¾Transformada Discreta de Fourier DFT (FFT) - … · `Para el análisis se supondrá que se sólo...
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Transformada Discreta de Fourier : Sea [n] una secuencia periódica de la cual x[n] es un período, ~ x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + ≤ ≤ = valor otro cualquier en 0 1 ] [ ] [ ~ N M n M n x n x M arbitrario. Puede demostrarse que ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = N k X Na k π 2 donde los a k son los coeficientes de la SF de y X(Ω) es la TF de x[n] Na k corresponde a muestras de la TF de un período. La relación se cumple, independientemente del M elegido. Serie de Fourier de secuencias Transformada de Fourier de secuencias La DFT no debe ser confundida con la Transformada de Fourier. La DFT se obtiene muestreando la TF!!! La gran diferencia con la Serie de Fourier es que los puntos muestras no necesariamente coinciden con la frecuencia “natural” Ωo de la señal periódica. DFT (FFT)
Transcript of ¾Transformada Discreta de Fourier DFT (FFT) - … · `Para el análisis se supondrá que se sólo...
Transformada Discreta de Fourier :
Sea [n] una secuencia periódica de la cual x[n] es un período, ~x⎪⎩
⎪⎨⎧ −+≤≤=
valorotrocualquier en 01 ][][
~ NMnMnxnx M arbitrario.
Puede demostrarse que ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
NkXNak
π2 donde los ak son los coeficientes de la SF de y X(Ω) es la TF de x[n]
Nak corresponde a muestras de la TF de un período. La relación se cumple, independientemente del M elegido.
Serie de Fourier de secuencias Transformada de Fourier de secuencias
La DFT no debe ser confundida con la Transformada de Fourier. La DFT se obtiene muestreando la TF!!! La gran diferencia con la Serie de Fourier es que los puntos muestras no necesariamente coinciden con la frecuencia “natural” Ωo de la señal periódica.
DFT (FFT)
Para el análisis se supondrá que se sólo se dispone de un conjunto finito de N muestras uniformemente espaciadas de la señal ˜x[n]. En general N no tiene porqué coincidir con el período N0de la señal ˜x[n]. La señal que se analiza no es entonces ˜x[n], sino v[n], donde
Desarrollo gráfico de la DFT:
Cantidad entera de períodos dentro de la ventana
Desarrollo gráfico de la DFT:
Cantidad no entera de períodos dentro de la ventana
Ejemplo:
% Ejemplo DFTn=0:63;v=cos(2*pi*n/14)+(3/4)*cos(4*pi*n/15);vf=fft(v)/64;stem(n,abs(vf))
0 10 20 30 40 50 60 700
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
n1=0:127;v1=cos(2*pi*n1/14)+(3/4)*cos(4*pi*n1/15);v1f=fft(v1)/128;stem(n1,abs(v1f))
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 125 256 381 5120
0.25
0.5
0.75
110 1][ −≤≤= NnnwRectangular:
Bartlett: (triangular) ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤−
−−
−≤≤−=
12
1 1
22
10 1
2
][NnN
Nn
NnN
n
nw
Hanning: 10 1
2cos121][ −≤≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nnnw π
10 1
4cos08.01
2cos5.042.0 ][ −≤≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅−= Nn
Nn
Nnnw ππBlackman:
10
21
21
21
][0
220
−≤≤
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= NnNI
NnNI
nwa
a
ω
ω
Kaiser:I0 (x) = función de Bessel de orden cerode primera clase.ωa = factor de selectividad 9
214 <⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<N
aω
Hamming: 10 1
2cos46.054.0 ][ −≤≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅−= Nn
Nnnw π
001
001
11sinc1sinc TTT
NKTTT
NKA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=Algoritmo:
002
002
21sinc1sinc TTT
NKTTT
NKA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅= 1
21
22
21
21
20
+
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
AA
NNAA
TT
VENTANAS
10 1
2cos121][ −≤≤⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−= Nn
Nnnw π
%espectro de ventanas con Matlabn=-5:0.001:5;
hwifR=1*sinc(n); %ventana rectangular
hwifHam=1/0.54*(0.54*sinc(n)+0.23*sinc((n-1))+0.23*sinc((n+1)));%ventana de Hamming
hwifHan=1/0.5*(0.5*sinc(n)+0.25*sinc((n-1))+0.25*sinc((n+1)));%ventana de Hanning
hwifBl=1/0.42*(0.42*sinc(n)+0.25*sinc((n-1))+0.25*sinc((n+1))+0.04*sinc((n-2))+0.04*sinc((n+2))); %Blackman
plot(n,20*log10(abs(hwifR)))hold onpauseplot(n,20*log10(abs(hwifHam)),'r')pauseplot(n,20*log10(abs(hwifHan)),'g')pauseplot(n,20*log10(abs(hwifBl)),'k')
h=gca;set(h,’Ylim',[-100 0])
