Redes de computadores - Propiedades de la transformada de ...

of 22 /22
Redes de computadores Propiedades de la transformada de Fourier Universidad de Santiago de Chile 11 de abril de 2018

Embed Size (px)

Transcript of Redes de computadores - Propiedades de la transformada de ...

Redes de computadores - Propiedades de la transformada de FourierUniversidad de Santiago de Chile
11 de abril de 2018
Repaso rapido
I Es posible obtener la serie de Fourier para senales no perodicas haciendo T →∞
I En ese caso el espectro de frecuencias |F (ω)| se vuelve continuo
I Luego se define la transformada y antitransformada de Fourier como
F (ω) = =(f (t)) =

Funcion impulso I
I Definamos la funcion impulso δ(t), como la derivada de la funcion escalon unitario no ideal ua(t) cuando a→∞
δ(t) = lm a→0
Funcion impulso II
∫ ∞ −∞
I Senales que generan impulsos
Funcion impulso III
I Transformada de la funcion impulso δ(t)
=(δ(t)) =
= e−j0 = 1 (8)
Transformadas que incluyen impulso II I Transformada de la funcion constante f (t) = A. Una forma de
calcular la transformada es definir la funcion constate como un pulso rectangular de ancho τ con τ →∞, lo cual es un resultado conocido, luego:
= [A] = lm τ→∞
2 ) (10)
Lo anterior calza con la definicion de impulso, generado a partir de la funcion sampling, por lo tanto
= [A] = 2πAδ(ω) (11)
I Calculemos la transformada de la funcion signo, definida como
sgn(t) =
Obtenemos la transformada calculando
= [sign(t)] = lm a→0
I Transformada de la funcion escalon unitario u(t), definida como
u(t) = 1/2 [1 + sgn(t)] (17)
Por lo tanto su transformada es
=(u(t)) = 1/2{= [1] + = [sgn(t)]} (18)
= πδ(ω) + 1
jω (19)
Transformadas que incluyen impulso V
I Senales sinusoidales cos(ω0t) y sin(ω0t). Es posible calcular la transformada para un intervalo (−τ/2, τ/2) y luego hacer τ →∞
Transformadas que incluyen impulso VI
=(cos(ω0t)) = lm τ→∞
= lm τ→∞
= lm τ→∞
Transformadas que incluyen impulso VII
I La transformada de un tren de impulsos δT (t) =
∑∞ n=−∞ δ(t − nT ) se puede obtener usando su serie de
Fourier
∞∑ n=−∞
=(δT (t)) = 1
Transformadas que incluyen impulso VIII
I En general la transformada de funciones periodicas queda definida como
=(f (t)) = = ∞∑
n=−∞ Fne
jnω0t (29)
= 2π ∞∑
Propiedades de la transformada de Fourier I
I Dualidad tiempo-frecuencia
I Linealidad Hereda esta propiedad de la integral
=a1f1(t) + a2f2(t) = a1F1(ω) + a2F2(ω) (34)
Propiedades de la transformada de Fourier II
I Propiedad escalar Comprimir una senal en el tiempo produce un espectro mas ancho
f (t)↔ F (ω) (35)
f (at)↔ 1
|a| F ( ω
a ) (36)
Propiedades de la transformada de Fourier III I Desplazamiento en el tiempo
La amplitud del espectro no cambia, pero s la fase en −ωt0
f (t)↔ F (ω) (37)
f (t − t0)↔ F (ω)e jωt0 (38)
I Desplazamiento en la frecuencia O modulacion, desplaza el espectro de frecuencias en ω0
f (t)↔ F (ω) (39)
f (t)e jω0t ↔ F (ω − ω0) (40)
Propiedades de la transformada de Fourier IV
I Derivada
df
τ=−∞ f (τ)dτ ↔ 1
Propiedades de la transformada de Fourier V I Convolucion
Se define la Convolucion como
f1(t) ∗ f2(t) =
Referencias