Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad

Métodos Estadísticos para la Mejora de la Calidad 1

Gráfico de Control

Muestra

Med

iaLínea central = 16,3

UCL = 16,90

LCL = 15,74

0 5 10 15 20 2515

15,4

15,8

16,2

16,6

17

66σσ


Capítulo Capítulo 4:4: Control de procesos por variablesControl de procesos por variables

1 Fundamentos de los gráficos de control2 Gráficos de control para la media3 Gráficos de control para la dispersión4 Capacidad de un proceso. Índice de capacidad5 Gráficos de observaciones individuales y rangos móviles6 Interpretación de los gráficos de control


Gráfico de control: evolución de una característica de la calidad

Gráfico de control por variables: evolución de magnitudes cuantitativas del artículo o servicio

• Longitudes

• Pesos

• Voltajes

• Tiempos de ejecución de una tarea

• Tiempos de atención a un cliente

1. Fundamentos de los gráficos de control


• Sea x la variable de interés (por ejemplo, una longitud)

• Los gráficos suelen representar la evolución de un estadístico de x:

Por ejemplo: • la media muestral de x en muestras de tamaño n

• la desviación típica de x en muestras de tamaño n

• el rango de x en una muestra de tamaño n

1. Fundamentos de los gráficos de control


Ejemplo: = media muestral de x

Muestra 1:

Muestra 2:

Muestra 3:

Muestra K:


Representa la evolución temporal de


es una variable aleatoria al serlo x


LCS

LCS: Límite de Control Superior

LCI

LCI: Límite de Control Inferior

lc

lc: línea central


LCS

LCS: Límite de Control Superior...=

LCI

LCI: Límite de Control Inferior.....=

lc

lc: línea central............................=

Generalmente


Justificación:Si el proceso está bajo control, es decir, sólo actúan causas de variabilidad no asignables, y permanecerán constantes. Entonces estará prácticamente siempre entre los límites de control


Por el contrario, si aparecen causas de variabilidad asignables, el proceso estará fuera de control. Al influir factores que antes no influían, las propiedades de cambiarán. Por tanto, y/o serán diferentes. Entonces los límites de control no son válidos. Pueden aparecer valores fuera de los límites.

Justificación:


Habría que investigar estos puntos, pues es posible que el proceso no estuviese bajo control en esos momentos


Estadístico que representamos:

Representamos la evolución de medias muestrales

Si cuando el proceso está bajo control se tiene que

entonces en estado de control se verificará que

2, Gráficos de control para la media


Gráfico de control general

Gráfico de control para las medias



Problema: los parámetros y son desconocidos

Se estiman con datos históricos

¡¡¡Sólo son válidos si se toman cuando el proceso está bajo control!!!!

¿Cómo los estimamos?


1. Tomamos K muestras iniciales de nuestra variable x

Muestra 1:

Muestra 2:

Muestra 3:

Muestra K:

Estimación de y


2. Para cada muestra, calculamos la media muestral y algún estadístico de dispersión. Por ejemplo, para la muestra 1:

Muestra 1:

Estimación de y

Media muestral:


2. Para cada muestra, calculamos la media muestral y algún estadístico de dispersión. Por ejemplo, para la muestra 1:

Muestra 1:

Estimación de y

Media muestral:

Medidas de dispersión:


3. Estimamos μ con la media de las medias

Estimación de y

que es igual a la media de todos los datos


4. Estimamos σ. Hay varias alternativas

Estimación de y

Problema: es un estimador sesgado de σ

( Nota: es también un estimador sesgado de σ2 )

4.1 Utilizando las desviaciones típicas muestrales



Estimación de y

Solución: se conoce el sesgo

4.1 Utilizando las desviaciones típicas muestrales

está tabulado



Estimación de y

4.1 Utilizando las desviaciones típicas muestrales4.2 Utilizando las desviaciones típicas corregidas por grados de libertad


(Nota: es un estimador insesgado de σ2 )



Estimación de y


4.1 Utilizando las desviaciones típicas muestrales4.2 Utilizando las desviaciones típicas corregidas por grados de libertad

está tabulado




Estimación de y

4.1 Utilizando las desviaciones típicas muestrales4.2 Utilizando las desviaciones típicas corregidas por grados de libertad4.3 Utilizando los rangos muestrales




Estimación de y

4.1 Utilizando las desviaciones típicas muestrales4.2 Utilizando las desviaciones típicas corregidas por grados de libertad4.3 Utilizando los rangos muestrales



está tabulado



Estimación de y

4.1 Utilizando las desviaciones típicas muestralesRESUMEN

4.2 Utilizando las desviaciones típicas corregidas por grados de libertad

4.3 Utilizando los rangos muestrales



Usando desv. típica




Usando desv. típ. corregida



Usando rangos


1. Usando desv. típica corregida: evolución del estadístico

2. Usando rangos: evolución del estadístico

3. Gráficos de control para la dispersión


1. Usando desv. típica corregida: evolución del estadístico



1. Usando desv. típica corregida:

Con k muestras iniciales

Depende de



1. Usando desv. típica corregida:

B3,B4,B5,B6 en tablas



2. Usando rangos:

De forma análoga, usando k muestras iniciales...

D3,D4 en tablas



Procedimiento general para la construcción de gráficos de control por variables

1. Se toman k muestras iniciales de tamaño n

2. Se estiman μ , σ

3. Se representan las k muestras en los gráficos de medias y dispersión


Fuera de los límites!!!


1. Se toman k muestras iniciales de tamaño n

2. Se estiman μ , σ

3. Se representan las k muestras en los gráficos de medias y dispersión

4. Se eliminan las muestras que están fuera de los límites y se recalculan los gráficos

5. Se repiten los pasos 3-4 hasta que estén todas las muestras en los límites

Procedimiento general para la construcción de gráficos de control por variables


Se eliminan la 6,8,9,11 y 19


Sea x la variable de interés (longitud, tiempo...).

Si el proceso ha estado bajo control...

Los límites de control del gráfico de medias representan las verdaderas propiedades del proceso

4. Capacidad de un proceso


Sea x la variable de interés (longitud, tiempo...).

Si el proceso ha estado bajo control...



99,7%

Si el proceso está bajo control, entre la media y 3 desviacionestípicas están casi todos los artículos producidos


99,7%

“Capacidad”


Estimación de la capacidad

1 Utilizando las desviaciones típicas muestrales

2 Utilizando las desviaciones típicas corregidas por grados de libertad

3 Utilizando los rangos muestrales


No confundir la variabilidad del proceso con las tolerancias técnicas de uso

99,7%


Tolerancias técnicas

Valores de x dentro de los cuales el producto es aceptable

Variabilidad del proceso

Valores de x entre los que se encontrarán casi todos los artículos


LTS= Límite de Tolerancia Superior

Si x>LTS el artículo es defectuoso

LTI= Límite de Tolerancia Inferior

Si x<LTI el artículo es defectuoso

Si LTI<x<LTS el artículo es aceptable



Ejemplo: un rodamiento debe tener un radio con valor nominal (ideal) de 200mm, y se consideran aceptables los que estén dentro de 2mm de este valor nominal (+-2mm)

LTS=202 mm

LTI=198 mmLímites de Tolerancias

Estas especificaciones son independientes del proceso industrial que elabora los rodamientos



LTS=202 mm

LTI=198 mm

defectuosos defectuosos

=12LTS-LTI=4

Comparando la capacidad con los límites de control tendremos una idea de si produciremos muchos artículos defectuosos o pocos


LTS=202 mm

LTI=198 mm


=12LTS-LTI=4

Índice de Capacidad Cp


LTSLTI

Índice de Capacidad <1 Muchos defectuosos

El proceso en estado de control produce un porcentaje elevado de artículos defectuosos

Cp<1 : El proceso NO ES CAPAZCp<1 : El proceso NO ES CAPAZ


LTSLTI

Índice de Capacidad >1 Muy pocos defectuosos

El proceso en estado de control produce un porcentaje muy pequeño de artículos defectuosos

Cp>1 : El proceso ES CAPAZCp>1 : El proceso ES CAPAZ


Otros índices de capacidad...• Unilaterales: para procesos no centrados



• Recíproco

• ModificadoNominal


Otros índices de capacidad...


• Coeficiente K de descentralización

K>0: sesgo positivo K<0: sesgo negativo

Ojo!! No está relacionado con la capacidad




• Calidad n-sigma

Un proceso tiene calidad n-sigma si

Equivalencia con Cp:

Ejemplo: calidad 6-sigma




• Proporción de defectos con desajuste 1.5

Ejemplo: Si el nivel de calidad es 3-sigma

2,7% de artículos defectuosos

99,73% de artículos aceptables

(Cp=1)




LTSLTI

99,73%

2,7% de defectos= 2700 defectos por millón

Pero si la media se desvía 1.5 sigma....



LTSLTI

LTSLTI

LTSLTI

defectos

defectos

La probabilidad de producir artículos defectuosos aumenta


• Proporción de defectos con desajuste 1.5




Gráfico de control de medias: evolución de la media de n observaciones

5. Gráficos de observaciones individuales y rangos móviles

• ¿Y si cada observación lleva mucho tiempo?

• ¿Y si todas las observaciones de una muestra fuesen iguales? (por ejemplo, Ph de un compuesto químico)

• ¿Y si las mediciones fuesen muy costosas?

Puede ser útil gráficos de observaciones individuales


Estimación de μτ . Media de k datos iniciales

Monitorizamos la evolución de τ(x)=x Representamos x1, x2, x3,...

Estimación de στ . Desv. típica de k datos iniciales


Otra opción para estimar στ :

1. Conseguir lecturas de un conjunto de k observaciones: x₁,...,xk.2. Calcular rangos móviles entre pares de individuos:

R1 R2

x1 x2 x3 xkxk-1

Rk-1


n=2

También puede hacerse con rangos móviles de más de 2 observaciones

con 4:

R1 R2

x1 x2 x3 xkxk-1

Rk-1


Ejemplo:

1.128 (n=2)

15.38 + 3x5.32

15.38

15.38 - 3x5.32

esta secuencia de rangos se puede usar para monitorizar la dispersión


Gráfico para la dispersión con observaciones individuales

3.267 (n=2)

0 (n=2)


si el proceso está en estado de control, los gráficos deben mostrar un comportamiento aleatorio dentro de los límites de control; por tanto una evolución de los gráficos que tenga un patrón no aleatoriopatrón no aleatorio o/y fuera de los límites será indicio de existencia de causas asignables.

6. Interpretación de los gráficos de control

Idea general:

Patrones no aleatorios más habituales

Tendencias Rachas

Ciclos


Para detectar estos patrones no aleatorios: test de aleatoriedad (run tests)

(están basados en la normal)

μ+1σ

μ -1σ

μ -2σμ -3σ

μ +3σ

μ +2σ

zona A

zona A

zona B

zona B

zona C

zona C


μ+1σ

μ -1σ

μ -2σ

μ +2σ

μ +3σ

μ -3σzona A

zona A

zona B

zona B

zona C

zona C

· · Patrón 1:Patrón 1: Un punto fuera de las líneas de control (fuera de la zona A). Un punto fuera de las líneas de control (fuera de la zona A). · · PatrPatróón 2:n 2: 2 puntos de 3 consecutivos dentro de la zona A o exteriores a el2 puntos de 3 consecutivos dentro de la zona A o exteriores a ella. la. · · Patrón 3:Patrón 3: 4 de 5 puntos consecutivos en la zona B o A. 4 de 5 puntos consecutivos en la zona B o A. · · Patrón 4Patrón 4: : 8 puntos consecutivos en la misma mitad del gráfico. 8 puntos consecutivos en la misma mitad del gráfico. · · Patrón 5:Patrón 5: 15 puntos consecutivos en las zonas C. 15 puntos consecutivos en las zonas C. · · Patrón 6:Patrón 6: 8 puntos seguidos sin caer en la zona C, aunque estén a ambos la8 puntos seguidos sin caer en la zona C, aunque estén a ambos lados del gráfico. dos del gráfico. · · Patrón 7:Patrón 7: 14 puntos seguidos alternativos (cada uno en una mitad diferente14 puntos seguidos alternativos (cada uno en una mitad diferente al anterior) al anterior) · · Patrón 8:Patrón 8: 7 puntos seguidos creciendo o decreciendo7 puntos seguidos creciendo o decreciendo

Se da señal de alarma si:Se da señal de alarma si:

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