APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL 2 -...

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APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE

Se dice que una función y=f(x) es diferenciable en un punto si su

incremento puede escribirse de la forma

y es tal que no depende de los incrementos y

cuando .

xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η

0),( →∆xxη 0→∆x

)(xg x∆

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Ejemplo: Determinar si la función es diferenciable.

Calculemos el incremento

si hacemos se tiene

que donde no depende de y cuando por lo tanto, podemos decir

que la función y = f (x) es diferenciable.

)(xg

xxxf 3)( 2 +=

)(3)()()( 2 xxxxxfxxff ∆++∆+=−∆+=∆xxxxxxxxxxxxf ∆+∆+∆=+−∆++∆+∆+=∆ 32)3(332 2222

xxxxxg ∆=∆+= ),(,)32()( η

xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η

xxxxf ∆∆+∆+=∆ )()32(

0),( →∆=∆ xxxη 0→∆x

f∆

x∆

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( ηSe tiene entonces que si y=f(x) es diferenciable, su incremento se puede expresar como , pero surge la pregunta ¿quién o qué es g(x)?Para responder la pregunta, dividamos entre , de este modo se tiene que

tomando el límite de cuando se tiene

de donde se tiene que por lo tanto

),()(),()(

xxxgx

xxxxxgxf

∆+=∆

∆∆+∆=

∆∆

ηη

f∆ x∆

xf

∆∆ 0→∆x

0)(),(lim)(lim),()(

lim000

+=∆+=∆

∆∆+∆=

∆∆

→∆→∆→∆xgxxxg

xxxxxxg

xf

xxxη

η

)()(' xgxf =

xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Se tiene entonces que el incremento de una función diferenciable y = f(x) se puede escribir como

al primer término se le llama diferencial de f y se representa por y al segundo términose le conoce como término no lineal .Ahora si consideramos a la función identidad f(x)=x , se tiene que f’(x)=1 por lo que , pero como y = f (x) = x se tiene que por lo que podemos reescribir a la diferencial de f como

xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η

xxf ∆)('xxfxfd ∆= )(')( xxx ∆∆ ),(η

xxfd ∆=)(xxd ∆=

xdxfxfd )(')( = )(')( xfdx

xfd =→

Diferencial de f término no líneal

Interpretación geométrica.

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

)('tan xfdxdy ==α

xxxdxxff ∆∆+=∆ ),()(' η

xxxdff ∆∆+=∆ ),(η

xxxdff ∆∆=−∆ ),(η

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Puesto que la diferencial de la función y = f (x) es una nueva función de x podemos volver a diferenciarla es decir:

Sea al diferenciar nuevamente la función se tiene

puesto que que se deriva respecto a x , dx se considera constante, por lo tanto la segunda diferencial de la función estádada por

xdxfxfd )(')( =

( )dxxdxfdxdxfdd )('))(( =

( ) dxxdxfdxdxfdd )('))(( =

22 )()('')( xdxfxfd =

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

33 )()(''')( xdxfxfd =

al continuar repitiendo el proceso se obtendrán las diferenciales sucesivas

44 )()()( xdxfxfd IV=55 )()()( xdxfxfd V=

nnn xdxfxfd )()()( =

M

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

¿ Qué pasa con el término no lineal del incremento?

¿Para qué sirven las diferenciales sucesivas?

¿La diferencial sólo sirve para calcular el valor aproximado del y cosas así?

xxx ∆∆ ),(η

CONTINUEMOS

o46cos

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Supongamos que una función f (x), la podemos representar por

entonces al derivarla sucesivamente n veces obtenemos

...)()().()()()()( 66

55

44

33

2210 +−+−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxcaxccxf

...)(6).(5)(4)(3)(2)(' 56

45

34

2321 +−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxccxf

...)()5(6).()4(5)()3(4)()2(32)('' 46

35

2432 +−+−+−+−+= axcaxcaxcaxccxf

...)()4)(5(6).()3)(4(5)()2)(3(4)2(3)(''' 36

2543 +−+−+−+= axcaxcaxccxf

...)()3(2)!3(

).(2

)!2()()!1(!)( 3

32

21 +−+

+−+

+−++= +++ axcn

axcn

axcncnxf nnnnn

M

APLICACIONES DE LA DIFERENCIALax =

1)(' caf = 22 !22)('' ccaf == 33 !3)2(3)(''' ccaf == nn cnaf !)( =

!2)(''

2af

c =!3

)('''3

afc =

!)(

naf

cn

n =

∑∞

=

−=0

)(!

)()(

n

nn

axn

afxf

...)(!

)(...)(!3

)(''')(!2

)´́ ())((')()( 32 +−++−+−+−+= nn

axn

afaxafaxafaxafafxf

0)( caf =

)(0 afc = )('1 afc =

Al valuar a la función y sus derivadas sucesivas en se obtiene:

, , , ,

de donde los valores de las constantes son

, , , ,

finalmente se tiene que

expresión que al representarla por medio del símbolo de sumatoria queda

SERIE DE TAYLOR

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

ahora, de acuerdo a la figura

y como ;

por lo que ∑∞

=

=0 !

))(()(

n

nn

ndxaf

xf

L++++== ∑∞

= 6))(('''

2))((''

)(')(!

)()(

32

0

dxafdxafdxafaf

nafd

xfn

n

xax ∆=−dxx =∆ xdax =−

si recordando que la diferencial n-esima está dada por , al valuarla en se obtiene ,

y sustituyendola se llega a

nnn dxxfxfd ))(()( = ax = nnn dxafafd ))(()( =

f

expresión mediante la cual es posible representar una función f por una suma infinita de sus diferenciales sucesivas en un punto .ax =

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Taylor1.ggb Taylor2.ggb

L+++=−6

))(('''2

))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf

L+++=∆6

))(('''2

))(('')(')(32 dxafdxafdxafxf

L++++=6

))(('''2

))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf

Diferencial de f término no líneal

!))((

6))(('''

2))(('')(')()()(

32

ndxafdxafdxafdxafafxPxf

nn

+++++=≈ L

Si se consideran sólo los n primeros términos, se obtendrá un polinomio P(x) de grado n llamado Polinomio de Taylor que es una aproximación de f (x)

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

∑∞

=

=0

00

!),(

),(n

n

nyxfd

yxf

Consideremos la función z = f( x, y), la diferencial total de f está dada

por y del mismo modo que una función y=g(x)

tiene una segunda diferencial, f(x,y) también la tiene siendo esta

y al sustituir en la expresión

obtenemos

22

222

2

22 )(2)(),( dy

yfdxdy

yxfdx

xfyxfd

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

dyyf

dxxf

yxfd∂∂

+∂∂

=),(

L+

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+

+

∂∂

+∂∂

+=

2

),(2

2

),(

22

),(2

2

),(),(00

)(2)(21

),(),(

000000

0000

dyy

fdxdy

yxf

dxx

f

dyyf

dxxf

yxfyxf

yxyxyx

yxyx

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

2

),(2

2

),(

22

),(2

2

),(),(00

)(21

)(21

),(),(

000000

0000

dyy

fdxdy

yxf

dxx

f

dyyf

dxxf

yxfyxf

yxyxyx

yxyx

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+

+∂∂

+∂∂

+≈

Si consideramos los tres primeros términos, obtendremos una

aproximación de la función f(x,y) alrededor del punto dada

por

que corresponde a una expresión de la forma

),( 00 yx

22 CyBxyAxEyDxFz +++++=

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

FEyDxCyBxyAxz +++++= 22

la expresión anterior corresponde a una superficie cuadrática cuya forma depende del signo del término donde24 BAC −=∆

0),(

0

2

2

22

2

2

2

2

>∂

>

∂∂

∂−∂∂

∂∂=∆

xyxf

yxf

yf

xf

0),(

0

2

2

22

2

2

2

2

<∂

>

∂∂

∂−∂∂

∂∂=∆

xyxf

yxf

yf

xf

022

2

2

2

2

<

∂∂

∂−∂∂

∂∂=∆

yxf

yf

xf

aprox 2da deriv 1.mws

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

Sea la función donde , calcular la

las derivadas parciales y

Para calcular las derivadas parciales indicadas, sería necesario despejar de la expresión la variable z , labor que en la mayoría de los casos es muy complicada y más difícil que la obtención de la misma derivada.

Por ejemplo: si tratamos de despejar la variable z de la

expresión , podremos hacer muchos intentos

sin lograrlo. Por tal razón es muy conveniente establecer un método de derivación que no requiera de despejar a z .

0),,( =zyxF ),( yxfz =

xz

∂∂

yz

∂∂

0),,( =zyxF

02 =− zyexz

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Consideremos la función donde

al diferenciar ambas expresiones obtenemos de la primera

y de la segunda

al sustituir dz en dF se tiene

factorizando dx y dy

para garantizar que la expresión anterior se cumple para todo valor de las variables x , y , se tiene que dx=dy=0 , pero esta condición no es factible ya que si se cumpliera, resultaría que las variables x, y serían constantes, por lo tanto la condición será

0),,( =zyxF ),( yxfz =

0=∂∂+

∂∂+

∂∂= dz

zFdy

yFdx

xFdF dy

yzdx

xzdz

∂∂+

∂∂=

0=

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂= dy

yzdx

xz

zFdy

yFdx

xFdF

0=

∂∂

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

= dyyz

zF

yF

dxxz

zF

xF

dF

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

0=∂∂

∂∂

+∂∂

xz

zF

xF

0=∂∂

∂∂+

∂∂

yz

zF

yF

xz

∂∂

yz

∂∂

zFxF

xz

∂∂∂∂

−=∂∂

zFyF

yz

∂∂∂∂

−=∂∂

de donde al despejar las derivadas y se tiene que

así, si haciendo se obtiene que

¡¡no fue tan difícil!!

02 =− zyexz 02 =−= zyexzF

zyzy yez

yez

zFxF

xz 22

=−

−=

∂∂∂∂

−=∂∂

yz

yeze

zFyF

yz

zy

zy −=−−−=

∂∂∂∂

−=∂∂

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

DERIVADA DE SISTEMAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

En geometría analítica del espacio, se establece que una curva tiene por ecuaciones

expresión que representa un sistema de funciones implícitas. Como sabemos una curva puede representarse mediante sus ecuaciones paramétricas de la forma

==

0),,(0),,(

:zyxGzyxF

C

===

)()()(

:tgztfythx

C

Si definimos a la variable x como el parámetro t de la curva obtenemos

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

==

=

)()(:

xgzxfy

txC

donde para analizar la curva C se requiere calcular las derivadas

de las funciones ; , pero como ya se comentó, el problema de obtener las ecuaciones paramétricas de C puede ser más complicado que la misma obtención de las derivadas requeridas. Por lo tanto conviene establecer la forma de calcular las derivadas de y = f (x) y z = g (x) a partir de el sistema de funciones implícitas

)(xfy = )(xgz =

==

0),,(0),,(

zyxGzyxF

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Sea el sistema de funciones implícitas F(x,y,z)=0 y G(x,y,z)=0 donde y=y(x) y z = z(x) al diferenciar las funciones se obtiene

; ; ;

Sustituyendo dy y dz en dF y dG

0=∂∂+

∂∂+

∂∂= dz

zFdy

yFdx

xFdF 0=

∂∂+

∂∂+

∂∂= dz

zGdy

yGdx

xGdG dx

dxdy

dy = dxdxdz

dz =

0=

∂∂

+

∂∂

+∂∂

= dxdxdz

zF

dxdxdy

yF

dxxF

dF

0=

∂∂

+

∂∂

+∂∂

= dxdxdz

zG

dxdxdy

yG

dxxG

dG

factorizando dx

;

0=

∂∂

+∂∂

+∂∂

= dxdxdz

zF

dxdy

yF

xF

dF 0=

∂∂

+∂∂

+∂∂

= dxdxdz

zG

dxdy

yG

xG

dG

como y para que las ecuaciones se cumplan para toda x0≠dx

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

dxdz

zF

dxdy

yF

xF

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

dxdz

zG

dxdy

yG

xG

xF

dxdz

zF

dxdy

yF

∂∂

−=∂∂

+∂∂

xG

dxdz

zG

dxdy

yG

∂∂

−=∂∂

+∂∂

reorganizando las expresiones se llega al sistema lineal

2222121

1212111

bxaxabxaxa

=+=+

de la forma

donde los coeficientes son ; ; ;

, , ,

yFa

∂∂=11 z

Fa∂∂=12 y

Ga∂∂=21 z

Ga∂∂=22

las incógnitas son ; dxdy

x =1 dxdz

x =2

y los términos independientes ;

,

xFb

∂∂−=1 x

Gb∂∂−=2

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Al aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema se llega a

zyGF

J

zxGFJ

zG

yG

zF

yF

zG

xG

zF

xF

zG

yG

zF

yF

zG

xG

zF

xF

dxdy

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

zyGFJ

xyGFJ

zG

yG

zF

yF

xG

yG

xF

yF

zG

yG

zF

yF

xG

yG

xF

yF

dxdz

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂−

=

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Ejemplo:De un tronco de diámetro D , se desea obtener una viga que tenga una sección rectangular de área máxima, ¿cuáles deben ser las medidas de la sección de la viga?

Resolución:Por un lado, el área de la sección de la viga está dada por y del teorema de Pitágoras se tiene que

xyA =222 Dyx =+

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

Definamos a ydonde y

0),,( =−= AxyAyxF 0),,( 222 =−+= DyxAyxG)(xAA = )(xyy =

El punto crítico de se obtiene cuando , así, de la derivada

de sistemas de funciones implícitas se tiene que

0=dxdA

0==

yAGF

J

yxGF

J

dxdA

0=yxGF

J 0≠yAGF

J

xyxyxyyx

xy

yG

xG

yF

xF

yxGFJ =⇒=⇒=−==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= 2222 02222

por lo tanto siempre y cuando

Sustituyendo en se tiene que por lo finalmente

222 Dyx =+ 222 Dx =

;

2Dx =

2Dy =

APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

M.E.M. Enrique Arenas Sánchez

[email protected]