Transformada de Fourier Discreta - UTFPR

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO

� Sinais não periódicos e discretos de energia finita tem espectro contínuo.

∑∞

−∞=

−=

n

njenxX ωω )()(

� Suponha que amostramos X(ω) periodicamente em um espaçamentode radianos entre sucessivas amostras. Por conveniência, pegamosN equidistantes amostras no intervalo com espaçamento .


δωπω 20 <≤

N/2πδω =

� A soma em 7.1.2 pode ser subdividida em um número infinito de somas, onde cada soma tem N termos.


� Mudando o índice da soma de n para n-lN e trocando a ordem dasoma, obtemos:

� O sinal xp(n) obtido pela repetição periódica de x(n) a cada Namostra, é claramente periódico com periodo fundamental N.Consequentemente, ele pode ser expandido em uma série de Fouriercomo


(5.1.5)

1

1,....,1,0 ,/2)(

−−== ∑

N

NnNknjekcnpx π

� Comparando 5.13 com 5.1.6, concluímos que

(5.1.6) 1,....,1,0 ,/21

0

)(1

kc

Fourier de escoeficient com0

−=−−

=

=

=

∑

∑

NkNknje

N

n

npxN

k

π

(5.1.7) 1,....,1,0 ),2

(1

kc −== NkkN

XN

π

� Portanto

� A relação em 5.1.8 fornece a reconstrução do sinal periódico xp(n)das amostras do espectro X(ω). Entretanto, isto não implica quepodemos recuperar X(ω) ou x(n) das amostras. Para realizar isto,precisamos considerar a relação entre xp(n) e x(n).

� Desde que xp(n) é a periódica extensão de x(n) como dado em


� Desde que xp(n) é a periódica extensão de x(n) como dado em5.1.4, é claro que x(n) pode ser recuperado de xp(n) se não háaliasing no domínio do tempo, isto é, se x(n) é limitado para menosdo que o período de N de xp(n).


� O procedimento é para computar xp(n), n=0,1,…,N-1 de 5.1.8, então

� Como no caso de sinais de tempo contínuo, é possível expressar oespectro X(ω) diretamente em termos de suas amostras X(2πk/N),k=0,1,…,N-1. Para derivar tal formula de interpolação para X(ω),k=0,1,…,N-1. Para derivar tal formula de interpolação para X(ω),assumimos que N ≥ L. Desde que x(n)=xp(n) para 0 ≤ n ≤ N-1,

� O termo somatório entre colchetes representa a função deinterpolação básica deslocada por 2πk/N em frequência.


� Se definirmos

� Observa-se que P(ω) tem a propriedade


� Consequentemente, a fórmula de interpolação 5.1.13 fornece-nosexatamente X(2πk/N ) para ω= 2πk/N. Todas as outrasfrequencias, a formula fornece uma combinação linear devidamenteponderada das amostras espectrais original.


ponderada das amostras espectrais original.

A TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA� Em geral, as amostras em frequencias igualmente espaçadas

X(2πk/N) ( k=0,1,…,N-1) não unicamente representa asequencia original x(n) quando x(n) tem duração infinita.

� Em vez disto, as amostras em frequencias igualmente espaçadasX(2πk/N) ( k=0,1,…,N-1), corresponde a uma sequenciaperiodica xp(n) de período N, onde xp(n) tem é uma versão

∞repetida de x(n), como indicado pela relação

� Quando a sequencia x(n) tem uma finita duração de comprimentoL ≤ N, então xp(n) é uma repetição periódica de x(n), onde xp(n)sobre um único período é dado como

∑∞

−∞=

−=

l

lNnxnpx )()(

−≤≤−≤≤

=1,0

10),()(

NnL

Lnnxnpx

� Consequentemente, as amostras em frequencias igualmente espaçadasX(2πk/N) ( k=0,1,…,N-1), unicamente representa a sequencia deduração finita x(n).

� Desde que x(n)=xp(n) sobre um único período ( acrescido por N – Lzeros ), a sequencia de duração finita original x(n) pode ser obtida dasamostras em frequencia X(2πk/N) por meio da formula

A TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA

1−

∑N

� Uma sequencia de duração finita x(n) de comprimento L, ondex(n)=0 para n < 0 e n ≥ L, tem uma transformada de Fourier

1,...,1,0,/21

0

21)( −=

−

=

= ∑ NnNknje

N

k

kN

XN

npx ππ

πωωω 20 ,

1

0

)()( ≤≤−

=

−=∑L

n

njenxX

� Quando amostramos X(ω) em frequencias igualmente espaçadasω

k=2̟k/N ( k=0,1,2,…,N-1 ), onde N ≥ L, as amostras resultantes

são:


1/2

1

0

/2)(2

)(

−−

−

=

−=

≡

∑

∑N

Nknj

L

n

NknjenxN

kXkX

π

ππ

� Esta relação é uma formula para transformar uma sequencia, x(n), decomprimento L ≤ N em uma sequencia de amostras de frequencia,X(k), de comprimento N.

1,...,2,1,0

1por osubstituid foi 1 issopor para 0)( ,

0

/2)()(

−=

≥=

=

−=∑

Nk

N-L-Lnnx

n

NknjenxkX π


1,...,2,1,0 ,

1

0

/2)(1

(n) :IDFT

1,...,2,1,0 ,

1

0

/2)()( :DFT

−=−

=

=

−=−

=

−=

∑

∑

Nk

N

n

NknjekXN

x

Nk

N

n

NknjenxkX

π

π

0=∑n

N

PROPRIEDADES DA DFT: MULTIPLICAÇÃO DE DUAS DFT´S E CONVOLUÇÃO CIRCULAR

� Suponha que temos duas seqüências de duração finita decomprimento N, x1(n) e x2(n). A DFT´s são:

1,...,2,1,0 ,)()(

1,...,2,1,0 ,)()(

1/2

22

1

0

/211

−==

−==

∑

∑−

−

−

=

−

NkenxkX

NkenxkX

NNknj

N

n

Nknj

π

π

� Multiplicando as duas DFT´s: X3(k)=X1(k)X2(k) k=0,1,...,N-1

� A IDFT de X3(k) é

1,...,2,1,0 ,)()(0

22 −==∑=

NkenxkXn

∑∑−

=

−

=

==1

0

/221

1

0

/233 )()(

1)(

1(m)

N

n

NkmjN

n

Nkmj ekXkXN

ekXN

x ππ

PROPRIEDADES DA DFT: MULTIPLICAÇÃO DE DUAS DFT´S E CONVOLUÇÃO CIRCULAR

:chaves da Dentro

(7.2.36)

1

0

/)(21

0

)(2

1

0

)(11

(m)3

1

0

/2/21

0

)(2/2

1

0

)(11

(m)3

−

−

=

−−−

=

−

=

=

−

=

−

−

=

−

−

=

=

∑∑∑

∑ ∑∑N

k

Nlnmkje

N

l

lx

N

n

nxN

x

N

k

NkmjeNklje

N

l

lxNknje

N

n

nxN

x

π

πππ

CIRCULAR CONVOLUÇÃO 1,...,1,0 ))((2

1

0

)(1)(3

)38.2.7(

1

0

contrário caso ,0

Nn))-((mpNn-m ,

0a dealor qualquer v para 1Na

N de múltiplo um é l-n-m quando 1a /)(2

1

0

1 ,

1

1

1 ,

a−=−−

=

=

−

=

=+=

=

≠==−−

−

=

=≠

−−

==

∑

∑

∑

NmNnmx

N

n

nxmx

N

k

lNka

Nlnmje

N

k

aa

a

Na

aNka π

MÉTODOS LINEAR DE FILTRAGEM BASEADOS NA DFT

� Um sistema com resposta em frequencia H(ω), quando excitado por um sinal de entrada que tem espectro X(ω), possuí um espectro de saídaY(ω)=X(ω) H(ω).

� Y(n) é determinado via transformada de Fourier inversa.

� Computacionalmente, o problema este domínio na frequencia é queY(ω),X(ω) e H(ω) são funções de variável contínua ω.Y(ω),X(ω) e H(ω) são funções de variável contínua ω.

� Como consequencia, a computação não pode ser feita em computadoresdigitais, pois o computador pode somente armazenar e realizar computaçãoem quantidades de frequencia discreta.

� A DFT realiza a computação em computadores digitais.

� Na verdade, operação no domínio da frequencia baseada na DFT écomputacionalmente mais eficiente do que a convolução no domínio dotempo devido a existencia de algoritmos eficientes para computar a DFT.


� USO DA DFT EM FILTRAGEM LINEAR� Foi demonstrado que o produto de duas DFTs é equivalente a convolução

circular da correspondente sequencia no domínio do tempo.

� Infelizmente, convolução circular é de nenhum uso para nós se nosso objetivo édeterminar a saída de um filtro linear para uma dada sequencia de entrada.

� Neste caso, procuramos uma metodologia no domínio da frequenciaequivalente a convolução linear.equivalente a convolução linear.

� Suponha que temos uma sequencia x(n) com duração finita de comprimento Lque excite um filtro FIR de comprimento M. ( h(n) é a resposta ao impulso dofiltro FIR )

� A sequencia de saída y(n) do filtro FIR pode ser expressa no domínio do tempocomo a convolução de x(n) e h(n)

Mnnnh

Lnnnx

≥<=

≥<=

e 0 ,0)(

e 0 ,0)(

∑−

=

−=1

0

)()()(

M

k

knxkhny


� USO DA DFT EM FILTRAGEM LINEAR� Desde que h(n) e x(n) são sequencias de duração finita, sua convolução é

também finita em duração. Na verdade, a duração de y(n) é L+M-1.

� No domínio da frequencia

� Se a sequencia y(n) é para ser representada unicamente no domínio dafrequencia por amostras de seu espectro Y(ω) em um conjunto de frequenciasdiscretas, o número de amostras distintas deve ser igual ou exceder L+M-1.

)()()( ωωω HXY =

discretas, o número de amostras distintas deve ser igual ou exceder L+M-1.Portanto, uma DFT de tamanho N ≥ L+M -1 é exigida para representar y(n)no domínio da frequencia.

1,....,1,0 )()()(

1,....,1,0 ,)()()(

1,....,1,0 ,)()(

/2

/2

−==

−==

−=≡

=

=

NkkHkXkY

NkHXkY

NkYkY

Nk

Nk

πω

πω

ωω

ω


� USO DA DFT EM FILTRAGEM LINEAR� Desde que h(n) e x(n) tem duração menos que N, acrescenta-se zeros nestas

sequencias para aumentar o comprimento para N. Este aumento no tamanho dasequencia não altera o espectro.

� Desde que a ( N=L+M-1 ) pontos da DFT da sequencia de saída y(n) ésuficiente para representar y(n) no domínio da frequencia, segue que amultiplicação da N pontos das DFTs X(k) e H(k) seguido pela computação damultiplicação da N pontos das DFTs X(k) e H(k) seguido pela computação daN pontos da IDFT, deve apresentar a sequencia y(n).

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