9. Aplicación de la Transformada de Laplace a los sistemas LTI (I)

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )TLstX s x t e dt TL x t t X s∞ −≡ ≡ ⎯⎯→∫ x

s ∈ ¢, X(s) ∈ ¢s=σ+jω

La definición dada tiene sentido únicamente para funciones causalesω corresponde a una pulsaciónPara que la Transformada de Laplace (TL) de x(t) exista deben existir algunos valores de la variable s para los cuales la integral converja. En caso contrario no existe X(s). Al conjunto de valores de s para los cuales la integral converge, se le llama región de convergencia(ROC) de X(s) ≡ ROCX.La ROC se representa en el plano ¢ mediante una zona sombreada, Su representación será tridimensional

Diagrama de polos y ceros (I)

Ceros: valores de s que anulan a X(s). Por notación: CERO ≡ oPolos: valores de s que hacen ∞ a X(s). Por notación: POLO ≡ x

Cuando la TL proviene de: una combinación lineal de exponenciales complejas, o de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales decoeficientes constantes, entonces:

La expresión algebraica de la transformada es un cociente de polinomios. En este caso se dice que se trata de una transformada racional

( )( ) ; ( ) ( )( )

N sX s N s D s sD s

= donde y son polinomios en

Diagrama de polos y ceros (II)

Si H(s) es cociente de polinomios en s:

11 1 0

11 1 0

( )n n

n nm m

m m

b s b s b s bH sa s a s a s a

−−

−−

+ + + +=

+ + + +L

L

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

n

m

s c s c s cH s ks p s p s p

− − −=

− − −L

L

ci: ceros del sistema

pi: polos del sistema

Salvo un factor, cualquier polinomio queda definido por sus raíces2

1 2

1 2

( 2)( ) ;( 1)( 2)

21; 2

sX ss sc cp p

−=

+ += == − = −

Ceros: Polos:

Diagrama de polos y ceros (III)

Coeficientes de H(s) reales ceros y polos reales o complejos conjugados

Ejemplo 1:1 1( ) 1H s

RC sRC

=+

Ejemplo 2:

( ) 2( 1 2 )( 1 2 )

sH ss j s j

=+ − + +

σ

jω

plano s

2jcero en ∞

-2j

-1-1/RC

cero en ∞

eje real σ

eje imaginario jω

plano s

La ROC de X(s) es un semiplano que se extiende hacia la izquierda del plano s

Para TL racionales, la ROCX no contiene ningún polo: por definición de ROC, en todos los puntos de la misma, la integral debe converger

Propiedades de la ROC (I)

−2 0 2 4 σ

jω

(2)

ROCX

Propiedades de la ROC (II)

Si x(t) es de duración finita y existe al menos un punto s0 para el cual X(s) converge, entonces la ROCX es todo el plano s

T1 T2 t

x(t)

Señal de duración finita ⇒ ROCX =∀ s

jω

ROCX

σ

Propiedades de la ROC (III)

Si x(t) es señal derecha y existe al menos un punto s0 para el cual X(s) converge, entonces todos los valores Res > Res0 pertenecen a la ROCX

Señal derecha:x(t)=0, ∀t<T1

T1 t

x(t)jω

ROCX

σ

Señal x(t) derecha ⇒ ROCX a la derecha del polo de mayor parte real

X(s) Y(s)= X(s)H(s)S1 LTIH(s)

x(t) y(t)=x(t)∗h(t)S1 LTI h(t)

Sea un sistema LTI de tiempo continuo con respuesta al impulso Sea un sistema LTI de tiempo continuo con respuesta al impulso hh((tt))

Si Si xx((tt)), , hh((tt) e ) e yy((tt) tienen TL, y aplicando la propiedad de convoluci) tienen TL, y aplicando la propiedad de convolucióón, n, obtenemos en el dominio transformado:obtenemos en el dominio transformado:

9. La Función de Sistema (I)

HROC;)()()(

sXsYsH = ( ) ( ) ( )stH s h t e dt TL h t

∞−

−∞

≡ =∫

H(sH(s)) ΞΞ FunciFuncióón de sisteman de sistema

0

La función de sistema (II)

La expresión algebraica de la función de sistema, H(s), se puede obtener como la relación entre TL de la salida y la entrada.

No es necesario que la entrada sea un impulso unidad.

A esta función también se le llama función de transferencia del sistema

Si la expresión algebraica de la función de sistema es de tipo racional, podemos expresar H(s) en función de los polos pi y los ceros ciSuponiendo raíces simples:

La respuesta en frecuencia equivale a la función de sistema particularizada en s=jω

Función de sistema vs. respuesta en frecuencia (I)

( )

( )⇒

−

−==

∏∏

ii

ii

ps

csk

sDsNsH)()()(

)())(()())(()(

21

21

n

m

pspspscscscsksH

−−−−−−

=L

L

|H(ω)|: Amplitud de la respuesta en frecuencia (o respuesta en amplitud)ÊH(ω): Fase de la respuesta en frecuencia (o respuesta en fase)

( ) ( ) jH H ss j

ωωω

∈== H ROC ,

La respuesta en frecuencia se puede evaluar a partir del diagrama de polos y ceros

Eje jω del plano ¢: “eje de frecuencias”.

El módulo se puede calcular como el producto de distancias desde el punto sobre el eje jω hasta cada uno de los ceros, dividido por el producto de distancias desde el punto sobre el eje jω hasta cada uno de los polos (salvo una constante):

1 2

1 2

( ) m

n

j c j c j cH k

j p j p j pω ω ω

ωω ω ω

− − −=

− − −L

L

Distancias de los ci al eje jω

Distancias de los pi al eje jω

Función de sistema vs. respuesta en frecuencia (II)

Algo más sobre polos y ceros…

Los polos y los ceros de la expresión de la TL caracterizan la función en el dominio del tiempo casi completamente

σ

ω

Consideramos la forma general de una e.d.l.c.c. (N y M≥0):

Dos solucionesSolución homogénea (régimen libre o transitorio)

Solución completa (régimen forzado o permanente)

y(t)=yh(t)+yp(t)∑∑==

=M

kk

k

k

N

kk

k

k dttxdb

dttyda

00

)()(

∑∑==

=⇒=N

k

tkh

N

kk

k

kiecty

dttyda

10

)(0)( λ

1

0 son soluciones de N

ki k

k

a sλ=

=∑ Soluciones del pol. característico

Para hallar ck es necesario conocer las condiciones iniciales:

0)( , ,

0)( ,

0)( ),0( 1

1

2

2

=== −

−

tdttyd

tdttyd

tdttdyy N

N

L

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (I)

Para un sistema lineal, si la entrada x(t) es nula, la salida y(t) también.

y la ecuación queda reducida al caso homogéneo.

Para que la solución homogénea sea nula, todas las constantes ckdeben ser nulas, y para ello es necesario que todas las condiciones iniciales sean nulas ⇒

0)( )()( 0)( Si 2

2

====⇒= M

M

dttxd

dttxd

dttdxtx L

Para que un sistema descrito por una e.d.l.c.c. sea lineal, es necesario que todas las condiciones iniciales sean nulas

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (II)

Supongamos que todas las condiciones iniciales de la siguiente e.d.l.c.c. son nulas

Supongamos que la entrada x1(t) da lugar a la solución particular y1(t) y que la entrada x2(t) da lugar a la solución particular y2(t). Si tomamos una entrada x3(t) = ax1(t)+bx2(t) se cumplirá:

∑∑==

=M

kk

k

k

N

kk

k

k dttxdb

dttyda

00

)()(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 1 0

11 1 0

n nn n

m mm m

a y t a y t a y t a y t

b x t b x t b x t b x t

−−

−−

′+ + + +

′= + + + +

L

L

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (III)

( )

( )∑∑

∑∑∑∑

∑∑

==

====

==

+=

⇒+=+=

=+

=

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

M

kk

k

k

dttytyd

adt

txdb

dttyda

dttyda

dttxdb

dttxdb

dttxtxdb

dttxd

b

0

21

0

3

0

2

0

1

0

2

0

1

0

21

0

3

)()()(

)()()()(

)()()(

βα

βαβα

βα

Observamos que la entrada x3(t) = ax1(t)+bx2(t) da lugar a la solución y3(t) = ay1(t)+by2(t) si se cumple que todas las condiciones iniciales son nulas. Si alguna condición inicial fuera no nula habría que añadir la solución homogénea yh(t)≠0 a y3(t) y el sistema sería no lineal

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (IV)

Invarianza en el tiempo de un sistema descrito por una e.d.l.c.c.Como todos los coeficientes son constantes y la derivada es invariante en el tiempo, un sistema descrito por una e.d.l.c.c. seráinvariante si las condiciones iniciales son invariantes en el tiempo, es decir, si al retrasar o adelantar la señal de entrada, las “condiciones iniciales” se desplazan en el tiempo en la misma cantidad que la señal de entrada

Linealidad de un sistema descrito por una e.d.l.c.c.Un sistema descrito por una e.d.l.c.c. será LTI si y sólo si las condiciones iniciales son nulas y trasladables en el tiempo. A esa situación se le llama reposo inicial. Por tanto:

Un sistema descrito por una e.d.l.c.c. será LTIsi y sólo si parte del reposo inicial

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (V)

Sea un sistema descrito por una e.d.l.c.c. que parte de reposo inicial (LTI):

Consideramos que N y M son positivos (sólo aparecen derivadas)Suponemos que a0 es no nulo (aparece y(t))Aplicamos TF a ambos lados de la ecuación

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (VI)

( ) ( )

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )k kN M N M

k kk k k kk k

k k k k

d y t d x ta b a y t b x tdt dt= = = =

= ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

N N M Mk kk k

k k k kk k k k

a TF y t a j Y b TF x t b j Xω ω ω ω= = = =

= = =∑ ∑ ∑ ∑

( )

( )0

0

( )( )( )

Mk

kkN

kk

k

b jYHX a j

ωωωω ω

=

=

= =∑

∑

Sea un sistema definido por e.d.l.c.c. que parte del reposo inicial

Aplicando TL se tiene:

( ) ( )

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )k kN M N M

k kk k k kk k

k k k k

d y t d x ta b a y t b x tdt dt= = = =

= ⇒ =∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

0 0 0 0

( ) ( )

0 0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

N N N Nk k k k

k k k kk k k k

M M M Mk k k k

k k k kk k k k

N Mk

k kk k

TL a y t a TL y t a s TL y t a s Y s

TL b x t b TL x t b s TL x t b s X s

Y s a s X s b s

= = = =

= = = =

= =

⎧ ⎫ = = =⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫ = = =⎨ ⎬⎩ ⎭

=

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑Igualando ambos términos se tiene: k ⇒

Sistema causal ⇒ ROCH está a la derecha del polo de mayor parte real

kN

kk

kM

kk

sa

sb

sXsYsH

∑

∑

=

===

0

0

)()()(

10. Respuesta en frecuencia de sistemas caracterizados por e.d.l.c.c. (VII)

H(s). Ejemplo (I)

Ejemplo 1:Ejemplo 1:

2

1

( )( )( )

V sH sV s

=

1

( ) 1sCH s

RsC

=+

11 sRC

=+

1 11RC s

RC

=+

1

2

1( )( ) 1

V ssCV s

RsC

=+

R=1Ω

V1(s) C=1F V2(s)

Módulo de H(s). Ejemplo (I)

Eje jω

Eje σ

|H(s)|

-1

cero en ∞

σ

jω

plano s

Ejemplo 1RC

sRCsH 1

11)(+

=

Si damos valores:

C=1 F, R=1 Ω

11)(+

=s

sH

H(s). Ejemplo (II)

Ejemplo 2:Ejemplo 2:

2

1

( )( )( )

V sH sV s

=

( )( )1( )

I s RH sI s sL R

sC

=⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1R s

RL s sL LC

=+ +

2 1/Rs

s L Rs C=

+ +

Si damos valores: L=1 H, C=1/5 F, R=2 Ω

2( ) 2 22 5 ( 1 2 )( 1 2 )s sH s

s s s j s j= =

+ + + + + −

RV1(s) V2(s)

I (s) 1/sCsL

Módulo de H(s). Ejemplo (II)

Eje σ

Eje jω

|H(s)|

Ejemplo 22j

cero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

)21)(21(2)(

jsjsssH

++−+=

jω

σ

Amplitud de la respuesta en frecuencia

Eje σ

Eje jω

|H(s)|Respuesta en

amplitud

2jcero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

10. Introducción al filtrado

Filtro paso bajoPrimer ordenSegundo orden

Filtro paso alto Primer ordenSegundo orden

Filtro paso banda

Filtro paso bajo de 1er orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Un polo y un ceroUn polo y un cero

σ

jω

plano s

1)( 0

+=

c

sHsH

ω

0

1c

HH( ) jω ωω

=+

Diagrama de polos y ceros Función de

transferenciaRespuesta en

frecuencia

02

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

|H(ω)|

ωc ω

H0

0

2H

Respuesta en amplitud

cero en ∞

-ωc

Filtro paso bajo de 1er orden (II)

Eje jω

Eje σ

|H(s)|

-1

cero en ∞

σ

jω

plano s

11)(+

=s

sH

|H(jω)|

ωc ω

H0

Filtro paso bajo de 1er orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

11)(+

=s

sH

|H (jω)|

ω

H0

20H

ωc=

-1

cero en ∞

σ

jω

plano s

Filtro paso bajo de 2o orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Dos polos y dos cerosDos polos y dos ceros

Función de transferencia

bassHsH

++= 2

0)(

Posible aproximación

22

2

0 2)(

cc

c

ssHsH

ωωω

++=

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros

cero doble en ∞

σ

jω

plano s

cero doble en ∞)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

Filtro paso bajo de 2o orden (II)|H(jω)|

ωc ω

H0

Respuesta en frecuencia

Respuesta en amplitudσ

jω

plano s

cero doble en ∞)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

22

2

0 2)(

cc

c

ssHsH

ωωω

++=

2

0 2 22c

c c

H( ) Hj

ωωω ω ω ω

=− + +

04

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

|H(ω)|

ωc ω

H0

0

2H

1er orden

2o orden

( )

2

0 22 2 2 22

c

c c

H( ) H ωωω ω ω ω

=− +

44

2

0ωω

ω+

=c

cH

Filtro paso bajo de 2o orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

Ejemplo 3:Ejemplo 3:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=R

sCsL

RsC

sVsV

//1

//1)()(

1

2

)()()(

1

2

sVsVsH =

RsLLCRsR

++= 2

sCRsC

R

sCRsC

RsL

1

1

1+

++

=1

1

1+

++

=RsC

R

RsCRsL

RsLLCRsR

ssH

cc

c

++=

++ 222

2

0 2 ωωω

)/(1)/()/(11 2 LCRCss

LC++

=

Si se usa la aproximación anterior:

RV1(s) V2(s)C

L

Filtro paso bajo de 2o orden (IV)|H(jω)|

ωc ω

H0

j

σ

jω

plano s-j

-1

cero doble en ∞

Eje jω

Eje σ

|H(s)|

222)( 2 ++

=ss

sH10 =H22 =cω

jω

σ

Filtro paso bajo de 2o orden (V)|H(jω)|

ωc ω

H0

j

σ

jω

plano s-j

-1

cero doble en ∞

H0

20H

|H (jω)|

2=cωω

222)( 2 ++

=ss

sH

Filtro paso alto de 1er orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Un polo y un ceroUn polo y un cero

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros Función de

transferenciaRespuesta en

frecuencia

Respuesta en amplitud

-ωc s

Hs

sHsHcc

ωω +=

+=

1)( 0

00

1 c

HH( )j

ω ωω

=−

02

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

|H(jω)|

ωc ω

H0

20H

Filtro paso alto de 1er orden (II)|H(jω)|

ωc ω

H0

L

L

RsC

R

RsVsV++

= 1)()( 12

)()()(

1

2

sVsVsH =

)(1

L

L

L

RRCs

sRR

R

+++

=

1L

L

R

R RsC

= =+ +

1)( ++=

L

L

RRsCsCR

cssHsHω+

= 0)(

Si damos valores: R=1 Ω, RL=1 Ω, C=0.5 F:12

1)(+

=s

ssH

RLV1(s) V2(s)

CR

Filtro paso alto de 1er orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

Eje σ

Eje jω

|H(s)|-1 σ

jω

plano s

121)(

+=

sssH

jω

σ

Filtro paso alto de 1er orden (IV)|H(jω)|

ωc ω

H0

-1 σ

jω

plano s

121)(

+=

sssH

H0

20H

ωc=

|H (jω)|

ω

Filtro paso alto de 2o orden (I)|H(jω)|

ωc ω

H0

Dos polos y dos cerosDos polos y dos ceros

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros

Función de transferencia2

0 2( ) sH s Hs as b

=+ +

σ

jω

plano s

(2)

)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

Posible aproximación2

0 2 2( )

2 c c

sH s Hs s ω ω

=+ +

(2)

Filtro paso alto de 2o orden (II)|H(jω)|

ωc ω

H0

Respuesta en frecuencia

Respuesta en amplitud

σ

jω

plano s

(2)

)1(2

jc +−ω

)1(2

jc −−ω

22

2

0 2)(

ccsssHsH

ωω ++=

2

0 2 22 c c

H( ) Hj

ωωω ω ω ω

−=

− + +

04

1c

HH( )ωωω

=⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2 20

0 02 4 4 42 2 2 22 1c cc c

HH( ) H Hω ωωω ω ωω ω ω ω

ω

= = =+ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ |H(ω)|

ωc ω

H0

20H

1er orden

2o orden

Filtro paso alto de 2o orden (III)|H(jω)|

ωc ω

H0

( )( )L

L

RsLsC

R

RsLsVsV//1

//)()( 12

++=

)()()(

1

2

sVsVsH =

LLL

L

RLCRRsRRLCsCLRs

++++=

)()(2

2

11

L

L L

L

sLRsLR sL RR

sC sL R

= =++ +

+

LL

L

L

sLRsC

RsLRRRsL

sLR

++

++=

22

2

0 2)(

ccsssHsH

ωω ++=

Si se usa la aproximación anterior:

)()()( 2

2

L

L

L

LL

L

RRLCR

RRLCLCRRss

sRRLC

LCR

++

++

++=

RLV1(s) V2(s)

CR

L

Filtro paso alto de 2o orden (IV)|H(jω)|

ωc ω

H0

125.0)( 2

2

++=

ssssH

5.00 =H1=cω

Eje σ

Eje jω

|H(s)| (2)

σ

jω

plano s

)1(2

1 j+−

)1(2

1 j−−

jω

σ

Filtro paso alto de 2o orden (V)|H(jω)|

ωc ω

H0

125.0)( 2

2

++=

ssssH

(2)

σ

jω

plano s

)1(2

1 j+−

)1(2

1 j−−

H0

20H

|H (jω)|

ωωc=

Filtro paso banda (I)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

σ

jω

plano s

Diagrama de polos y ceros Función de transferenciacero en ∞

20

20)(ω++

=BssBsHsH

Respuesta en frecuencia

Respuesta en amplitud

0 2 20

BjH( ) Hj B

ωωω ω ω

=− + +

( ) ( )0

0 2 22 2 22 200 1

HBH( ) HB

B

ωωω ωω ω ω

ω

= =⎛ ⎞−− +

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Filtro paso banda (II)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

20H

=

⎩⎨⎧

=

=−2021

12

ωωω

ωω

cc

cc B

|H(ω)|

ω

022 2

0 1

HH( )

B

ωω ω

ω

=⎛ ⎞−

+⎜ ⎟⎝ ⎠

020

2 =−±⇒ ωωω B

1222

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⇒

Bωωω

122

0 ±=−

⇒Bωωω

ωc1 ω0

H0

20H

ωc2

B

24 2

02 ω

ω+±±

=BB

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=

++=

24

24

20

2

1

20

2

2

ωω

ωω

BB

BB

c

c

Filtro paso banda (III)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

Ejemplo 6:Ejemplo 6:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

L

L

RsLsC

R

RsLsC

sVsV

////1

////1)()(

1

2

)()()(

1

2

sVsVsH =

RLRLRsLCRssL

L +++=

)/(2

1 11 1 1

1 1L

L

R sCsL RsC

sL R

= ⋅ =+ + +

+ +

1

1

+++=

RsCRR

sLR

L

20

20)(ω++

=BssBsHsH

Igualando términos:

LCRCRRRss

RCRRRs

RRR

L

L

L

L

L

L

12 ++

+

+

⋅+

=

RLV1(s) V2(s)C

R

L

Filtro paso banda (IV)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

L

L

RRRH+

=0

L

L

CRRRRB +

=

LC12

0 =ω

Si imponemos condiciones:H0=0.5, B=2 rad/s, ω0=5½ rad/s, R=1Ω

Ω=1LR

5225.0)( 2 ++

=ssssH

FC 1=

HL 5=

)21)(21( jsjss

++−+=

2jcero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

Filtro paso banda (IV)|H(jω)|

ωc1 ω

H0

ωc2

2jcero en ∞

σ

jω

plano s-2j

-1

)21)(21(2)(

jsjsssH

++−+=

jω

σ

H0

20H

|H (jω)|

ωωc1ωc2ω0

Síntesis

1. Desarrollo en serie de Fourier

2. Transformada de Fourier

Ecuación de síntesis del CTFS

Ecuación de análisis del CTFS0

0

0

0

1 ( ) e

( ) e

jn tn

T

jk tk

k

a x t dtT

x t a

ω

ω

−

∞

=−∞

=

=

∫

∑

( ) ( ) e

( ) ( )

12

j t

j t

x t X d

X x t e dt

ω

ω

ω ωπ

ω

∞

−∞

∞ −

−∞

=

=

∫

∫ Ecuación de análisis de la CTFT

Ecuación de síntesis de la CTFT

Síntesis

3. Los coeficientes ak de la extensión periódica son muestras equiespaciadas de la función X(ω)

4. CTFT para señales periódicas

5. Relación con la función de sistema:

6. Principio de incertidumbre: Las propiedades de escalado en el tiempo y en frecuencia nos indican que si una señal se expande en uno cualquiera de los dominios, t o ω (f), inevitablemente se comprime en el dominio complementario.

00

1 ( )ka XkT

ωω ω

==

( ) ( ) e ( ) ROC , j t jH h t dt H ss j

ω ωωω

∞ −

−∞∈= =

=∫

00

-

( ) 2 ( ) jk t TFk k

k k

x t a e a kω π δ ω ω∞ ∞

= ∞ =−∞

= ←⎯→ −∑ ∑

LTI H(s)

( ) 0j tx t e ω= ( ) ( ) ( )0y t x t H ω=

7. Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas

( ) 0jk tk

kx t a e ω

∞

=−∞

= ∑ ( ) ( ) 00

jk tk

k

y t a H k e ωω∞

=−∞

= ∑8. Respuesta en frecuencia de sistemas LTI de tiempo continuo (sólo si s=jω ⊂ ROCH)

( ) ( ) ( ) ( )( )

j t YH h t e dt H s

s j Xω ω

ωω ω

∞ −

−∞= = =

=∫9. Respuesta en frecuencia de sistemas LTI descritos por e.d.l.c.c.

( ) ( )( )

( )

( )0

0

Mk

kkN

kk

k

b jYH

X a j

ωωω

ω ω

=

=

= =∑

∑

Síntesis