Razones trigonometricas de angulos agudos
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ghary-garcia-salvatierra -
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RUBÉN ALVA CABRERARUBÉN ALVA [email protected]
TEOREMA DE PITÁGORAS
A
B C
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2(CATETO) (CATETO)+ = 2(HIPOTENUSA)
3
45 512
1320
21 29
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
q=q CatetoOpuestoa
senHipotenusa
θθ = CatetoAdyacenteacosHipotenusa
θ =θ
Hipotenusasec
CatetoAdyacenteaθ =
θHipotenusa
cscCatetoOpuestoa
θθ =θ
CatetoAdyacenteacot
CatetoOpuestoa
θθ =θ
CatetoOpuestoatan
CatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
θCATETO ADYACENTE A
θHIPOTENUSA
θ
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
12
35
H2 2 2H 12 35= +
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369= = 37
senθ =
cos θ =
tanθ =12373537
1235
cot θ =
sec θ =
csc θ =3512
37353712
EJEMPLO :
EJEMPLO :Sabiendo que θ es un ángulo agudo tal que senθ=2/3.....
23
θ
θ
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
1sencsc
θ =θ
1cossec
θ =θ
1tancot
θ =θ
EJEMPLOS
o1A)
sen36ocsc36= o
1B)cos17
osec17=
sen csc 1θ θ = cos sec 1θ θ = tan cot 1θ θ =
D)sen2 csc2θ θ 1=o oC)tan49 cot49 1=oE)cos63 sec θ 1= o63θ =
F)tan2 cot 1φ θ = 2φ = θ
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
θ
φ senθ = cos φ
cos θ =
tanθ =
senφcot φ
a
b ccot θ =sec θ =
csc θ =
tanφ
csc φ
sec φ
EJEMPLOSoA)sen25 =oB)tan43 =oC)sec60 =
ocos65ocot47ocsc30
...............
...............
...............
o o O25 65 90+ =o o O43 47 90+ =o o O60 30 90+ =
oD)sen cos20θ =o O20 90θ + = o70θ =
E)tan5 cotα = αo5 90α + α = o15α =
F)sen5π = ÷ cos θ
5 2π πθ + =
2 5π πθ = −
3 rad10
πθ =
TRIÁNGULOS NOTABLES
1 2
3
o30 (
)
O60 1
1
2
o45
o45
(
)3
4
5o37
o53
(
)
osen30 = 12
otan60 = 3
osec 45 = 2 ocot 37 = 43
otan30 = 13
3x3
33
=
osen45 = 12
2x2
22
=
))
((o30
o37 o45θ
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cot θ
83 3cot
4θ =
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
θ
θ
HHsenθ
Hcos θ
Lsec θL tanθ
L
5o62
o5sen62
o5cos62
8β
8tanβ8secβ
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO θ
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDOθ
Lθ
Lcot θ
Lcsc θk
o24
ok csc24
ok cot24EJEMPLO
α
θ)
)
mCalcular L en términos de m α y θ;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDOθ
SOLUCIÓNα
θ
m
mtanαLL mtan
m+ α = cot θ L mtan+ α = mcot θ
L mcot mtan= θ − α L = m(cot tan )θ − αNOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
αF
yF
xF X
Y
xF Fcos= α
yF Fsen= α
ÁREA DEL TRIÁNGULO
A B
C
ab
c
abS senC2
=
bcS senA2
=
acS senB2
=
EJEMPLO
5m
8m
O60
o(5)(8)S sen602
=
(5)(8) 3S ( )2 2
= 210 3m=
ÁNGULOS VERTICALESLos ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual
αθ
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL
VISUAL
VISUAL
))
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN
) ) o37O53
70
12k 12k
) O539k) o37
16k+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
ÁNGULOS HORIZONTALESLos ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O).
DIRECCIÓNLa dirección de B respecto de A es E30N o N60E o
La dirección de C respecto de A es
oS56 O S34O o
o
o
RUMBOEl rumbo de Q respecto de P
o47El rumbo de M respecto de P
o27 al este del sur
al oeste del norte
N
S
EO
O30
O56A
B
C
EO
S
N
P
Qo47
o27
M
)(
()
ROSA NÁUTICAGráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o1511En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o3022
N
S
EO
NNE
ENE
NNO
ONO
OSO
SSO
ESE
SSE
NENO
SO SE
Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.
E
NE
NNNE
ENENE41E
E41NE
NE41N
N41NENNO
NO41N
N41NO
NOO41NO
ONONO41O
O
¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones NE1/ 4N y NO1/ 4O ?
Rpta. o90
Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN N
S
EO
o53 )
o45
o45
4040 2
60
x
o37
24
3216
40 20 12
16
OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR
ROJO ES NOTABLE
X = 20
F
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico)
θ2θ
2θ
a
bc
c))
(
) 2θ
tan2θ = ÷
bc a
=+
c ab−
+
EJEMPLO :Sabiendo que : tan 8θ=24/7, calcula tan2θ
SOLUCIÓN
8θ
24
7
25
4θ25
24tan425 7
θ =+
24tan432
θ =
3tan44
θ =
4θ 2θ
3
4
5
5
3tan29
θ = 1tan23
θ =
(
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