Unidad II: Variables Aleatorias

Concepto Discreta y Continua

Fun. de densidadFun. de probabilidad

F. de distribución

Esperanza y Varianza Propiedades

El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica.

En estos casos aparece la noción de variable aleatoria

2.1 Concepto de Variable aleatoria

Función que asigna a cada elemento del espacio muestral un número

2.1 Variable Aleatoria: Notación

- Las letras mayúsculas (X, Y, Z, etc) representarán a las variables aleatorias.

- La letra griega ω representará un elemento genérico del espacio muestral.

- X(ω) será la representación funcional de la variable aleatoria X.

- Las letras minúsculas (x, y, z, etc) representarán valores particulares en el recorrido de la variable.

Def.: Se dice que una aplicación

xX

X :

que a cada suceso elemental hace corresponder un número real, es una v.a. si

ebraAxXAx lg/,

Propiedades:

1.- Por ser A un suceso, tiene definida una

probabilidad, y por tanto, podemos obtener la

probabilidad de que la v.a. tome valores inferiores

a un x dado:

xXPAP

2.- Se puede obtener también la probabilidad de

que una v.a. tome valores dentro de un intervalo:

aXPbXPbXaP

3.- Dadas dos v.a. X e Y, definidas sobre un

mismo espacio de probabilidad, se puede definir la

suma, resta, producto y cociente (con

denominador no nulo), obteniéndose otra

aplicación que verifica también la condoción de

v.a.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V.A

Es una función de una v. real que se introduce

para conocer cómo se renarte la probabilidad de

los valores que toma una v.a.

Se define como la función

xxXPxF

Propiedades:

1.- 10 xF

3.- F(X) es no decreciente

4.- F(X) es contínua a la derecha

5.- aFbFbXaP

ss

cs

sc

cc

,

,

,

,

X = Número de caras que aparecen al lanzar dos monedas

V. A. DISCRETA

2,1,0XR0

1

2

X

Función de probabilidad (V. A. Discretas)

• Asigna a cada posible valor de una v.a.d. su probabilidad.

Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y

diagrama de barras.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 1 2 3

X 0 1 2 3 xXp 81 83 83 81

EjemploX = Número de caras al lanzar 3 monedas.

?X = Número de ampolletas seleccionadas azules

2,1,0XR

X = 0 X = 1 X = 2

x 0 1 2

P( X = x ) 3/28 15/28 10/28

2

828# 3

0

5

2

3

151

5

1

3

10

2

5

0

3

Función de densidad (V. A. Continuas)

Es una función no negativa de integral 1 Piénsalo como la generalización

del histograma con frecuencias

relativas para variables continuas.

¿Para qué lo voy a usar?

- Nunca lo vas a usar directamente.

- Sus valores no representan probabilidades.

¿Para qué sirve la f. densidad?

• Muchos procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma que son conocidas las probabilidades en intervalos.

• La integral definida de la función de densidad en dichos intervalos coincide con la probabilidad de los mismos.

• Es decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el área bajo la función de densidad.

1)

0 )

dxxfii

xxfi

X

X

Una variable aleatoria X es continua si su recorrido es un intervalo de la recta real.

2.3 Variables Aleatorias Continuas

Función de Densidad de probabilidad: f ( x )

b

aX dxxfbXaP )(

Ejemplo

0,2

1)(

.2/11

2/

2/

xexf

cdxce

xX

x

tanto, lo Por que obtiene se , que hecho el Utilizando0

6

36)2/1(2/ 05.0)2/1()6( eedxeXP x

X= concentración diaria del contaminante por cada 103 litros

?cualquiera día un en tecontaminan este de polución de problema un ocurra

que adprobabilid la es ¿Cuál 6 los excede iónconcentrac la si nación

-contami de problema un ocurrirá que sabe Se densidad

de función tiene arroyo un en tecontaminan cierto de diaria iónconcentrac La

.10/

.0,)(

3

2/

ltmg

xcexf xX

Y la probabilidad que ocurra el problema de polución es:

Ejemplo

0 1

0 0)(

2/2xe

xxH

x

Claramente H(x) satisface las condiciones (1) – (4), por lo tanto H corresponde a la función de distribución acumulada de alguna variable aleatoria X.

Siendo el gráfico de la función el siguiente:

Cambio de variable

Sea X una v.a.c. con f.d.p xf . Sea yfy una función

continua y biyectiva que define un cambio de variable YX .

Supongamos que existe y es derivable la función inversa

yxx . Entonces, la función de densidad de la v.a. Y es:

dydx

yxfyf XY

Esperanza y varianza de una variable aleatoria

Def. de Esperanza: la esperanza matemática es una generalización del concepto de media aritmética. Dada una muestra de n valores observados de un variable X, con sus respectivas frecuencias:

n

nffffrecxxxX

... : ... :

21

21

n

ii nf

1

La media muestral es:

n

i

ii

n

iii n

fxxf

nx

11

1 Frec.relativa

Por tanto, la frecuencia relativa se puede considerar como la probabilidad que tiene el valor xi de presentarse en la muestra total de tamaño n. Luego,

n

iii

ii xXPxx

n

fxXP

1

Esta forma de expresar la media de la muestra, sugiere la definición de Esperanza en el caso discreto

Significado de la esperanza:

1.Como valor medio teórico de todos los valores que puede tomar la variable. Representa una medida de centralización.

2. Como centro de gravedad de los puntos que corresponden a los valores de la variable, asignándoles una cantidad de masa proporcional a la función de densidad en cada punto.

3.Si la v.a. es la ganancia o pérdida en un determinado juego al azar, la esperanza representa la ganancia por jugada. Un juego es equitativo si su esperanza es cero.

1.La esperanza es lineal, es decir: cualesquiera sean

las v.a. X e Y:

E [X+Y] = E [x] + E [Y]

E[aX+b] = a E [x] + b, a y b constantes

2. Si las v.a. X e Y son independientes,

E [XY] = E [x] E [Y]

3. La esperanza está influenciada por los valores

extremos de la variable debido a su interpretación

como centro de gravedad de una masa lineal.

Propiedades de la Esperanza

4. Si Y = g(X) es una variable obtenida a partir de X

mediante una función continua g, la esperanza de

la nueva variable Y, se obtiene utilizando la

fórmula:

v.a.ces si

v.a.des si

)(Xdxxfxg

Xxpxg

XgEYE

ii

i

5. Si X e Y son dos v.a. con distribución bivariante

continua de f.d.p. f(x,y), y h(x,y), es una función

continua, la Esperanza matemática de Z = h(X, Y)

es:

dy,,),( dxyxfyxhYXhEZE

Definición de varianza

La varianza mide la dispersión media de los valores de una variable respecto de su valor medio.En el caso de una muestra de tamaño n la dispersión de un valor respecto de su centro se puede medir por 2xxi y la media aritmética de esta dispersión:

in

ii

in

ii xXPxx

n

fxxS

1

2

1

22

Se llama varianza de la muestra o varianza muestral.Su generalización para una v.a es:

Definición: Si X es una v.a. con esperanza finita E[X], se

llama Varianza de X, a la esperanza de la nueva variable

)(])[( 22 XVarXE xx

:2XEXY

suponiendo que existe

La Desviación típica o estándar de una variable aleatoria X, es la raíz cuadrada positiva de la varianza y se define como:

22222 ])[(][][ XEXEXE xx

Propiedades

Sea X una variable aleatoria con media μ y varianza σ2. Entonces:

Var(X)Var(X)Y)Var(XYeXd

kXVarkkXVarc

XVarkXVarb

kkVara

tienese v.a.i.,dosson Si )

)()( )

)()( )

constante ; 0)( )

222

2

Teorema: Sea X una variable aleatoria y g(X) una función no negativa

de X con dominio en R. Entonces:

0)]([

))(( kk

XgEkXgP ,

Teorema: (Desigualdad de Chebyshev). Sea X una variable aleatoria con esperanza y varianza finitas, se verifica

0 , )var(

))((2

hh

XhXEXP

Funciones de una Variable Aleatoria

Teorema Sea X una variable aleatoria discreta con recorrido RX y

función de probabilidades px(x). Sea Y=H(X) una transformación uno a

uno sobre X, con inversa X=H-1(Y) en el recorrido de Y, RY. Entonces

la función de probabilidad de Y, py(y), está dada por:Yx RyyHp , ))(( 1

YXY Rydy

ydHyHfyf

,

)())(()(

11

Teorema Sea X una variable aleatoria continua con función de

densidad fx(x) y Sea H(X) una función monótona, continua y

diferenciable. Si Y=H(X), entonces su función de distribución está dada por:

edecrecient es si

creciente es si

)())((1

)())(()(

1

1

XHtHF

XHtHFtF

X

XY

y la función de densidad de Y es:

Ejemplo

Sea X una variable aleatoria con función de distribución FX(t) y función

de densidad fX(t). Sea Y = a+bX, b>0, entonces como Y es una

función monótona creciente de la variable X tenemos, de acuerdo al teorema anterior, que la función de distribución acumulada y la función de densidad de Y son respectivamente:

b

atf

btf

b

atFtF XYXY

1)()( y

En este caso se tiene de inmediato que la media y la varianza de Y están dadas por

menterespectiva , y 222)()( XY bXbEaYE

Ejemplo

Consideremos la variable aleatoria X, cuya función de distribución está dada por

/1/;)(

bab

atFtF XZ y donde

01)( 2 tetF tX si

La forma estándar de X se define por la transformación Z = (X - )/. De acuerdo al ejemplo anterior, la función de distribución de Z está dada por

Así,

0/1

/,1)( /1

/2

t

etF

t

Z si

…

… Realizando los cálculos, tenemos que = 1/2 y = 1/2, entonces

11)( )1( tetF tZ si

Finalmente, como Z = -/ + X/, entonces

Así, la forma estándar de una variable aleatoria siempre tendrá media cero y varianza unitaria.

1)/1()(0//)( 22 ZVarZE y

Ejemplo

Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución FX(·),

tal que FX(t) = 0, para todo t ≤ 0. Si Y = X1/2, entonces

0)(2)( 2 ttfttf XY si

0)()( 2 ttFtF XY si

y

Notemos que, aparte de ser X una variable aleatoria continua, ella debe ser positiva, tal que su raíz cuadrada sea real; de lo contrario el resultado no es válido.

Ejemplo

Consideremos la variable aleatoria X que tiene función de densidad fX(x) = 2(1 – x), 0 <x< 1, y determinemos la función de densidad Y =

eX.

eyyyyfY 1,/)ln1(2)(

H(x) = ex una función monótona de x, cuya función inversa es

x = lny = H-1(y). Entonces una aplicación directa del Teorema nos conduce a la función de densidad de Y

Ejemplo

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x)=1/2, -1< x <1. Determinemos la distribución de la nueva variable Y=X2.

Primero notemos que RX=(-1,1), entonces RY=[0,1). Así

inmediatamente sabemos que

11

00)(

y

yyFY

si

si

Ahora, para valores y tales que, 0 ≤ y ≤ 1 podemos razonar como sigue:

a y a

eequivalent es cual el evento al eequivalent es evento El

}.{}{

}{}{ 2

yXyyX

yXyY

…

… Por lo tanto, para 0 ≤ y ≤ 1

)()(})({)( yFyFyXyPyF XXY

10

10)2

1)((

2

1)(

00

)( 2/12/1

y

yyyfyyf

y

yf XXY

si

si

si

entonces derivando la función de distribución anterior obtenemos la función de densidad de Y como

Esto es,

casos otros en

si

0

102

1)(

2/1 yyyfY

Ejemplo

Sea X una variable con densidad fX(x)=1/3 para -1 ≤ x ≤ 2 y función de

distribución

3

2)()()()( 2 y

yFyFyXPyF XXY

21

213

1

10

)(

x

xx

x

xFX

si

si

si

Determinemos la distribución de Y = X2.

Claramente, RY=[0,4] por lo que FY(y)=0 para y<0 y FY(y)=1 para y>4.

Ahora para y ϵ [0,4], analicemos los intervalos [0,1) y [1,4] por separado.

Si 0 ≤ y < 1:

…

… Para 1 ≤ y ≤ 4

3

2

3

1

3

2)1()(

3

2)1()1()(

yFyFyYPYPyF XXY

Derivando la función de distribución, obtenemos la densidad de Y

e.o.c

si

si

0

416

1

103

1

)( yy

yy

yfY