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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS1. FUNCIN SENO.La funcin seno y = sen x se define asignando a cada valor del ngulo x (expresado en grados o radianes) su razn trigonomtrica seno. Con ayuda de la calculadora construimos una tabla de valores y representamos la funcin en el intervalo [0, 2]: x (grados) 0-360 30 45 x (rad.) sen x 0 0 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330

6

4

3

21

2 3

3 4

5 6

0

7 6

5 4

4 3

3 21

5 3

7 4

11 6

05 071 087

087 071 05

05 071 087

087 071 05

Observando la grfica, se deducen las siguientes propiedades: La funcin seno y = sen x tiene las siguientes propiedades: El dominio es el conjunto de los nmeros reales R. La imagen es el intervalo [1, 1]. Es continua en todo su dominio. Es una funcin peridica, ya que sen (x + 2) = sen x. El periodo es T = 2. Por esta razn slo la estudiaremos en el intervalo [0, 2]. En general, sen x = sen (x + 2) = sen (x + 4) = Es simtrica respecto del origen de coordenadas (simetra impar) ya que sen (x) = sen x. El valor mximo es 1 y lo alcanza en x = /2; su valor mnimo es 1 y lo alcanza en x = 3/2 (recuerda que 1 sen x 1). Es creciente en los intervalos [0, /2] y [3/2, 2], y decreciente en el intervalo [/2, 3/2].

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Cuando la funcin y = sen x se considera definida en todo R, se observa que su grfica es una repeticin del tramo que hay en el intervalo [0, 2]. Observa la siguiente representacin de y = sen x en el intervalo [4, 4]:

2. FUNCIN COSENO.La funcin coseno y = cos x se define asignando a cada valor del ngulo x (expresado en grados o radianes) su razn trigonomtrica coseno. Con ayuda de la calculadora construimos una tabla de valores y representamos la funcin en el intervalo [0, 2]: x (grados) 0-360 30 x (rad.) cos x 0 1 45 60 90 120 135 150 180 210 1 225 240 270 300 315 330

6

4

3

20

2 3

3 4

5 6

7 6

5 4

4 3

3 20

5 3

7 4

11 6

087 071 05

05 071 087

087 071 05

05 071 087

Observando la grfica, se deducen las siguientes propiedades: La funcin coseno y = cos x tiene las siguientes propiedades: El dominio es el conjunto de los nmeros reales R. La imagen es el intervalo [1, 1]. Es continua en todo su dominio. Es una funcin peridica, ya que cos (x + 2) = cos x. El periodo es T = 2. Por esta razn slo la estudiaremos en el intervalo [0, 2]. En general, cos x = cos (x + 2) = cos (x + 4) = Es simtrica respecto del eje de ordenadas (simetra par) ya que cos (x) = cos x. El valor mximo es 1 y lo alcanza en x = 0; su valor mnimo es 1 y lo alcanza en x = (recuerda que 1 cos x 1). Es creciente en el intervalo [, 2] y decreciente en el intervalo [0, ].

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Cuando la funcin y = cos x se considera definida en todo R, se observa que su grfica es una repeticin del tramo que hay en el intervalo [0, 2]. Tienes a continuacin la representacin de y = cos x en el intervalo [4, 4]:

3. FUNCIN TANGENTE.La funcin tangente y = tg x se define asignando a cada valor del ngulo x (expresado en grados o radianes) su razn trigonomtrica tangente. Con ayuda de la calculadora construimos una tabla de valores y representamos la funcin en el intervalo [0, 2]: x (grados) 0-360 30 45 60 90 120 x (rad.) tg x 0 0 135 150 180 210 225 240 270 300 0 315 330

6058

41

3173

2

2 3173

3 41

5 6058

7 6058

5 41

4 3173

3 2

5 3173

7 41

11 6058

En x = 90 y x = 270 la funcin no est definida, ya que no existe la tangente en esos puntos.

Observando la grfica, se deducen las siguientes propiedades: La funcin tangente y = tg x tiene las siguientes propiedades: El dominio es el conjunto R { /2, 3/2, 5/2, }. La imagen es el conjunto de R los nmeros reales. Es continua en todo su dominio. Es una funcin peridica, ya que tg (x + ) = tg x. El periodo es T = . Por esta razn slo habra que estudiarla en el intervalo [0, ]. En general, tg x = tg (x + ) = tg (x + 2) = tg (x + 3) = Es simtrica respecto del origen de coordenadas (simetra impar) ya que tg (x) = tg x. Es estrictamente creciente en todo su dominio; por tanto, no tiene ni mximos ni mnimos. La recta x = /2 es una asntota vertical.

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Por ser una funcin peridica de periodo , la funcin y = tg x en el intervalo [2, 2] tendra la siguiente grfica:

EJERCICIOS1. A partir de las grficas y = sen x e y = cos x, cmo sern las grficas de las funciones y = | sen x | e y = | cos x |? 2. Halla el dominio de las siguientes funciones en el periodo principal. a) y = 1 sen x d) y = 1 sen x2

b) y = 1+ cos x e) y = 1 + cos x2

c) y = 1 2 sen x f) y = 1 + tg 2 x c) f (x) = x sen x

3. Estudia la simetra de las siguientes funciones. a) f (x) = x3 + sen x + tg x b) f (x) = | sen x | + cos x d) f (x) = sen x + cos x e) f (x) = sen2 x + cos2 x

4. OBTENCIN DE GRFICAS A PARTIR DE LAS GRFICAS DE y = sen x, y = cos x.4.1. Mediante traslaciones. Traslaciones verticales. A partir de la grfica de la funcin y = sen x, representamos las funciones y = sen x + 3 e y = sen x 1. Para la funcin y = sen x + 3 sumaremos a cada ordenada de la funcin y = sen x tres unidades. Anlogamente, restaremos una unidad a la funcin y = sen x para obtener la grfica de y = sen x 1. Por tanto, las grficas son:

Traslacin vertical hacia arriba de 3 unidades Imagen: [2, 4]

Traslacin vertical hacia debajo de 1 unidad Imagen: [2, 0]

Las grficas de y = sen x + k e y = cos x + k se obtienen trasladando las grficas de sen x y cos x verticalmente k unidades hacia arriba (k > 0) o hacia abajo (k < 0). La imagen de estas funciones es el intervalo [1 + k, 1 + k].

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Traslaciones horizontales. A partir de la grfica de la funcin y = sen x, representamos las funciones y = sen (x ) e y = sen (x + ). Para la funcin y = sen (x ) el nuevo origen es x = , con lo que la grfica de y = sen (x ) se obtiene trasladando horizontalmente unidades hacia la derecha la grfica de y = sen x. Las grficas son:

Traslacin horizontal hacia la derecha de unidades

Traslacin horizontal hacia la izquierda de unidades

Las grficas de y = sen (x + k) e y = cos (x + k) se obtienen trasladando las grficas de sen x y cos x horizontalmente k unidades hacia la izquierda (k > 0) o hacia la derecha (k < 0). A partir de la grfica de la funcin y = cos x, representa grficamente la funcin y = cos (x ) 1. La grfica de y = cos (x ) 1 se obtiene a partir de la grfica de y = cos x mediante una traslacin horizontal hacia la derecha de unidades y, posteriormente, una traslacin vertical hacia abajo de 1 unidad.

Ejemplo.

Imagen: [2, 0]

EJERCICIOS4. Dibuja las siguientes funciones a partir de la primera y determina la imagen de las mismas. a) y = sen x y = sen x + 3 y = sen x 3 b) y = cos x y = cos x + 3 y = cos x 3 c) y = tg x y = tg x + 3 y = tg x 3 5. Dibuja las siguientes funciones y observa cmo estn relacionadas con las funciones seno o coseno. a) y = sen x + b) y = sen x 2 2

c) y = cos x + d) y = cos x 2 2 6. A partir de la grfica de la funcin y = tg x, dibuja las siguientes funciones. a) y = tg x + b) y = tg x 2 2

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4.2. Mediante dilataciones o contracciones. Dilataciones y contracciones en vertical. A partir de la grfica de la funcin y = sen x, representamos las funciones y = 2 sen x e y = 05 sen x. Para la funcin y = 2 sen x basta con multiplicar por 2 cada ordenada de la funcin y = sen x, lo que equivale a dilatar verticalmente la grfica de y = sen x al doble (por ser k = 2). La imagen es ahora el intervalo [2, 2]. La grfica de la funcin y = 05 sen x se obtiene a partir de la grfica de y = sen x mediante una contraccin vertical de sta a la mitad (por ser k = 05 = 1/2). La imagen es el intervalo [05, 05]. Representamos ambas funciones:

Imagen: [1, 1]

Dilatacin vertical Imagen: [2, 2]

Contraccin vertical Imagen [05, 05]

Las grficas de y = k sen x e y = k cos x son anlogas a las de y = sen x e y = cos x, salvo que: La imagen es el intervalo [k, k]. Si | k | > 1, se trata de una dilatacin vertical. Si | k | < 1, se trata de una contraccin vertical. Dilataciones y contracciones en horizontal. A partir de la grfica de la funcin y = sen x, representamos las funciones y = sen 2x e y = sen 05x. Para la funcin y = sen 2x observamos que multiplicar por 2 el arco equivale a contraer horizontalmente la grfica de y = sen x a la mitad (por ser k = 2). Ahora el periodo correspondiente es 2/2 = . La grfica de la funcin y = sen 05x se obtiene a partir de la grfica de y = sen x mediante una dilatacin de sta al doble (por ser k = 05 = 1/2). El periodo correspondiente es 2/05 = 4. Observa la representacin grfica de dichas funciones:

Periodo: 2

Contraccin horizontal Periodo:

Dilatacin horizontal Periodo: 4

Las grficas de y = sen kx e y = cos kx son anlogas a las de y = sen x e y = cos x, salvo que: 2 El periodo es T = . |k| Si | k | > 1, se trata de una contraccin horizontal. Si | k | < 1, se trata de una dilatacin horizontal.

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EJERCICIOS7. Dibuja las siguientes funciones a partir de la primera y determina la imagen de las mismas. 1 a) y = sen x y = 3 sen x y = sen x 3 1 y = cos x b) y = cos x y = 3 cos x 3 1 c) y = tg x y = 3 tg x y = tg x 3 8. Determina los periodos de las siguientes funciones. a) y = sen 2x y = cos 2x y = tg 2x b) y = sen 4x y = cos 4x y = tg 4x c) y = sen 4x y = cos 4x y = tg 4x d) y = sen x y = cos x y = tg x 9. Dibuja las siguientes funciones a partir de la primera y determina el periodo de las mismas. 1 a) y = sen x y = sen 3x y = sen x 3 1 b) y = cos x y = cos 3x y = cos x 3 1 y = tg x c) y = tg x y = tg 3x 3 Mediante traslaciones horizontales y verticales, junto con dilataciones o contracciones horizontales y verticales, es posible obtener la grfica de una funcin trigonomtrica cualquiera. Estudia detenidamente el siguiente ejemplo. Ejemplo. Obtn la grfica de la funcin y = 5 sen 2(x ) + 4. 1. Partimos de la funcin y = sen x.

2. Trasladamos horizontalmente a la derecha unidades y obtenemos y = sen (x ). Lo que hacemos es llevar el origen al punto x = .

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3. Contraemos horizontalmente a la mitad, obteniendo de esta forma y = sen 2(x ). 2 El periodo es ahora = . 2

4. Dilatamos en vertical al multiplicar por 5, con lo que obtenemos y = 5 sen 2(x ). La imagen pasa a ser el intervalo [5, 5].

5. Trasladamos verticalmente 4 unidades hacia arriba, con lo que finalmente obtenemos y = 5 sen 2(x ) + 4. Se trata, como puedes observar, de una funcin de periodo y cuya imagen es el intervalo [1, 9].

EJERCICIOS10. A partir de las funciones y = sen x e y = cos x, dibuja la grfica de las siguientes funciones. 1 1 b) y = 5 cos 2( x + ) 2 c) y = sen x + 1 a) y = 2 sen 3 x + 4 2 3 2 2 11. Dadas las siguientes grficas de funciones trigonomtricas:

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a) Determina su periodo. b) Halla su imagen. c) Escribe la funcin en cada caso, sabiendo que es de la forma y = a sen b(x c) + d. 12. La velocidad v de la sangre al pasar por una vlvula del corazn de cierto roedor viene dada por la siguiente ecuacin: v = 4 cos(6t) + 4, donde la velocidad v se mide en cm/s y el tiempo t en segundos. a) Cul es la velocidad mxima y mnima de la sangre en la vlvula? b) Halla el periodo. c) Da una idea de la grfica de la funcin. 13. Dada la grfica de la funcin y = 4 sen 3x 2 cos 2x, determina el dominio, la imagen y el periodo.

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