Resumen transformada de lalace
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1. Definici´ on: L{f (t)}(s)= R ∞ 0 e -st f (t) dt. 2. Linealidad: L{αf (t)+ βg(t)}(s)= α L{f }(s)+ β L{g}(s). 3. Translaci´ on: si ˆ u(s)= L{u(t)}(s) entonces ˆ u(s - a)= L{e at u(t)}(s). 4. Translaci´ on y truncamiento: L{H (t - a)u(t - a)}(s)= e -as L{u}(s). 5. Derivada n-esima: L{f 0 (t)}(s) = s L{f }(s) - f (0 + ). L{f 00 (t)}(s) = s 2 L{f }(s) - sf (0 + ) - f 0 (0 + ). L{f (n) (t)}(s) = s n L{f }(s) - s n-1 f (0 + ) - s n-2 f 0 (0 + ) -···- f (n-1) (0 + ). 6. Transformada de la integral: L n R t a f (r) dr o (s) = 1 s L{f }(s) - 1 s R a 0 f (t) dt. L Z t 0 ··· Z t 0 | {z } n-veces f (t)dt . . . dt (s) = 1 s n L{f }(s). R ∞ s L{u}(γ ) dγ = L{ u(t) t } (s) . 7. Producto y convoluci´ on L{u}L{v} = L{ R t 0 u(t - y)v(y) dy}. L{u * v} = L{u}L{v} , donde (u * v)(t)= R t 0 u(t - y)v(y) dy. 8. Transformada de una funci´on peri´ odica f (s) con per´ ıodo p> 0 L{f (t)}(s)= R p 0 e -st f (t) dt 1 - e -ps . 9. Propiedades varias L{e at f (t)}(s) = L(f )(s - a). L{t n f (t)}(s) = (-1) nd n ds n L{f }(s). L{H (t - a)g(t)}(s) = e -as L{g(t + a)}(s). L{ f (t) t }(s) = R ∞ s L{f }ds , si l´ ım t→0 + f (t) t existe. Resumen 1 Transformada de Laplace
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notas sobre la transfrmada
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1. Definicion: L{f(t)}(s) = 0es tf(t) dt.
2. Linealidad: L{ f(t) + g(t)}(s) = L{f}(s) + L{g}(s).3. Translacion: si u(s) = L{u(t)}(s) entonces u(s a) = L{eatu(t)}(s).4. Translacion y truncamiento: L{H(t a)u(t a)}(s) = easL{u}(s).5. Derivada n-esima:
L{f (t)}(s) = sL{f}(s) f(0+).L{f (t)}(s) = s2L{f}(s) s f(0+) f (0+).L{f (n)(t)}(s) = snL{f}(s) sn1 f(0+) sn2f (0+) f (n1)(0+).
6. Transformada de la integral:
L{ t
af(r) dr
}(s) = 1
sL{f}(s) 1
s
a0f(t) dt.
L
t0
t0
n-veces
f(t)dt . . . dt
(s) = 1snL{f}(s).sL{u}() d = L{u(t)
t} (s) .
7. Producto y convolucion
L{u}L{v} = L{ t0u(t y)v(y) dy}.
L{u v} = L{u}L{v} , donde (u v)(t) = t0u(t y)v(y) dy.
8. Transformada de una funcion periodica f(s) con perodo p > 0
L{f(t)}(s) = p0es tf(t) dt1 ep s .
9. Propiedades varias
L{eatf(t)}(s) = L(f)(s a).L{tnf(t)}(s) = (1)n dn
dsnL{f}(s).
L{H(t a)g(t)}(s) = easL{g(t+ a)}(s).L{f(t)
t}(s) =
sL{f}ds , si lmt0+ f(t)t existe.
Resumen
1 Transformada de Laplace
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1. Linealidad de la transformad inversa:
L1{ f(t) + g(t)} = L1{f}+ L1{g}.
2. Translacion:L1{v(s a)} = easL1{v}.
3. Derivada de la transformada inversa:
L1{ dn
dsnv(s)} = (1)ntnL1{v}.
4. Integral
L1{v(s)s} = t
0L1{v}(r) dr.
L1 {sv(r) dr
}= 1
tL1{v}.
5. Convolucion:L1{v(s)w(s)} = L1{v} L1{w}.
A continuacion presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace dealgunas funciones
L{1} = 1s
, L{(t)} = 1L{eat} = 1
sa , L{(t a)} = easL{tn} = n!
sn+1, L{ tn1eat
(n1)! } = 1(sa)n (n 1)L{sen at} = a
s2+a2, L{ 1
2a3(sen at at cos at)} = 1
(s2+a2)2
L{cos at} = ss2+a2
, L{ 12a3
(sen a t+ a t cos a t)} = s2a2(s2+a2)2
L{senh at} = as2a2 , L{
t0
t2nL1[ 1
(s2+a2)n] dt} = 1
(s2+a2)n+1
L{cosh at} = ss2a2 , L{ t2nL1[ 1(s2+a2)n ]} = s(s2+a2)n+1
Nota:La funcion (t t0) es la funcion Delta de Dirac definida como sigue
(t t0) ={ si t = t0
0 si t 6= t0y ademas
(t t0) dt = 1.
2 Transformada inversa de Laplace
