APROXIMACION DE FUNCIONES - catedras.facet.unt.edu.ar · APROXIMACION DE FUNCIONES Metodos...

APROXIMACION DE FUNCIONES

1 Metodos Numericos 2016

2

- Monomios : 1, x, x2, x3, …

- Trigonométricas: 1, sin(ωt), cos(ωt), sin(2ωt),...

- Fns. Spline: polinomios a trozos

- Fns. Exponenciales: e x , e 4x , …

Familias de Funciones Bases

Metodos Numericos 2016

3

Interpolación

Supongamos tener un conjunto de puntos, Pi , ya sea datos

medidos o valores de una tabla, buscamos una función que

pase por esos puntos y además acotar el error cometido

Función de Interpolación:

𝑔 𝑥 = 𝑎𝑖𝑛𝑖=0 𝑓𝑖(x)

𝑔 𝑥𝑖 = 𝑎𝑖𝑛𝑖=0 𝑓𝑖(xi) = 𝑦𝑖

Tal que para xi, i = 0,n


4

Interpolación Polinomial

Los polinomios son muy utilizados por su estabilidad

Supongamos que x0, x1, …, xn son n+1 puntos y

sea 𝑓 𝑥 : 𝑎, 𝑏 ℜ

Queremos construir un polinomio p(x), de grado ≤ n que

Interpole a f(x) en esos puntos

p(xi) = f(xi)

si

p(x) = a0 + a1 x + a2 x2

+ … + an x n

tenemos un sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas

∈ 𝑎, 𝑏


)(... 11

2

12110 xfxaxaxaan

n

)(... 00

2

02010 xfxaxaxaan

n

…

)(...2

210 nn

nnnn xfxaxaxaa


Teorema de Existencia y Unicidad

Polinomios de LAGRANGE

FORMA DE LAGRANGE

1n nixi ,...,0,

)(xp

ix

n

kii ik

ik

xx

xxxl

0)(

)()(

n

k

kk xlxfxp0

)()()(


EJEMPLO : Interpolar en x=2

1 0

4 1.386294

6 1.791760

x )(xf

41

4)(0

xxl

14

1)(1

xxl

)()()( 1100 xflxflxp

4620981.0386294.114

120

41

42)2(

p

)()()()( 221100 xflxflxflxp

565844.079176.1)46)(16(

)42)(12(386294.1

)64)(14(

)62)(12(0

)61)(41(

)62)(42()2(

p


ERROR DE INTERPOLACION

1,,:)( nbaxf

,,...,1,0 nixi

)(xpn

)(xf nxx ,...,0 ),(, babax

),(,)()!1(

))...(()()( 10 baf

n

xxxxxpxf nn

n

n


Método de LAGRANGE

- Evita resolver el sistema de ecuaciones (O(n3) )

- Tiene un costo del orden de O(n2)

- Para estimar una cota del error se necesita conocer la

derivada de orden n+1

- Si se agrega un punto, hay que recalcular todos los

coeficientes


)()()( 1 xCxpxp nn

)()()( 1 xpxpxC nn

))...()(()( 110 nn xxxxxxaxC

))...(())...((...)()( 10201010 nnnnn xxxxaxxxxaxxaaxp

))...((...)()( 2010101 nnn xxxxaxxaaxp

FORMA DE NEWTON

)(xC

O sea que tiene los n ceros y como 10 ,..., nxx )()( nnn xfxp

)....()(

)()(

10

1

nnn

nnnn

xxxx

xpxfa

n-ésima diferencia dividida de f en

nxxxxf ,...,,, 210

nxx ,...,0 10 Metodos Numericos 2016

Con 1 punto ))(,( 00 xfx )()( 000 xfaxp

))(,( 00 xfx

)()( 0101 xxaaxp

Con 2 puntos y ))(,( 11 xfx

)()()()( 1011011 xfxxaxfxp

)(

)()(

01

011

xx

xfxfa

)()(

)()()()( 0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxp

Forma de NEWTON

))...()((,,...,)()( 110101 nnnn xxxxxxxxxfxpxp

Con n puntos

)(,)()( 01001 xxxxfxfxp

Forma de Newton de Diferencias Divididas 11 Metodos Numericos 2016

)()( 000 xfaxp

)()( 0101 xxaaxp

Forma de NEWTON

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

12

))...()((...))(()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxp

.

.


ii

iiii

xx

xfxfxxf

1

11,

)( ii xfxf

1,..,1,0 ni

iki

kiiikiiikiiii

xx

xxxfxxxfxxxxf

112121

,...,,,...,,,...,,,

...

nn zzzzfxxxxf ,...,,,,...,,, 201210

i) Las diferencias divididas se pueden escribir recursivamente

en función de diferencias divididas anteriores

Propiedades de las Diferencias Divididas

ii) Si los son un reordenamiento de los iz ix


Tabla de Diferencias Divididas

i Xi f(Xi) Primera Segunda Tercera

0 X0 f(X0)

1 X1 f(X1) f[X0, X1]

2 X2 f(X2) f[X1, X2] f[X0, X1, X2]

3 X3 f(X3) f[X2,X3] f(X1, X2, X3] f[X0, X1, X2, X3]


Error de interpolación al usar Newton

es:

Sea y sean , n+1 puntos distintos

en [a,b]. Si es el polinomio de grado < n que interpola a

en entonces, el error que se comete en la

interpolación viene dado por:

baxf ,:)( nixi ,...,1,0)(xpn

)(xfnxx ,...,0

)()( xpxfe nn

La forma de usando Newton :

Por ser interpolante :

O sea que:

Por lo tanto:

)(1 xpn

))...(](,...,,[...)](,[)()( 011001001 nnn xxxxxxxfxxxxfxfxp

)()( 111 nnn xfxp

))..(](,..,,[))..(](...,,[..)()( 10111011011001 nnnnnnnnn xxxxxxxfxxxxxxxfxfxf

)( 1nn xp

))...(](,...,,[)()( 10111011 nnnnnnnn xxxxxxxfxpxfe


Si comparamos con la fórmula de error vista antes:

vemos que:

es decir que con un punto más podemos calcular el error

)x(x)x)(xx(x1)!(n

)(f)(xp)f(x n1n11n01n

1)(n

1nn1n

ba,1)!(n

)(f x, x, , x,xf

1)(n

1+nn10

nxxxxxx ...,, 101+nn10n x x ,x ,xf e

Regla del Término Siguiente 16 Metodos Numericos 2016

• El aumento de grado no siempre mejora la aproximación,

pues el polinomio se vuelve oscilante.

• El polinomio es muy sensible a los errores de los datos

• Tipos de error:

redondeo: datos , coeficientes, aproximación

truncamiento: depende de la derivada

Observaciones:


1,1251

12

x+

=f(x)

Ejemplo: Función de Runge

18

Si los datos son igualmente espaciados se observa inestabilidad

cuando el grado crece Metodos Numericos 2016

Interpolación Polinómica Segmentaria

D a d o s n + 1 p u n t o s ( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , . . . , ( x n , y n ) c o n

x 0 < x 1 … < x n , u n a f u n c i ó n s p l i n e d e o r d e n k ( k - S p l i n e )

s o b r e d i c h o s p u n t o s e s u n a f u n c i ó n S v e r i f i c a n d o :

( i ) S ( x ) = q k ( x ) p o l i n o m i o d e g r a d o k , x [ x k , x k + 1 ] ,

k = 0 , 1 , . . . , n - 1

( i i ) S ( x k ) = y k , k = 0 , 1 , . . . , n

( i i i ) 1

0 1,kS C x x


Cubic Spline

a) En cada intervalo [xi, xi+1] , S es un polinomio cúbico denotado por Si(x).

b) Si (xi) = f(xi) , i = 0,…, n-2

c) Si+1(xi+1) = Si(xi+1)

d) S’i+1(xi+1) = S’i(xi+1)

e) S’’i+1(xi+1) = S’’i(xi+1)

f) Se satisface alguna de las siguientes condiciones de

frontera: S’’ (x0) = S’’ (xn) = 0 (frontera libre)

S’ (x0) = f’ (x0) y S’ (xn) = f’ (xn) (frontera sujeta)

Sea baxf ,:)( y sean n+1 puntos nixi ,...,1,0

distintos en [a,b], a =x0 < x1 < x2 … < xn = b


Se plantea un sistema de ecuaciones para calcular los

coeficientes del polinomio :

a)

b)

si hi = xi+1 – xi y utilizando las restantes propiedades tenemos:

32 )()()()( iiiiiiii xxdxxcxxbaxS

11

11111

332

ii

iii

iiiiiiii aa

haa

hchchhch

iiii axfxS )()(

1,...,1,0, ni

)(xSi


para i = 1, 2, … , n-1

Considerando condiciones de frontera libre S’’ (x0) = S’’ (xn) = 0

tenemos c0 =cn =0

Una vez calculados los ci:

y

Si el punto a interpolar está en el intervalo

se debe utilizar la función

i

iii h

ccd

31 11 2

3

1 ii

iii

i

i cch

aah

b

),( 1ii xx

iS

Obtenemos una matriz tridiagonal, diagonalmente dominante, o

sea que siempre tiene solución y se resuelve con el método de

Thomas


1 0 . . . … .ℎ0 2(ℎ1 + ℎ0) ℎ1 …

0 ℎ1 2 ℎ2 + ℎ1 ℎ 2 0 .

0 … … .

.

ℎ𝑛−2 2 ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛−2 ℎ𝑛−1 0 … … 0 0 1

Error de Interpolación

Al usar una spline natural para interpolar una función f(x),

el error es proporcional a h4. Lo mismo ocurre cuando

utilizamos una spline cúbica sujeta.


APROXIMACION DE FUNCIONES - catedras.facet.unt.edu.ar · APROXIMACION DE FUNCIONES Metodos...

Documents

Transcript of APROXIMACION DE FUNCIONES - catedras.facet.unt.edu.ar · APROXIMACION DE FUNCIONES Metodos...