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Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

(B)

’

’

(A)

ESTUDO DO PLANO

Tal como vimos no estudos das retas, um plano pode ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, sendo expresso, em consequência, por nomes diferentes.

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Planos Projetantes são planos perpendiculares a pelo menos um dos Planos de Projeção. A projeção de faces contidas em Planos Projetantes é reduzida a um segmento de reta no Plano de Projeção ao qual é perpendicular. Se for paralela ao outro Plano de Projeção, será projetada em V.G. no plano ao qual é paralela

ESTUDO DO PLANO

ESTUDO DO PLANO

(’)

()

’

Traço de um plano é a intersecção deste plano com um outro. Entretanto, empregaremos aqui o termo “TRAÇO DE UM PLANO” para exprimir a intersecção de um plano com os planos de projeção.

• traço horizontal do plano: reta (intersecção do plano a com o plano de projeção horizontal ).• traço vertical do plano: reta ’ (intersecção do plano a com o plano de projeção vertical ’).

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ESTUDO DO PLANO

(’)

()

’

Em geral um plano possui os dois traços, podendo ENTRETANTO pode possuir somente um quando um plano for paralelo à um dos planos de projeção, neste caso NAO TERÁ TRAÇO NESTE PLANO.

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ESTUDO DO PLANO

’

1+

2-

T=T’

Quando dois traços são distintos e não paralelos à LT, eles concorrem num mesmo ponto da LT. Em épura, para a determinação do plano são dados a abscissa do ponto T=T’ de concorrência dos traços sobre a LT e os ângulos (1) e (2). Estes ângulos são orientados no sentido trigonométrico e têm a LT como origem.

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Assim, no exemplo ao lado, o ângulo de ’ com a LT é contado no sentido da seta “1” e é positivo, enquanto o ângulo de com a LT é negativo e contado no sentido da seta 2.

ESTUDO DO PLANO

PLANO FRONTAL

O plano Frontal é Perpendicular em relação ao PH (portanto, Projetante em relação ao PH) e paralelo ao PV. A sua projeção:

• Será , uma reta no PH e, • Estará em V.G. no PV. • Como o plano é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PH coincidente com 1, que é uma reta.

PV

PH

A1=D1

B1=C1

A2 B2

C2D2

A1=D1 B1=C1

A

B

C

D

A2

B2

D2

C2

No espaço Na épura

ESTUDO DO PLANO

PLANO HORIZONTAL

O plano HORIZONTAL é perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e paralelo ao PH.

• A sua projecção:• Será uma reta no PV. • Estará em V.G. no PH. • Como o plano é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele,terá a projecção no PV coincidente com (2), que é uma reta.

A1 B1

C1D1

A2=D2 B2=C2

No espaço Na épura

PV

PH

A2=D2

B2=C2

A1

B1

D1

C1

A

B

C

D

ESTUDO DO PLANO PLANO DE PERFIL

O plano de PERFIL é Perpendicular em relação ao PV e ao PH portanto, é Projetante em relação tanto ao PV quanto ao PH e

dizemos que ele é DUPLAMENTE PROJETANTE. • A sua projecção:  

• Será uma reta no PV. • Será uma reta no PH. • Como o plano alfa é duplamente PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV e no PH coincidente com (), que é uma reta.

No espaço Na épura

A2=B2

C2=D2

PV

PHA1=D1

B1=C1

A

B

CD

A2=B2

C2=D2

B1=C1

A1=D1

ESTUDO DO PLANO PLANO VERTICAL

O plano VERTICAL é Perpendicular em relação ao PH (portanto, é Projetante em relação ao PH) e oblíquo ao PV.

•A sua projecção:

• Será , uma reta no PH e, • Como o plano é PROJETANTE em relação ao PH, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no PH coincidente com (1), que é uma reta.

No espaçoNa épura

PV

PHA1=D1 B1=C1

A B

CD

B1=C1

A1=D1

C2D2

A2 B2

B2A2

D2C2

ESTUDO DO PLANO PLANO DE TOPO

O plano de TOPO é Perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e oblíquo ao PH.

A sua projecção:

• Será , uma reta no PV e, • Como o plano é PROJETANTE em relação ao PV, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no PV coincidente com (2), que é uma reta.

No espaço Na épura

C2=B2

A2=B2

PV

PH

A2=D2

B1A1

D1

C1

C2=B2

C1

B1 A1

D1

A

B

D

C

ESTUDO DO PLANO PLANO DE RAMPA

O plano de RAMPA é Perpendicular em relação ao Plano Auxiliar (3º plano) portanto, é Projetante em relação ao Plano auxiliar e oblíquo em relação ao PV e ao PH.

• A sua projeção:• Será um plano no PV, • Será um plano no PH. • Como o plano é PROJETANTE em relação ao Plano Auxiliar, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no Plano Auxiliar coincidente com a 3º projecção, que é uma reta.

No espaço Na épuraPV

PH

B1

D1

C1

C1

A1

D1 D1

B1

C2

B2A2

D2B2

A2

D2

C2B

A

D

C

ESTUDO DO PLANO

PLANO QUALQUER

O plano QUALQUER não é Projetante em relação a nenhum dos planos de projecção,

portanto será necessário a utilização de métodos descritivos para a determinação da V.G. de qualquer figura pertencente a

ele.

No espaçoPV

PHA1

B1

C1

B2

A2

C2

B

C

A

B2A2

C2

A1

B1C1

Na épura

POSIÇÕES DO PLANO

1+

2-

T=T’

1. PLANO QUALQUER

É o plano oblíquo aos dois planos de projeção. Possui dois traços distintos, concorrendo sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua épura geralmente se apresenta como se vê na figura abaixo.

’

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’

’ ’

Entretanto, pela maneira do plano se situar no espaço, a épura pode aparecer em qualquer das posições indicadas na figura abaixo - o que importa no caso de planos quaisquer é o fatos destes possuírem OS DOIS TRAÇOS OBLÍQUOS À LINHA DE TERRA, NÃO IMPORTANDO COMO FIQUEM.

POSIÇÕES DO PLANO

1. PLANO QUALQUER

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ESTUDO DO PLANO

(’)

()

’ ’

É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir apenas um traço, O VERTICAL, PARALELO À LINHA DE TERRA.

2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO HORIZONTAL

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2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO FRONTAL

ESTUDO DO PLANO

()

(’)

É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir apenas um traço, O HORIZONTAL, PARALELO À LINHA DE TERRA.

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ESTUDO DO PLANO

()

(’)

’

’

É o plano PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL DE PROJEÇÃO E OBLÍQUO AO PLANO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO VERTICAL PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o HORIZONTAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA.

3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO VERTICAL

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ESTUDO DO PLANO

’

’

É o plano PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO HORIZONTAL PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o VERTICAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA.

3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE TOPO

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ESTUDO DO PLANO

’

’

É o plano PERPENDICULAR AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. Sua épura é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS EM COINCIDÊNCIA, PERPENDICULARES À LINHA DE TERRA.

3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE PERFIL

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ESTUDO DO PLANO

’

’

4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA

NAO HÁ PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA - SOMENTE PARALELO À INTERSECÇÃO DELES. Este plano é um plano oblíquo aos dois planos de projeção, numa posição particular. Sua épura é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS PARALELOS À LINHA DE TERRA.

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ESTUDO DO PLANO

’

’

4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA

No caso desta figura, observa-se que o plano está no 1o. diedro, atravessando o 2o e 4o. diedros. Desta forma sua épura é caracterizada por conter o traço vertical acima da LT e o horizontal abaixo da LT.

Mas o plano pode estar em outra posição....

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ESTUDO DO PLANO

’

’

.... atravessando os 1o., 2o. e 3o. diedros. Neste caso a épura terá os dois traços acima da LT.

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ESTUDO DO PLANO

=’

=

’

’

4. PLANO PASSANDO PELA LINHA DE TERRA

Neste caso, os traços do plano COINCIDEM coma a LINHA DE TERRA. Este também é o caso do PLANO BISSETOR.

Não sendo conhecida a inclinação do plano, este só

ficará determinado se conhecermos outros

elementos, como um ponto ou uma reta deste plano.

VEREMOS ISTO ADIANTE

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=

’

’

RETAS DO PLANO

PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO

REGRA: “Uma reta pertence ao plano quando possui os seus traços sobre os traços correspondentes do plano”.

EXCEÇÃO: um plano que passe pela LT.

Um plano pode ou não conter determinadas retas. Ao lado, o plano horizontal () de traço ’ pode não conter a reta vertical (r) pois só há um único ponto comum à reta e ao plano - que é o ponto (A) onde a reta fura o plano. Entretanto, este mesmo plano de traço ’ pode conter a reta de topo (s), a qual tem seu traço (V) sobre o traço vertical do plano.

(A)

(r)

(s)(V)=V’

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RETAS DO PLANO

PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO

Um plano qualquer sendo oblíquo aos dois planos de projeção, poderá conter as retas que também sejam oblíquas a eles ou, pelo menos, a um deles. Assim, este plano qualquer poderá conter as seguintes retas:

• RETA QUALQUER

• RETA HORIZONTAL

• RETA FRONTAL

• RETA DE PERFIL

A) RETAS DE PLANO QUALQUER

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ESTUDO DO PLANO

’

r’

r

H’ V

V’=(V)

T=T’

H=(H)

’

r’

r

H’

V’=(V)

T=T’ V

H=(H)

a) Reta Qualquer

(r) pertence ao plano de traços e ’ pois os seus traços (V) e (H) estão sobre os traços correspondentes àqueles do plano.

(r) NÃO PERTENCE ao plano de traços e ’ pois o seu traço (H) NÃO ESTÁ sobre o traço horizontal p do plano.

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ESTUDO DO PLANO

’

r’

r

V

V’=(V)

b) Reta Horizontal: uma reta horizontal não tem traço horizontal. Um ponto comum à projeção horizontal da reta e ao traço horizontal do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, estará no infinito. Conclui-se que a projeção horizontal da reta deverá ser paralela ao traço de mesmo nome do plano. O traço vertical da reta, por sua vez, deverá estar sobre o traço vertical do plano.

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ESTUDO DO PLANO

’

r

r’

V’=(V)

H’

H

c) Reta Frontal: uma reta frontal não tem traço vertical. Um ponto comum à projeção vertical da reta e ao traço vertical do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, a projeção vertical da reta será paralela ao traço vertical do plano. O traço horizontal da reta, por sua vez, deverá estar sobre o traço horizontal do plano.

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ESTUDO DO PLANO

’

H=(H)

B

A

A’

B’

V’=(V)(A1)

(B1)

(H1)

d) Reta de Perfil: tratando-se de uma reta de perfil, a épura não indica uma simples vista, nem mesmo se ela pertence ou não a um plano qualquer. Neste caso, opera-se o rebatimento do plano de perfil que contém a reta e determina-se seus traços, os quais, se estiverem sobre os planos de mesmo nome, indicarão que a reta pertence ao plano - caso da figura ao lado.

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RETAS DO PLANO

PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO

Como o plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção, este só poderá conter as retas que também sejam paralelas ao plano (), as quais são:

• RETA HORIZONTAL

• RETA FRONTOHORIZONTAL

• RETA DE TOPO

B) RETAS DE PLANO HORIZONTAL

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ESTUDO DO PLANO

r’

r

V

V’=(V)’

k) Reta Horizontal: neste caso a épura se caracteriza pela coincidência da projeção vertical da reta com o traço ap’ do plano. O traço vertical da reta - ÚNICO QUE POSSUI - está sobre o traço ’ do plano.

RETAS DE PLANO HORIZONTAL

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ESTUDO DO PLANO

r

r’’

l) Reta Frontohorizontal: não possuindo traços, a reta frontohorizontal de um plano horizontal é caracterizada pela épura abaixo, onde a sua projeção vertical r’ coincide com o traço de mesmo nome no plano ’.

RETAS DE PLANO HORIZONTAL

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ESTUDO DO PLANO

r

V

r’=V’=(V)’

m) Reta de Topo: sendo a reta de topo caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto e a projeção horizontal perpendicular à LT, sua épura exibe a projeção vertical puntual r’ sobre ’, coincidente com seu traço vertical.

RETAS DE PLANO HORIZONTAL

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RETAS DO PLANO

PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO

Como o plano frontal é paralelo ao plano vertical de projeção (’), este só poderá conter as retas que forem paralelas ao mesmo plano (’), que são:

• RETA FRONTAL

• RETA FRONTOHORIZONTAL

• RETA VERTICAL

C) RETAS DO PLANO FRONTAL

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ESTUDO DO PLANO

r

H’

r’

H=(H)

x) Reta Frontal: a projeção horizontal da reta (r) coincide com o único traço do plano, que é o traço horizontal , Neste traço também está contido o único traço da reta, que é o horizontal (H).

RETAS DO PLANO FRONTAL

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ESTUDO DO PLANO

r

r’

y) Reta Frontohorizontal: caso simples! - a reta frontohorizontal (r) pertencerá ao plano de traço .

RETAS DO PLANO FRONTAL

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ESTUDO DO PLANO

r=(H)=H

r’

z) Reta Vertical: caso simples! - a reta vertical (r) pertencerá a um plano frontal de traço .

RETAS DO PLANO FRONTAL

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RETAS DO PLANO

PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO

Sendo o plano paralelo à LT e oblíquo aos dois planos de projeção, só poderá conter retas paralelas à LT e oblíquas àqueles planos, que são:

• RETA QUALQUER

• RETA FRONTOHORIZONTAL

• RETA DE PERFIL

D) RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA

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ESTUDO DO PLANO

H=(H)

’

r’

r

H’ V

V’=(V)

RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA

a) Reta Qualquer: se os traços da reta estiverem sobre os traços de mesmo nome do plano, a reta pertencerá ao plano. Abaixo temos uma reta (r) qualquer pertencendo a um plano de traços e ’ paralelos à LT.

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RETAS DO PLANO

PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO

Sendo o plano vertical perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao plano vertical, só poderá conter retas que sejam perpendiculares ao plano () e oblíquas ao plano (’), que são:

• RETA QUALQUER

• RETA HORIZONTAL

• RETA VERTICAL

E) RETAS DE UM PLANO VERTICAL

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ESTUDO DO PLANO

’

V’=(V)

B’

A’

H’V

B

A

H=(H)

RETAS DE UM PLANO VERTICAL

a) Reta Qualquer: a reta qualquer (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical de traços e ’ pois obedece à regra geral de (i) possuir traços sobre os traços correspondentes do plano e, (ii) sua projeção horizontal coincide com o traço de mesmo nome do plano.

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ESTUDO DO PLANO

’

V’=(V)B’A’

V

B

A

RETAS DE UM PLANO VERTICAL

b) Reta Horizontal: a reta horizontal (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois seu único traço (traço vertical) está sobre o traço vertical do plano (’) e sua projeção horizontal coincide com o traço do plano.

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ESTUDO DO PLANO

’

V’=(V)

r’V

A

r=(H)=H

RETAS DE UM PLANO VERTICAL

c) Reta Vertical: a reta vertical (r) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois seu traço horizontal (que coincide com a projeção puntual) está sobre o traço horizontal do plano e a sua projeção vertical é paralela ao traço vertical do plano.

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RETAS DO PLANO

PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO

Sendo o plano de topo perpendicular ao vertical de projeção (’) e oblíquo ao horizontal (), só poderá conter retas que sejam oblíquas ao plano () e perpendiculares ao plano (’), que são:

• RETA QUALQUER

• RETA FRONTAL

• RETA DE TOPO

F) RETAS DE UM PLANO DE TOPO

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ESTUDO DO PLANO

H=(H)

’

r’

r

H’ V

V’=(V)

RETAS DE UM PLANO DE TOPO

a) Reta Qualquer: a reta qualquer (r) da figura abaixo pertence ao plano () de topo por possuir seus traços sobre os traços correspondentes do plano. A sua projeção vertical r’ coincide também com o traço ’ do plano.

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ESTUDO DO PLANO b) Reta Frontal: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção vertical s’ está sobre o traço vertical ’ do plano e sua projeção horizontal s pertence ao traço horizontal do plano.

RETAS DE UM PLANO DE TOPO

H=(H)

’

s’

s

H’ V

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ESTUDO DO PLANO

s’=(V)=V’

’

s

V

c) Reta de Topo: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção puntual s’ está sobre o traço vertical ap’ do plano e sua projeção horizontal s é paralela ao traço horizontal ap do plano.

RETAS DE UM PLANO DE TOPO

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ESTUDO DO PLANO Pertinência de ponto e plano: “um ponto pertence ao plano quando pertence à uma reta do plano”.

Dados o plano qualquer de traços e ’ e o ponto (A), deteminar se o ponto pertence à reta (r). Para a verificação, procede-se da seguinte forma: pela projeção vertical A’ faz-se passar uma reta.

Verifica-se que a projeção horizontal A do ponto não está sobre a projeção de mesmo nome da reta. Então, o ponto (A) não pertence à reta (r). A reta (r) pertence ao plano MAS o ponto (A) não pertence à reta (r), e portanto não pertencerá ao plano.

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’

T=T’ V

V’=(V)

r

r’A’

A

ESTUDO DO PLANO

()

(’)

(A)

A

A’’’

A’’

A’

A

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Se for perpendicular ao plano horizontal (), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que possua sua projeção horizontal sobre o traço horizontal do plano.

Seja o ponto (A) pertencendo a um plano () frontal e a projeção horizontal do ponto sobre o traço do plano do plano. Na épura, estando a projeção A sobre , não importa onde esteja a projeção vertical (em A’, A’’, A’’’) - o ponto (A) pertence ao plano.

ESTUDO DO PLANO

’

(B)B’

’

B

B2

B1

B’

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Se for perpendicular ao plano vertical (’), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que possua sua projeção vertical sobre o traço vertical do plano.Seja o ponto (B) pertencendo a um plano (a) de topo e sua projeção vertical B’ sobre o traço ap’ do plano. Na épura, estando a projeção B’ sobre ap’, não importa onde esteja a projeção horizontal (em B, B1, B2) - o ponto (B) pertence ao plano.