Métodos Matemáticos en Física - uam.es · Métodos Matemáticos en Física L.5PR. Método...

1

Métodos Matemáticos en FísicaL.5PR. Método Fourier: membrana rectangular

Resolvemos siguiente problema (2D)

12

3

4

2


Usamos resultado elaborado en L5A para sol. General

Aplicamos a nuestro casoLx=Ly=π ; c=1

3


Solución general sera

Buscamos coeficientes de condiciones iniciales (t=0)

4


Aprovechando ortoganalidad (n1 ≠ n2 o m1 ≠m2 )

De condiciones iniciales (t=0)

5


Como

6


Si derivamos solución general por tiempo

Para t=0

7


Entonces

8


Solución final

9


Consideramos ahora caso de oscilaciones de membrana (CC. fijos) en presencia de fuerzas

externasf(x,y,t)

10


Uno de métodos es buscar solución desarrollando en funciones ortogonales - soluciones de problema homogénea

( como hicimos antes)

Y funciones unm(t) se buscan de mismo modo como hicimos para oscilaciones forzados de cuerda

11


PROBLEMA Buscamos oscilaciones forzadas (t>0)de rectángulo tamaño= π*π, (Γ=borde)

TODOS Bordes libres Hasta instante t=0 esta en reposo

1

12


Como comentamos antes, buscaremos oscilaciones en forma desarrollo por autofunciones de problema homogénea

( ) cos( )*cos( )nu v t nx my=∑

Solución General?

13


Sustituimos en Ec. de onda (1)+usamos ortoganalidad de auto funciones Solo nos quedaran termino de sumatorio con n=1

( ) cos( )*cos( )nu v t nx my=∑

Dividiendo todo resultado por Cos(x)*Cos(y)

14


Obtenemos Ec. diferencial para v(t)

de CI

15


Solución general (oscilador forzado):

16


Con C1, C2- constantes arbitrarias

De condiciones iniciales:

Entonces Sol. Final:

17


Ejercicio (CLASE): Una membrana rectangular (b1, b2) con bordes fijos recibe in golpe puntual en las proximidades de punto Ωε central (A=const) de tal modo que:

Hallar vibraciones libres resultantes

00

0

Impulso total (I)

I= v(x,y) dxdy A IAρ ρρ

= × => =∫∫ b1

b2

18


Descripción alternativa de distribución inicial de velocidades

1 2

0

0

b bv(x,y)=A (x- ) (y- )2 2

=>

v(x,y)

Impulso total (I) densidad superficial , de masa

dxd A Iy

δ δ

ρ

ρ −

= =∫∫

b2

b1

19


Formulación matemática:

si

si

+

Circulo con radio ε

b2

b1

20


Usando método de separación de variables obtenemos:


Con:

21


Como según condiciones iniciales u(x,y,o)=0


Entonces:

22


Derivando por tiempo:Circulo con radio ε

Imponiendo Cond. Iniciales:

23


Entonces Circulo con radio ε

En el limite ε 0

24

Métodos Matemáticos en FísicaL.5PR Método Fourier: membrana rectangular

Entonces la solución final:


Solo “sobreviviran“ n, m – impar

Métodos Matemáticos en Física - uam.es · Métodos Matemáticos en Física L.5PR. Método...

Documents

Transcript of Métodos Matemáticos en Física - uam.es · Métodos Matemáticos en Física L.5PR. Método...