Transformada de Fourier -...
40
_________________________________________________________________________________________________________________________________________ TF1 JARA - Sinais e Sistemas Transformada de Fourier Estender a representação de sinais aos vários tipos. Referencial O referencial escolhido é sendo ϖ uma variável contínua. t j e ϖ Vejamos a ortogonalidade das cissóides: - - ∞ → ∞ ∞ - - = = 2 2 ) ( 0 0 2 1 0 2 1 2 1 lim ) , ( T T t j T t j t j t j t j dt e dt e e e e ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ( 29 2 1 0 2 1 2 1 2 ) ( 2 ) ( 2 sen 2 lim ) ( lim 0 0 2 1 0 2 1 0 ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ - - = - - = ∞ → - - - ∞ → T j e e T T j T j T ( 29 ( 29 ( 29 - = - - = ∞ → ∞ → 2 senc lim 2 2 sen lim 0 2 1 0 0 2 1 0 2 1 0 0 0 T T T T T T T ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ ϖ
Transcript of Transformada de Fourier -...
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TF1JARA - Sinais e Sistemas
Transformada de Four ier
Estender a representação de sinais aos vários tipos.
Referencial
O referencial escolhido é
sendo ω uma variável contínua.
tje ω
Vejamos a ortogonalidade das cissóides:
−
−
∞→
∞
∞−
− == 2
2
)(0
0
21
0
2121 lim),(T
Ttj
T
tjtjtjtj dtedteeee ωωωωωω
( )
21
021
21
2)(
2)(
2sen2
lim)(
lim0
021
021
0 ωω
ωω
ωω
ωωωω
−
−=
−−=
∞→
−−−
∞→
T
j
eeT
Tj
Tj
T
( )
( )( )
−=−
−=
∞→∞→ 2senclim
2
2sen
lim 0210
021
0210
00
TT
T
TT
TTωω
ωω
ωω
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TF2JARA - Sinais e Sistemas
Considerando
00
2
ωπ=T
( ) )(2senc2
lim),( 210
210
00
21 ωωπδωπωω
ωπ
ω
ωω −=
−=
→
tjtj ee
t
τ1
τ
Se τ→0 a fτ(t) tende para o Dirac.
)(lim)(0
tft ττδ
→=
=→ τ
πττ
tsenc
1lim
0
e fazendo
obtém-se
000 →∞→ ωT
≠=
=21
21
0
)0(2
ωωωωπδ
O referencial é ortogonal mas não ortonormado
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TF3JARA - Sinais e Sistemas
Os coeficientes são determinados por
)0(2
)(
),(
)),(()(
2
πδω
ω
ωω
ω ∞
∞−
−
==dtetu
ee
etuC
tj
tjtj
tj
ωδ
d
1)0( =
Tendo em conta que
A transformada de Fourier é definida por
ωπω
πδωω d
UUC
2
)(
)0(2
)()( ==
∞
∞−
−= dtetuU tjωω )()(
obtém-se
tje ωtjeC ωω)(
u(t)
0
Transformada directa
A transformada de Fourier directa é a operação que nos permite obter as componentes do sinal no espaço das cissóides.
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TF4JARA - Sinais e Sistemas
Vejamos a seguinte situação:
Os coeficientes da série de Fourier deste sinal são dados por
Multiplicando Ck por T0 tem-se
No limite,
t0 0t
u(t)
… …
0t−
0
00
0
)(sen2
ωω
k
tk
TCk =
)(senc2 0000 tktCT k ω=
kC
0ω
1/4
00 8tT =
ω
00 4tT =
0ω
kC1/2
ω
)(senc2
000
0 tkT
t ω=
00 4tT =
0ω ω
kCT0
02t
0000 8
8244
ttT
πππω ==×=
00 8tT =
ω0ω
kCT0
02t
)(ωU
0tπ
02t
ω
00
0
→∞→
ωT
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TF5JARA - Sinais e Sistemas
Do resultado anterior
)()(22
limlim0
00
00
ωωωπ
ωπ
ωUC
dCCT kk
T===
→∞→
∞
∞−
−= dtetuU tjωω )()(
A transformada de Four ier directa é, então,
O sinal u(t) é decomposto na base formada pelas cissóides, permitindo passar da representação do sinal do domínio dos tempos para o domínio das frequências.
Transformada inversa
A passagem inversa é obtida pela soma (integral) de todas as componentes,
[ ])()(
)()(
tuU
Utu
=→
ωω
∞
∞−
∞
∞−
∞
−∞=→=== tjtj
k
tjkk ed
UeCeCtu ωωω
ωω
πωω
2
)()(lim)( 0
0 0
∞
∞−= ωω
πω deUtu tj)(
2
1)(
[ ])()(
)()(1
1
ωω
Utu
Utu−
−
=
←
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TF6JARA - Sinais e Sistemas
Convergência da transformada de Four ier
As condições para que um determinado sinal u(t) tenha transformada de Fourier são:
1 - Para que a transformada seja finita,
a função tem que ser integrável.
2 - A função deve ter um número finito de máximos e mínimos dentro de qualquer intervalo finito.
3 - A função deve ter um número finito de descontinuidades dentro de qualquer intervalo finito.
Os sinais físicos verificam estas condições.
MdttudtetuU tj ≤≤= ∞
∞−
∞
∞−
− )()()( ωω
t
sen(1/t)
t
1
1/2
1/41/8
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TF7JARA - Sinais e Sistemas
Ex2:
Ex1:
Ex3:
t0
)(tδ
[ ] 1)()( == ∞
∞−
− dtett tjωδδ
ω
)]([ tδ
x(t)
t0
t0
1
T-T
PT(t) [ ] −
−∞
∞−
− ==T
T
tjtjTT dtedtetPtP ωω)()(
)(senc2
)(sen2
TT
T
j
ee TjTj
ωωω
ω
ωω
=
=−
−=−
[PT(t)]
ω
2T
T
πT
π−
0),()( >= − αα thetx Ht
∞ +−∞ −−∞
∞−
− ===0
)(
0)()( dtedteedtetxX tjtjttj ωαωαωω
−∞+−
+=
+=
+−= α
ωωα
ωαωαωαjartgtj
ejj
e22
0
)( 11
)(
ω
ω
2π
)(ωX
)](arg[ ωX
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TF8JARA - Sinais e Sistemas
Ex4:
−+==−
∞
∞−
1
0
0
1 2
1
2
1)(
2
1)( ω
πω
πωω
πωωω djedjedeUtu tjtjtj
0 11− ω ω2π
2π−
)](arg[ ωU)(ωU
t
t
t
ee
jt
ej
jt
ej jtjttjtj
ππππ
ωω )cos(1
2
11
22
1
0
0
1
−=+−−=
−
=
−
−
u(t)
t
Propr iedades
Linear idade
)()()()( 2121 ωω bUaUtbutau +→←+)()(
)()(
22
11
ωω
Utu
Utu
→←
→←
Das definições de transformada de Fourier directa e inversa podem-se deduzir algumas propriedades importantes.
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TF9JARA - Sinais e Sistemas
Mudança de escala
→←a
Ua
atuω
||
1)()()( ωUtu →←
Demonstração:
∞
∞−
−→← dteatutau tjω)()( tat =′
∞
∞−
′−∞
∞−
′−
′′=′′→← tdetu
aa
tdetutau
ta
ja
tj
ωω)(
1)()(0>a
0<a ∞
∞−
′−∞−
∞+
′−
′′=′′→← tdetu
aa
tdetutau
ta
ja
tj
ωω)(
||
1)()(
t0
1
→←
PT(t)
T-T ωT
π
2T
t0
1
→←
PT(t/2)
2T-2T ωT2
π
4T
Ex:
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TF10JARA - Sinais e Sistemas
Translação nos tempos
0)()( 0tjeUttu ωω −→←−
Demonstração:
∞
∞−
+′−∞
∞−
− ′′=−→←− tdetudtettuttu ttjtj )(00
0)()()( ωω0ttt −=′
00 )()( tjtjtj eUdtetue ωωω ω −∞
∞−
′−− == Ex:
0)( 0tjett ωδ −→←−
Translação nas frequências
)()( 00 ωωω −→← Uetu tj
Simetr ias do sinal
)()()()( ** ωω −=→←= UUtutu
Sinal real
∞
∞−
∞
∞−
− =−= dtetuUdtetuU tjtj ωω ωω )()()()(
∞
∞−
−∞
∞−=
=− dtetudtetuU tjtj ωωω )()()( *
**
∞
∞−
−= dtetu tjω)(
Um sinal real tem um espectro com com simetria conjugada (módulo par e fase ímpar).
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TF11JARA - Sinais e Sistemas
)()()()()()( ** ωωω UUUtututu =−=→←−=−=
Sinal real par
∞
∞−
′− ′′−=− tdetuU tjωω )()( ∞
∞−
′−∞
∞−′′−== tdetudtetuU tjtj ωωω )()()( ***tt −=′
∞
∞−
∞
∞−
− =−= dtetuUdtetuU tjtj ωω ωω )()()()(
Demonstração:
Um sinal real par tem um espectro real par.
)()()()()()( ** ωωω UUUtututu −=−−=→←−−=−−=
Sinal real ímpar
Um sinal real ímpar tem um espectro imaginário ímpar.
Simetr ias da transformada
a aplicação de quatro vezes a transformada a um sinal volta a recuperar o sinal
Em Hz,
∞
∞−
∞
∞−
−
=
=
dfefUtu
dtetufU
ftj
ftj
π
π
2
2
)()(
)()(
dfd
f
πωπω2
2
==
u(t) U(f)
U(-f) u(-t)
f→t
t→f
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TF12JARA - Sinais e Sistemas
Dualidade
)(2)(
)()(
ωπω
−→←
→←
utU
Utu
Demonstração:
∞
∞−
−∞
∞−=−= ωωπωω
πωω deUtudeUtu tjtj )()(2)(
2
1)(
∞
∞−
−=− dtetUu tjωωπ )()(2
Ex1:
Se na última relação fizermos a troca das variáveis t por ω e ω por t, obtém-se
t0 0t0t−
1
)(tu
→←
)(ωU
ω
0 0t0t−
2π
)(2 ωπ −u
→←
)(tU
t ω
)(21 ωπδ→←Ex2:
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TF13JARA - Sinais e Sistemas
Convolução nos tempos
)()()()( 2121 ωω UUtutu →←⊗
Demonstração:
ττττττ ωω ddtetuudtedtuututu tjtj
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−=
−→←⊗ )()()()()()( 212121
)()(
)()()()(
12
1221
ωω
ττωτωτ ωτωτ
UU
deuUdeUu jj
=
== ∞
∞−
−∞
∞−
−
x(t) y(t)h(t)
H(ω)X(ω) Y(ω)
Função de transferência
)()()()()()( ωωω HXYthtxty =→⊗=
Convolução nas frequências
)()(2
1)()( 2111 ωω
πUUtutu ⊗→←
Ex1: [ ] ?)cos()( 0 =ttx ω
)()(2
)cos( 000
00
ωωπδωωπδωωω
++−→←+=− tjtj ee
t
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TF14JARA - Sinais e Sistemas
[ ] [ ] )(2
1)(
2
1)()()(
2
1)cos()( 00000 ωωωωωωπδωωπδω
πω ++−=++−⊗= XXXttx
t
)(tx
→←
)(ωX
ω
t
)(tx
→← ωt
)cos( 0tω
×0ω0ω−
canalt
t
m1(t)
m2(t)
m1(t)+ m2(t)
t
Se esses sinais forem enviados directamente, na recepção não há possibilidade de os distinguir.
Ex2: Sistema de transmissão AM.
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TF15JARA - Sinais e Sistemas
t
t
m2(t)
m1(t)
t
)cos( 1tω
×
t
)cos( 2tω
×
→← ω
→←
1ω1ω−
ω2ω2ω−
canal ω2ω2ω− 1ω1ω−
Filtro
No entanto, se fizermos
Os sinais na recepção são facilmente distinguidos na sua representação frequencial.
Correlação
)()()()( *2121 ωω UUtutu →←Ο
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TF16JARA - Sinais e Sistemas
Der ivação nos tempos
)()()( ωω Uj
dt
tud nn
n
→←
Demonstração:
∞
∞−
∞
∞−=
= ωωωπ
ωωπ
ωω deUjdeUdt
d
dt
tdu tjtj )(2
1)(
2
1)(
)()( ωωUj
dt
tdu →←
Ex: Transformada do degrau de Heaviside
t0
)(thH
Componente ímpar:
Componente par:=
t0
)(thHi
t0
)(thHp
+
21
21
)(1)( ωπδω +→←j
thH
)()( ωω i
Hi Hjdt
tdh →←
ωωδ
jHt
dt
tdhi
Hi 1)()(
)( ==
1)( →←tδ
)(2
1 ωπδ→←
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TF17JARA - Sinais e Sistemas
Der ivação nas frequências
n
nn
d
Udtujt
ωω )(
)()( →←−
Integração nos tempos
)()0()(
)( ωδπωωττ U
j
Udu
t+→← ∞−
Demonstração:
)()0()(
)(1
)()()()( ωδπωωωπδ
ωωττ U
j
U
jUthtudu H
t+=
+→←⊗= ∞−
Integração nas frequências
dwwUtujt
tu ∞−
→←+−
ωδπ )()()0(
)(
Ex:
t0
1)(tu
t0
)(tu′
)(sen2)()()( TjeeTtTttu TjTj ωδδ ωω =−→←−−+=′ −
)(senc2)()0(senc2)(sen2
)( TTjj
TjU ωωδπ
ωωω =+=
-T
-T
T
T
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TF18JARA - Sinais e Sistemas
Teorema de Parseval
∞
∞−
∞
∞−= ωω
πdUdttu
22)(
2
1)(
Demonstração:2
)()()()()()( * ωωωτ UUUtutu =→←Ο=Ψ
∞
∞−=Ψ ωω
πτ ωτ deU j2
)(2
1)(
∞
∞−=Ψ= ωω
πdUW
2)(
2
1)0(
Transformada de Four ier a 3 dimensões
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
++
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
++−
=
=
dudvdwewvuFzyxf
dxdydzezyxfwvuF
zwyvxuj
zwyvxuj
)(3
)(
),,()2(
1),,(
),,(),,(
π
Para ocaso bidimensional basta eliminar, nestas expressões, as variáveis respectivas e modificar o expoente de 3 para 2 na transformada inversa.
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TF19JARA - Sinais e Sistemas
Limites do espectro
É possível ter uma ideia dos valores máximos da transformada sem a calcular.
∞
∞−
∞
∞−
− ≤= dttudtetuU tj )()()( ωω ∞
∞−= dttuC )(1
∞
∞−≤ dt
dt
tduUj
)()(ωω
∞
∞−= dt
dt
tduC
)(2
∞
∞−≤ dt
dt
tudUj
2
22 )(
)()( ωω ∞
∞−= dt
dt
tudC
2
2
3
)(
ωω 2)(
CU ≤
23)(
ωω C
U ≤
1)( CU ≤ω
1C
ω2C
23
ωC
ω
u(t)
t
1
2ππ t
1
2ππ t
1
2ππ
dt
tdu )(2
2 )(
dt
tud
Ex:
4)(cos2 2
3
22 =−=
π
π dttC 6)(sen2203 =−= π
dttC4)(sen201 == π
dttC
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TF20JARA - Sinais e Sistemas
Transformada de Four ier de sinais per iódicos
∞
−∞=
=k
tjkkeCtu 0)( ω
[ ] [ ] ∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−==
==k
kk
tjkk
k
tjkk kCeCeCtuU )(2)()( 0
00 ωωπδω ωω
Viu-se anteriormente que os sinais periódicos podem ser representados em série de Fourier,
ou seja, a transformada de Fourier de uma função periódica é um sinal discreto.
Vejamos qual a transformada de um trem de Diracs.
A sua transformada de Fourier deste sinal é
)()( 00 ωωω −→← Uetu tj
)(21 ωπδ→←
t0
1
0T
……
)(tTδ
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=kk
kk )()( 0000 ωωδωωωδω
∞
−∞=−=
nT nTtt )()( 0δδ
[ ] ∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=kk
kT kT
kCt )(21
)(2)( 00
0 ωωπδωωπδδ
Transformada directa
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TF21JARA - Sinais e Sistemas
A transformada de um sinal periódico também pode ser obtida por:
Assim,
∞
−∞=
∞
−∞=−=−
kkk kkUkC )()()(2 00000 ωωδωωωωπδ
∞
−∞=
∞
−∞=−=−=→←⊗=
kkT kkUkUUttutu )()()().()()()()( 00000000 ωωδωωωωδωωωδ
2T0−
→←t
)(0 tu
ω
)(0 ωU
2T0
0T
.
0
...... ......→←
⊗
t 0ω
0ω
ω
1
Como os dois resultados devem ser iguais,
0
00000
)(
2)(
T
kUkUCk
ωπ
ωω ==
)(2
)()( 000
0000 ωπωωω kUT
kUkU ==
......→←
)(ωU
t2T0−
2T0 0ω ω
u(t)
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TF22JARA - Sinais e Sistemas
∞
∞−
∞
−∞=
−= ωωωδωπ
ω dekkUtu tj
k
)()(2
1)( 00
Aplicando a definição de transformada inversa à transformada do sinal,
Transformada inversa
∞
∞−
∞
−∞=
−= ωωωδωπ
ω dekkU tj
k
)()(2
100
∞
−∞==
k
tjkekUtu 0)(2
1)( 0
ωωπ
donde
Teorema de Parseval
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
===kkk
kT
kU
T
kUCdttu
T
2
0
2
0
0022
0 2
)()()(
10 π
ωω
Uma expressão para a potência de um sinal periódico obtida pela transformada de Fourier é definida por
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TF23JARA - Sinais e Sistemas
Transformada de Four ier de sinais discretos
∞
∞−
−∞
−∞=
∞
∞−
−
−== dtenTtnTudtetuU tj
n
tj ωω δω )()()()(
Transformada directa
donde
Se pretendermos trabalhar na variável Ω=ωT,
Representando os sinais discretos por impulsos de Dirac,
∞
−∞=
Ω−=Ωn
jnenuU )()(
∞
−∞=
−∞
∞−
−∞
−∞=
=−=n
nTjtj
n
enTudtenTtnTu ωωδ )()()(
∞
−∞=
−=n
jnTenTuU ωω )()(
Assim, a transformada de uma função discreta é uma função periódica, uma vez que o factor
ejnTω éperiódico.
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TF24JARA - Sinais e Sistemas
Ex:
ou
u(n)
n01 2 3 4
10 ),()( <<= αα nhnu Hn
)()()()()()(000
nTtnThnTtnTtnTttun
Hn
n
n
n
nT
n
t −=−=−=−= ∞
−∞=
∞
=
∞
=
∞
=
δαδαδβδβ
( ) ωωωω
αααω
jTn
njT
n
jnTn
n
jnT
eeeenTuU −
∞
=
−∞
=
−∞
−∞=
−
−==== 1
1)()(
00
( ) Ω−
∞
=
Ω−∞
=
Ω−∞
−∞=
Ω−
−====Ω j
n
nj
n
jnn
n
jn
eeeenuU
ααα
1
1)()(
00
)(ωU
ω
ω
)](arg[ ωU
Tπ
Tπ−
Tπ
Tπ−
Tπ2
Tπ2
α−11
)(ΩU
Ω
Ω
ππ− π2
ππ− π2
ou
α−11
)](arg[ ΩU
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF25JARA - Sinais e Sistemas
−= T
T
tj deUtuπ
πω ωω
π)(
2
1)( 00
Transformada inversa
∞
−∞=−
∞
−∞=
−=−=m
T
T
tj
m
mTtTdeUmTtTtutu )(.)(2
1)().()( 0 δωω
πδ
π
πω
Tπ−
→← ω
)(0 ωU
t
)(0 tu
Tπ
......→←
)(ωU)(tu
ωT tTπ−
Tπ
.
0
............→←
⊗
ωT
T
tTπ2
π2
∞
−∞= −−
=
m
T
T
mTj mTtdeUT
)()(2
δωωπ
π
πω
−= T
T
tj deUπ
πω ωω
π)(
2
1
)(2
)( 2 ωδπδ πT
T Tt →←
−
∞
−∞= −=−
= T
T
jnT
m
T
T
mTj deUT
mTnTdeUT
nTuπ
πω
π
πω ωω
πδωω
πδ)(
2)()(
2)0(
1)(
−Ω ΩΩ=
π
ππdeUnu jn)(
2
1)(
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF26JARA - Sinais e Sistemas
Propr iedades
[ ] ωω TjnoeUTnnu −→←− )()( 0Ω−Ω→←− ojneUnnu )()( 0
As propriedades para a transformada de um sinal discreto são as mesmas que para o contínuo.
Somatór io:
∞
−∞=−
−∞=
−+−
→←k
Tj
n
m TkU
Te
UmTu
πωδπωω
2)0(
1
)()(
t0
1
T
…
)(thH
t021
T
…
)(thHi
=t0
21
T
…
)(thHp
… +
1
Demonstração:
)(2
1)(
2
1)( tmTtth
mHp δδ +−=
∞
−∞=
2
122
2
1)( +
−= ∞
−∞=kHp T
ktT
Hπδπω
)(2
1)(
2
1)()( TttTthth HiHi −+=−− δδ
TjTjHiHi eeHH ωωωω −− +=−
2
1
2
1)()(
Tj
Tj
Hi e
eH ω
ω
ω −
−
−+=
1
1
2
1)(
ou
2
12 +
−= ∞
−∞=k Tkt
T
πδπ
)()()()()( ωω HdHd
n
m
HUnThnTumTu →←⊗=−∞=
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF27JARA - Sinais e Sistemas
)()()( ωωω HpHiHd HHH +=
∞
−∞=−
−+−
=k
Tj Tkt
Te
πδπω
2
1
1
2
12
1
1
2
1 +
−+−+=
∞
−∞=−
−
kTj
Tj
Tkt
Te
e πδπω
ω
∞
−∞=−
−−
−+−
−++=k
Tj
TjTj
Tkt
Te
ee πδπω
ωω 2
1
11
2
1
)()()()()( ωω HdHd
n
m
HUnThnTumTu →←⊗=−∞=
∞
−∞=−
−∞=
−+−
→←=k
Tj
n
m TktU
Te
UmTu
πδπωω
2)0(
1
)()(
Finalmente,
Teorema de Parseval
=∞
−∞= Tn
dUT
nTu π ωωπ 2
22)(
2)(
ΩΩ=∞
−∞=ππ 2
22)(
2
1)( dUnu
n
∞
−∞=
−∞
−∞=
∞
−∞===
n T
jnT
nn
deUT
nTunTunTunTu πω ωω
π 2**2
)(2
)()()()(
== −∞
−∞= TT
jnT
n
dUUT
denTuUT
ππω ωωω
πωω
π 2*
2* )()(
2)()(
2
=T
dUT
π ωωπ 2
2)(
2
Demonstração:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF28JARA - Sinais e Sistemas
Transformada de Four ier de sinais per iódicos discretos
Transformada directa
→←...... ......
......
0
......1
→←
⊗ .
...
→←...
u0(t) U0(ω)
ωtT
NT
T NT
-NT
-NT ω
ω
t
t
u(t) U(ω)
TN
2
1−− TN
2
1−T
πT
π−
NT
π2
NT
π2
NT
π2
T
πT
π−T
π2
A transformada de um sinal periódico também pode ser obtida por:
>=<
−=Nn
jnTenTuU ωω )()(0
∞
−∞=
−→←m
NT NTm
NTt
πωδπδ 22)(
−
=
∞
−∞=>=<
−
mNn
jnT
NTm
NTenTuU
πωδπω ω 22)()(
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF29JARA - Sinais e Sistemas
Após realizar a multiplicação,
∞
−∞= >=<
−
−=m Nn
nmN
j
NTmenTu
NTU
πωδπωπ 2
)(2
)(2
As componentes,
∞
−∞= >=<
−
−=
m Nn
nmN
j
NTm
NTkenTu
NTNTkU
ππδπδ
π π 22)(
2
)0(
12 2
donde
>=<
−=
Nn
knN
jenTu
NTNTkU
πππ 2
)(22
Se for pretendido trabalhar com Ω=ωT,
∞
−∞= >=<
−
−Ω=Ωm Nn
nmN
j
NTm
TenTu
NTU
πδπ π 2)(
2)(
2
>=<
−=
Nn
knN
jenu
NNkU
πππ 2
)(22
∞
−∞= >=<
−
−Ω=m Nn
nmN
j
NmTenTu
NT
πδπ π 2)(
2 2
As componentes,
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF30JARA - Sinais e Sistemas
Transformada inversa
Pela definição de transformada inversa,
−
==>=<T
jnT
NkT
jnT deNT
kNT
kUT
deUT
nTu πω
πω ωπωδπ
πωω
π 22
22
2)(
2)(
−
=>=< T
jnT
Nk
deNT
kNT
kUT
πω ωπωδπ
π 2
22
2
>=<
=Nk
knN
je
NTkU
TnTu
πππ
22
2)(
donde
Mais uma vez, se for pretendido trabalhar com Ω=ωT, aplicando a definição de transformada inversa nesta variável,
>=<
=Nk
knN
je
NkUnu
πππ
22
2
1)(
Resolvendo
Ω
−Ω
=ΩΩ= Ω
>=<−
Ω
π
π
π
πδπππ 2
22
2
1)(
2
1)( de
Nk
NkUdeUnu jn
Nk
jn
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF31JARA - Sinais e Sistemas
Amostragem de sinais
Dentro de determinadas condições, um sinal contínuo pode ser representado e recuperado através do conhecimento das suas amostras.
t
u1(t)u2(t) kTtkTttutu == = )()( 21
T T2
T - período de amostragem
Teorema de amostragem: se u(t) for um sinal com U(ω) de largura de banda limitada, ou seja, U(ω)=0 para |ω|>ωM, então u(t) é determinado univocamente a partir das suas amostras u(nTs), n=0, 1, 2, …, se a frequência de amostragem for
Ms
s Tωπω 2
2 >=
×u(t) up(t)
p(t) ∞
−∞=
−=n
snTttp )()( δ
( ) ∞
−∞=
∞
−∞=
−=−=
k sskss T
ktT
ktPπδπωδωω 22
)(
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF32JARA - Sinais e Sistemas
Nos tempos,
→←
)(tu )(ωU
t 0 ω. ⊗
......
0
......1
→←sTπ2
t ω
)(tp
sT
sTπ2
sTπ2−
Mω
A
...
0→←
t
)(tu p
sTπ2−
...
ωsTπ2Mω
sTπ
sTπ−
sTA
)(ωpU
sT
∞
−∞=
∞
−∞=
−=−==n
ssn
sp nTtnTunTttutptutu )()()()()()()( δδ
Nas frequências,
∞
−∞=
−=⊗=n
ss
p kUT
PUU )(1
)()(2
1)( ωωωω
πω
∞
−∞=
−=n
jnTsp
senTuU ωω )()(
ou pela expressão dos sinais discretos
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF33JARA - Sinais e Sistemas
Dentro do intervalo -π/Ts≤ω≤π/Ts, a transformada de U(ω), é igual a Up(ω), a menos de 1/Ts .
ssn
jnTssps TT
enTuTUTU sπωπωω ω ≤≤−==
∞
−∞=
− ,)()()(
O sinal original pode ser recuperado multiplicando o sinal Up(ω) por uma função rectangular - filtro passa-baixo.
2s
F
ωω =
Recuperação do sinal
0Fω−
1
)(ωLPH
Fω ω
...
0→←
t
)(tu p
sTπ2−
...
ωsTπ2Mω
sTπ
sTπ−
sTA
)(ωpU
sT .⊗
→←t
)(thlp
ω
)(ωLPH
FωFω−Fω
π
1
→←
)(tur )(ωrU
t 0 ωMω
sT
sTA
)()()( thtutu lppr ⊗=
[ ]
∞
−∞=
∞
−∞=
−=
⊗−=
nsFs
F
FF
nss
nTtnTu
tnTtnTu
)(senc)(
)(senc)()(
ωπ
ω
ωπ
ωδ
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF34JARA - Sinais e Sistemas
Aliasing
Se ωs<2ωM pode acorrer sobreposição do espectro (aliasing).
→←
)(tu )(ωU
t 0 ωMω
.
......
0
......1
→←sTπ2
⊗
t ω
)(tp
sT
sTπ2−
sTπ2
...
0→←
t
)(tu p
...
ωsTπ2
sTπ−
)(ωpU
sTsT
π
Neste caso não é possível recuperar o sinal exacto.
... ...
ωsTπ2
sTπ−
ω
ω
?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF35JARA - Sinais e Sistemas
Transformada discreta de Four ier (DFT)
A DFT (Discrete Fourier Transform) consiste na transformada de um sinal discreto, sendo a transformada também discreta.
Por convenção, é costume utilizar como período da transformada de Fourier discreta o intervalo 0≤ω≤2π/T em vez de -π/T≤ω≤π/T, donde os pontos são
... ...→←
)(ωU)(tu
ωT tTπ−
Tπ
...
TM )1( −
→←
)(~ ωU)(~ tu
ωtTπ−
Tπ
......
T NT
...
NT−
...... ...
NTπ2
...
Tπ2TM )1( −
10 ,2 −≤≤= NkNT
kk
πω
O valor de N é tal que não provoque aliasing nos tempos, ou seja
MN ≥
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF36JARA - Sinais e Sistemas
Da transformada de um sinal periódico discreto,
−
=
−
=
−
=
=
1
0
2
1
0
2
2~
2)(~
)(~22~
N
k
knN
j
N
n
nkN
j
eNT
kUT
nTu
enTuNTNT
kU
π
π
ππ
ππ
Como o objectivo éobter U(ω) em função de u(t):
→←
)(~ ωU)(~ tu
ωtTπ−
Tπ
......
T NT
...
NT−
...... ...
NTπ2
...
Tπ2
......
0
......1
→←
π2NT
⊗
ωtNT
π2NTNT−
.
... ...
→←
)(ωU)(tu
ωT tTπ−
Tπ
...
TM )1( −
)(~)/2()( nuNTnu π=
10 ,)()(1
0
2
−≤≤=−
=
−NkenukU
N
n
nkN
jπ
DFT
Da transformada inversa:
10 ,)(1
)(1
0
2
−≤≤= −
=
NnekUN
nuN
n
knN
jπ
IDFT
Da transformada directa:
)(~
)( kUkU =
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF37JARA - Sinais e Sistemas
u(n)
n01 2
1
N=10:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
)(kU
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
[ ])(arg kU
k
3
ou
0
)(ωU
ω
0
[ ])(arg ωU
ω
Tπ2
Tπ2
T102π
T104π
T102π
Tπ
Tπ
3
Ex:
=
−−
=
−==
2
0
21
0
2
)()(n
nkN
jN
n
nkN
jeenukU
ππ
+=
++=++=
−
−−−−
kN
e
eeeee
kN
j
kN
jkN
jkN
jkN
jkN
j
ππ
πππππ
2cos1
11
2
2222
22
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF38JARA - Sinais e Sistemas
...→←
)(ωU)(tu
ωT tTπ−
Tπ
...
→←
)(~ ωU)(~ tu
ωtTπ−
Tπ
...
T NTNT−
... ...
NTπ2
...
Tπ2
N
Pela expressão da IDFT obtém-se valores no intervalo 0≤n≤N-1. Como se pode ver pela figura, a parte não causal aparece no final da sequência.
u(n)
n011−
1 N=10:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
)(kU
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
[ ])(arg kU
k
3
-π
Vejamos o que acontece para função não causais.
Ex:
−
=
−=
1
0
2
)()(N
n
nkN
jenukU
π
+= kN
π2cos1
kN
jkN
jkNN
jkN
jeeee
ππππ 22)1(
22
11 ++=++=−−−−
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF39JARA - Sinais e Sistemas
Para a IDFT só troca de sinal da exponencial.
N=8:
Re
Im
4πj
e−
1
2πj
e−
43πj
e−
πje−
45πj
e−
23πj
e−
47πj
e−
Transformada Rápida de Four ier - FFT
Um algoritmo eficiente para cálculo da DFT é a FFT (Fast Fourier Transform).
10 ,)()(1
0
2
−≤≤=−
=
−NkenukU
N
n
nkN
jπ
=
)7(
)6(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)0(
)7(
)6(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)0(
u
u
u
u
u
u
u
u
U
U
U
U
U
U
U
UA
)7(111
)3(011
)5(101
)1(001
)6(110
)2(010
)4(100
)0(000
111)7(
110)6(
101)5(
100)4(
011)3(
010)2(
001)1(
000)0(
Linhas de B B Linhas de A
Ponhamos a DFT na forma de uma matriz e
apliquemos o bit reverse às linhas:
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
TF40JARA - Sinais e Sistemas
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
X Y Z
Introduz 1/8 de rotações Introduz 1/4 de rotações Introduz 1/2 de rotações
Tem-se log2N passos com N
multiplicações.
Cada operação num par de dados
designa-se por padrão “butterfly” .
Em vez de N2 multiplicações, necessárias para se calcular directamente a matriz A, tem-se apenas Nlog2N.
Algoritmo:
u(0)
u(1)
u(2)
u(3)
u(4)
u(5)
u(6)
u(7)
U(0)
U(1)
U(2)
U(3)
U(4)
U(5)
U(6)
U(7)
Z Y X⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕bit reverse
1
1
1
1πje−
πje−
πje−
πje−
1
1πje−
πje−
2πj
e−
23πj
e−
23πj
e−
2πj
e−
1
πje−
2πj
e−
23πj
e−
4πj
e−
45πj
e−
43πj
e−
47πj
e−
Factorização em log2N matrizes:
[ ] [ ][ ][ ]ZYXB ..=
