Transformada De Laplace.pdf

CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

Transformada de Transformada de LaplaceLaplace


Transformada de Laplace

[ ]

Laplace de compleja le variabjs

dte)t(f)s(F)t(f0

st

ω+σ=

== ∫∞

−L

f(t) función temporal

f(t) = 0 para t < 0t

f(t)

[ ] [ ])s(G)s(F

)t(g)t(f)t(gf(t) si

===LL Cambio de

variable t ⇒ s



Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.

•La Transformada de Laplace es un método operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

•Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s.



[ ] [ ])s(G)s(F

)t(g)t(f)t(gf(t) si

===LL

Cambio de variable t ⇒ s

Resolución del problema en el dominio s X(s)

Interpretación y expresión de la solución en el dominio t

Cambio de variable s ⇒ t

[ ] ∫∞

∞−

− ==j

j

st1 dse)s(X)s(X)t(x L


Transformada de LaplaceDominio temporal Dominio de Laplace

Tomar £(TABLA)

Tomar £-1

(TABLA)

PASO 4

PASO 1

Factorizar D(s)

Descomponer en fracciones simples

PASO 3

Resolver

Y(s)=N(s) / D(s)

PASO 2

Solución

y (t)

Cond. Inic.Ec.Dif.Ord.


Propiedades de la T. Laplace (I)

[ ]

s)(f

s)s(Fdt)t(f

dt)(df)(sf)s(Fs

dt)t(fd)(f)s(sF

dt)t(df

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

)(t +−−=

−−=

−=

+=+

∫0

000

1

0

22

2

L

LL

L

• Linealidad

• Diferenciación en el dominio del tiempo

[ ] ∫∞ −==0

stdte)t(f)s(F)t(fL

• Integración en el dominio del tiempo


Propiedades de la T. Laplace (II)

)s(sFlim)t(flim0st

=→∞→

[ ] )s(Fe)dt(f sd=- -L• Desplazamiento en el tiempo

• Teorema del valor final

•Teorema de convolución

NOTA: Este teorema sólo es válido si “s F(s)” no tiene polos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.Es válido solamente si, existe lim f tt →∞ ( )

• Teorema del valor inicial

sF(s)limf(t)lims0t ∞→→

=

)s(G)s(Fd)t(g)(f0

=

ττ-t∫

∞L


Propiedades de la T. Laplace (III)•Transformación de variables. Cambio de escala

• Traslación en el campo complejo

( )[ ] s)F(t/fL ααα =

( )[ ] ( )αα

α s/F1tfL =:α Constante positiva

[ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 α±=

(t)fe(t)f 1t

2αm=

:α Constante

• Diferenciación en el campo complejo

[ ]ds

dF(s)tf(t)L −=


Propiedades I

[ ]

[ ] [ ] )s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

0

st

0

st

0

st +=+=+=+

+=+

∫∫∫∞

−∞

−∞

−L

L

[ ] )s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt

)t(dfdt

)t(df

dtsedu)t(fveudtdt

)t(dfdvduvuvdvu

dtedt

)t(dfdt

)t(df)0(f)s(sFdt

)t(df

0

st

00

stst

stst

0

st

+−=+==

−==⇒==−=

=

−=

∫∫

∫ ∫

∫

∞−

∞∞−−

−−

∞−

L

LL

[ ] ∫∞

−==0

stdte)t(f)s(F)t(fL


Propiedades II[ ]

[ ]

)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f

t;d0tdtdte)dt(f)dt(f

)s(Fe)dt(f

sd

0

ssd

0

ssd

d

)d(s

0

st

0

st

sd

−∞

τ−−∞

τ−−∞

−

+τ−∞

−

∞−

−

=ττ=ττ=ττ=−

∞=τ⇒∞=−=τ⇒=τ=−−=−

=−

∫∫∫∫

∫L

L

)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f

)0(fdttd

)t(fd)0(fdtetd

)t(fdlim)s(sFlim

)0(fdtetd

)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim

0

00

st

0s0s

0

st

0st

∞=+−∞=+=

=+=+=

+==

∞

∞∞−

→→

∞−

→∞→

∫∫

∫


Propiedades III

)s(G)s(Fde)(gde)(f

de)(gde)(fde)(gde)(f

dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f

t;0tt

dted)t(g)(fd)t(g)(f

)s(G)s(Fd)t(g)(f

0

s

0

s

s

0

ss

0

s

0

)(s

0 0

st

0

st

0

0

st

00

0

=αα

ττ=

=αα

ττ=αα

ττ=

=α

τατ=

ττ−τ=

ττ−τ

∞=α⇒∞=τ−=α⇒=α=τ−

ττ−τ=

ττ−τ

=

ττ−τ

∫∫

∫∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫

∫

∞α−

∞τ−

∞

τ−

α−∞

τ−∞

τ−

α−∞

τ−

∞

τ−

∞τ+α−

∞ ∞−

∞−

∞

∞−

∞∞

∞

L

L


Transformada de Laplace de funciones básicas (I)

[ ]sk

sekdtkedte)t(f)s(F)t(f

0

st

0

st

0

st =−====∞−∞

−∞

− ∫∫L

f(t) función escalónf(t) = 0 para t < 0f(t) = k para t >= 0

t

f(t)=k

f(t) función rampaf(t) = 0 para t < 0f(t) = kt para t >= 0

t

f(t)=kt

20

sKdte.Kt)s(F st == ∫

∞−


t

∫ ∫∞ ∞

+α−−α−

α+===

0 0

t)s(stt

sKdteKdte.e.K)s(F

f(t) función exponencialf(t) = 0 para t < 0f(t) = ke-αt para t ≥ 0

Tablas de transformadas de lasfunciones mas comunes

Transformada de Laplace de funciones básicas (II)


Tabla de las transformadas más comunes

t n e-αt

e-αt

t n

1

1Impulso unitario

F(s)f(t)

s1

1ns!n+

α+s1

1+α+ n)s(!n


Tabla de las transformadas más comunes

wtA sen. A ws w

. 2 2+

A wt.cos A ss w

. 2 2+

A e wtat. sen− A w

s a w( )+ +2 2

A e wtat. cos− A s a

s a w+

+ +( )2 2

f(t) F(s)


Método de reducción en fracciones parciales

F s N sD s

N ss p s p s p s pn

( ) ( )( )

( )( )( )( )...( )

= =+ + + +1 2 3

En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una ecuación diferencial de coeficientes constantes, la función F(s) tiene normalmente la forma:

s ps p

s pn

= −= −

= −

1

2

...son las raíces del polinomio D(s)donde:

Estas raíces podrán ser: reales simples, reales múltiples, complejas simples, complejas múltiples.



• RAICES REALES SIMPLES:

- La función F(s) se podrá descomponer en la siguiente forma:

- Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

∑∏ =

=

+=

+++

++

+=

+==

n

1i i

i

n

n

2

2

1

1n

1ii

psA

psA

...ps

Aps

A

)p(s

N(s)D(s)N(s)F(s)

[ ]

+

++

+

+

+

==n

n

psA

psA

psA

sFtf 1-

2

21-

1

11-1- £....££)(£)(



• RAICES REALES SIMPLES:

- Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:

- La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la siguiente:

ipsii sFpsA−=

+= )()(

∑=

−=n

i

tpi

ieAtf1

.)(ip- polo del residuo

polo⇒⇒−

i

i

Ap



• EJEMPLO 1:Hallar la antitrasformada de Laplace de:

SOLUCIONLa función F(s) la podemos poner en la forma:

A continuación calculamos los valores de Ai

Por tanto la transformada inversa de Laplace es:

( ) ( )( ) ( ) ( )652

43)(+++

++=

sssssssF

( ) ( )( ) ( ) ( ) 652652

43)( 3210

++

++

++=

+++++

=sA

sA

sA

sA

sssssssF

41

6s6)F(s)(s3152

5s5)F(s)(s2A

121

2s2)F(s)(s1A51

0sF(s)s0A

−=−=+==−=+=

−=−=+====

A

f t e e et t t( ) = − + −− − −15

112

215

14

2 5 6



• EJEMPLO 2:Hallar la antitransformada de Laplace de:

SOLUCION

Vamos a calcular los Ai de otra forma:

Igualando los coeficientes:

Por tanto la solución es:

)3()1()2(10)(

+++

=ss

ssF

31)3()1()2(10)( 21

++

+=

+++

=S

AS

Ass

ssF

212121 AA3s)AA(20s10)1s(A)3s(A)2s(10 +++=+→+++=+

55320

1021

21

21 ==

+=+=

AAAA

AA

tt eetf 355)( −− +=



• RAICES REALES MÚLTIPLES:

- Los coeficientes A1...An se calculan según lo visto anteriormente y los ar de la siguiente manera:

ri

r

iin

n

ri

psa

psa

psa

psA

psA

pspspssN

sDsNsF

)(...

)()()(...

)(

))...()(()(

)()()(

221

1

1

21

++

++

++

++

+=

=+++

==

i

ii

ps

ri1r

1r

1

ps

ri1r

ps

rir

)ps()s(D)s(N

dsd

)!1r(1a

)ps()s(D)s(N

dsda)ps(

)s(D)s(Na

−=

−

−

−=

−

−=

+

−=

+=+=



• RAICES REALES MÚLTIPLES:

- Teniendo en cuenta que:

- Por lo tanto la Transformada inversa de F(s) será de la forma:

£-1 11

1

( ) ( )!s pt

re

ir

rp ti

+

=

−

−−

[ ]f t F s A e A e A e

ar

ta

rt a t a e

p t p tn

p t

r r r r p t

n

i

( ) ( ) . . ... .

( )! ( )!... .

= = + + + +

+−

+−

+ + +

− − −

− − − −

£-11 2

1 1 22 1

1 2

1 2



• EJEMPLO 3:

Hallar la antitransformada de Laplace de:

SOLUCIÓN

Lo ponemos en la forma:

F s ss s s

( )( ) ( )( )

=+

+ + +1

2 4 32

2)3s)(s(FA4

3)4s)(s(FA

3sA

4sA

2sa

)2s(a

)3s)(4s()2s(1s)s(F

3s2

4s1

2112

22

−=+=

=+=

++

++

++

+=

++++

=

−=

−=



• EJEMPLO 3:

- Por lo tanto la solución será:

t2t3t4 et21

45e2e

43)t(f −−−

−+−=

45

12s7s1s

dsd)2s)(s(F

dsda

21)2s)(s(Fa

2s2

2s

21

2s

22

=

+++

=+=

−=+=

−=−=

−=



• EJEMPLO 4:

Hallar la antitransformada de Laplace de:

SOLUCIÓN

F s s ss

( )( )

=+ +

+

2

32 3

1

2C;0B;1ACBA3

BA22A1

C)1s(B)1s2s(A3s2sC)1s(B)1s(A3s2s

)1S(C

)1S(B

1SA

)1s(3s2s)s(F

22

22

323

2

===

++=+=

=

+++++=++

++++=++

++

++

+=

+++

=



• EJEMPLO 4:

Por lo tanto la solución queda:

Y finalmente, la función temporal es:

F ss s

( )( )

=+

++

11

21 3

)t1(e)t(fete1)t(f 2tt2t +=→+= −−−



• RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:

- Supongamos el denominador de 2º orden cuyas raíces son: α +jwd- Los pasos a dar son los siguientes:

1. Obtener fracciones con un denominador de segundo grado (cuyas raíces son

complejas conjugadas) y un numerador de primer grado.

2. Obtener los valores de A y B

3. Descomponer y trasformar la fracción en transformadas de Laplacecuya

antitransformada está en las tablas.

012

2 asasaBAs++

+



• EJEMPLO 5:

- Hallar la antitransformada de Laplace de la función:

SOLUCIÓN

Identificando coeficientes de potencias de s se obtienen A, B y C:

)52(3)( 2 ++

=sss

sF

52)52(3)( 22 ++

++=

++=

ssCsB

sA

ssssF

56

53

5353

200

−=

−=

==+=

+=C

B

AACA

BA



• EJEMPLO 5:

- Poniendo las fracciones como transformadas de Laplace conocidas:

- Y la solución será:

++

−++

+−=

++

+−= 22222 2)1(

221

2)1(11

53

5221

53)(

sss

ssss

ssF

−−= −− tetetf tt 2sen

212cos1

53)(


Resolución de ecuaciones diferenciales

Ejemplo:

tdtdtd

=

u.udLyydydL

0tparae)t(u;td

)(yd;)(yu.tdudy

tdyd

tdyd t

−=

++

≥==−=++ −

502

0000502

2

2

22

2

)s(sU)s(Y)s(Y)s(Ys −U(0)-0.5U(s)=++2s2 10.5)U(s)(s1)2sY(s)(s2 −−=++

2s1U(s)+

=2)1)(s2s(s

2.5Y(s) 2 +++−

=

[ ])s(YL)t(y == −1

2)(s1)(s2.5Y(s) 2 ++

−=

...=

++

−−

2)(s1)(s2.5L 2

1

dominio t ⇒ dominio s ⇒ dominio t


Descomposición en fracciones simples

( )( ) ( )222

2

)2s(1s)2s(c

)2s()1s()2s)(1s(b

)2s(1s1sa

+++

+++++

+++

+

++ ( )21sc

1sb

2sa +++

( )ttt2

21 te5.2e5.2e5.2

1s5.2

1s5.2

2s5.2L)t(y −−−− −+−=

+

−+

++

+−

=

[ ]1 )s(YL)t(y − ==

++

−−

2)(s1)(s2.5L 2

1

=++

−2)(s1)(s

2.52

=++

−2)(s1)(s

2.52

0ba =+

0cb2a =++ 32.52c2ba −=++

-2.5a = 2.5b = -2.5c =


PROPIEDADES DE LA T. LAPLACE TRANSFORMADAS MÁS COMUNES Linealidad [ ] )()()()( sbGsaFtbgtaf +=+L f(t) F(s)

Impulso unitario 1 Diferenciación en el dominio del tiempo

dt

dfsfsFsdt

tfd

fssFdt

tdf

)0()0()()(

)0()()(

22

2

−−=

−=

L

L

)0(...)0('

)0()()(

102

1

−−

−

−−−

−−=

nn

nnn

n

fsfs

fssFsdt

tfdL

1 s1

Integración en el dominio del tiempo s

fssFdttf

t )0()()()1(

0

+−

−=

∫L [ ] )0(1)()( )(

11

)( +−

=+−

− ∑−= in

iinn

n fss

sFtfL nt 1

!+ns

n

Desplazamiento en el tiempo [ ] )()( sFedtf sd−=−L ate−

as +1

Teorema del valor inicial

sF(s)limf(t)lims0t ∞→→

= atnet − 1)(!

++ nasn

Teorema del valor final sF(s)limf(t)lim0st →∞→

= Asenwt 22 wswA+

Teorema de convolución )()()()(

0

sGsFdtgtf =

−∫

∞

ττL Acoswt 22 wssA+

( )[ ] s)F(t/fL ααα = Transformación de variables. Cambio de

escala

( )[ ] ( )αα

α s/F1tfL = α= constante positiva senwtAe at− 22)( was

wA++

Traslación en el campo complejo

Si [ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 α±= siendo α= constante, entonces (t)fe(t)f 1

t2

αm= wtAe at cos− 22)( wasas

A++

+

Diferenciación en el campo complejo [ ]

dsdF(s)tf(t)L −=

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