APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL 2 -...

Click here to load reader

  • date post

    09-Oct-2019
  • Category

    Documents

  • view

    11
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL 2 -...

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DIFERENCIABLE

    Se dice que una función y=f(x) es diferenciable en un punto si su

    incremento puede escribirse de la forma

    y es tal que no depende de los incrementos y

    cuando .

    xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η

    0),( →∆xxη 0→∆x

    )(xg x∆

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Ejemplo: Determinar si la función es diferenciable.

    Calculemos el incremento

    si hacemos se tiene

    que donde no depende de y cuando por lo tanto, podemos decir

    que la función y = f (x) es diferenciable.

    )(xg

    xxxf 3)( 2 +=

    )(3)()()( 2 xxxxxfxxff ∆++∆+=−∆+=∆xxxxxxxxxxxxf ∆+∆+∆=+−∆++∆+∆+=∆ 32)3(332 2222

    xxxxxg ∆=∆+= ),(,)32()( η

    xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( η

    xxxxf ∆∆+∆+=∆ )()32(

    0),( →∆=∆ xxxη 0→∆x

    f∆

    x∆

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    xxxxxgf ∆∆+∆=∆ ),()( ηSe tiene entonces que si y=f(x) es diferenciable, su incremento se puede expresar como , pero surge la pregunta ¿quién o qué es g(x)?Para responder la pregunta, dividamos entre , de este modo se tiene que

    tomando el límite de cuando se tiene

    de donde se tiene que por lo tanto

    ),()(),()(

    xxxgx

    xxxxxgxf

    ∆+=∆

    ∆∆+∆=

    ∆∆

    ηη

    f∆ x∆

    xf

    ∆∆ 0→∆x

    0)(),(lim)(lim),()(

    lim000

    +=∆+=∆

    ∆∆+∆=

    ∆∆

    →∆→∆→∆xgxxxg

    xxxxxxg

    xf

    xxxη

    η

    )()(' xgxf =

    xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Se tiene entonces que el incremento de una función diferenciable y = f(x) se puede escribir como

    al primer término se le llama diferencial de f y se representa por y al segundo términose le conoce como término no lineal .Ahora si consideramos a la función identidad f(x)=x , se tiene que f’(x)=1 por lo que , pero como y = f (x) = x se tiene que por lo que podemos reescribir a la diferencial de f como

    xxxxxff ∆∆+∆=∆ ),()(' η

    xxf ∆)('xxfxfd ∆= )(')( xxx ∆∆ ),(η

    xxfd ∆=)(xxd ∆=

    xdxfxfd )(')( = )(')( xf

    dxxfd =→

    Diferencial de f término no líneal

  • Interpretación geométrica.

    APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    )('tan xfdxdy ==α

    xxxdxxff ∆∆+=∆ ),()(' η

    xxxdff ∆∆+=∆ ),(η

    xxxdff ∆∆=−∆ ),(η

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Puesto que la diferencial de la función y = f (x) es una nueva función de x podemos volver a diferenciarla es decir:

    Sea al diferenciar nuevamente la función se tiene

    puesto que que se deriva respecto a x , dx se considera constante, por lo tanto la segunda diferencial de la función estádada por

    xdxfxfd )(')( =

    ( )dxxdxfdxdxfdd )('))(( =

    ( ) dxxdxfdxdxfdd )('))(( =

    22 )()('')( xdxfxfd =

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    33 )()(''')( xdxfxfd =

    al continuar repitiendo el proceso se obtendrán las diferenciales sucesivas

    44 )()()( xdxfxfd IV=55 )()()( xdxfxfd V=

    nnn xdxfxfd )()()( =

    M

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    ¿ Qué pasa con el término no lineal del incremento?

    ¿Para qué sirven las diferenciales sucesivas?

    ¿La diferencial sólo sirve para calcular el valor aproximado del y cosas así?

    xxx ∆∆ ),(η

    CONTINUEMOS

    o46cos

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Supongamos que una función f (x), la podemos representar por

    entonces al derivarla sucesivamente n veces obtenemos

    ...)()().()()()()( 665

    54

    43

    32

    210 +−+−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxcaxccxf

    ...)(6).(5)(4)(3)(2)(' 564

    53

    42

    321 +−+−+−+−+−+= axcaxcaxcaxcaxccxf

    ...)()5(6).()4(5)()3(4)()2(32)('' 463

    52

    432 +−+−+−+−+= axcaxcaxcaxccxf

    ...)()4)(5(6).()3)(4(5)()2)(3(4)2(3)(''' 362

    543 +−+−+−+= axcaxcaxccxf

    ...)()3(2)!3(

    ).(2

    )!2()()!1(!)( 33

    221 +−

    ++−

    ++−++= +++ axc

    naxc

    naxcncnxf nnnn

    n

    M

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIALax =

    1)(' caf = 22 !22)('' ccaf == 33 !3)2(3)(''' ccaf == nn cnaf !)( =

    !2)(''

    2af

    c =!3

    )('''3

    afc =

    !)(

    naf

    cn

    n =

    ∑∞

    =

    −=0

    )(!

    )()(

    n

    nn

    axn

    afxf

    ...)(!

    )(...)(!3

    )(''')(!2

    )´́ ())((')()( 32 +−++−+−+−+= nn

    axn

    afaxafaxafaxafafxf

    0)( caf =

    )(0 afc = )('1 afc =

    Al valuar a la función y sus derivadas sucesivas en se obtiene:

    , , , ,

    de donde los valores de las constantes son

    , , , ,

    finalmente se tiene que

    expresión que al representarla por medio del símbolo de sumatoria queda

    SERIE DE TAYLOR

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    ahora, de acuerdo a la figura

    y como ;

    por lo que ∑∞

    =

    =0 !

    ))(()(

    n

    nn

    ndxaf

    xf

    L++++== ∑∞

    = 6))(('''

    2))((''

    )(')(!

    )()(

    32

    0

    dxafdxafdxafaf

    nafd

    xfn

    n

    xax ∆=−dxx =∆ xdax =−

    si recordando que la diferencial n-esima está dada por , al valuarla en se obtiene ,

    y sustituyendola se llega a

    nnn dxxfxfd ))(()( = ax = nnn dxafafd ))(()( =

    f

    expresión mediante la cual es posible representar una función f por una suma infinita de sus diferenciales sucesivas en un punto .ax =

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Taylor1.ggb Taylor2.ggb

    L+++=−6

    ))(('''2

    ))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf

    L+++=∆6

    ))(('''2

    ))(('')(')(32 dxafdxafdxafxf

    L++++=6

    ))(('''2

    ))(('')(')()(32 dxafdxafdxafafxf

    Diferencial de f término no líneal

    !))((

    6))(('''

    2))(('')(')()()(

    32

    ndxafdxafdxafdxafafxPxf

    nn

    +++++=≈ L

    Si se consideran sólo los n primeros términos, se obtendrá un polinomio P(x) de grado n llamado Polinomio de Taylor que es una aproximación de f (x)

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    ∑∞

    =

    =0

    00

    !),(

    ),(n

    n

    nyxfd

    yxf

    Consideremos la función z = f( x, y), la diferencial total de f está dada

    por y del mismo modo que una función y=g(x)

    tiene una segunda diferencial, f(x,y) también la tiene siendo esta

    y al sustituir en la expresión

    obtenemos

    22

    222

    2

    22 )(2)(),( dy

    yfdxdy

    yxfdx

    xfyxfd

    ∂∂+

    ∂∂∂+

    ∂∂=

    dyyf

    dxxf

    yxfd∂∂

    +∂∂

    =),(

    L+

    ∂∂

    +∂∂

    ∂+

    ∂∂

    +

    +

    ∂∂

    +∂∂

    +=

    2

    ),(2

    2

    ),(

    22

    ),(2

    2

    ),(),(00

    )(2)(21

    ),(),(

    000000

    0000

    dyy

    fdxdy

    yxf

    dxx

    f

    dyyf

    dxxf

    yxfyxf

    yxyxyx

    yxyx

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    2

    ),(2

    2

    ),(

    22

    ),(2

    2

    ),(),(00

    )(21

    )(21

    ),(),(

    000000

    0000

    dyy

    fdxdy

    yxf

    dxx

    f

    dyyf

    dxxf

    yxfyxf

    yxyxyx

    yxyx

    ∂∂

    +∂∂

    ∂+

    ∂∂

    +

    +∂∂

    +∂∂

    +≈

    Si consideramos los tres primeros términos, obtendremos una

    aproximación de la función f(x,y) alrededor del punto dada

    por

    que corresponde a una expresión de la forma

    ),( 00 yx

    22 CyBxyAxEyDxFz +++++=

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    FEyDxCyBxyAxz +++++= 22

    la expresión anterior corresponde a una superficie cuadrática cuya forma depende del signo del término donde24 BAC −=∆

    0),(

    0

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    >∂

    >

    ∂∂

    ∂−∂∂

    ∂∂=∆

    xyxf

    yxf

    yf

    xf

    0),(

    0

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    <∂

    >

    ∂∂

    ∂−∂∂

    ∂∂=∆

    xyxf

    yxf

    yf

    xf

    022

    2

    2

    2

    2

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

    Sea la función donde , calcular la

    las derivadas parciales y

    Para calcular las derivadas parciales indicadas, sería necesario despejar de la expresión la variable z , labor que en la mayoría de los casos es muy complicada y más difícil que la obtención de la misma derivada.

    Por ejemplo: si tratamos de despejar la variable z de la

    expresión , podremos hacer muchos intentos

    sin lograrlo. Por tal razón es muy conveniente establecer un método de derivación que no requiera de despejar a z .

    0),,( =zyxF ),( yxfz =

    xz

    ∂∂

    yz

    ∂∂

    0),,( =zyxF

    02 =− zyexz

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Consideremos la función donde

    al diferenciar ambas expresiones obtenemos de la primera

    y de la segunda

    al sustituir dz en dF se tiene

    factorizando dx y dy

    para garantizar que la expresión anterior se cumple para todo valor de las variables x , y , se tiene que dx=dy=0 , pero esta condición no es factible ya que si se cumpliera, resultaría que las variables x, y serían constantes, por lo tanto la condición será

    0),,( =zyxF ),( yxfz =

    0=∂∂+

    ∂∂+

    ∂∂= dz

    zFdy

    yFdx

    xFdF dy

    yzdx

    xzdz

    ∂∂+

    ∂∂=

    0=

    ∂∂+

    ∂∂

    ∂∂+

    ∂∂+

    ∂∂= dy

    yzdx

    xz

    zFdy

    yFdx

    xFdF

    0=

    ∂∂

    ∂∂

    +∂∂

    +

    ∂∂

    ∂∂

    +∂∂

    = dyyz

    zF

    yF

    dxxz

    zF

    xF

    dF

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    0=∂∂

    ∂∂

    +∂∂

    xz

    zF

    xF

    0=∂∂

    ∂∂+

    ∂∂

    yz

    zF

    yF

    xz

    ∂∂

    yz

    ∂∂

    zFxF

    xz

    ∂∂∂∂

    −=∂∂

    zFyF

    yz

    ∂∂∂∂

    −=∂∂

    de donde al despejar las derivadas y se tiene que

    así, si haciendo se obtiene que

    ¡¡no fue tan difícil!!

    02 =− zyexz 02 =−= zyexzF

    zyzy yez

    yez

    zFxF

    xz 22 =

    −−=

    ∂∂∂∂

    −=∂∂

    yz

    yeze

    zFyF

    yz

    zy

    zy −=−−−=

    ∂∂∂∂

    −=∂∂

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    DERIVADA DE SISTEMAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

    En geometría analítica del espacio, se establece que una curva tiene por ecuaciones

    expresión que representa un sistema de funciones implícitas. Como sabemos una curva puede representarse mediante sus ecuaciones paramétricas de la forma

    ==

    0),,(0),,(

    :zyxGzyxF

    C

    ===

    )()()(

    :tgztfythx

    C

    Si definimos a la variable x como el parámetro t de la curva obtenemos

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    ==

    =

    )()(:

    xgzxfy

    txC

    donde para analizar la curva C se requiere calcular las derivadas

    de las funciones ; , pero como ya se comentó, el problema de obtener las ecuaciones paramétricas de C puede ser más complicado que la misma obtención de las derivadas requeridas. Por lo tanto conviene establecer la forma de calcular las derivadas de y = f (x) y z = g (x) a partir de el sistema de funciones implícitas

    )(xfy = )(xgz =

    ==

    0),,(0),,(

    zyxGzyxF

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Sea el sistema de funciones implícitas F(x,y,z)=0 y G(x,y,z)=0 donde y=y(x) y z = z(x) al diferenciar las funciones se obtiene

    ; ; ;

    Sustituyendo dy y dz en dF y dG

    0=∂∂+

    ∂∂+

    ∂∂= dz

    zFdy

    yFdx

    xFdF 0=

    ∂∂+

    ∂∂+

    ∂∂= dz

    zGdy

    yGdx

    xGdG dx

    dxdy

    dy = dxdxdz

    dz =

    0=

    ∂∂

    +

    ∂∂

    +∂∂

    = dxdxdz

    zF

    dxdxdy

    yF

    dxxF

    dF

    0=

    ∂∂

    +

    ∂∂

    +∂∂

    = dxdxdz

    zG

    dxdxdy

    yG

    dxxG

    dG

    factorizando dx

    ;

    0=

    ∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    = dxdxdz

    zF

    dxdy

    yF

    xF

    dF 0=

    ∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    = dxdxdz

    zG

    dxdy

    yG

    xG

    dG

    como y para que las ecuaciones se cumplan para toda x0≠dx

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    0=∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    dxdz

    zF

    dxdy

    yF

    xF

    0=∂∂

    +∂∂

    +∂∂

    dxdz

    zG

    dxdy

    yG

    xG

    xF

    dxdz

    zF

    dxdy

    yF

    ∂∂

    −=∂∂

    +∂∂

    xG

    dxdz

    zG

    dxdy

    yG

    ∂∂

    −=∂∂

    +∂∂

    reorganizando las expresiones se llega al sistema lineal

    2222121

    1212111

    bxaxabxaxa

    =+=+

    de la forma

    donde los coeficientes son ; ; ;

    , , ,

    yFa

    ∂∂=11 z

    Fa∂∂=12 y

    Ga∂∂=21 z

    Ga∂∂=22

    las incógnitas son ; dxdy

    x =1 dxdz

    x =2

    y los términos independientes ;

    ,

    xFb

    ∂∂−=1 x

    Gb∂∂−=2

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Al aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema se llega a

    zyGF

    J

    zxGFJ

    zG

    yG

    zF

    yF

    zG

    xG

    zF

    xF

    zG

    yG

    zF

    yF

    zG

    xG

    zF

    xF

    dxdy

    −=

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    −=

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    =

    zyGFJ

    xyGFJ

    zG

    yG

    zF

    yF

    xG

    yG

    xF

    yF

    zG

    yG

    zF

    yF

    xG

    yG

    xF

    yF

    dxdz

    −=

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    −=

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂−

    =

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Ejemplo:De un tronco de diámetro D , se desea obtener una viga que tenga una sección rectangular de área máxima, ¿cuáles deben ser las medidas de la sección de la viga?

    Resolución:Por un lado, el área de la sección de la viga está dada por y del teorema de Pitágoras se tiene que

    xyA =222 Dyx =+

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    Definamos a ydonde y

    0),,( =−= AxyAyxF 0),,( 222 =−+= DyxAyxG)(xAA = )(xyy =

    El punto crítico de se obtiene cuando , así, de la derivada

    de sistemas de funciones implícitas se tiene que

    0=dxdA

    0==

    yAGF

    J

    yxGF

    J

    dxdA

    0=yxGF

    J 0≠yAGF

    J

    xyxyxyyx

    xy

    yG

    xG

    yF

    xF

    yxGFJ =⇒=⇒=−==

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    = 2222 02222

    por lo tanto siempre y cuando

    Sustituyendo en se tiene que por lo finalmente

    222 Dyx =+ 222 Dx =

    ;

    2Dx =

    2Dy =

  • APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL

    M.E.M. Enrique Arenas Sánchez

    [email protected]