

0e1+e2+e3

, [a,b]) = RV 2Φ(f

0ei+ej

, [a,b]) = 0, cuandoi, j = 1, 2, 3 coni 6= j. Para (5.5) podemos concluir queTRVΦ(f, [a,b]) = 3Φ(1).

5.2. Otras propiedades

Lema 13 SiM es un espacio normado, entonces el funcionalTRVΦ(·; [a,b]) es convexo.

Demostración.La demostración se sigue inmediatamente de la convexidad dela norma y de la funciónΦ. ♦

SeaM un espacio normado. Sif ∈ RVΦ([a,b],M), entoncesf es acotada.

Teorema 43.

Demostración.Si f : [a, b] → M, [a, b] ⊂ R, es una función deΦ-variación acotada, en el sentido de Riesz, entonces

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f es acotada ( ver [16]). Por lo tanto, sif : [a,b] → M es una función deΦ-variación acotada sobre[a,b] := [a1, b1]× [a2, b2], entonces existen constantesC1 y C2, de manera que

‖faei(x⌊ei)‖M ≤ Ci, (i = 1, 2) para todo x ∈ [a,b].

Supongamos quef no es acotada. Entonces, para cadam ∈ N que satisfacem > C1 + C2, existexm = (xm1 , x

m2 ) ∈ [a,b] de manera que‖f(xm)+ f(a)‖ ≥ m. Por lo tanto, para todos losm > C1+C2,

‖f(x) + f(a)− f(xm1 , a2)− f(a1, xm2 )‖ ≥ ‖f(x) + f(a)‖ − ‖f(xm1 , a2)‖ − ‖f(a1, x

m2 )‖

≥ ‖f(x) + f(a)‖ − C1 − C2

≥ m− C1 − C2.(5.11)

Si Vol [a,x] ≤ 1, se tiene que (5.11) implica

Φ(m− C1 − C2) ≤ Φ

(Vol [a,x]

‖f(x) + f(a)− f(xm1 , a2)− f(a1, xm2 )‖

Vol [a,x]

)

≤ Φ

(‖f(x) + f(a)− f(xm1 , a2)− f(a1, x

m2 )‖

Vol [a,x]

)Vol [a,x]

≤ RV 2Φ(f ; [a,b]),

una contraciión (dado quelımm→∞

Φ(m− C1 − C2) = ∞).

Si, por el contrario, Vol[a,x] > 1, entonces para (5.11) obtenemos

Φ

(m− C1 − C2

Vol [a,x]

)≤ Φ

(‖f(x) + f(a)− f(xm1 , a2)− f(a1, x

m2 )‖

Vol [a,x]

)

≤ Φ

(‖f(x) + f(a)− f(xm1 , a2)− f(a1, x

m2 )‖

Vol [a,x]

)Vol [a,x]

≤ RV 2Φ(f ; [a,b]).

Que, una vez más, lleva a una contradicción. Por lo tanto,f debe ser una función acotada.

Supongamos que el resultado es válido, para todos los casos en los que[a,b] es un intervalok-dimensional conk < n.

Consideremos ahora el caso en el quef : [a,b] → M donde[a,b] es un intervalon-dimensional.Entonces, para cada multi-índice0 < η ≤ 1 que satisface|η| < n existe una constanteMη de maneraque

‖faη (x⌊η)‖ ≤Mη.

En este caso, si suponemos quef no es acotada, para todom >∑

0<η<1

Mη, existe un puntoxm =

(xm1 , xm2 , · · · , x

mn ) de manera que

‖f(xm) + (−1)nf(a)‖ > m

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y, por lo tanto,

∆n(f, [a,xm]) =

∥∥∥∥∥∑

θ≤1

(−1)|θ|f(θ a+ (1− θ)xm)

∥∥∥∥∥

≥ ‖f(xm) + (−1)nf(a)‖ −∑

0<θ<1

‖f(θ a+ (1− θ)xm)‖

= ‖f(xm) + (−1)nf(a)‖ −∑

0<θ<1

∥∥fa1−θ(xm⌊(1− θ))

∥∥

≥ m−∑

0<θ<1

M1−θ.

El resultado sigue ahora, como en el caso en quen = 2, del hecho de que

lımm→∞

Φ(m−∑

0<θ<1

M1−θ) = ∞,

de nuevo, al considerar los dos casos en queV ol([a, xm]) ≤ 1 y V ol([a, xm]) > 1. ♦

SeanM un espacio normado yΦ1,Φ2 ∈ N tales queΦ1(x) ≤ KΦ2(x) para cadax y algunaconstanteK, entoncesRVΦ2([a,b],M) ⊆ RVΦ1([a,b];M).

Teorema 44.

Demostración.Seaf ∈ RVΦ2([a,b],M), entonces para toda mallaξ = {tα} ∈ π([a,b]) tendremos que

Φ1

(∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα] ≤ KΦ2

(∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα].

De lo cual se sigue el siguiente teorema. ♦

Sean Φ ∈ N que satisface la condición∆2 y M un espacio normado. Entonces,RVΦ([a,b],M) es un espacio lineal.

Teorema 45.

Demostración.SeanK, x0, como en la definición 7, yf, g ∈ RVΦ([a,b],M). Entonces, para toda mallaξ = {tα} ∈π([a,b])

∆n (f + g, [tα−1, tα]) =

∥∥∥∥∥∥

θ≤1

(−1)|θ| (f + g)(θ x+ (1− θ)y)

∥∥∥∥∥∥

∥∥∥∥∥∥

θ≤1

(−1)|θ| f(θ x+ (1− θ)y)

∥∥∥∥∥∥+

∥∥∥∥∥∥

θ≤1

(−1)|θ| g(θ x+ (1− θ)y)

∥∥∥∥∥∥= ∆n (f ; [tα−1, tα]) + ∆n (g, [tα−1, tα]) .

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HacemosAn =∆n (f, [tα−1, tα]) + ∆n (g, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα], entonces

RV nΦ (f + g, [a,b], ξ)

=∑

1≤α≤κ

Φ

(∆n (f + g, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

≤∑

1≤α≤κ

Φ (An)Vol [tα−1, tα]

=∑

1≤α≤κAn<x0

Φ (An)Vol [tα−1, tα] +∑

1≤α≤κAn≥x0

Φ (An)Vol [t(α−1), tα]

≤∑

1≤α≤κ

Φ (x0)Vol [tα−1, tα]

+∑

1≤α≤κ

Φ

(1

2

2∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]+

1

2

2∆n (g, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

≤ Φ (x0)Vol[a,b]

+∑

1≤α≤κ

1

(2∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)+

1

(2∆n (g, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

≤ Φ (x0)Vol[a,b]

+∑

1≤α≤κ

K

(∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)+

K

(∆n (g, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

= Φ (x0)Vol[a,b] +K

2{RV n

Φ (f, [a,b], ξ) +RV nΦ (g, [a,b], ξ)} .

Puesto que esto es para todon, resulta que

TRVΦ(f + g, [a,b]) ≤ Φ (x0)Vol[a,b] +K

2{TRV n

Φ (f, [a,b]) + TRV nΦ (g, [a,b])} ,

por lo que concluimos quef + g ∈ RVΦ([a,b],M).

Por otro lado, siγ es un escalar cualquiera, entonces

∆n (γf, [tα−1, tα]) =

∥∥∥∥∥∥

θ≤1

(−1)|θ| γf(θ x+ (1− θ)y)

∥∥∥∥∥∥

= |γ|

∥∥∥∥∥∥

θ≤1

(−1)|θ| f(θ x+ (1− θ)y)

∥∥∥∥∥∥= |γ|∆n (f, [tα−1, tα]) .

Por lo tanto,

RV nΦ (γf, [a,b], ξ) =

1≤α≤κ

Φ

(∆n (γf, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

=∑

1≤α≤κ

Φ

(|γ|∆n (f, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα].

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Si |γ| ≤ 1, entonces

RV nΦ (γf, [a,b], ξ) =

1≤α≤κ

Φ

(|γ|∆n (f, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

≤ |γ|∑

1≤α≤κ

Φ

(∆n (f, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

= |γ|RV nΦ (f ; [a,b], ξ).

Si, por el otro lado,|γ| > 1, entonces, de nuevo por la definición 7, existen constantesK ′ y x0 tales que

RV nΦ (γf, [a,b], ξ) =

1≤α≤κ

Φ

(|γ|∆n (f, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

≤ Φ(x0)Vol[a,b] +K ′∑

1≤α≤κ

Φ

(∆n (f, [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

≤ Φ(x0)Vol[a,b] +K ′RV nΦ (f, [a,b], ξ).

Resulta queγf ∈ RVΦ([a,b],M). Llegamos a la conclusión de queRVΦ([a,b],M) es un espacio lineal.♦

Lema 14 SeanM un semigrupo yf ∈ RVΦ([a,b],M) una función. Six,y ∈ [a,b] son tales quexk = yk para algún0 ≤ k ≤ n, entonces

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y) =∑

η∈O(n)

f(θ x+ (1− θ)y).

Demostración.Seanf , x y y como en el enunciado del lema. Siθ = (θ1, θ2, · · · , θn) ∈ E(n) entoncesθ :=(θ1, θ2, · · · , 1 − θk, · · · , θn) ∈ O(n); por lo tanto,(θ x + (1 − θ)y) tiene las mismas entradas que(θ x+ (1− θ)y) ya que elk-ésima entrada

θk xk + (1− θk)yk = (1− θk) xk + θkyk = (1− θk) yk + θkxk.

por lo tanto∑

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y) =∑

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y) =∑

θ∈O(n)

f(θ x+ (1− θ)y).

Lema 15 SeanM un semigrupo métrico,[x,y] un intervalon-dimensional y supongamos quet(j) ∈[xj , yj] para algún1 ≤ j ≤ n. Entonces,

∆n(f ; [x,y]) ≤ ∆n(f ; [x, y]) + ∆n(f ; [x,y]),

dondex := (x1, · · · , xn) conxi = xi si i 6= j y xj = t(j), y y := (y1, · · · , yn) con yi = yi si i 6= jy yj = t(j).

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Demostración.

Tengamos en cuenta que el intervalo[x,y] puede ser dividido en dos intervalos, a saber,[x, y] y [x,y],por lo tanto, en virtud de la propiedad (5.1) y el lema 14, se tiene que

∆n(f ; [x,y])

= d

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y) +∑

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y),

η∈O(n)

f(θ x+ (1− θ)y) +∑

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y)

= d

θ∈E(n)

[f(θ x+ (1− θ)y) + f(θ x+ (1− θ)y)],

η∈O(n)

[f(θ x+ (1− θ)y) + f(θ x+ (1− θ)y)]

= d

θ∈E(n)θj=1

[f(θ x+ (1− θ)y)

+f(θ x+ (1− θ)y)] +∑

θ∈E(n)θj=0

[f(θ x+ (1− θ)y) + f(θ x+ (1− θ)y)],

η∈O(n)θj=1

[f(θ x+ (1− θ)y)

+ f(θ x+ (1− θ)y)] +∑

η∈O(n)θj=0

[f(θ x+ (1− θ)y) + f(θ x+ (1− θ)y)]

= d

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y) +∑

θ∈E(n)

f(θ x+ (1− θ)y),

θ∈O(n)

f(θ x+ (1− θ)y) +∑

θ∈O(n)

f(θ x+ (1− θ)y)

≤ ∆n(f ; [x, y]) + ∆n(f ; [x,y]).

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SeaM un semigrupo métrico. Sif : [a,b] →M es una función, entonces

V n(f, [a,b], ξ1 × · · · × {ξz ∪ {t(z)}} × · · · × ξn) ≥ V n (f, [a,b], ξ) .

para cualquier mallaξ =n∏

i=1

ξi de[a,b].

Teorema 46.

Demostración.Supongamosξ =

n∏i=1

ξi, dondeξi = {ai = t(i)0 , t

(i)1 , · · · , t

(i)ki

= bi}, z ∈ {1, · · · , n} y seat(z) tal que

t(z)0 < t

(z)1 < · · · < t

(z)r−1 < t(z) < t

(z)r < · · · < t

(z)kj.

Hagamos :=n∏

i=1

i donde i = {ai = s(i)0 , s

(i)2 , · · · , s

(i)

ki= bi}, con

s(l)j = t

(l)j , for l 6= z y

s(z)l = t

(z)l si 0 ≤ l ≤ r − 1

s(z)r = t(z)

s(z)l = t

(z)l−1 si l ≥ r + 1.

Entonces,

1≤α≤καz<r

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

Vol [sα−1, sα]

)Vol [sα−1, sα] =

1≤α≤καz<r

Φ

(∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα],

y

1≤α≤καz>r+1

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

Vol [sα−1, sα]

)Vol [sα−1, sα] =

1≤α≤καz>r

Φ

(∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα].

Por lo tanto,

1≤α≤κ

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

Vol [sα−1, sα]

)[sα−1, sα]−

1≤α≤κ

Φ

(∆n (f ; [tα−1, tα])

Vol [tα−1, tα]

)Vol [tα−1, tα]

=∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]−

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n (f ; [tα−1, tα])

V ol [tα−1, tα]

)V ol [tα−1, tα]

+∑

1≤α≤καz=r+1

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

:= S1 − S2 + S3.

Ahora bien, sit(i)αi = t(i)αi , parai 6= z y t(z)αz = t(z), por el lema 15, obtenemos que

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S1 − S2 + S3 =∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

−∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n

(f ; [tα−1, tα]

)

V ol [tα−1, tα]+

∆n

(f ; [tα−1, tα]

)

V ol [tα−1, tα]

)V ol [tα−1, tα]

+∑

1≤α≤καz=r+1

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

=∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

−∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n

(f ; [tα−1, tα]

)

V ol [tα−1, tα]

V ol [tα−1, tα]

V ol [tα−1, tα]

+∆n

(f ; [tα−1, tα]

)

V ol [tα−1, tα]

V ol [tα−1, tα]

V ol [tα−1, tα]

)V ol [tα−1, tα]

+∑

1≤α≤καz=r+1

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

:= S4 − S5 + S6 + S7,

y, por la convexidad deΦ, tenemos:

S4 − S5 + S6 + S7 ≥∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

−∑

1≤α≤καz=r

V ol [tα−1, tα]

V ol [tα−1, tα]Φ

(∆n

(f ; [tα−1, tα]

)

V ol [tα−1, tα]

)V ol [tα−1, tα]

−V ol [tα−1, tα]

V ol [tα−1, tα]Φ

(∆n

(f ; [tα−1, tα]

)

V ol [tα−1, tα]

)V ol [tα−1, tα]

+∑

1≤α≤καz=r+1

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

=∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

−∑

1≤α≤καz=r+1

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

−∑

1≤α≤καz=r

Φ

(∆n (f, V ol [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

+∑

1≤α≤καz=r+1

Φ

(∆n (f ; [sα−1, sα])

V ol [sα−1, sα]

)V ol [sα−1, sα]

= 0.

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Resulta que∑

1≤α≤κ

Φ (∆n (f ; [sα−1, sα])) Vol [sα−1, sα]−∑

1≤α≤κ

Φ (∆n (f ; [tα−1, tα])) Vol [tα−1, tα] ≥ 0,

y, por lo tanto, V n(f, [a,b], ξ1 × · · · × ξz ∪ {t(z)} × · · · × ξn

)≥ V n

(f, [a,b],

n∏i=1

ξi

). ♦

Corolario 7 SeaM un semigrupo métrico. Sif : [a,b] → M , ξ y δ son mallas arbitrarias de[a,b],tales queξ ⊆ δ, entoncesV n(f, [a,b], ξ) ≤ V n (f, [a,b], δ) .

Demostración.Basta con aplicar el teorema 46 un número finito de veces. ♦

Lema 16 SeanΦ unaϕ-función,(M,+, ·, d) un semigrupo métrico,[x,y] ⊆ [a,b] y f : [a,b] → M .Entonces, para cualquier multi-índice0 6= η < 1, se satisface la siguiente desigualdad

∆|η|(faη , [x,y]⌊η) ≤ Φ−1

(RV

|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η)

V ol [x,y]⌊η

)V ol [x,y]⌊η.

Demostración.Tomeξ = ξ1 × · · · × ξn dondeξi := {ai, xi, yi, bi}. Entonces, para cualquier multi-índiceη

RV|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η) ≥ RV|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η, ξ)

=∑

1≤α≤3

Φ

(∆|η|

(faη , [tα−1, tα]⌊η

)

Vol [tα−1, tα]⌊η

)Vol [tα−1, tα]⌊η

≥ Φ

(∆|η|

(faη , [x,y]⌊η

)

Vol [x,y]⌊η

)Vol [x,y]⌊η.

Por lo tanto,

RV|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η) ≥ Φ

(∆|η|

(faη , [x,y]⌊η

)

Vol [x,y]⌊η

)Vol [x,y]⌊η

Φ−1

(RV

|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η)

Vol [x,y]⌊η

)≥

∆|η|

(faη , [x,y]⌊η

)

Vol [x,y]⌊η

Φ−1

(RV

|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η)

Vol [x,y]⌊η

)Vol [x,y]⌊η ≥ ∆|η|

(faη , [x,y]⌊η

).

Lema 17 Supongamos que{ρi}ni=1 y {pi}ni=1, n ∈ N, son dos sucesiones de números reales talesque ρi ≥ 0 y pi > 0, ∀ 1 ≤ i ≤ n. Entonces, para cualquier función convexaΦ ∈ R(0,∞),

Φ

(∑ni=1 ρi∑ni=1 pi

)≤

n∑

i=1

pi∑ni=1 pi

Φ

(ρipi

).

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Demostración.De hecho, parak :=

n∑i=1

pi,

Φ

n∑i=1

ρi

k

= Φ

(n∑

i=1

ρik

)= Φ

n∑

i=1

pi

(ρipi

)

k

n∑

i=1

pikΦ

(ρipi

),

lo que demuestra la afirmación. ♦

Como consecuencia del lema anterior, presentamos ahora la desigualdad siguiente la cual será deutilidad.

SeanM un espacio normado yJ1, · · · ,Jm una colección finita de subintervalos del intervalon-dimensional[a,b]. Entonces, para cada multi-índice0 6= η ≤ 1,

m∑

i=1

∆|η|(faη (Ji)⌊η) ≤ Φ−1

RV

|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η)m∑i=1

Vol Ji⌊η

m∑

i=1

Vol Ji⌊η.(5.12)

Teorema 47.

Demostración.Sea0 6= η ≤ 1. SupongamosJi :=

n∏k=1

[t(j)k , s

(j)k ] parai = 1, · · · , m. Entonces, considerando una malla

que que contiene todos losJi, se obtiene

Φ

m∑i=1

∆|η|(faη (Ji))

m∑i=1

Vol Ji⌊η

m∑

i=1

Vol Ji⌊η ≤ RV|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η),

y (5.12) se sigue de la monotonía deΦ.

Ahora demostraremos que, bajo las condiciones adecuadas,BRVΦ([a,b],M) es un espacio de Ba-nach.

5.3. El espacioBRVΦ.

SiM es un espacio normado,RVΦ([a,b],M) es simétrico, y convexo.

Teorema 48.

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Demostración.Es claro queRVΦ([a,b],M) es un conjunto simétrico, como consecuencia inmediata de ladefinición. Laconvexidad se sigue del lema 13. ♦

En el caso en queX sea un espacio de Banach, dado queRVΦ([a,b], X) es convexo y simétrico setiene que el espacio generado porRVΦ([a,b], X) es igual a

BRVΦ([a,b], X) :={f : [a,b] → X ; tf ∈ RVΦ([a,b], X) para algúnt > 0

}.

En este caso, tomaremos ventaja de las virtudes del funcional de Minkowski para dotar a este espaciode una norma.

Lema 18 SiX un espacio normado, el conjunto

Λ := {f ∈ BRVΦ([a,b], X) / TRVΦ(f ; [a,b]) ≤ 1}

es un subconjunto convexo, absorbente y equilibrado deBRVΦ([a,b], X).

Demostración.Seaλ 6= 0 un escalar con|λ| ≤ 1 y f ∈ Λ, la convexidad del funcionalTRVΦ(·; [a,b]) nos garantiza que

TRVΦ(αf, [a,b]) ≤ |α|TRVΦ(f, [a,b]) ≤ 1,

por lo tantoαf ∈ Λ, es decir,Λ es equilibrado.

Ahora consideremosf ∈ BRVΦ([a,b], X). Si TRVΦ(f, [a,b]) ≤ 1 se sigue, de la definición, quef ∈ Λ. En el caso en queTRVΦ(f, [a,b]) > 1, en virtud de la convexidad del funcionalTRVΦ(·, [a,b])se tiene que

TRVΦ

(f

TRVΦ(f, [a,b]), [a,b]

)≤

1

TRVΦ(f, [a,b])TRVΦ (f, [a,b]) = 1.

Esto significa que, siempre podremos elegir una constantet ≥ 0 de forma quetf ∈ Λ, para cadaf ∈ BRVΦ([a,b], X), lo cual verifica queΛ es absorbente.

Finalmente, sif, g ∈ Λ y λ, µ son números reales no negativos tales queλ + µ = 1, en virtud de laconvexidad del funcionalTRVΦ(·, [a,b]) se sigue:

TRVΦ(λf + µg, [a,b]) ≤ λTRVΦ(f, [a,b]) + µTRVΦ(g, [a,b]) ≤ λ+ µ = 1.

Por lo tanto,Λ es convexo. ♦

El lema 18 nos garantiza que el funcional de Minkowski,

pΦ(f) := ınf

{t > 0 : TRVΦ

(f

t, [a,b]

)≤ 1

},

define una seminorma sobreBRVΦ([a,b], X).

Veamos el siguiente lema, que nos será de utilidad para determinar la norma que buscamos para elespacioBRVΦ([a,b], X).

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Lema 19 Seaf ∈ BRVΦ([a,b], X),

(i) Si pΦ(f) 6= 0, se sigue queTV (f/p

Φ(f), [a,b]) ≤ 1;

(ii) Si pΦ(f) ≤ 1, entoncesTV (f, [a,b]) ≤ p

Φ(f).

Demostración.

Consideremosk > pΦ(f), entonces podemos elegirλ > 0 de manera queλ < k y TRVΦ

(f

λ, [a,b]

)≤

1. Ahora bien,

TRVΦ

(f

k, [a,b]

)≤ TRVΦ

(f

λ, [a,b]

)≤ 1.

Así, si hacemos quek → pΦ(f)+, en virtud a la continuidad deΦ y de la norma deX se sigue que

TRVΦ

(f

pΦ(f)

, [a,b]

)≤ 1.

La segunda parte, sipΦ(f) 6= 0, se obtiene haciendo uso de la convexidad deTRVΦ (·, [a,b]) y la

primera parte:

TRVΦ (f, [a,b]) = TRVΦ

(f

pΦ(f)

pΦ(f), [a,b]

)≤ pΦ(f)TRVΦ

(f

pΦ(f)

, [a,b]

)≤ pΦ(f).

En el caso en quepΦ(f) = 0,

Para cadaǫ > 0(= pΦ(f)) podemos elegirλ > 0 tal que

λ ∈

{t > 0 : TV (

f

t, [a,b]) ≤ 1

}y 0 < λ ≤ ǫ.

Luego,

TRVΦ (f, [a,b]) = TRVΦ

(λf

λ, [a,b]

)≤ λTRVΦ

(f

λ, [a,b]

)≤ λ ≤ ǫ.

Dado que esto se cumple para cadaǫ > 0 se tiene queTRVΦ (f, [a,b]) = 0, completándose así lademostración. ♦

Podemos ahora, como es natural, dotar al espacioBRVΦ([a,b], X) de una norma.

El funcional

‖f‖Φ := ‖f(a)‖X + pΦ(f)(5.13)

define una norma sobreBRVΦ([a,b], X).

Teorema 49.

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Demostración.Si ‖f‖Φ = 0 significa que‖f(a)‖X = p

Φ(f) = 0. En consecuencia,f(a) = 0X y en virtud de los lemas

42 y, 19, se tiene quef es constante e igual a0X . Las demás propiedades se obtienen de las propiedadesdep

Φ(f). ♦

Es fácil verificar que se cumple el siguiente lema, similar allema 19.

Lema 20 Seaf ∈ BRVΦ([a,b], X),

(i) Si ‖f‖Φ 6= 0 se sigue queTRVΦ(f/‖f‖Φ, [a,b]) ≤ 1;

(ii) Si ‖f‖Φ ≤ 1, entoncesTRVΦ(f, [a,b]) ≤ ‖f‖Φ.

Notemos que dado que (i) se satisface para todon en particularRV kΦ (f⌊η/‖f⌊η‖Φ, [a,b]) ≤ 1 para todo

η tal que|η| = k

Observación 10 Notemos que sif : [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3] → X, entonces para cualquierx =(x1, x2, x3) ∈ [a1, a2, a3]× [b1, b2, b3], distinto dea, se tiene que

f(x)

=∑

1≤θ≤1

f(θx+ (1− θ)a)

+f(x1, x2, a3)− f(x1, a2, a3)− f(a1, x2, a3) + f(a1, a2, a3)

+f(x1, a2, a3) + f(a1, x2, a3)− f(a1, a2, a3)

+f(x1, a2, x3)− f(x1, a2, a3)− f(a1, a2, x3) + f(a1, a2, a3)

+f(x1, a2, a3) + f(a1, a2, x3)− f(a1, a2, a3)

+f(a1, x2, x3)− f(a1, x2, a3)− f(a1, a2, x3) + f(a1, a2, a3)

+f(a1, x2, a3) + f(a1, a2, x3)− f(a1, a2, a3)

−f(x1, a2, a3)− f(a1, x2, a3)− f(a1, a2, x3) + f(a1, a2, a3)

= −∑

1≤θ≤1

(−1)|θ|f(θx+ (1− θ)a)

+∑

1≤β≤1

(−1)|β|fa(1,1,0)(βx⌊(1, 1, 0) + (1− β)a⌊(1, 1, 0))

+f(a1, x2, a3)− f(a1, a2, a3)

=∑

1≤β≤1

(−1)|β|fa(1,0,1)(βx⌊(1, 0, 1) + (1− β)a⌊(1, 0, 1))

+f(x1, a2, a3)− f(a1, a2, a3) + f(a1, a2, x3)− f(a1, a2, a3)

=∑

1≤β≤1

(−1)|β|fa(0,1,1)(βx⌊(0, 1, 1) + (1− β)a⌊(0, 1, 1))

+f(a1, a2, a3).

Eso implica, usando(5.9), que

‖f(x)‖ ≤ ∆3(f, [a,x]) +∑

0≤θ≤1

|θ|=2

∆2(faθ , [a,x]) +

0≤θ≤1

|θ|=1

∆1(faθ , [a,x]) + ‖f(a)‖.

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Se puede verificar que, en el caso en quef : [aa,b] ⊆ Rn → X,

‖f(x)‖ ≤ ∆n(f, [a,x]) +∑

0≤θ≤1

|θ|=n−1

∆n−1(faθ , [a,x]) + · · ·+

0≤θ≤1

|θ|=1

∆1(faθ , [a,x]) + ‖f(a)‖.

SiM es un espacio de Banach, entoncesBRVΦ([a,b],M) es un espacio de Banach.

Teorema 50.

Demostración.Sea{fk}k∈N una sucesión de Cauchy enBRVΦ([a,b],M). Entonces, dadoǫ > 0, existeN(ǫ) ∈ N demanera que

‖fk − fm‖Φ < ǫ, para k,m ≥ N(ǫ).

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer quefk(a) = 0, para todok ∈ N (de otro modo

considerar la secuencia de{fk − fk(a)}k∈N). Es evidente que,

∥∥∥∥fk − fm

ǫ

∥∥∥∥Φ

< 1; así, por el lema 20,

TRVΦ

(fk − fm

ǫ, [a,b]

)≤ 1. Seax ∈ [a,b] y supongamos queai < xi, para todoi = 1, 2, · · · , n. En

virtud de la monotonía de la funciónt 7−→ tΦ−1(1/t), obtenemos

∥∥∥∥fk − fm

ǫ(x)

∥∥∥∥M

≤∑

0<η≤1

∆|η|

((fk − fm

ǫ

)a

η

, [a,x]⌊η

)

≤∑

0<η≤1

Φ−1

(1

V ol [a,x]⌊η

)V ol [a,x]⌊η

≤∑

0<η≤1

Φ−1

(1

V ol [a,b]⌊η

)V ol [a,b]⌊η.

En consecuencia,

supx∈[a,b]

‖(fk − fm)(x)‖M ≤

(∑

0<η≤1

Φ−1

(1

V ol [a,b]⌊η

)V ol [a,b]⌊η

)ǫ.

Esto significa que{fk}k∈N es una sucesión de Cauchy en el espacioB([a,b],M) := {f : [a,b] →M : f es acotada} y, por lo tanto,f(x) := lım

k→∞fk(x) ( x ∈ [a,b]) existe enB([a, b],M).

Vamos a demostrar ahora quef está enBRVΦ([a,b],M) y quefk → f .

En efecto, seaǫ > 0, y elegimosN ∈ N de manera que

‖fk − fm‖Φ <ǫ

2n + 1, para k,m ≥ N(ǫ).(5.14)

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y

‖fk(x)− f(x)‖∞ <ǫ

2n + 1, para k ≥ N(ǫ) y todo x ∈ [a,b].

Entonces, (5.14) implica que para todo multi-índice no nuloη y cualquier mallaξ = {tα} ∈ π([a,b],

1 ≥ TRVΦ

(fk − fN

ǫ, [a,b]

)≥∑

1≤α≤κ

Φ

∆|η|

([fk − fN

ǫ

]a

η

, [tα−1, tα]⌊η

)

Vol [tα−1, tα]⌊η

Vol [tα−1, tα]⌊η.

Así, por la convexidad de la funciónΦ y de la norma se tiene:

1 ≥ lımk→∞

1≤α≤κ

Φ

∆|η|

([fk − fN

ǫ

]a

η

, [tα−1, tα]⌊η

)

Vol [tα−1, tα]⌊η

Vol [tα−1, tα]⌊η

=∑

1≤α≤κ

Φ

∥∥∥∥∥∑θ≤1

(−1)|θ|(f − fN

ǫ

)(θ tα−1 + (1− θ)tα)

∥∥∥∥∥Vol [tα−1, tα]⌊η

Vol [tα−1, tα]⌊η.

Esto implica que para todo multi-índiceη, se tiene

1 ≥∑

0 6=η≤1

RV|η|Φ

(f − fN

ǫ

a

η, [a,b]⌊η

)= TRVΦ

(fk − fN

ǫ, [a,b]

),

y, en consecuencia,

f = f − fN + fN ∈ BRVΦ([a,b],M).

5.4. Un teorema de representación

La idea principal de esta sección es presentar una generalización del Lema de Riesz (ver [46]), parafunciones definidas sobre un intervalon-dimensional[a,b] ( [4] y [8]).

Ahora presentamos el concepto de funciones absolutamente continuas, para funciones con valoresvectoriales definidas sobre un intervalon-dimensional deRn. Como en [4], nos basamos en la definicióndada por Carathéodory [14], en 1918, y en una reinterpretación más reciente dada por Jirí Šremr [53].

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Diremos que dos rectángulos (n-dimensionales)[x,y] y [a,b] sonadyacentessi bi = xi óai = yi para algúni = 1, · · · , n.

Definición 51.

Notemos que en este caso[x,y] ∪ [a,b] es también un intervalon-dimensional.

Una funciónF : π([a,b]) →M se dice funciónrectángulo aditiva si, dado cualquier par derectángulos adyacentesI1 y I2 ∈ π([a,b]), la identidadF (I1∪I2) = F (I1)+F (I2) se cumple.Diremos que una función rectángulo aditivaF : π([a,b]) → M esabsolutamente continua,en el sentido de Carathéodory-Šremr, si, dado cualquierǫ > 0 existe unδ > 0 tal quepara cada colección finita de intervalosn-dimensionales, que no se solapen, se cumpleI1, · · · , Ik ∈ π([a,b]),

k∑j=1

|Ij| ≤ δ =⇒k∑

j=1

‖F (Ij)‖ ≤ ǫ.

Definición 52.

SeanM un espacio normado yf : [a,b] → M una función. Definimos la función rectánguloinducida porf como

Ff ([x,y]) :=∑

θ≤1

(−1)|θ|f(θ x + (1− θ)y)(5.15)

para [x,y] ∈ π([a,b]).

Definición 53.

Una funciónf : [a,b] →M se diceabsolutamente continua, en el sentido de Carathéodory-Šremr, si satisface las siguientes condiciones:

(a) La función rectángulo inducida porf , Ff , es absolutamente continua;

(b) Las funcionesfaθ son absolutamente continuas para todo0 < θ ≤ 1.

Definición 54.

El conjunto de todas las funciones absolutamente continuascon valores en un espacioM definidasobre un intervalo[a,b] se denotará porAC([a,b],M). La notaciónL([a,b],M) es la estándar utilizadapara el conjunto de todas las funciones Lebesgue integrables sobre[a,b].

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En primer lugar, vamos a demostrar que cualquier función deΦ-variación acotada, en el sentido deVitali-Hardy-Riesz, es absolutamente continua, en el sentido de Carathéodory-Šremr. Recordemos que siΦ es unaϕ-función, entonces

lımr→0+

rΦ−1(c/r) = c lımv→∞

v/Φ(v) = 0 ∀ c ∈ [0,+∞).(5.16)

SeanM un espacio normado yΦ ∈ N . Si f ∈ RVΦ([a,b],M), entoncesf es absolutamentecontinua en el sentido Carathéodory-Šremr.

Teorema 55.

Demostración.Sean0 6= η ≤ 1 un multi-índice yǫ > 0. Por (5.16) existeδ > 0 de manera que, para todo0 < r < δ

∣∣∣∣∣rΦ−1

(V RΦ (fa

η ; [a,b])

r

)∣∣∣∣∣ < ǫ.(5.17)

A continuación, consideramosJ1, · · · ,Jm una colección finita de intervalosn-dimensionales de

[a,b] que no se sobreponen, tales queJi :=n∏

k=1

[t(i)k , s

(i)k ] y

n∑i=1

Vol Ji ≤ δ, i = 1, · · · , m.

Entonces, por (5.12) obtenemos que

m∑

i=1

∆|η|(faη ,Ji) ≤ Φ−1

RV

|η|Φ (fa

η , [a,b]⌊η)m∑i=1

Vol Ji⌊η

m∑

i=1

Vol Ji⌊η < ǫ.

Esto demuestra quefaη es absolutamente continua para todo multi-índice0 6= η ≤ 1 y en consecuencia,

f es absolutamente continua (en el sentido Carathéodory-Šremr). ♦

Es bien conocido (ver [5]) que una función con valores enM absolutamente continua no es necesaria-mente diferenciable (fuertemente) en casi todas parte. De hecho, la diferenciabilidad se pues garantizarsólo siM es un espacio de Banach reflexivo. En consecuencia, tendremos el siguiente resultado.

Corolario 8 Sean(M, ‖·‖) un espacio de Banach reflexivo yΦ ∈ N . Si f ∈ RVΦ([a,b],M), entoncesf es fuertemente diferenciable.

En nuestro siguiente resultado se presenta una contrapartedel clásico lema de Riesz ([46], [4]) enel cason-dimensional. Se supondrá queM es un espacio de Banach reflexivo y la siguiente notaciónconocida va a ser utilizada: dado cualquierβ = (β1, · · · , βk) se define

Dβ :=∂β1+···+βk

∂xβ1

1 · · ·∂xβk

k

.

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SeaΦ ∈ N . Si f ∈ RVΦ([a,b];R) pertenece a la claseCn, entonces

06=η≤1

[a,b]⌊ηΦ(∥∥∥Dηfa

|η|(x⌊η)∥∥∥)d(x⌊η) = TRVΦ(f, [a,b]).(5.18)

Teorema 56.

Demostración.Seanξi := {t(i)1 , t

(i)2 , · · · , t

(i)ki}, i = 1, · · · , n y ξ =

n∏i=1

ξi = {tα} una malla de[a,b] con κ =

(k1, k2, · · · , kn). Entonces, para todoα ≤ κ se tiene que∑

θ≤1

(−1)|θ| f(θtα−1 + (1− θ)tα) =∑

θ≤1

θi=1

(−1)|θ| f(θtα−1 + (1− θ)tα)

−∑

1≤α≤καz=r

θ≤1

θi=0

(−1)|θ|+1 f(θtα−1 + (1− θ)tα).

Seax = (x1, x2, · · · , xn) , v = θt(α−1) + (1− θ)tα y definimos la función

g1(x1) :=∑

θ≤1

θ1=1

(−1)|θ| f(e1x+ (1− e1)v).

(recordemos queei denota un vector unitario canónico deRn). Entonces, dado quef es diferenciable,g1 : [t1α1−1, t

1α1] → R, satisfacen las condiciones del valor medio (de una variable) y en consecuencia,

existe unx1α1∈ (t1α1−1, t

1α1) tal que,

g′1(x1α1) =

g1(t1α1)− g1(t

1α1−1)

t1α1− t1α1−1

Esto es,

θ≤1

θ1=1

(−1)|θ|De1fx1α1

e1

1−e1(v⌊(1− e1)) =

∑θ≤1

θ1=1

(−1)|θ| f(v)−∑θ≤1

θ1=0

(−1)|θ|+1 f(v)

t1α1− t1α1−1

.

Ahora definimosg2 : [t2α2−1, t2α2] → R, por

g2(x2) :=∑

θ≤1

θ1=θ2=1

(−1)|θ|De1fx1α1

e1+x2e21−e1

(v⌊(1− e1)).

Entonces, como antes, dado queg2 depende sólo de la variablex2, una aplicación del teorema del valormedio implica que existex2α2

∈ (t2α2−1, t2α2) de manera que

g′2(x2α2) =

g2(t2α2)− g2(t

2α2−1)

t2α2− t2α2−1

.

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Por lo tanto,∑

θ≤1

θ1=θ2=1

(−1)|θ|De2De1fx1α1

e1+x2α2

e2

1−e1−e2(v⌊(1− e1 − e2))

=

∑θ≤1

(−1)|θ| f(v)

t1α1− t1α1−1

t2α2− t2α2−1

=

∑θ≤1

(−1)|θ| f(v)

(t1α1− t1α1−1)(t

2α2

− t2α2−1).

Al repetir este procedimienton veces, obtenemos que existexα ∈ [tα−1, tα] tal que

De1+e2+···+en f(xα) =

∑θ≤1

(−1)|θ| f(v)

Vol [t(α−1), tα],

y así,

Φ(∥∥De1+e2+···+en f(xα)

∥∥)Vol [tα−1, tα] = Φ

∥∥∥∥∥∑θ≤1

(−1)|θ| f(v)

∥∥∥∥∥Vol [tα−1, tα]

Vol [tα−1, tα].

Ya que esto se cumple para cadatα, α ≤ κ, de cualquier mallaξ de[a,b], tenemos:

1≤α≤κ

Φ(∥∥De1+e2+···+enf(xα)

∥∥)Vol[tα−1, tα] =∑

1≤α≤κ

Φ

∥∥∥∥∥∑θ≤1

(−1)|θ|f(v)

∥∥∥∥∥Vol [tα−1, tα]

Vol[t(α−1), tα].

Ahora definimos,

mα := ınf{Φ(∥∥De1+e2+···+enf(x)

∥∥) : x ∈ [tα−1, tα]}, y

Mα := sup{Φ(∥∥De1+e2+···+enf(x)

∥∥) : x ∈ [tα−1, tα]},

entonces

S(f, ξ) :=∑

1≤α≤κ

mα Vol[tα−1, tα]

≤∑

1≤α≤κ

Φ(∥∥De1+e2+···+enf(xα)

∥∥)Vol[t(α−1), tα]

= RV nΦ (f ; [a,b], ξ)

≤∑

1≤α≤κ

Mα Vol[tα−1, tα]

=: S(f, ξ).

Notemos que la suma inferior,S, y RV nΦ (f ; [a,b], ξ) decrece con respecto a refinamientos de la

particiónξ mientras que las sumas superiores,S, son decrecientes. Esto significa que, si hacemoski → ∞entonces las sumas superiores decrecen al límite

[a,b]

Φ(∥∥De1+e2+···+enf(x)

∥∥)Vol[tα−1, tα]dx,

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y las sumas inferiores crecen hacia el límite∫

[a,b]

Φ(∥∥De1+e2+···+enf(x)

∥∥)Vol[tα−1, tα]dx,

mientras queRV nΦ (f ; [a,b], ξ) crecen al límiteRV n

Φ (f, [a,b]), y en consecuencia

RV nΦ (f, [a,b]) =

[a,b]

Φ(∥∥De1+e2+···+en f(x)

∥∥) dx.

Ahora, dado que esto se cumple para cualquier función den variables, conn ≥ 1, en particular secumple para cualquier función truncadafa

η , dondeη ≤ 1, que produce (5.18). ♦

Como consecuencia inmediata de los teoremas 55 y 56 obtenemos el siguiente corolario.

Corolario 9 Sean(M, ‖ · ‖) un espacio de Banach reflexivo yΦ ∈ N . SiDαf ∈ RVΦ([a,b],M) paracualquierα ≤ 1, entonces

0 6=η≤1

[a,b]⌊η

Φ(∥∥Dηfa

|η|(x⌊η)∥∥) d(x⌊η) = TRVΦ(f, [a,b]).(5.19)

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Bibliografía

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