Redes de computadores - Propiedades de la transformada de ...
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Redes de computadoresPropiedades de la transformada de Fourier
Universidad de Santiago de Chile
11 de abril de 2018
Repaso rapido
I Es posible obtener la serie de Fourier para senales no perodicashaciendo T →∞
I En ese caso el espectro de frecuencias |F (ω)| se vuelve continuo
I Luego se define la transformada y antitransformada de Fourier como
F (ω) = =(f (t)) =
∫ ∞−∞
f (t)e−jωtdt (1)
f (t) = =−1(F (ω)) =1
2π
∫ ∞−∞
F (w)e jωtdω (2)
Funcion impulso I
I Definamos la funcion impulso δ(t), como la derivada de la funcionescalon unitario no ideal ua(t) cuando a→∞
δ(t) = lıma→0
d
dtua(t) (3)
= lıma→0
1
a[u(t)− u(t − a)] (4)
Funcion impulso II
I Mas formalmente, la funcion δ(t) cumple que
∫ ∞−∞
δ(t)dt = 1 (5)
δ(t) = 0, t 6= 0 (6)
I Senales que generan impulsos
Funcion impulso III
I Senales que generan impulsos
Transformadas que incluyen impulso I
I Transformada de la funcion impulso δ(t)
=(δ(t)) =
∫ ∞−∞
δ(t)e−jωtdt (7)
= e−j0 = 1 (8)
Transformadas que incluyen impulso III Transformada de la funcion constante f (t) = A. Una forma de
calcular la transformada es definir la funcion constate como un pulsorectangular de ancho τ con τ →∞, lo cual es un resultadoconocido, luego:
= [A] = lımτ→∞
AτSa(ωτ
2) (9)
= 2πA lımτ→∞
τ
2πSa(
ωτ
2) (10)
Lo anterior calza con la definicion de impulso, generado a partir dela funcion sampling, por lo tanto
= [A] = 2πAδ(ω) (11)
Transformadas que incluyen impulso III
I Calculemos la transformada de la funcion signo, definida como
sgn(t) =
{1 t > 0
−1 t < 0
O bien
sgn(t) = 2u(t)− 1 (12)
sgn(t) = lıma→0
[e−atu(t)− eatu(−t)
](13)
Transformadas que incluyen impulso IV
Obtenemos la transformada calculando
= [sign(t)] = lıma→0
[∫ ∞0
e−ate−jωtdt −∫ 0
−∞eate−jωtdt
](14)
= lıma→0
[−2jω
a2 + ω2
](15)
=2
jω(16)
I Transformada de la funcion escalon unitario u(t), definida como
u(t) = 1/2 [1 + sgn(t)] (17)
Por lo tanto su transformada es
=(u(t)) = 1/2{= [1] + = [sgn(t)]} (18)
= πδ(ω) +1
jω(19)
Transformadas que incluyen impulso V
I Senales sinusoidales cos(ω0t) y sin(ω0t). Es posible calcular latransformada para un intervalo (−τ/2, τ/2) y luego hacer τ →∞
Transformadas que incluyen impulso VI
=(cos(ω0t)) = lımτ→∞
∫ τ/2
−τ/2cos(ω0t)e−jωtdt (20)
= lımτ→∞
1/2
∫ τ/2
−τ/2(e−jω0t + e−jω0t)e−jωtdt (21)
= lımτ→∞
1/2
∫ τ/2
−τ/2(e−j(ω−ω0)t + e−j(ω+ω0)t)dt (22)
= lımτ→∞
τ
2Sa
[τ(ω − ω0)
2
]+τ
2Sa
[τ(ω + ω0)
2
](23)
= π [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] (24)
Transformadas que incluyen impulso VII
I La transformada de un tren de impulsosδT (t) =
∑∞n=−∞ δ(t − nT ) se puede obtener usando su serie de
Fourier
∞∑n=−∞
δ(t − nT ) =∞∑
n=−∞Fne
jnω0t (25)
Fn =1
T
∫ T/2
−T/2δ(t)e−jnω0t =
1
T(26)
Tomando la transformada de Fourier
=(δT (t)) =1
T
∞∑n=−∞
=(e jnω0t) (27)
=2π
T
∞∑n=−∞
δ(ω − nω0) (28)
Transformadas que incluyen impulso VIII
I En general la transformada de funciones periodicas quedadefinida como
=(f (t)) = =∞∑
n=−∞Fne
jnω0t (29)
=∞∑
n=−∞Fn=(e jnω0t) (30)
= 2π∞∑
n=−∞Fnδ(ω − nω0) (31)
Tabla de transformadas utiles I
Tabla de transformadas utiles II
Propiedades de la transformada de Fourier I
I Dualidad tiempo-frecuencia
f (t)↔ F (ω) (32)
F (t)↔ 2πf (−ω) (33)
I LinealidadHereda esta propiedad de la integral
=a1f1(t) + a2f2(t) = a1F1(ω) + a2F2(ω) (34)
Propiedades de la transformada de Fourier II
I Propiedad escalarComprimir una senal en el tiempo produce un espectro mas ancho
f (t)↔ F (ω) (35)
f (at)↔ 1
|a|F (ω
a) (36)
Propiedades de la transformada de Fourier IIII Desplazamiento en el tiempo
La amplitud del espectro no cambia, pero sı la fase en −ωt0
f (t)↔ F (ω) (37)
f (t − t0)↔ F (ω)e jωt0 (38)
I Desplazamiento en la frecuenciaO modulacion, desplaza el espectro de frecuencias en ω0
f (t)↔ F (ω) (39)
f (t)e jω0t ↔ F (ω − ω0) (40)
Propiedades de la transformada de Fourier IV
I Derivada
f (t)↔ F (ω) (41)
df
dt↔ jωF (ω) (42)
dnf
dtn↔ (jω)nF (ω) (43)
I Integral
f (t)↔ F (ω) (44)∫ t
τ=−∞f (τ)dτ ↔ 1
jωF (ω) + πF (0)δ(ω) (45)
Propiedades de la transformada de Fourier VI Convolucion
Se define la Convolucion como
f1(t) ∗ f2(t) =
∫ ∞−∞
f1(τ)f2(t − τ)dτ ∀t (46)
Convolucion en el tiempo
f1(t) ∗ f2(t)↔ F1(ω)F2(ω) (47)
Convolucion en la frecuencia
f1(t)f2(t)↔ 1
2πF1(ω) ∗ F2(ω) (48)
Resumen propiedades I
Referencias
1. Lathi B.P., Introduccion a la Teorıa y Sistemas de Comunicacion,Cap. 1