TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
� Sinais não periódicos e discretos de energia finita tem espectro contínuo.
∑∞
−∞=
−=
n
njenxX ωω )()(
� Suponha que amostramos X(ω) periodicamente em um espaçamentode radianos entre sucessivas amostras. Por conveniência, pegamosN equidistantes amostras no intervalo com espaçamento .
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
δωπω 20 <≤
N/2πδω =
� A soma em 7.1.2 pode ser subdividida em um número infinito de somas, onde cada soma tem N termos.
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
� Mudando o índice da soma de n para n-lN e trocando a ordem dasoma, obtemos:
� O sinal xp(n) obtido pela repetição periódica de x(n) a cada Namostra, é claramente periódico com periodo fundamental N.Consequentemente, ele pode ser expandido em uma série de Fouriercomo
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
(5.1.5)
1
1,....,1,0 ,/2)(
−−== ∑
N
NnNknjekcnpx π
� Comparando 5.13 com 5.1.6, concluímos que
(5.1.6) 1,....,1,0 ,/21
0
)(1
kc
Fourier de escoeficient com0
−=−−
=
=
=
∑
∑
NkNknje
N
n
npxN
k
π
(5.1.7) 1,....,1,0 ),2
(1
kc −== NkkN
XN
π
� Portanto
� A relação em 5.1.8 fornece a reconstrução do sinal periódico xp(n)das amostras do espectro X(ω). Entretanto, isto não implica quepodemos recuperar X(ω) ou x(n) das amostras. Para realizar isto,precisamos considerar a relação entre xp(n) e x(n).
� Desde que xp(n) é a periódica extensão de x(n) como dado em
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
� Desde que xp(n) é a periódica extensão de x(n) como dado em5.1.4, é claro que x(n) pode ser recuperado de xp(n) se não háaliasing no domínio do tempo, isto é, se x(n) é limitado para menosdo que o período de N de xp(n).
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
� O procedimento é para computar xp(n), n=0,1,…,N-1 de 5.1.8, então
� Como no caso de sinais de tempo contínuo, é possível expressar oespectro X(ω) diretamente em termos de suas amostras X(2πk/N),k=0,1,…,N-1. Para derivar tal formula de interpolação para X(ω),k=0,1,…,N-1. Para derivar tal formula de interpolação para X(ω),assumimos que N ≥ L. Desde que x(n)=xp(n) para 0 ≤ n ≤ N-1,
� O termo somatório entre colchetes representa a função deinterpolação básica deslocada por 2πk/N em frequência.
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
� Se definirmos
� Observa-se que P(ω) tem a propriedade
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
� Consequentemente, a fórmula de interpolação 5.1.13 fornece-nosexatamente X(2πk/N ) para ω= 2πk/N. Todas as outrasfrequencias, a formula fornece uma combinação linear devidamenteponderada das amostras espectrais original.
AMOSTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA E RECONSTRUÇÃO DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO
ponderada das amostras espectrais original.
A TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA� Em geral, as amostras em frequencias igualmente espaçadas
X(2πk/N) ( k=0,1,…,N-1) não unicamente representa asequencia original x(n) quando x(n) tem duração infinita.
� Em vez disto, as amostras em frequencias igualmente espaçadasX(2πk/N) ( k=0,1,…,N-1), corresponde a uma sequenciaperiodica xp(n) de período N, onde xp(n) tem é uma versão
∞repetida de x(n), como indicado pela relação
� Quando a sequencia x(n) tem uma finita duração de comprimentoL ≤ N, então xp(n) é uma repetição periódica de x(n), onde xp(n)sobre um único período é dado como
∑∞
−∞=
−=
l
lNnxnpx )()(
−≤≤−≤≤
=1,0
10),()(
NnL
Lnnxnpx
� Consequentemente, as amostras em frequencias igualmente espaçadasX(2πk/N) ( k=0,1,…,N-1), unicamente representa a sequencia deduração finita x(n).
� Desde que x(n)=xp(n) sobre um único período ( acrescido por N – Lzeros ), a sequencia de duração finita original x(n) pode ser obtida dasamostras em frequencia X(2πk/N) por meio da formula
A TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
1−
∑N
� Uma sequencia de duração finita x(n) de comprimento L, ondex(n)=0 para n < 0 e n ≥ L, tem uma transformada de Fourier
1,...,1,0,/21
0
21)( −=
−
=
= ∑ NnNknje
N
k
kN
XN
npx ππ
πωωω 20 ,
1
0
)()( ≤≤−
=
−=∑L
n
njenxX
� Quando amostramos X(ω) em frequencias igualmente espaçadasω
k=2̟k/N ( k=0,1,2,…,N-1 ), onde N ≥ L, as amostras resultantes
são:
A TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
1/2
1
0
/2)(2
)(
−−
−
=
−=
≡
∑
∑N
Nknj
L
n
NknjenxN
kXkX
π
ππ
� Esta relação é uma formula para transformar uma sequencia, x(n), decomprimento L ≤ N em uma sequencia de amostras de frequencia,X(k), de comprimento N.
1,...,2,1,0
1por osubstituid foi 1 issopor para 0)( ,
0
/2)()(
−=
≥=
=
−=∑
Nk
N-L-Lnnx
n
NknjenxkX π
A TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
1,...,2,1,0 ,
1
0
/2)(1
(n) :IDFT
1,...,2,1,0 ,
1
0
/2)()( :DFT
−=−
=
=
−=−
=
−=
∑
∑
Nk
N
n
NknjekXN
x
Nk
N
n
NknjenxkX
π
π
0=∑n
N
PROPRIEDADES DA DFT: MULTIPLICAÇÃO DE DUAS DFT´S E CONVOLUÇÃO CIRCULAR
� Suponha que temos duas seqüências de duração finita decomprimento N, x1(n) e x2(n). A DFT´s são:
1,...,2,1,0 ,)()(
1,...,2,1,0 ,)()(
1/2
22
1
0
/211
−==
−==
∑
∑−
−
−
=
−
NkenxkX
NkenxkX
NNknj
N
n
Nknj
π
π
� Multiplicando as duas DFT´s: X3(k)=X1(k)X2(k) k=0,1,...,N-1
� A IDFT de X3(k) é
1,...,2,1,0 ,)()(0
22 −==∑=
NkenxkXn
∑∑−
=
−
=
==1
0
/221
1
0
/233 )()(
1)(
1(m)
N
n
NkmjN
n
Nkmj ekXkXN
ekXN
x ππ
PROPRIEDADES DA DFT: MULTIPLICAÇÃO DE DUAS DFT´S E CONVOLUÇÃO CIRCULAR
:chaves da Dentro
(7.2.36)
1
0
/)(21
0
)(2
1
0
)(11
(m)3
1
0
/2/21
0
)(2/2
1
0
)(11
(m)3
−
−
=
−−−
=
−
=
=
−
=
−
−
=
−
−
=
=
∑∑∑
∑ ∑∑N
k
Nlnmkje
N
l
lx
N
n
nxN
x
N
k
NkmjeNklje
N
l
lxNknje
N
n
nxN
x
π
πππ
CIRCULAR CONVOLUÇÃO 1,...,1,0 ))((2
1
0
)(1)(3
)38.2.7(
1
0
contrário caso ,0
Nn))-((mpNn-m ,
0a dealor qualquer v para 1Na
N de múltiplo um é l-n-m quando 1a /)(2
1
0
1 ,
1
1
1 ,
a−=−−
=
=
−
=
=+=
=
≠==−−
−
=
=≠
−−
==
∑
∑
∑
NmNnmx
N
n
nxmx
N
k
lNka
Nlnmje
N
k
aa
a
Na
aNka π
MÉTODOS LINEAR DE FILTRAGEM BASEADOS NA DFT
� Um sistema com resposta em frequencia H(ω), quando excitado por um sinal de entrada que tem espectro X(ω), possuí um espectro de saídaY(ω)=X(ω) H(ω).
� Y(n) é determinado via transformada de Fourier inversa.
� Computacionalmente, o problema este domínio na frequencia é queY(ω),X(ω) e H(ω) são funções de variável contínua ω.Y(ω),X(ω) e H(ω) são funções de variável contínua ω.
� Como consequencia, a computação não pode ser feita em computadoresdigitais, pois o computador pode somente armazenar e realizar computaçãoem quantidades de frequencia discreta.
� A DFT realiza a computação em computadores digitais.
� Na verdade, operação no domínio da frequencia baseada na DFT écomputacionalmente mais eficiente do que a convolução no domínio dotempo devido a existencia de algoritmos eficientes para computar a DFT.
MÉTODOS LINEAR DE FILTRAGEM BASEADOS NA DFT
� USO DA DFT EM FILTRAGEM LINEAR� Foi demonstrado que o produto de duas DFTs é equivalente a convolução
circular da correspondente sequencia no domínio do tempo.
� Infelizmente, convolução circular é de nenhum uso para nós se nosso objetivo édeterminar a saída de um filtro linear para uma dada sequencia de entrada.
� Neste caso, procuramos uma metodologia no domínio da frequenciaequivalente a convolução linear.equivalente a convolução linear.
� Suponha que temos uma sequencia x(n) com duração finita de comprimento Lque excite um filtro FIR de comprimento M. ( h(n) é a resposta ao impulso dofiltro FIR )
� A sequencia de saída y(n) do filtro FIR pode ser expressa no domínio do tempocomo a convolução de x(n) e h(n)
Mnnnh
Lnnnx
≥<=
≥<=
e 0 ,0)(
e 0 ,0)(
∑−
=
−=1
0
)()()(
M
k
knxkhny
MÉTODOS LINEAR DE FILTRAGEM BASEADOS NA DFT
� USO DA DFT EM FILTRAGEM LINEAR� Desde que h(n) e x(n) são sequencias de duração finita, sua convolução é
também finita em duração. Na verdade, a duração de y(n) é L+M-1.
� No domínio da frequencia
� Se a sequencia y(n) é para ser representada unicamente no domínio dafrequencia por amostras de seu espectro Y(ω) em um conjunto de frequenciasdiscretas, o número de amostras distintas deve ser igual ou exceder L+M-1.
)()()( ωωω HXY =
discretas, o número de amostras distintas deve ser igual ou exceder L+M-1.Portanto, uma DFT de tamanho N ≥ L+M -1 é exigida para representar y(n)no domínio da frequencia.
1,....,1,0 )()()(
1,....,1,0 ,)()()(
1,....,1,0 ,)()(
/2
/2
−==
−==
−=≡
=
=
NkkHkXkY
NkHXkY
NkYkY
Nk
Nk
πω
πω
ωω
ω
MÉTODOS LINEAR DE FILTRAGEM BASEADOS NA DFT
� USO DA DFT EM FILTRAGEM LINEAR� Desde que h(n) e x(n) tem duração menos que N, acrescenta-se zeros nestas
sequencias para aumentar o comprimento para N. Este aumento no tamanho dasequencia não altera o espectro.
� Desde que a ( N=L+M-1 ) pontos da DFT da sequencia de saída y(n) ésuficiente para representar y(n) no domínio da frequencia, segue que amultiplicação da N pontos das DFTs X(k) e H(k) seguido pela computação damultiplicação da N pontos das DFTs X(k) e H(k) seguido pela computação daN pontos da IDFT, deve apresentar a sequencia y(n).
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