Apostila Controle - 02 - Transformada de Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE  Introdução  Transformada de Laplace  Controle de Sistemas Mecânicos   Transformada Inversa de Laplace  Definição da Função de Transferência  Resposta ao impulso e FT  Solução de equações diferenciais usando TL

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TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE 

Introdução 

Transformada de Laplace 

 

Controle de Sistemas Mecânicos 

 

Transformada Inversa de Laplace 

Definição da Função de Transferência 

Resposta ao impulso e FT 

Solução de equações diferenciais usando TL

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Definição da Transformada de Laplace Definição da Transformada de Laplace 

A transformada de Laplace de uma função causal é dada por: 

∞−

==st 

Controle de Sistemas Mecânicos 

onde s=σσσσ+jωωωω é a variável livre que assume valores no plano complexo. Observe que o 

limite inferior inclui qualquer descontinuidade que ocorra no instante t = 0.

0

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Exemplo 5.1: TL da exponencial Exemplo 5.1: TL da exponencial 

Calcular para [ ])(t  f  L jcbaet  f 

at 

+==

 )(

+−

−−−===

)( t asst at at 

Controle de Sistemas Mecânicos 

00

[ ] asaseassF 

t as

+=−

+

−=

+

−=

+− 1

10

11

)(0

)(

 

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Exemplo 5.2: TL do degrau unitário Exemplo 5.2: TL do degrau unitário 

Calcular para a função degrau 

[ ])(t u L

= ≤

=−

 

0 se 0

 

0 se 0)( 0

t t t u t 

Controle de Sistemas Mecânicos 

 

[ ]ss

e LsF  t  1

0

1)(

0=

+==

ssF 

1)( =

 

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Linearidade Linearidade 

P1: A transformada de Laplace é um operador 

linear 

Controle de Sistemas Mecânicos 

22112211 t t t t  +=+

[ ] )()()()( 22112211 sF sF t  f t  f  L +=+

  

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Exemplo 5.3: TL da cossenóide Exemplo 5.3: TL da cossenóide 

Calcular para 

[ ])(t  f  L t t  f  cos)(=

[ ]t  jt  j eet ω ω 

ω −

+=2

1cos

+=−

)(2

1][cos

t  jt  jee Lt  L

ω ω ω 

Controle de Sistemas Mecânicos 

[ ])()(2

1)(

t  jt  je Le LsF 

ω ω  −+=

22)(

ω +=sssF 

++

−=

ω ω  js jssF 

11

2

1)(

   

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Exemplo 5.4: TL do impulso unitário Exemplo 5.4: TL do impulso unitário 

Calcular para a função impulso 

unitário  [ ])(t  L

<

 

0 se 0 t  01 t 

)(t  f 

)(lim)( t  f t  =δ  

Controle de Sistemas Mecânicos 

>

=

0

00

 se 0

 

t t t 

0

[ ] dt et  f t  f  Lt  LsF  st t t 

→→ ∫ =

==

000

)(lim)(lim)()(00

δ  

 

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Continuação Continuação 

−=

−=

00 111 est t 

st 

dt et 

dt et  f sF  st 

st 

→ ∫ ∫  ==

0

000 0

00

01lim)(lim)(

Controle de Sistemas Mecânicos 

→→

00

000

00 st st t t 

1lim1

lim0

0

0

0 00

0=⇒

−−

→ s

se

st 

est 

st 

Aplicando

L’Hôpital:

[ ] 1)( =t  L

  

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Transformada da derivada Transformada da derivada 

P2:Diferenciação real (com relação à variável t ) 

)0()()( −−=

 f ssF dt t df  L

− in

Controle de Sistemas Mecânicos 

generazando   −= ==

−−

∑ 00

1

)(t 

ii

inn

ndt ssF sdt  L

quando todas as

condições

iniciais são nulas

)()(

sF sdt 

t  f d  L n

n

n

=

 

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Transformada da integral Transformada da integral 

P3:Integração real 

[ ] )(1

)(1

)( −= dt t  f sF dt t  f  L

Controle de Sistemas Mecânicos 

0=t ss

quando todas as

condições

iniciais são nulas [ ] ssF dt t  f  L )()( =∫ 

 

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Teorema do valor final Teorema do valor final 

P4:Valor Final 

[ ] )()( sF t  f  L =sedt 

df  L

e se

Controle de Sistemas Mecânicos 

)(lim

m

0sF s

s

∞→ex stem

)(lim)(lim 0 sF st  f  st  →∞→=

 

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Teorema do valor inicial Teorema do valor inicial 

P5:Valor Inicial 

[ ] )()( sF t  f  L =sedt df  L

e se

existe

m

Controle de Sistemas Mecânicos 

s ∞→

)(lim)(lim0

sF st  f st  ∞→→

=+

 

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Translação no tempo Translação no tempo 

P6:Translação Real ( u(t) é o degrau unitário) 

Se existe a TL F(s) de uma função  f(t)

Controle de Sistemas Mecânicos 

)()()( sF eT t uT t  f  L−

=−−

)()( T t uT t  f  −−

)(t  f 

 

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Funções periódicas Funções periódicas 

P7:Funções Periódicas 

)(t  f  função periódica

de período T

)(t  f 

Controle de Sistemas Mecânicos 

onde

)(1)( 1 sF et  f  L sT −−=

[ ])()(

11 t  f  LsF =

primeiro período de  f(t)

)(1 t  f 

)(1 t  f 

)(t  f 

 

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Diferenciação na freqüência Diferenciação na freqüência 

P8:Diferenciação complexa 

Se existe a TL F(s) de uma função  f(t)

Controle de Sistemas Mecânicos 

[ ] )()( sF ds

d t  f t  L −=

quando todas as condições iniciais são nulas

 

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Integração na freqüência Integração na freqüência 

P9:Integração complexa 

Se existe a TL F(s) de uma função  f(t) e dssF s

∫ ∞

∃ )( 

Controle de Sistemas Mecânicos 

σ  σ   d F 

t  f  L

s

∫ ∞

=

)(

)(

 

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Convolução no tempo Convolução no tempo 

P10:Transformada da convolução no tempo 

∫  −==t 

d t g f t gt  f t h0

)()()(*)()( τ τ τ 

Controle de Sistemas Mecânicos 

∫  =−t 

sGsF d t g f  L0

)()(])()([ τ τ τ 

[ ] )()( sF t  f  L =

se

[ ] )()( sGt g L =

 

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Exemplo 5.5: TL da função dente de serra Exemplo 5.5: TL da função dente de serra 

)(t  f 

 A

)(1t  f 

Controle de Sistemas Mecânicos 

)(1t  f 

t T 

 A

t T  t T 

 A− −

)(t ut T  A )()( T t uT t 

T  A −− )( T t u A

)()()()()(1 T t u AT t uT t T 

 At ut 

 At  f  −−−−−=

Primeir

o

período

 

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Continuação Exemplo 5.5 da TL Continuação Exemplo 5.5 da TL 

[ ] [ ] [ ] [ ]{ })()()()()()( 11T t uT  LT t uT t  Lt ut  L

 At  f  LsF  −−−−−==

[ ])()()()()(1 T t uT T t uT t t ut 

 At  f  −−−−−=

Controle de Sistemas Mecânicos 

[ ]2

11)(

ssds

d t ut  L =

 

  

 −=

[ ] 2

1

)]([)()( set tu LeT t uT t  L

sT sT  −−==−−

[ ]s

eT sU TeT t Tu LsT 

sT −

−==− )()(

 

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Continuação Exemplo 5.5 da TL Continuação Exemplo 5.5 da TL 

  

   −−=

seT 

se

sT  AsF 

sT 

sT 

22111)(

Controle de Sistemas Mecânicos 

)(1

1)( 1 sF e

sF sT −

−=

  

  

−−=−

sT 

sT 

eeTs

Ts AsF 

1)1(1)(

2

  

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TLI : Etapas para o cálculo TLI : Etapas para o cálculo 

1) desenvolver X(s) em frações parciais 

Encontrar asraízes de  D(s)

Escrever polinômiona forma fatorada

)()(

s N s X  =

)(

)()(s D

s N s X  =

Controle de Sistemas Mecânicos 

montar polinômios de grau 1 ou 2)(s pi

21 nr sr sr s −−− K

)()()(

)(

2

2

1

1

n

n

r s

r s

r s

C s X 

−++

−+

−= L

calcular as constantes iC 

2) Calcular a transformada inversa de cada termo

 

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Exemplo de raízes simples usando Exemplo de raízes simples usando 

MATLAB MATLAB 

Encontrar a TIL da expressão abaixo.

8484)(22

++=

++==

sssss N 

Controle de Sistemas Mecânicos 

Método: separar em frações parciais 

Sem MatLab calcular as co nstantes

Com MatLab usar o comando residue

)3)(2)(1(6116)(

23++++++sssssss D

 

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Solução Solução 

Usando os comandos: • ny=[1 4 8]; 

• dy=[1 6 11 6]; 

• [c p k]=residue(ny,dy); 

Obtém-se c = 2.5 -4 2.5 = -3 -2 -1 e k = 

Controle de Sistemas Mecânicos 

 

correspondendo a 

e portanto 

1

5.2

2

4

3

5.2

)(

)()(

++

+

−+

+==

ssss D

s N sY 

t t t eeet  y −−−

+−= 5.245.2)(23

syms s

ilaplace((s^2+4*s+8)/(s^3+6*s^2+11*s+6))

 

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Solução de equações diferenciais Solução de equações diferenciais 

A Transformada de Laplace facilita a solução de 

equações diferencias 

O resultado obtido é a solução completa 

Controle de Sistemas Mecânicos 

O método consiste em três passos: 

• Aplica a propriedade da TL da E.D.

• Decompõe a expressão resultante em termos simples 

• Calcula a transformada inversa 

 

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Exemplo de equação de 2a. ordem Exemplo de equação de 2a. ordem 

Encontrar a solução da equação abaixo: 

3)0(

0372

=

=++

 x

 x x x &&&

Controle de Sistemas Mecânicos 

Usando: 

0)0( = x&

[ ] )0()0()(

)0()(

)(

 x xssX s x

 xssX  x

s X  x

 L

 L

 L

&&&

&

−− →  

− →  

 →  

 

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Solução Solução 

Aplicando Laplace: 

Substituindo as condições iniciais: 

0)(3)0(7)(7)0(2)0(2)(2 2 =+−+−− s X  xssX sx xs X s &

2

Controle de Sistemas Mecânicos 

Separando em frações parciais: 

Encontrando a transformada inversa: 

3

6.0

5.0

6.3)(

+−

+=

sss X 

t t eet  x 35.0

6.06.3)(−−

−=

372

)(2 ++

=

ss

s X 

( )( )35.0

216)(

++

+=

ss

ss X 

 

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Transformada de Laplace SSO Transformada de Laplace SSO 

Da equação abaixo: 

0)0(

0012

=

=++

 y

ub ya ya ya &&&

Controle de Sistemas Mecânicos 

Calculando a TL: 

0)0( = y&

[ ] )0()0()(

)0()(

 y yssY s y

 yssY  y

 L

 L

&&&

&

−− →  

− →  

Lembrando Lembrando 

 

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Referência Referência 

Transformada de Laplace 

Ogata Capítulo 2 

Controle de Sistemas Mecânicos