Funciones trigonometricas (parte 1)

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

José David Ojeda Marín

Funciones Trigonométricas

• Si θ es un Angulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, deferente de O(0,0), se cumple que y se definen las funciones trigonométricas para el ángulo θ de la siguiente manera:


θ

r

x

y

P(x,y)


• Según lo anterior se obtienen las siguientes relaciones reciprocas


• Ejemplo: Si α es un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4, -2) determinar los valores las funciones seno, coseno y tangente.

Solución:Como x = 4 & y = -2, entonces


• Dada las definiciones de las funciones trigonométricas, tenemos:


• A partir de los valores encontrados anteriormente, determinar el valor de las funciones cosecante, secante y cotangente de α.

Como:

Entonces:


Aplicamos lo mismo para las otras dos funciones:


• Ejercicio 2: Si y hallar el valor de las demás funciones

trigonométricas : Solución:Puesto que , entonces,

. Además ,

entonces

3x

2r

1y


• Por lo anterior:

Signo de las funciones trigonométricas de un

ángulo en posición normal


• Para determinar el signo de las funciones trigonometricas se debe analizar el comportamiento de r, x y y.

• Obsérvese que:

siempre es positivo

Por tanto x y y varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren


• Por lo anterior, el signo del valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo, depende de los signos de x y y

• El siguiente cuadro resume los signos de las funciones del ángulo θ en posición normal, para los diferentes cuadrantes en los que puede estar ubicado el lado final del mismo


CuadranteSen

θCos θ

Tan θ

Cot θSec θ

Csc θ

I + + + + + +II + - - - - +III - - + + - -IV - + - - + -

Funciones trigonométricas de los ángulos con su lado

final en los semiejes


• Los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano, se llaman ángulos cuadrantales.

• Se debe considerar que sobre el lado final de un angulo cuadrantal, se encuentran algunos de los puntos (r, 0); (0, r); (- r, 0); (0, - r)


• En la siguiente tabla se resumen los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos entre 0° y 360°


Angulo

Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ

0 0 1 0 Ind 1 Ind90 1 0 Ind 1 Ind 0

180 0 -1 0 Ind -1 Ind270 -1 0 Ind -1 Ind 0360 0 1 0 Ind 1 Ind

Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo


θ

r

A

P(x,y)

HipotenusaCateto Opuesto

Cateto Adyasente

O


• En la figura anterior se observa el ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el primer cuadrante y un punto P ubicado sobre el, el segmento PA es perpendicular al eje x, por tanto el triangulo OPA es rectángulo; para este triangulo OP es la hipotenusa y PA y OA son los catetos.

Funciones Trigonométricas• De acuerdo con su posición con

respecto al angulo θ, los catetos se clasifican en.

PA : Cateto opuesto al ángulo θ

OA : Cateto adyacente al ángulo θ


A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para los ángulos en posición normal, se definen las relaciones trigonométricas en un triangulo rectángulo así:


• Ejemplo: De acuerdo con la información de la figura, determinar el valor de las razones trigonométricas del ángulo θ.

θ

53

4


• Solución:


• Ejercicio 2: Determinar las razones trigonométricas para el ángulo φ

4

2

h

φ


• Solución: Primero calculamos el valor de la hipotenusa:

• Ahora calculamos los valores de las razones trigonométricas


2 5

52 5

4 2 5cos

52 5

2 1tan

4 2

cateto opuestosen

hipotenusa

cateto adyasentehipotenusa

cateto opuestocateto adyasente


4cot 2

2

2 5 5csc

4 2

2 5sec 5

2

cateto adyasentecateto opuesto

hipotenusacateto adyasente

hipotenusacateto opuesto

Funciones Trigonométricas• Ejercicios:1.Determinar las funciones

trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto:

a. P(2, 5)b. P(-3, 6)c. P(4, -2)d. P(7, -4)

f. P(0, -4)g. P(1, 8)h. P(-7, -2)i. P(-2, -6)

Funciones Trigonométricas2. Determinar el valor de las funciones

trigonométricas de cada uno de los ángulos θ en los siguientes triángulos rectángulos

5

7

3

6

2

4

9

4

5

8

3

2

5

6

h

h

hh

h

h

h

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

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