Apostila Controle - 02 - Transformada de Laplace

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TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA DE LAPLACE Introduo Transformada de Laplace Propriedades da Transformada de LaplaceControle de Sistemas Mecnicos Propriedades da Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Definio da Funo de Transferncia Resposta ao impulso e FT Soluo de equaes diferenciais usando TLDefinio da Transformada de Laplace Definio da Transformada de LaplaceA transformada de Laplace de uma funo causal dada por:[ ]= = ) ( ) ( ) ( dt e t f s F t f LstControle de Sistemas Mecnicosonde s= +j a varivel livre que assume valores no plano complexo. Observe que o limite inferior inclui qualquer descontinuidade que ocorra no instante t = 0.[ ]= =0) ( ) ( ) ( dt e t f s F t f LExemplo 5.1: TL da exponencial Exemplo 5.1: TL da exponencial Calcular para[ ] ) (t f Ljc b a e t fat+ = =) ([ ] + = = =) () ( dt e dt e e e L s Ft a s st at atControle de Sistemas Mecnicos[ ] = = =0 0) ( dt e dt e e e L s F[ ]a s a sea ss Ft a s+= +=+=+ 11 01 1) (0) (Exemplo 5.2: TL do degrau unitrio Exemplo 5.2: TL do degrau unitrio Calcular para a funo degrau[ ] ) (t u L>=>=0se 0se00se10se0) (0t etttt utControle de Sistemas Mecnicos>> 0se0se1 t e t[ ]s se L s Ft101) (0=+= =ss F1) ( =Linearidade LinearidadeP1: A transformada de Laplace um operador linear[ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( t f L t f L t f t f L + = +Controle de Sistemas Mecnicos[ ] [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1 2 2 1 1t f L t f L t f t f L + = +[ ] ) ( ) ( ) ( ) (2 2 1 1 2 2 1 1s F s F t f t f L + = +Exemplo 5.3: TL da cossenide Exemplo 5.3: TL da cossenide Calcular para[ ] ) (t f L t t f cos ) ( =[ ]t j t je e t + =21cos

+ =) (21] [cost j t je e L t L Controle de Sistemas Mecnicos[ ] ) ( ) (21) (t j t je L e L s F + =2 2) ( +=sss F

++= j s j ss F1 121) (Exemplo 5.4: TL do impulso unitrio Exemplo 5.4: TL do impulso unitrio Calcular para a funo impulso unitrio[ ] ) (t L =00 0se00se1 ) (t tt t t t ft00t [ ] dt e t f t f L t L s Fstt t =

= =00 0) ( lim ) ( lim ) ( ) (0 0

Continuao Continuao

=

=001lim1 1limstees tsttstdt etdt e t f s Fstttstt = =00 0000001lim ) ( lim ) (Controle de Sistemas Mecnicos

=

= 000000 0lim limstes tt t1 lim1lim0000000= ssestesttsttAplicando LHpital:[ ] 1 ) ( = t LTransformada da derivada Transformada da derivadaP2:Diferenciao real (com relao varivel t)) 0 ( ) () ( =

f s sFdtt dfLgenerali||

| 1) ( ) (innt f d t f dControle de Sistemas Mecnicosgeneralizando|||

\| =

== 0101) () () (tiinii n nnndtt f ds s F sdtt f dLquando todas as condies iniciais so nulas) () (s F sdtt f dLnnn=

Transformada da integral Transformada da integralP3:Integrao real [ ] ) (1) (1) ( = dt t fss Fsdt t f LControle de Sistemas Mecnicos[ ]0 = ts squando todas as condies iniciais so nulas[ ]ss Fdt t f L) () ( =Teorema do valor final Teorema do valor finalP4:Valor Final [ ] ) ( ) ( s F t f L = se) ( lim t fdtdfL

e se existemControle de Sistemas Mecnicos) ( lim) ( lim0s F st fst existem) ( lim ) ( lim0s F s t fs t =Teorema do valor inicial Teorema do valor inicialP5:Valor Inicial [ ] ) ( ) ( s F t f L = se) ( lim s F sdtdfL

e se existemControle de Sistemas Mecnicos) ( lim s F ss ) ( lim ) ( lim0s F s t fst =+Translao no tempo Translao no tempoP6:Translao Real (u(t) o degrau unitrio) [ ] ) ( ) ( ) ( s F e T t u T t f LsT = Se existe a TL F(s) de uma funo f(t)Controle de Sistemas Mecnicos[ ] ) ( ) ( ) ( s F e T t u T t f LsT = t) ( ) ( T t u T t f ) (t fTFunes peridicas Funes peridicasP7:Funes Peridicas ) (t f[ ] ) (1) ( s F t f L =funo peridicade perodo T) (t fControle de Sistemas Mecnicosonde[ ] ) (11) (1s Fet f LsT =[ ] ) ( ) (1 1t f L s F =primeiro perodo de f(t)) (1t f) (1t f) (t fDiferenciao na freqncia Diferenciao na freqnciaP8:Diferenciao complexaSe existe a TL F(s) de uma funo f(t)Controle de Sistemas Mecnicos[ ] ) ( ) ( s Fdsdt f t L =quando todas as condies iniciais so nulasIntegrao na freqncia Integrao na freqnciaP9:Integrao complexaSe existe a TL F(s) de uma funo f(t) eds s Fs ) ( Controle de Sistemas Mecnicos d Ftt fLs=

) () (Convoluo no tempo Convoluo no tempo P10:Transformada da convoluo no tempo = =td t g f t g t f t h0) ( ) ( ) ( * ) ( ) ( Controle de Sistemas Mecnicos= ts G s F d t g f L0) ( ) ( ] ) ( ) ( [ [ ] ) ( ) ( s F t f L =se[ ] ) ( ) ( s G t g L =Exemplo 5.5: TL da funo dente de serra Exemplo 5.5: TL da funo dente de serraT) (t ftA) (1t fControle de Sistemas Mecnicos) (1t ftTAtTtTA) (t u tTA) ( ) ( T t u T tTA ) ( T t u A ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1T t u A T t u T tTAt u tTAt f =Primeiro perodoContinuao Exemplo 5.5 da TL Continuao Exemplo 5.5 da TL[ ] [ ] [ ] [ ] { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1T t u T L T t u T t L t u t LTAt f L s F = =[ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1T t u T T t u T t t u tTAt f =Controle de Sistemas Mecnicos[ ]21 1) (ss dsdt u t L =||

\| =[ ]21)] ( [ ) ( ) (se t tu L e T t u T t LsT sT = = [ ]seT s U Te T t Tu LsTsT= = ) ( ) (

Continuao Exemplo 5.5 da TL Continuao Exemplo 5.5 da TL||

\| =seTses TAs FsTsT2 211 1) (Controle de Sistemas Mecnicos) (11) (1s Fes FsT =||

\| =sTsTee TsTsAs F1) 1 ( 1) (2

TLI : Etapas para o clculoTLI : Etapas para o clculo 1) desenvolver X(s) em fraes parciaisEncontrar as razes de D(s)Escrever polinmio na forma fatorada) ( ) )( () () (r s r s r ss Ns X =K) () () (s Ds Ns X =Controle de Sistemas Mecnicosmontar polinmios de grau 1 ou 2) (s pi) ( ) )( () (2 1 nr s r s r ss X =K) ( ) ( ) () (2211nnr sCr sCr sCs X+ ++= Lcalcular as constantesiC2) Calcular a transformada inversa de cada termo Exemplo de razes simples usandoExemplo de razes simples usando MATLAB MATLABEncontrar a TIL da expresso abaixo.) 3 )( 2 )( 1 (8 46 11 68 4) () () (22 32+ + ++ +=+ + ++ += =s s ss ss s ss ss Ds Ns YControle de Sistemas MecnicosMtodo: separar em fraes parciaisSem MatLab calcular as constantesCom MatLab usar o comando residue) 3 )( 2 )( 1 ( 6 11 6 ) () (2 3+ + +=+ + += =s s s s s s s Ds YSoluo SoluoUsando os comandos: ny=[1 4 8]; dy=[1 6 11 6]; [c p k]=residue(ny,dy);Obtm-se c = [ 2.5 -4 2.5], p = [-3 -2 -1] e k = [ ], Controle de Sistemas MecnicosObtm-se c = [ 2.5 -4 2.5], p = [-3 -2 -1] e k = [ ], correspondendo ae portanto15 . 22435 . 2) () () (+++++= =s s s s Ds Ns Yt t te e e t y + = 5 . 2 4 5 . 2 ) (2 3syms silaplace((s^2+4*s+8)/(s^3+6*s^2+11*s+6))Soluo de equaes diferenciais Soluo de equaes diferenciais A Transformada de Laplace facilita a soluo de equaes diferencias O resultado obtido a soluo completaControle de Sistemas Mecnicos O mtodo consiste em trs passos: Aplica a propriedade da TL da E.D. Decompe a expresso resultante em termos simples Calcula a transformada inversaExemplo de equao de 2a. ordem Exemplo de equao de 2a. ordemEncontrar a soluo da equao abaixo:0 ) 0 (3 ) 0 (0 3 7 2=== + +xxx x x& & &Controle de Sistemas MecnicosUsando:0 ) 0 ( = x&[ ] ) 0 ( ) 0 ( ) () 0 ( ) () (x x s sX s xx s sX xs X xLLL& & && Soluo SoluoAplicando Laplace:Substituindo as condies iniciais:0 ) ( 3 ) 0 ( 7 ) ( 7 ) 0 ( 2 ) 0 ( 2 ) ( 22= + + s X x s sX sx x s X s&21 6 ) ( 3 ) ( 7 ) ( 22+ = + + s s X s sX s X s21 6) (+=ss XControle de Sistemas MecnicosSeparando em fraes parciais:Encontrando a transformada inversa:21 6 ) ( 3 ) ( 7 ) ( 2 + = + + s s X s sX s X s36 . 05 . 06 . 3) (++=s ss Xt te e t x3 5 . 06 . 0 6 . 3 ) ( =3 7 221 6) (2+ ++=s sss X( )( ) 3 5 . 021 6) (+ ++=s sss XTransformada de Laplace SSO Transformada de Laplace SSODa equao abaixo:0 ) 0 (0 0 1 2=== + +yu b y a y a y a& & &Controle de Sistemas MecnicosCalculando a TL:0 ) 0 ( = y&[ ] ) 0 ( ) 0 ( ) () 0 ( ) (y y s sY s yy s sY yLL& & && Lembrando LembrandoReferncia Referncia Transformada de LaplaceOgata Captulo 2Controle de Sistemas Mecnicos