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Parte 5 – Autovetores e Autovalores

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Autovetores e Autovalores DEFINIÇÃO: Seja A uma matriz n×n. O número real λ é um autovalor de A se

existe um vetor não-nulo xv em nR tal que xxA vv λ=

Todo vetor não-nulo xv satisfazendo esta equação é chamado um autovetor de A associado ao autovalor λ. Autovalores são também chamados de valores próprios ou valores característicos. Nesses casos, os autovetores são chamados de vetores próprios ou vetores característicos, respectivamente.

Note que 0x

vv = sempre satisfaz a definição, mas 0v

não é um autovetor, pois um autovetor tem que ser um vetor não-nulo.

Exemplo: Se A é a matriz identidade nI , seu único autovalor é 1; todos os vetores

não-nulos em nR são autovetores de A associados ao autovalor 1=λ :

x1xInvv =

Exemplo: Seja

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

021210

A

então

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡11

21

2121

11

021210

11

A

de modo que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11

x1v

é um autovetor de A associado ao autovalor 211 =λ . Além disso,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 1

121

2121

11

021210

11

A

de modo que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1

1x 2v

é um autovetor de A associado ao autovalor 212 −=λ .

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A figura a seguir mostra que 1xv e 1xAv são paralelos e que 2xv e 2xAv também são paralelos. Isto ilustra o fato de que, se xv é um autovetor de A, então xv e xAv são paralelos.

Seja λ um autovalor de A com autovetor correspondente xv . A figura a seguir

mostra xv e xAv para os casos em que λ>1, 0<λ<1 e λ<0. Um autovalor λ de A tem uma infinidade de autovetores diferentes associados. De

fato, se xv é um autovetor de A associado ao autovalor λ (isto é, xxA vv λ= ) e se r é qualquer número real diferente de zero, então

( ) ( ) ( ) ( )xrxrxArxrA vvvv λ=λ==

Logo, xrv também é um autovetor associado a λ. Exemplo: Seja

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1000

A

então

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡01

000

01

1000

01

A

de modo que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

01

x1v

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

2121

xA 2v

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2121

xA 1v

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11

x1v

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1

1x 2v

0

y

x

λ > 1

xxA vv λ=

xv

0 0 < λ < 1

xxA vv λ=

xv

0 λ < 0 xxA vv λ=

xv

0

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é um autovetor de A associado ao autovalor 01 =λ . Além disso,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

10

x 2v

é um autovetor de A associado ao autovalor 12 =λ . Este exemplo ilustra o fato de que, embora o vetor nulo, por definição, não possa

ser um autovetor, o número zero pode ser um autovalor. Nos exemplos anteriores, encontramos autovalores e autovetores por simples

inspeção. Vamos agora, no próximo exemplo, estabelecer um procedimento sistemático. Exemplo: Seja

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=4211

A

Queremos encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados.

Queremos, então, encontrar todos os números reais λ e todos os vetores não-nulos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

xx

xv

que satisfaçam

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2

1

2

1

xx

xx

4211

Esta equação fica

221

121

xx4x2xxx

λ=+−λ=+

ou ( )

( ) 0x4x20xx1

21

21

=−λ+=−−λ

Esta equação é um sistema homogêneo com duas equações e duas incógnitas. Este

tipo de sistema tem solução não-trivial se e somente se o determinante de sua matriz de coeficientes é igual à zero, isto é, se e somente se

042

11=

−λ−−λ

Isto significa que ( )( ) 0241 =+−λ−λ , ou ( )( )230652 −λ−λ==+λ−λ Portanto,

21 =λ e 32 =λ

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são autovalores de A. Para encontrar os autovetores de A associados a 21 =λ , formamos o sistema linear

x2xA vv = ou

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 2

1

2

1

xx

2xx

4211

Isso nos dá

221

121

x2x4x2x2xx

=+−=+

ou

0x2x20xx

21

21

=−=−

Todas as soluções desse último sistema são dadas por

x1 = x2 x2 = um número real r arbitrário

Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 21 =λ são dados por ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡rr

,

onde r é qualquer número real não-nulo. Em particular, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11

x1v é um autovetor

associado a 21 =λ . Analogamente, para 32 =λ , obtemos,

0xx20xx2

21

21

=−=−

Todas as soluções desse último sistema homogêneo são dadas por

x1 = 1/2 x2 x2 = um número real r arbitrário

Portanto, todos os autovetores associados ao autovalor 32 =λ são dados por

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡r

r21, onde r é qualquer número real não-nulo. Em particular, ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

x 2v é um

autovetor associado ao autovalor 32 =λ .

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DEFINIÇÃO: Seja [ ]ijaA uma matriz n×n. O determinante

( ) ( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−λ−−

−−λ−−−−λ

=−λ=λ

nn2n1n

n22221

n11211

n

aaa

aaaaaa

AIdetf

L

MMM

L

L

é chamado de polinômio característico de A. A equação

( ) ( ) 0AIdetf n =−λ=λ

é a equação característica de A.

Exemplo: Seja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

544101121

A

O polinômio característico de A é

( ) ( ) 6116544

101121

AIdetf 233 −λ+λ−λ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−λ−−−λ−

−−λ=−λ=λ

TEOREMA: A matriz A n×n é singular se e somente se 0 é um autovalor de A. TEOREMA: Os autovalores de A são as raízes reais do polinômio característico

de A. A equação xxA vv λ= pode ser reescrita na forma

( )xIxA nvv λ=

ou ( ) 0xAIn

vv =−λ Esta expressão pode ser usada para encontrar os autovetores correspondentes aos

autovalores de A.

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Exemplo: Considere a matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

544101121

A

cujo polinômio característico é

( ) 6116f 23 −λ+λ−λ=λ Então, os autovalores de A são 11 =λ , 22 =λ e 33 =λ Para encontrar um autovetor 1xv associado a 11 =λ , formamos o sistema

( ) 0xAI1 3

vv =−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

000

xxx

5144111

1211

3

2

1

ou seja,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

000

xxx

444111

120

3

2

1

Uma solução é

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

rr21r21

para qualquer número real r. Então, fazendo r = 2,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

211

x1v

é um autovetor de A associado a 11 =λ . Para encontrar um autovetor 2xv associado a 22 =λ , formamos o sistema

( ) 0xAI2 3

vv =−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

000

xxx

5244121

1212

3

2

1

ou seja,

89

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

000

xxx

344121

121

3

2

1

Uma solução é

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

rr41r21

para qualquer número real r. Então, fazendo r = 4,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

412

x 2v

é um autovetor de A associado a 22 =λ .

Para encontrar um autovetor 3xv associado a 33 =λ , formamos o sistema

( ) 0xAI3 3

vv =− E encontramos uma solução

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

rr41r41

para qualquer número real r. Então, fazendo r = 4,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

411

x 3v

é um autovetor de A associado a 33 =λ .

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Podemos agora estender a nossa Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis.

Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis As seguintes afirmações são equivalentes para uma matriz A n×n:

1. A é invertível. 2. Ax = 0 tem apenas a solução trivial. 3. A é equivalente por linhas a In. 4. O sistema linear Ax = b tem uma única solução qualquer que seja a matriz b n×1. 5. det(A) ≠ 0 6. A tem posto n. 7. A tem nulidade 0. 8. As linhas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em nR . 9. As colunas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em nR . 10. Zero não é um autovalor de A.