Razones trigonometricas de angulos agudos

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RUBÉN ALVA CABRERA RUBÉN ALVA CABRERA [email protected]

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RUBÉN ALVA CABRERARUBÉN ALVA [email protected]

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Page 3: Razones trigonometricas de angulos agudos

TEOREMA DE PITÁGORAS

A

B C

CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

2 2(CATETO) (CATETO)+ = 2(HIPOTENUSA)

3

45 512

1320

21 29

Page 4: Razones trigonometricas de angulos agudos

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS

q=q CatetoOpuestoa

senHipotenusa

θθ = CatetoAdyacenteacosHipotenusa

θ =θ

Hipotenusasec

CatetoAdyacenteaθ =

θHipotenusa

cscCatetoOpuestoa

θθ =θ

CatetoAdyacenteacot

CatetoOpuestoa

θθ =θ

CatetoOpuestoatan

CatetoAdyacentea

CATETO

OPUESTO

A

θCATETO ADYACENTE A

θHIPOTENUSA

θ

SENO COSENO

TANGENTE COTANGENTE

SECANTE COSECANTE

Page 5: Razones trigonometricas de angulos agudos

12

35

H2 2 2H 12 35= +

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369= = 37

senθ =

cos θ =

tanθ =12373537

1235

cot θ =

sec θ =

csc θ =3512

37353712

EJEMPLO :

EJEMPLO :Sabiendo que θ es un ángulo agudo tal que senθ=2/3.....

23

θ

θ

Page 6: Razones trigonometricas de angulos agudos

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

1sencsc

θ =θ

1cossec

θ =θ

1tancot

θ =θ

EJEMPLOS

o1A)

sen36ocsc36= o

1B)cos17

osec17=

sen csc 1θ θ = cos sec 1θ θ = tan cot 1θ θ =

D)sen2 csc2θ θ 1=o oC)tan49 cot49 1=oE)cos63 sec θ 1= o63θ =

F)tan2 cot 1φ θ = 2φ = θ

Page 7: Razones trigonometricas de angulos agudos

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

PROPIEDAD :

“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”

θ

φ senθ = cos φ

cos θ =

tanθ =

senφcot φ

a

b ccot θ =sec θ =

csc θ =

tanφ

csc φ

sec φ

Page 8: Razones trigonometricas de angulos agudos

EJEMPLOSoA)sen25 =oB)tan43 =oC)sec60 =

ocos65ocot47ocsc30

...............

...............

...............

o o O25 65 90+ =o o O43 47 90+ =o o O60 30 90+ =

oD)sen cos20θ =o O20 90θ + = o70θ =

E)tan5 cotα = αo5 90α + α = o15α =

F)sen5π = ÷ cos θ

5 2π πθ + =

2 5π πθ = −

3 rad10

πθ =

Page 9: Razones trigonometricas de angulos agudos

TRIÁNGULOS NOTABLES

1 2

3

o30 (

)

O60 1

1

2

o45

o45

(

)3

4

5o37

o53

(

)

osen30 = 12

otan60 = 3

osec 45 = 2 ocot 37 = 43

otan30 = 13

3x3

33

=

osen45 = 12

2x2

22

=

Page 10: Razones trigonometricas de angulos agudos

))

((o30

o37 o45θ

4 3

4

3 3

3 3

CALCULAR : cot θ

83 3cot

4θ =

Page 11: Razones trigonometricas de angulos agudos

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

θ

θ

HHsenθ

Hcos θ

Lsec θL tanθ

L

5o62

o5sen62

o5cos62

8tanβ8secβ

CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO θ

CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDOθ

Page 12: Razones trigonometricas de angulos agudos

Lcot θ

Lcsc θk

o24

ok csc24

ok cot24EJEMPLO

α

θ)

)

mCalcular L en términos de m α y θ;

L

CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDOθ

Page 13: Razones trigonometricas de angulos agudos

SOLUCIÓNα

θ

m

mtanαLL mtan

m+ α = cot θ L mtan+ α = mcot θ

L mcot mtan= θ − α L = m(cot tan )θ − αNOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR

αF

yF

xF X

Y

xF Fcos= α

yF Fsen= α

Page 14: Razones trigonometricas de angulos agudos

ÁREA DEL TRIÁNGULO

A B

C

ab

c

abS senC2

=

bcS senA2

=

acS senB2

=

EJEMPLO

5m

8m

O60

o(5)(8)S sen602

=

(5)(8) 3S ( )2 2

= 210 3m=

Page 15: Razones trigonometricas de angulos agudos

ÁNGULOS VERTICALESLos ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual

αθ

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

Page 16: Razones trigonometricas de angulos agudos

Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?

EJEMPLO :

SOLUCIÓN

) ) o37O53

70

12k 12k

) O539k) o37

16k+

9k +70 = 16k k = 10 H = 120

=H

Page 17: Razones trigonometricas de angulos agudos

ÁNGULOS HORIZONTALESLos ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O).

DIRECCIÓNLa dirección de B respecto de A es E30N o N60E o

La dirección de C respecto de A es

oS56 O S34O o

o

o

RUMBOEl rumbo de Q respecto de P

o47El rumbo de M respecto de P

o27 al este del sur

al oeste del norte

N

S

EO

O30

O56A

B

C

EO

S

N

P

Qo47

o27

M

)(

()

Page 18: Razones trigonometricas de angulos agudos

ROSA NÁUTICAGráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o1511En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o3022

N

S

EO

NNE

ENE

NNO

ONO

OSO

SSO

ESE

SSE

NENO

SO SE

Page 19: Razones trigonometricas de angulos agudos

Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.

E

NE

NNNE

ENENE41E

E41NE

NE41N

N41NENNO

NO41N

N41NO

NOO41NO

ONONO41O

O

¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones NE1/ 4N y NO1/ 4O ?

Rpta. o90

Page 20: Razones trigonometricas de angulos agudos

Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ?

EJEMPLO :

SOLUCIÓN N

S

EO

o53 )

o45

o45

4040 2

60

x

o37

24

3216

40 20 12

16

OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR

ROJO ES NOTABLE

X = 20

F

Page 21: Razones trigonometricas de angulos agudos

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico)

θ2θ

a

bc

c))

(

) 2θ

tan2θ = ÷

bc a

=+

c ab−

+

Page 22: Razones trigonometricas de angulos agudos

EJEMPLO :Sabiendo que : tan 8θ=24/7, calcula tan2θ

SOLUCIÓN

24

7

25

4θ25

24tan425 7

θ =+

24tan432

θ =

3tan44

θ =

4θ 2θ

3

4

5

5

3tan29

θ = 1tan23

θ =

(

Page 23: Razones trigonometricas de angulos agudos

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