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Formalismo de Projeção de Feshbach I: Boomerang Model
e visão pictórica da Aniquilação
Prof. Sergio d’Almeida Sanchez Departamento de Física - Universidade Federal do Paraná
Motivação
C C H H
ħω = 2216 cm-1
μ = 3.63 g/mol
O que a gente faz
Os núcleos são mantidos fixos durante todo processo de colisão!!!!!
Aproximação Adiabática
Isso não significa que os núcleos não se movimentaram! Afinal, mesmo ocorrendo o espalhamento direto (sem aprisionamento temporário do elétron incidente), podemos ter excitação vibracional. A dinâmica nuclear pode ser levada em conta na chamada APROXIMAÇÃO ADIABÁTICA!
Função de onda de espalhamento
Função de onda eletrônica de
espalhamento
Auto-estado vibracional do alvo
Aproximação Adiabática
A amplitude de espalhamento pode ser obtida através do elemento de matriz do potencial de interação entre a função de onda do problema livre e da função de onda de espalhamento:
Com:
Aproximação Adiabática
F. Arretche et. al., NIMB 247 , 13 (2006)
Por que podemos fazer isso??
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Queremos resolver o seguinte problema:
Com a condição de contorno de onda esférica saindo. O Formalismo de Projeção de Feshbach (FPF) se utiliza de dois projetores, tais que:
Os projetores atuam apenas nas coordenadas eletrônicas, de modo que:
Como são projetores, temos que:
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Vamos usar os projetores na Eq. de Schroedinger:
com
Vamos projetar a equação no espaço e no espaço :
Com:
Pela própria definição, o operador é um operador de curto alcance. O comportamento assintótico da função de onda de espalhamento é dada pela função projetada no espaço
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Podemos reescrever a equação para
E substituir na expressão de :
Espalhamento direto ou de background
Espalhamento ressonante
Caso típico de um espalhamento por dois potenciais!!! Não vou revisar a literatura no assunto, mas basta dizer que, como resultado, temos:
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Espalhamento direto ou de background
Espalhamento ressonante
O primeiro termo podemos resolver usando a aproximação adiabática. O segundo, não sabemos nada!!!!! Então vamos analisar com calma o segundo e usar que:
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Ou ainda
Com o termo de acoplamento discreto-contínuo dado por:
Vamos agora analisar a física por trás desse acoplamento!!! Para tal, precisamos analisar que sabemos sobre a função de onda dos núcleos na ressonância! Ou seja, vamos procurar uma equação para
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Vamos partir da equação de para chegar à solução de e, consequentemente obter uma equação para
Substituindo na equação para
com
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Projetando sobre
Onde eu considero a existência de um único estado ressonante, associado à energia
Agora, DÁ-LHE CONTA! Inserimos na expressão acima
O Formalismo de Projeção de Feshbach
E depois de conta....e conta....e conta....chegamos a uma expressão não-local, complexa e dependente da energia simples
Onde eu tenho que
OK! Ela não é simples....nem um pouco simples! Vamos fazer algumas aproximações, que nos levarão ao Boomerang Model! 1) O alvo possui uma diferença de energia entre níveis vibracionais vizinhos bem menor que a energia da partícula incidente, i.e., vamos desprezar a dependência de com respeito aos níveis vibracionais.
O Formalismo de Projeção de Feshbach
2) Vamos considerar que infinitos modos vibracionais estão presentes na solução do problema. Isso, juntamente com a aprox. (1) nos permite escrever
Isso reduz a expressão anterior a uma expressão local, porém ainda dependente da energia:
Onde tenho que:
O Formalismo de Projeção de Feshbach
AVANÇAMOS MUITO! MAS AINDA TÁ COMPLICADO! 3) Vamos considerar que é independente da energia. Isso fere a Lei de Threshold de Wigner e implica que a probabilidade de captura é a mesma para toda faixa de energia (o que sabemos que não é verdade!). Mas temos que resolver de algum jeito.....então façamos assim! Próximo seminário mostro como mudaremos isso....
Agora sim, podemos escrever uma equação fácil para
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Onde temos um potencial complexo dado por
E uma contribuição à energia da ressonância advinda do acoplamento do estado ressonante com o contínuo
A solução para é então dada por:
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Vamos voltar a nossa equação para a amplitude de espalhamento ressonante e substituir o nosso resultado!
Ou ainda
E obtemos
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Numa aproximação de núcleos fixos,
Mas onde você quer chegar??? Me acompanhem.....quando eu falei de aprox. adiabática, eu falei que:
Logo....
Mas por que você está trabalhando em núcleos fixos? Por que eu quero sair da expressão geral e chegar na expressão da seção de choque na aprox. de núcleos fixos!!!!! Que me dá....
O Formalismo de Projeção de Feshbach
Quando que essa seção de choque é máxima??? Quando que ela vale metade do seu valor máximo???
A resolução dependente do tempo
Obtivemos a equação:
A amplitude de espalhamento ressonante
Pode ser reescrita como
Onde eu utilizei a transformada de Fourier para fazer a amplitude num formalismo dependente do tempo. Notem que a amplitude de espalhamento ressonante é dada pelo overlap do pacote de onda do potencial complexo e o pacote de onda estacionário, determinado pelo estado vibracional final do alvo neutro!!!!!!!!!!
A resolução dependente do tempo
Logo, temos que resolver a equação de Schroedinger:
Com a condição inicial que
Érika, como resolvemos essa equação??????????????
Aqui temos uma complicação que é o fato do potencial ser complexo! O pacote de onda desaparecerá em t -> infinito, que corresponde ao decaimento da ressonância para o contínuo!!!
Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)
Ressonância de caroço excitado , associado ao estado
Ressonância de Feshbach associada ao estado
Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)
Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)
Ressonância de Feshbach do H2 (~11 eV)
Propriedades analíticas da Matriz S
A aniquilação de Pósitrons
Vamos dar uma visão pictórica do processo de aniquilação de pósitrons em ambientes moleculares, usando o conceito do formalismo de projeção de Feshbach.
O pósitron, do contínuo, é capturado num estado eletrônico discreto, que chamaremos de
A aniquilação de Pósitrons
Os núcleos vão se mover numa curva de energia potencial complexa do composto pósitron+molécula
Com condição inicial
Essa equação pode ser facilmente resolvida se soubermos resolver o problema vibracional do composto
De modo que
A aniquilação de Pósitrons
Fazendo uma transformação para o espaço de energia
Substituindo essa expressão para o cálculo do parâmetro de aniquilação, temos
Isso foi obtido usando apenas um modo vibracional e todas as aproximações do usadas no Boomerang Model. Elas são muito mais drásticas aqui. Mas podemos ter a idéia que picos no parâmetro de aniquilação vem da dinâmica nuclear na curva de potencial do estado metaestável.
A aniquilação de Pósitrons
Cenas do próximo capítulo....
Vamos nos focar em “consertar” as aproximações mais fortes, fazendo um modelo não-local e dependente da energia! Vamos analisar como ficam as excitações vibracionais nesse formalismo! Como que podemos obter a seção de choque de dissociação! Como que fica a aniquilação. Contudo, aviso de antemão, que vou usar que vocês aprenderam absolutamente tudo sobre o assunto mostrado hoje! Até semana que vem!!!!