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Formalismo de Projeção de Feshbach I: Boomerang Model e visão pictórica da Aniquilação Prof. Sergio d’Almeida Sanchez Departamento de Física - Universidade Federal do Paraná

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Formalismo de Projeção de Feshbach I: Boomerang Model

e visão pictórica da Aniquilação

Prof. Sergio d’Almeida Sanchez Departamento de Física - Universidade Federal do Paraná

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Motivação

C C H H

ħω = 2216 cm-1

μ = 3.63 g/mol

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O que a gente faz

Os núcleos são mantidos fixos durante todo processo de colisão!!!!!

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Aproximação Adiabática

Isso não significa que os núcleos não se movimentaram! Afinal, mesmo ocorrendo o espalhamento direto (sem aprisionamento temporário do elétron incidente), podemos ter excitação vibracional. A dinâmica nuclear pode ser levada em conta na chamada APROXIMAÇÃO ADIABÁTICA!

Função de onda de espalhamento

Função de onda eletrônica de

espalhamento

Auto-estado vibracional do alvo

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Aproximação Adiabática

A amplitude de espalhamento pode ser obtida através do elemento de matriz do potencial de interação entre a função de onda do problema livre e da função de onda de espalhamento:

Com:

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Aproximação Adiabática

F. Arretche et. al., NIMB 247 , 13 (2006)

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Por que podemos fazer isso??

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Queremos resolver o seguinte problema:

Com a condição de contorno de onda esférica saindo. O Formalismo de Projeção de Feshbach (FPF) se utiliza de dois projetores, tais que:

Os projetores atuam apenas nas coordenadas eletrônicas, de modo que:

Como são projetores, temos que:

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Vamos usar os projetores na Eq. de Schroedinger:

com

Vamos projetar a equação no espaço e no espaço :

Com:

Pela própria definição, o operador é um operador de curto alcance. O comportamento assintótico da função de onda de espalhamento é dada pela função projetada no espaço

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Podemos reescrever a equação para

E substituir na expressão de :

Espalhamento direto ou de background

Espalhamento ressonante

Caso típico de um espalhamento por dois potenciais!!! Não vou revisar a literatura no assunto, mas basta dizer que, como resultado, temos:

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Espalhamento direto ou de background

Espalhamento ressonante

O primeiro termo podemos resolver usando a aproximação adiabática. O segundo, não sabemos nada!!!!! Então vamos analisar com calma o segundo e usar que:

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Ou ainda

Com o termo de acoplamento discreto-contínuo dado por:

Vamos agora analisar a física por trás desse acoplamento!!! Para tal, precisamos analisar que sabemos sobre a função de onda dos núcleos na ressonância! Ou seja, vamos procurar uma equação para

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Vamos partir da equação de para chegar à solução de e, consequentemente obter uma equação para

Substituindo na equação para

com

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Projetando sobre

Onde eu considero a existência de um único estado ressonante, associado à energia

Agora, DÁ-LHE CONTA! Inserimos na expressão acima

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

E depois de conta....e conta....e conta....chegamos a uma expressão não-local, complexa e dependente da energia simples

Onde eu tenho que

OK! Ela não é simples....nem um pouco simples! Vamos fazer algumas aproximações, que nos levarão ao Boomerang Model! 1) O alvo possui uma diferença de energia entre níveis vibracionais vizinhos bem menor que a energia da partícula incidente, i.e., vamos desprezar a dependência de com respeito aos níveis vibracionais.

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2) Vamos considerar que infinitos modos vibracionais estão presentes na solução do problema. Isso, juntamente com a aprox. (1) nos permite escrever

Isso reduz a expressão anterior a uma expressão local, porém ainda dependente da energia:

Onde tenho que:

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

AVANÇAMOS MUITO! MAS AINDA TÁ COMPLICADO! 3) Vamos considerar que é independente da energia. Isso fere a Lei de Threshold de Wigner e implica que a probabilidade de captura é a mesma para toda faixa de energia (o que sabemos que não é verdade!). Mas temos que resolver de algum jeito.....então façamos assim! Próximo seminário mostro como mudaremos isso....

Agora sim, podemos escrever uma equação fácil para

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Onde temos um potencial complexo dado por

E uma contribuição à energia da ressonância advinda do acoplamento do estado ressonante com o contínuo

A solução para é então dada por:

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Vamos voltar a nossa equação para a amplitude de espalhamento ressonante e substituir o nosso resultado!

Ou ainda

E obtemos

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O Formalismo de Projeção de Feshbach

Numa aproximação de núcleos fixos,

Mas onde você quer chegar??? Me acompanhem.....quando eu falei de aprox. adiabática, eu falei que:

Logo....

Mas por que você está trabalhando em núcleos fixos? Por que eu quero sair da expressão geral e chegar na expressão da seção de choque na aprox. de núcleos fixos!!!!! Que me dá....

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Quando que essa seção de choque é máxima??? Quando que ela vale metade do seu valor máximo???

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A resolução dependente do tempo

Obtivemos a equação:

A amplitude de espalhamento ressonante

Pode ser reescrita como

Onde eu utilizei a transformada de Fourier para fazer a amplitude num formalismo dependente do tempo. Notem que a amplitude de espalhamento ressonante é dada pelo overlap do pacote de onda do potencial complexo e o pacote de onda estacionário, determinado pelo estado vibracional final do alvo neutro!!!!!!!!!!

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A resolução dependente do tempo

Logo, temos que resolver a equação de Schroedinger:

Com a condição inicial que

Érika, como resolvemos essa equação??????????????

Aqui temos uma complicação que é o fato do potencial ser complexo! O pacote de onda desaparecerá em t -> infinito, que corresponde ao decaimento da ressonância para o contínuo!!!

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Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)

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Ressonância de caroço excitado , associado ao estado

Ressonância de Feshbach associada ao estado

Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)

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Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)

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Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)

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Propriedades analíticas da Matriz S

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A aniquilação de Pósitrons

Vamos dar uma visão pictórica do processo de aniquilação de pósitrons em ambientes moleculares, usando o conceito do formalismo de projeção de Feshbach.

O pósitron, do contínuo, é capturado num estado eletrônico discreto, que chamaremos de

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A aniquilação de Pósitrons

Os núcleos vão se mover numa curva de energia potencial complexa do composto pósitron+molécula

Com condição inicial

Essa equação pode ser facilmente resolvida se soubermos resolver o problema vibracional do composto

De modo que

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A aniquilação de Pósitrons

Fazendo uma transformação para o espaço de energia

Substituindo essa expressão para o cálculo do parâmetro de aniquilação, temos

Isso foi obtido usando apenas um modo vibracional e todas as aproximações do usadas no Boomerang Model. Elas são muito mais drásticas aqui. Mas podemos ter a idéia que picos no parâmetro de aniquilação vem da dinâmica nuclear na curva de potencial do estado metaestável.

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A aniquilação de Pósitrons

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Cenas do próximo capítulo....

Vamos nos focar em “consertar” as aproximações mais fortes, fazendo um modelo não-local e dependente da energia! Vamos analisar como ficam as excitações vibracionais nesse formalismo! Como que podemos obter a seção de choque de dissociação! Como que fica a aniquilação. Contudo, aviso de antemão, que vou usar que vocês aprenderam absolutamente tudo sobre o assunto mostrado hoje! Até semana que vem!!!!