Aula 9 - Pontes

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PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA 234 O sistema de equações é solucionado como auxílio dos determinantes das matrizes. Determinante Principal (Δp) 1 1 1 1 L 73333 , 0 L 20000 , 0 L 20000 , 0 L 73333 , 0 p = Δ ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 L 49777 , 0 L 20000 , 0 L 73333 , 0 p = = Δ Determinante Característico (Δ c X 1 ) 1 20 1 10 1 c L 73333 , 0 L 20000 , 0 X δ δ = Δ 20 1 10 1 1 c L 20000 , 0 L 73333 , 0 X δ + δ = Δ Logo: 2 1 20 1 10 1 1 c 1 L 49777 , 0 L 20000 , 0 L 73333 , 0 p X X δ + δ = Δ Δ = 1 20 10 1 L 40179 , 0 47323 , 1 X δ + δ = (7.33) Deve-se ressaltar que: 10 1 M X = Determinante Característico (Δ c X 2 ) 20 1 10 1 2 c S L 20000 , 0 S L 73333 , 0 X = Δ 10 1 20 1 2 c L 2000 , 0 L 73333 , 0 X δ + δ = Δ Logo: 2 1 10 1 20 1 2 c 2 L 49777 , 0 L 20000 , 0 L 73333 , 0 p X X δ + δ = Δ Δ = 1 10 20 2 L 40179 , 0 147323 X δ + δ = (7.34) Assim como: 20 2 M X =
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    03-Feb-2016
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  • PROJETO E ANLISE DE PONTES SRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA

    234

    O sistema de equaes solucionado como auxlio dos determinantes das matrizes.

    Determinante Principal (p)

    11

    11

    L73333,0L20000,0

    L20000,0L73333,0p =

    ( ) ( ) 212121 L49777,0L20000,0L73333,0p == Determinante Caracterstico (cX1)

    120

    1101c L73333,0

    L20000,0X

    =

    2011011c L20000,0L73333,0X +=

    Logo:

    21

    2011011c1 L49777,0

    L20000,0L73333,0pX

    X+=

    =

    1

    20101 L

    40179,047323,1X

    += (7.33)

    Deve-se ressaltar que:

    101 MX =

    Determinante Caracterstico (cX2)

    201

    1012c SL20000,0

    SL73333,0X

    =

    1012012c L2000,0L73333,0X +=

    Logo:

    21

    1012012c2 L49777,0

    L20000,0L73333,0pX

    X+=

    =

    1

    10202 L

    40179,0147323X

    += (7.34)

    Assim como:

    202 MX =

  • PROJETO E ANLISE DE PONTES SRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA

    235

    Observa-se que os valores de X1 e X2 dependem dos valores de 10 e 20, que dependem da posio da carga P = 1 tf sobre a viga.

    Os diversos valores assumidos por X1 e X2 quando a carga P = 1 tf se desloca sobre a viga, representam as ordenadas das linhas de influncia de momentos fletores em S10 e S20, respectivamente. Desse modo, pode-se dizer que:

    ==

    20S2

    10S1

    LIMLIXLIMLIX

    Calculam-se, a seguir, os valores assumidos por 10 e 20 quando a carga P=1 tf se desloca sobre a viga.

    Aplicando-se a carga P = 1 tf no 1 vo do sistema principal, ilustrada na Figura 7.49, e relacionando-a com os hiperestticos unitrios aplicados tambm no sistema principal da Figura 7.50, determinam-se 10 e 20 para cada seo deste trecho em anlise:

    Clculo de 10

    ( ) 110 L1MM61 += (7.35)

    Mas, 1M__ = (7.36)

    e 1L.L'x.PxM == (7.37)

    com Lx= (7.38)

    a equao (7.35) para a ser escrita como

    ( ) 2110 L1'61 += (7.39)

    Denominando-se

    ( )+= 1'WD (7.40) A expresso (7.39) modifica-se para:

    21D10 LW6

    1 = (7.41)

    A parcela de WD tabelada em funo de , ou seja: ( )= fWD (7.42)

  • PROJETO E ANLISE DE PONTES SRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA

    236

    Clculo de 20 020 =

    X

    P=1 tf

    X'

    L1

    M=X . X'/L1

    1,2L1 L1

    DM0

    Figura 7.49 - Aplicao da carga unitria no 1o vo

    1,00

    1,00

    X2=1 tfm X2=1 tfm

    X1=1 tfm X1=1 tfm

    DM1

    DM2

    Figura 7.50 - Aplicao dos hiperestticos unitrios no sistema principal

    O Quadro 7.3 apresenta o clculo de 10 e 20 para as diversas posies de P = 1 tf no 1 vo.

    Quadro 7.3 - Clculo das ordenadas do 1 vo das 10SLIM e 20SLIM

    Seo WD 10 20 X1 = M10 X2 = M20 S0 0,00 0,000 0,0000 0 0,000 0,000 S1 0,10 0,099 0,0165 L12 0 - 0,0243 L1 + 0,0066 L1 S2 0,20 0,192 0,0320 L12 0 - 0,0471 L1 + 0,0129 L1 S3 0,30 0,273 0,0455 L12 0 - 0,0670 L1 + 0,0183 L1 S4 0,40 0,336 0,0560 L12 0 - 0,0825 L1 + 0,0225 L11 S5 0,50 0,375 0,0625 L12 0 - 0,0921 L1 + 0,0251 L1 S6 0,60 0,384 0,0064 L12 0 - 0,0943 L1 + 0,0257 L1 S7 0,70 0,357 0,0595 L12 0 - 0,0877 L1 + 0,0239 L1 S8 0,80 0,288 0,0480 L12 0 - 0,0707 L1 + 0,0193 L1 S9 0,90 0,171 0,0285 L12 0 - 0,0420 L1 + 0,0115 L1 S10 1,00 0,000 0,0000 0 0,000 0,000

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    237

    Aplicando-se a carga P = 1 tf no 2 vo (v. Figura 7.51) e adotando o mesmo procedimento apresentado para o 1 vo, determinam-se os valores dos hiperestticos X1 e X2; que so apresentados no Quadro 7.4.

    P=1 tfDM

    L11,2L1

    X X'0

    Figura 7.51 - Aplicao da carga unitria no 2o vo

    1L2,1'x.xM =

    Clculo de 10

    ( ) 2,1L1MM61

    110 += (7.43)

    Neste caso, 11 L2,1..M = (7.44)

    Substituindo-se (7.36) e (7.43) em (7.44), tem-se:

    ( ) ( )2110 L2,11'.61 += (7.45)

    Denominando-se

    ( )+= 1'.'W D (7.46) A expresso (7.45) modifica-se para:

    D'2

    110 WL24,0 = (7.47)

    A parcela de WD tabelada em funo de , ou seja: ( )= fWD (7.48)

    Clculo de 20 A deduo da expresso de 20 segue na mesma seqncia de 10 , da:

    D2120 WL24,0 = (7.49)

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    238

    Quadro 7.4 - Clculo das ordenadas do 2 vo das 10SLIM e 20SLIM

    SEO WD WD 10 20 X1 = M10 X2 = M20 S10 0,00 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 S11 0,10 0,099 0,171 0,0410 L12 0,0238 L12 - 0,0508 L1 - 0,0186 L1 S12 0,20 0,192 0,288 0,0691 L12 0,0461 L12 - 0,0833 L1 - 0,0402 L1 S13 0,30 0,273 0,357 0,0857 L12 0,0655 L12 - 0,0999 L1 - 0,0621 L1 S14 0,40 0,336 0,384 0,0922 L12 0,0806 L12 - 0,1034 L1 - 0,0817 L1 S15 0,50 0,375 0,375 0,0900 L12 0,0900 L12 - 0,0964 L1 - 0,0964 L1 S16 0,60 0,384 0,336 0,0806 L12 0,0922 L12 - 0,0817 L1 - 0,1034 L1 S17 0,70 0,357 0,273 0,0655 L12 0,0857 L12 - 0,0621 L1 - 0,0999 L1 S18 0,80 0,288 0,192 0,0461 L12 0,0691 L12 - 0,0402 L1 - 0,0833 L1 S19 0,90 0,171 0,099 0,0238 L12 0,0410 L12 - 0,0186 L1 - 0,0508 L1 S20 1,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

    E, para finalizar, aplica-se a carga P = 1 tf no 3 vo, conforme ilustra a Figura 7.52.

    DM

    L1

    X"

    P=1 tf

    M=X . X'/L1

    X0

    Figura 7.52 - Aplicao da carga unitria no 3o vo

    Os coeficientes 10 e 20 so calculados com os diagramas das Figuras 7.50 e 7.52, j tabelados.

    Clculo de 10 010 =

    Clculo de 20 21

    'D20 LW6

    1 = (7.50)

    Os valores dos hiperestticos X1 e X2 esto apresentados no Quadro 7.5.

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    239

    Quadro 7.5 - Clculo das Ordenadas do 3 vo das 10SLIM e 20SLIM

    SEO WD 10 20 X1 = M10 X2 = M20 S20 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 S21 0,10 0,171 0,000 L12 0,0285 L12 + 0,0115 L1 - 0,0420 L1 S22 0,20 0,288 0,000 L12 0,0480 L12 + 0,0193 L1 - 0,0707 L1 S23 0,30 0,357 0,000 L12 0,0595 L12 + 0,0239 L1 - 0,0877 L1 S24 0,40 0,384 0,000 L12 0,0640 L12 + 0,0257 L1 - 0,0943 L1 S25 0,50 0,375 0,000 L12 0,0625 L12 + 0,0251 L1 - 0,0921 L1 S26 0,60 0,336 0,000 L12 0,0560 L12 + 0,0225 L1 - 0,0825 L1 S27 0,70 0, 273 0,000 L12 0,0455 L12 + 0,0183 L1 - 0,0670 L1 S28 0,80 0,192 0,000 L12 0,0320 L12 + 0,0129 L1 - 0,0471 L1 S29 0,90 0,099 0,000 L12 0,0165 L12 + 0,0066 L1 - 0,0243 L1 S30 1,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

    Apresenta-se na Figura 7.53 o aspecto das linhas de influncia de momentos fletores para as sees S10 e S20.

    Linha de Influncia de M10 ( 10SLIM )

    LIM S10

    Linha de Influncia de M20 ( 20SLIM )

    LIM S 20

    Figura 7.53 - Aspecto das linhas de influncia de momentos fletores em S10 e S20

    7.5.3.2 Clculo das Ordenadas dos Extremos dos Balanos das Linhas de Influncia de Momentos Fletores

    A metodologia descrita anteriormente permitiu calcular as ordenadas nos dcimos dos vos das linhas de influncia dos momentos fletores sobre os apoios intermedirios da viga. Deve-se agora, determinar as ordenadas das sees situadas nos balanos das vigas. Como os balanos so isostticos, os trechos das linhas de influncia localizadas nos mesmos so constitudos por retas. Portanto, basta calcular a ordenada do extremo do balano, para a definio completa do trecho.

    A Figura 7.54 ilustra a linha de influncia de momentos para S10, onde:

    X1 = Ms10 para, P =1 tf no extremo do balano esquerdo; X2 = Ms10 para, P = 1 tf no extremo do balano direito.

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    240

    LIM S10

    x2

    x1

    Figura 7.54 - Linha de influncia de momentos em S10

    Aplicando-se a carga P = 1 tf no extremo do balano, conforme mostra a Figura 7.55, e traando-se o diagrama de momentos fletores, tem-se:

    DM1x2

    x1

    P=1 tf

    Figura 7.55 - Aplicao da carga unitria no extremo do balano esquerdo

    x1 = Ms10, para P =1 tf no extremo do balano esquerdo;

    x1 = Ms10, para P =1 tf no extremo do balano direito (por simetria).

    Para a determinao das ordenadas dos extremos dos balanos de todas as linhas de influncia de momentos fletores, deve-se calcular o diagrama de momentos fletores da viga para a carga P = 1 tf aplicada no extremo do balano (DM0).

    Relacionando o diagrama da Figura 7.56 (DM0) com os hiperestticos unitrios aplicados tambm no sistema principal da Figura 7.57, determinam-se 10 e 20 para cada seo deste trecho em anlise:

    Clculo de 10 211110 L0333,0LL2,016

    1 ==

    2110 L0333,0=

    Clculo de 20 20 = 0

    DM00,2 L1

    L1 1,2 L1 L1

    P=1 tf

    Figura 7.56 - Carga unitria aplicada no balano esquerdo do sistema principal

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    241

    1,00

    X2=1 tfm X1=1 tfmDM1

    1,00

    X2=1 tfm X2=1 tfmDM2

    Figura 7.57 - Aplicao dos hiperestticos unitrios no sistema principal

    Substituindo-se os valores de 10 e 20 nas expresses (7.33) e (7.34), tem-se: 11 L0491,0X =

    12 L0134,0X =

    Encontrados os valores de X1 e X2, pode-se traar o diagrama de momentos fletores da Figura 7.58.

    DM1-0,0134 L1

    0,0491L1

    0,200 L1

    x1x1

    Figura 7.58 - Diagrama de momentos fletores para carga unitria no extremo do balano esquerdo

    As abscissas x1 e x2 so pontos fixos no diagrama do 1 e 2 vos, respectivamente, e so calculados por:

    11

    1 L.197,00491,02,0L.0491,0X =+=

    11

    2 L.214,00134,00491,0L.0134,0X =+=

    Pela definio de linha de influncia, tem-se:

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    242

    + 0,0491 L1 ordenada do extremo do balano esquerdo da 10SLIM ;

    - 0,0134 L1 ordenada do extremo do balano esquerdo da 20SLIM .

    Por simetria:

    - 0,0134 L1 ordenada do extremo do balano direito da 10SLIM ;

    + 0,0491 L1 ordenada do extremo do balano direito da 20SLIM .

    7.5.3.3 Clculo das Linhas de Influncia dos Momentos Fletores das Sees Intermedirias, Esforos Cortantes e Reaes de Apoio

    a) Linhas de Influncia de Momentos Fletores

    O clculo das ordenadas das linhas de influncia de momentos fletores e esforos cortantes nas diversas sees intermedirias da viga feito a partir das linhas de influncia dos hiperestticos (

    10SLIM e 20SLIM ). A Figura 7.59 ilustra o procedimento a ser adotado:

    S

    s s'

    x

    L

    M

    P=1 tf

    x

    X / L

    (L-X) / L

    Ms isost.

    esq.hip. M dir.hip.

    (M )esq.hip.

    Mesq.hip.

    Mes

    q.hi

    p.

    M dir.hip.

    Mdir.hip. Mdi

    r.hi

    p.

    Figura 7.59 - Carga unitria aplicada em seo qualquer de tramo isosttico

    O momento em uma seo intermediria calculado com a expresso:

    .isoestS

    dir.hip

    esq.hipS MML

    xML

    xLM ++= (7.51)

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    243

    Por analogia,

    isoestS

    dir.hip

    esq.hipS LIMLIML

    xLIML

    xLLIM ++= (7.52)

    A Figura 7.60 mostra LIMisost de uma seo S qualquer para uma carga unitria P = 1 tf passeando pelo vo.

    S

    y

    LIM s isost.

    L

    P=1 tf

    Ms

    X

    L-x / L ( x )

    Figura 7.60 - Carga P=1 tf no vo

    xL

    xLxyMxyPara S =< (7.53)

    xL

    xLxLyLMxyPara S

    => (7.54)

    O Quadro 7.6 apresenta o clculo das ordenadas para o traado da linha de influncia de momentos fletores para a seo S4.

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    244

    Quadro 7.6 - Ordenadas nos dcimos de vo da 4SLIM

    Seo hipS0LIM hipS10

    LIM isoS4LIM 4SLIM S1 0 -0,0243 L1 0,0600 L1 0,4 (-0,0243) L1 + (0,6000) L1 = 0,0503 L1 S2 0 -0,0470 L1 0,1200 L1 0,4 (-0,0470) L1 + (0,1200) L1 = 0,1012 L1 S3 0 -0,0670 L1 0,1800 L1 0,4 (-0,0670) L1 + (0,1800) L1 = 0,1532 L1 S4 0 -0,0825 L1 0,2400 L1 0,4 (-0,0825) L1 + (0,2400) L1 = 0,2070 L1 S5 0 -0,0921 L1 0,2000 L1 0,4 (-0,0921) L1 + (0,2000) L1 = 0,1632 L1 S6 0 -0,0943 L1 0,1600 L1 0,4 (-0,0943) L1 + (0,1600) L1 = 0,1223 L1 S7 0 -0,0877 L1 0,1200 L1 0,4 (-0,0877) L1 + (0,1200) L1 = 0,0849 L1 S8 0 -0,0707 L1 0,0800 L1 0,4 (-0,0707) L1 + (0,0800) L1 = 0,0517 L1 S9 0 -0,0420 L1 0,0400 L1 0,4 (-0,0420) L1 + (0,0400) L1 = 0,0232 L1 S10 0 0 0 0 S11 0 -0,0508 L1 0 0,4 (-0,0508) L1 = -0,0203 L1 S12 0 -0,0833 L1 0 0,4 (-0,0833) L1 = -0,0332 L1 S13 0 -0,0999 L1 0 0,4 (-0,0999) L1 = -0,0396 L1 S14 0 -0,1034 L1 0 0,4 (-0,1034) L1 = -0,0414 L1 S15 0 -0,0964 L1 0 0,4 (-0,0964) L1 = -0,0386 L1 S16 0 -0,0817 L1 0 0,4 (-0,0817) L1 = -0,0326 L1 S17 0 -0,0621 L1 0 0,4 (-0,0621) L1 = -0,0248 L1 S18 0 -0,0402 L1 0 0,4 (-0,0402) L1 = -0,0161 L1 S19 0 -0,0186 L1 0 0,4 (-0,0186) L1 = -0,0074 L1 S20 0 0 0 0 S21 0 0,0115 L1 0 0,4 (0,0115) L1= 0,0046 L1

    O aspecto da linha de influncia de momentos fletores em S4 est representado na Figura 7.61.

    LIM S4

    Figura 7.61 - Aspecto da linha de influncia de momento na seo S4

    O Quadro 7.7 apresenta o clculo das ordenadas para o traado da linha de influncia de momentos fletores para a seo S15.

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    245

    Quadro 7.7 - Ordenadas nos dcimos de vo da 15SLIM

    Seo hipS10LIM hipS20LIM

    isoS15LIM 15SLIM

    S1 -0,0243 L1 0,0066 L1 0 0,5 (-0,0243) L1+ 0,5 (0,0066) L1 = -0,0089 L1 S2 -0,0470 L1 0,0129 L1 0 0,5 (-0,0470) L1+ 0,5 (0,0129) L1 = -0,0171 L1 S3 -0,0670 L1 0,0183 L1 0 0,5 (-0,0670) L1+ 0,5 (0,0183) L1 = -0,0244 L1 S4 -0,0825 L1 0,0225 L1 0 0,5 (-0,0825) L1+ 0,5 (0,0225) L1 = -0,0300 L1 S5 -0,0921 L1 0,0251 L1 0 0,5 (-0,0921) L1+ 0,5 (0,0251) L1 = -0,0335 L1 S6 -0,0943 L1 0,0257 L1 0 0,5 (-0,0943) L1+ 0,5 (0,0257) L1 = -0,0343 L1 S7 -0,0877 L1 0,0239 L1 0 0,5 (-0,0877) L1+ 0,5 (0,0239) L1 = -0,0319 L1 S8 -0,0707 L1 0,0193 L1 0 0,5 (-0,0707) L1+ 0,5 (0,0193) L1 = -0,0257 L1 S9 -0,0420 L1 0,0115 L1 0 0,5 (-0,0420) L1+ 0,5 (0,0115) L1 = -0,0153 L1 S10 0 0 0 0 S11 -0,0508 L1 -0,0186 L1 0,0600 L1 0,5 (-0,0508) L1-0,5 (0,0186+0,060) L1= 0,0253 L1 S12 -0,0833 L1 -0,0402 L1 0,1200 L1 0,5 (-0,0833) L1-0,5 (0,0402+0,120) L1= 0,0583 L1 S13 -0,0999 L1 -0,0621 L1 0,1800 L1 0,5 (-0,0999) L1-0,5 (0,0621+0,180) L1= 0,0990 L1 S14 -0,1034 L1 -0,0817 L1 0,2400 L1 0,5 (-0,1034) L1-0,5 (0,0817+0,240) L1= 0,1475 L1 S15 -0,0964 L1 -0,0964 L1 0,3000 L1 0,5 (-0,0964) L1-0,5 (0,0964+0,300) L1= 0,2036 L1 S16 -0,0817 L1 -0,1034 L1 0,2400 L1 0,5 (-0,0082) L1-0,5 (0,1034+0,240) L1= 0,1475 L1 S17 -0,0621 L1 -0,0999 L1 0,1800 L1 0,5 (-0,0621) L1-0,5 (0,0999+0,180) L1= 0,099 L1 S18 -0,0402L1 -0,0833 L1 0,1200 L1 0,5 (-0,0402) L1-0,5 (0,0833+0,120) L1= 0,0583 L1 S19 -0,0186 L1 -0,0508 L1 0,0600 L1 0,5 (-0,0186) L1-0,5 (0,0508+0,060) L1= 0,0253 L1 S20 0 0 0 0 S21 0,0115 L1 -0,0420 L1 0 0,5 (0,0115) L1 -0,5 (0,0420) L1 = -0,0153 L1 S22 0,0193 L1 -0,0707 L1 0 0,5 (0,0193) L1 -0,5 (0,0707) L1 = -0,0257 L1

    O aspecto da linha de influncia de momentos fletores em S15 est representado na Figura 7.62.

    LIM S15

    Figura 7.62 - Aspecto da linha de influncia de momento na seo S15

    b) Linhas de Influncia de Esforos Cortantes

    O clculo das linhas de influncia dos esforos cortantes, nas diversas sees, feito a partir das linhas de influncia dos momentos hiperestticos M10 e M20. A expresso (7.55) define o valor do esforo cortante, em uma seo qualquer, em funo do cortante isosttico e dos momentos hiperestticos nas sees adjacentes. Vale ressaltar que a expresso considera os sinais dos esforos.

    LMM

    VVesqiso

    dirhipiso

    ss

    += (7.55)

    Por analogia,

    LLIMLIM

    LIVLIVesqhip

    dirhips

    isoS

    += (7.56)

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    246

    A Figura 7.63 ilustra as parcelas dos esforos isostticos e hiperestticos para o clculo das ordenadas da linha de influncia de cortante para uma seo S intermediria.

    S

    y L-y

    L

    P=1 tf

    (P.(L-y)) / L

    (M -M )

    (P.y) / L (Parcela do isosttico)

    (Parcela do hiperesttico)hipdir

    hipesq

    L(M -M )hip

    dirhipesq

    L

    M hipesq M hip

    dir

    Figura 7.63 - Carga P=1 tf no vo

    A Figura 7.64 mostra LIVisost de uma seo S qualquer para uma carga unitria P = 1 tf passeando pelo vo.

    S

    LIV S isost.

    L

    1,00

    1,00

    Figura 7.64 - Linha de influncia de cortante na seo S

    O Quadro 7.8 apresenta o clculo das ordenadas para o traado da linha de influncia de cortante para a seo dir0S .

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    247

    Quadro 7.8 - Ordenadas nos dcimos de vo da dir0S

    LIV

    Seo isoSdir0LIV hipS0

    LIM hipS10LIM dir0SLIV

    S1 0,9000 0 -0,0243 L1 0,9000 0,0243 = 0,8757 S2 0,8000 0 -0,0470 L1 0,8000 0,0470 = 0,7530 S3 0,7000 0 -0,0670 L1 0,7000 0,0670 = 0,6330 S4 0,6000 0 -0,0825 L1 0,6000 0,0825 = 0,5175 S5 0,5000 0 -0,0921 L1 0,5000 0,0921 = 0,4079 S6 0,4000 0 -0,0943 L1 0,4000 0,0943 = 0,3057 S7 0,3000 0 -0,0877 L1 0,3000 0,0877 = 0,2123 S8 0,2000 0 -0,0707 L1 0,2000 0,0707 = 0,1293 S9 0,1000 0 -0,0420 L1 0,1000 0,0042 = 0,0580 S10 0 0 0 0 S11 0 0 -0,0508 L1 -0,0508 S12 0 0 -0,0833 L1 -0,0833 S13 0 0 -0,0999 L1 -0,0999 S14 0 0 -0,1034 L1 -0,1034 S15 0 0 -0,0964 L1 -0,0964 S16 0 0 -0,0817 L1 -0,0817 S17 0 0 -0,0621 L1 -0,0621 S18 0 0 -0,0402 L1 -0,0402 S19 0 0 -0,0186 L1 -0,0186 S20 0 0 0 0 S21 0 0 0,0115 L1 0,0115 S22 0 0 0,0193 L1 0,0193

    O aspecto da linha de influncia de cortante em dir0S est representado na Figura 7.65.

    LIV S100

    dir0

    Figura 7.65 - Linha de influncia de cortante na seo dir0S

    O Quadro 7.8 apresenta o clculo das ordenadas para o traado da linha de influncia de cortante para a seo dir10S .

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    248

    Quadro 7.9 - Ordenadas nos dcimos de vo da dir10S

    LIV

    Seo isoSdir10

    LIV

    hipS10

    LIM hipS20LIM dir10SLIV

    S1 0 - 0,0243 L1 0,0066 L1 0258,02,10243,00066,0 =+

    S2 0 -0,0470 L1 0,0129 L1 0499,02,10470,00129,0 =+

    S3 0 -0,0670 L1 0,0183 L1 0711,02,10670,00183,0 =+

    S4 0 --0,0825 L1 0,0225 L1 0875,02,10825,00225,0 =+

    S5 0 -0,0921 L1 0,0251 L1 0977,02,10921,00251,0 =+

    S6 0 -0,0943 L1 0,0257 L1 1000,02,10943,00257,0 =+

    S7 0 -0,0877 L1 0,0239 L1 0930,02,10877,00239,0 =+

    S8 0 -0,0707 L1 0,0193 L1 0750,02,10707,00193,0 =+

    S9 0 -0,0420 L1 0,0115 L1 0446,02,10420,00115,0 =+

    S10 1,000 0 0 1,000

    S11 0,900 -0,0508 L1 -0,0186 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S12 0,800 -0,0833 L1 -0,0402 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S13 0,700 -0,0999 L1 -0,0621 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S14 0,600 -0,1034 L1 -0,0817 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S15 0,500 -0,0964 L1 -0,0964 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S16 0,400 -0,0817 L1 -0,1034 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S17 0,300 -0,0621 L1 -0,0999 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S18 0,200 -0,0402L1 -0,0833 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S19 0,100 -0,0186 L1 -0,0508 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S20 0 0 0 0

    S21 0 0,0115 L1 -0,0420 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

    S22 0 0,0193 L1 -0,0707 L1 ( ) 9268,0

    2,10508,00186,0900,0 =++

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    249

    O aspecto da linha de influncia de cortante em dir10S est representado na Figura 7.66.

    100LIV S

    dir0

    Figura 7.66 - Linha de Influncia de Cortante na seo dir10S

    c) Clculo das Linhas de Influncia das Reaes de Apoio

    A Figura 7.67 mostra a variao do esforo cortante na seo de apoio S10. Nota-se que a reao de apoio a soma algbrica do valor dos cortantes direita e esquerda do referido apoio.

    _

    +

    Vesq

    Vdir

    Figura 7.67 - Cortantes esquerda e direita da seo S10

    Por analogia, as linhas de influncia de reaes de apoio so obtidas por meio da soma algbrica das linhas de influncia de cortantes esquerda e direita do respectivo apoio. Assim,

    esqdir LIVLIVLIR = (7.57) Vale ressaltar que a expresso considera os sinais dos esforos.

    A Figura 7.68 ilustra como se obtm a linha de influncia de reao de apoio da seo S10, utilizando-se a expresso (7.57) a partir das linhas de influncia de cortante de S10esq e S10dir.

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    250

    1,00

    _

    ++

    __

    1,00

    -+

    +_

    _

    1,00

    +

    -+

    _

    +

    =

    1,00

    LIV Sdir0

    LIR S10

    Figura 7.68 - Linha de influncia de reao de apoio em S10

    7.5.4 Clculo das Solicitaes Mximas e Mnimas devidas s Cargas Mveis

    O dimensionamento do vigamento principal das pontes feito para os esforos mximos em cada seo. So as linhas de influncia que permitem visualizar as posies mais desfavorveis das cargas mveis, para a determinao desses esforos mximos. Para isso, carregam-se, com o trem-tipo previamente calculado, as linhas de influncia nas posies mais convenientes.

    Posicionamento do trem-tipo sobre linha de influncia: Para obteno dos momentos fletores ou esforos cortantes mximos e mnimos,

    devidos s cargas mveis, deve-se colocar o trem-tipo na posio mais desfavorvel, determinada de acordo com o seguinte critrio:

    Momentos Fletores e Esforos Cortantes Mximos: A carga distribuda do trem-tipo posicionada sobre todos os trechos da linha de

    influncia com ordenadas positivas; e, as cargas concentradas so posicionadas sobre as mximas ordenadas positivas da linha de influncia.

    Momentos Fletores e Esforos Cortantes Mnimos: A carga distribuda do trem-tipo posicionada sobre todos os trechos da linha de

    influncia com ordenadas negativas; e, as cargas concentradas so posicionadas sobre as mximas ordenadas negativas da linha de influncia.

    O exemplo da Figura 7.69 ilustra o procedimento explicado:

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    251

    S3

    q

    q

    S5

    q

    P

    LIM S15y3

    y2y1

    S6S2

    y4y5 = y mn

    y6

    S4

    q

    P P

    P P P

    S1

    y2= y mx

    Figura 7.69 - Carregamento da linha de influncia de momentos fletores da seo S15

    Uma vez colocado o trem-tipo na posio mais desfavorvel, os valores numricos dos momentos fletores mximos e mnimos so definidos por:

    += SqyPM (7.58) onde:

    y a ordenada da linha de influncia;

    S a rea da linha de influncia.

    Para o exemplo da Figura 7.69, vem:

    ( ) ( )621321mxS SSSqyyyPM 15 +++++= (7.59) ( ) ( )54654mnS SSqyyyPM 15 += (7.60)

    As ordenadas y (y1,y2 .....,yc) so obtidas por interpolao linear, a partir das ordenadas nos dcimos de vo. A rea que a funo que define a linha de influncia obtida como se segue:

    O momento fletor devido a uma carga distribuda igual ao produto Sq , sendo S a rea da linha de influncia sobre a qual atua a carga q, ilustrada na Figura 7.70.

    q

    dP

    x

    S

    LIMsdx

    Figura 7.70 - Carregamento com carga distribuda

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    252

    Sabe-se que:

    dxqdP = (7.61)

    e,

    dPydMs = (7.62)

    Integrando a equao (7.51), tem-se:

    SqdAqdxyqdxqydPyMs ===== (7.63)

    As reas das linhas de influncia (S1, S2,...,S6) podem ser obtidas pela regra de integrao de Simpson. A Figura 7.72 mostra a rea S, definida por uma funo qualquer, dividida em n trechos, com suas respectivas ordenadas.

    y y

    n .h

    h

    yn-1

    n0

    y1y2

    Figura 7.71 - Integrao por Simpson

    onde:

    n o nmero de divises do vo

    Com a expresso (7.64), formulada por Simpson, calcula-se a rea definida por uma funo.

    ( ) ( ) ( )

    ++++++++= 444 3444 2144 344 21paresordenadas

    2n42

    mparesordenadas

    1n31n0 y...yy2yyy4yy3hS (7.64)

    Outra forma bastante simples e menos trabalhosa de se obter as reas das linhas de influncia (S1, S2,...,etc) atravs dos diagramas de esforos seccionais, devidos atuao de uma carga uniformemente distribuda unitria, sobre cada vo da viga isoladamente.

    Demonstra-se, a seguir, que as ordenadas destes diagramas (valores dos esforos seccionais nas sees) correspondem s reas das linhas de influncia dos esforos seccionais correspondentes.

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    253

    Observando-se a Figura 7.72 e aplicando-se uma carga distribuda de 1 tf/m, na expresso (7.63),tem-se :

    S0 S0

    q tf/m

    s LIMs

    2 Vo

    Figura 7.72 - Artifcio para clculo das reas das Linhas de Influncia

    SSqMs == (7.65)

    Conclui-se, portanto, que a rea do 2 vo da linha de influncia do momento em S (LIMs) numericamente igual ao momento fletor na seo S, devido atuao de uma carga uniformemente distribuda e unitria no 2 vo da viga considerada.

    De acordo com o mtodo simplificado exposto, para a determinao de todas as reas das linhas de influncia dos esforos seccionais, devem-se calcular os diagramas das solicitaes seccionais (momentos fletores, esforos cortantes e reaes de apoio) devidos atuao de uma carga uniformemente distribuda unitria em todos os vo da viga isoladamente.

    7.5.4.1 Clculo das reas do 1 vo das Linhas de Influncia de Momentos Fletores e Esforos Cortantes

    Momentos Fletores As Figuras 7.73 e 7.74 ilustram os diagramas de momentos fletores devidos ao

    carregamento unitrio no 1 vo (DM0) e da ao dos hiperestticos X1 (DM1) e X2 (DM2).

    q = 1 tf/m

    L1 1,2 L1 L1

    DM

    q l8

    Ll8

    =

    0

    Figura 7.73 - Aplicao da carga unitria no 1 vo

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    254

    1,00

    X1=1 tfm X1=1 tfm

    DM1

    1,00

    X2=1 tfm X2=1 tfm

    DM2

    Figura 7.74 - Aplicao dos hiperestticos unitrios no sistema principal

    Clculo de 10

    24LL0,1

    8L

    31 31

    1

    21

    10 +==

    3110 L0417,0 =

    Clculo de 20 020 =

    Substituindo os valores de 10 e 20 nas expresses (7.33) e (7.34), tem-se:

    211 L0614,0X =

    212 L0168,0X =

    O diagrama de momentos fletores da Figura 7.75 fornece todas as reas do 1 vo das linhas de influncia de momento fletor (LIM).

    L1 S15S25

    DMo

    -0,0614 (L1)

    S0 S10 S20 S30

    -0,0168 (L1)

    0,0084 (L1)-0,0223(L1)

    Figura 7.75 - Diagrama de momentos fletores para carga unitria no 1 vo De acordo com a Figura 7.75, vem:

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    255

    ==

    ==

    21S

    21S

    21S

    21S

    L0084,0LIMdeVo1dorea

    L0223,0LIMdeVo1dorea

    L0168,0LIMdeVo1dorea

    L0614,0LIMdeVo1dorea

    25

    15

    20

    10

    Esforos Cortantes Com diagrama de momentos fletores da Figura 7.75, obtm-se o diagrama de

    esforo cortante, que servir de base para clculo das reas de todas as linhas de influncia de esforos cortantes.

    +S0 S10 S20 S30

    +

    +

    -0,4386 L1 S = 0,0652 L1

    S = 0,0168 L1

    _

    0,5614 L1

    Figura 7.76 - Diagrama de esforo cortante para carga unitria no 1 vo De acordo com a Figura 7.76, vem:

    ==

    ==

    1esq30

    dir20

    1esq20

    dir10

    1esq10

    1dir0

    L0168,0LIVSLIVSdeVo1dorea

    L0652,0LIVSLIVSdeVo1dorea

    L5614,0LIVSdeVo1dorea

    L4386,0LIVSdeVo1dorea

    7.5.5 Clculo das Solicitaes Seccionais de Carga Mvel no Vigamento Principal atravs das Tabelas de George e Anger

    Para vigas contnuas simtricas, com inrcia constante e com at quatro vos, as ordenadas das linhas de influncia dos esforos seccionais foram tabeladas por Georg e Anger. Estas tabelas fornecem as ordenadas dos dcimos de vo das linhas de influncia de momentos fletores, esforos cortantes e reaes de apoio. A facilidade de clculo que estas tabelas proporcionavam antes do advento dos programas de computador, limitava muitas vezes o melhor lanamento da estrutura, pois os engenheiros buscavam enquadrar a mesma nas relaes previstas nas tabelas.

    Encontram se tabeladas as seguintes vigas:

    a) Vigas de 2 vos, com a seguinte relao entre os vos:

    L1:L2 = 1:1 - L1:L2 = 1:1,1 - L1:L2 = 1:1,2 - L1:L2 = 1:1,3 - L1:L2 = 1:1,4

    L1:L2 = 1:1,5 - L1:L2 = 1:1,6 - L1:L2 = 1:1,7 - L1:L2 = 1:1,8 - L1:L2 = 1:1,9

    L1:L2 = 1:2 - L1:L2 = 1:2,5.

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    256

    b) Vigas de 3 vos, com a seguinte relao entre os vos:

    L1:L2:L3 = 1:0,8:1 - L1:L2:L3 = 1:1:1 - L1:L2:L3 = 1:1,1:1 - L1:L2:L3 = 1:1,2:1;

    L1:L2:L3 = 1:1,25:1 - L1:L2:L3 = 1:1,3:1 - L1:L2:L3 = 1:1,4:1 - L1:L2:L3 = 1:1,5:1;

    L1:L2:L3 = 1:1,6:1 - L1:L2:L3 = 1:1,7:1 - L1:L2:L3 = 1:1,8:1 - L1:L2:L3 = 1:1,9:1

    L1:L2:L3 = 1:2:1.

    c) Vigas de 4 vos, com a seguinte relao entre os vos:

    L1:L2:L3:L4 = 1:0,8:0,8:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1:1:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,1:1,1:1

    L1:L2:L3:L4 = 1:1,2:1,2:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,3:1,3:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,4:1,4:1

    L1:L2:L3:L4 = 1:1,5:1,5:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,6:1,6:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,7:1,7:1

    L1:L2:L3:L4 = 1:1,8:1,8:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,9:1,9:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:2:2:1

    L1:L2:L3:L4 = 1:0,8:0,8:1

    Por questo de resgate histrico da importncia que estas tabelas tiveram na simplificao do clculo das pontes no passado, reproduz-se, na Figura 7.77, a tabela correspondente ponte desenvolvida no corpo deste trabalho.

    Observando-se esta tabela, pode-se obter as ordenadas nos dcimos de vo das linhas de influncia de momentos fletores, esforos cortantes e reaes de apoio para uma viga contnua de 3 vos com relao L:1,2 L:L entre os mesmos.

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    257

    Figura 7.77 - Tabela de Anger para viga de 3 vos com relao L1=L2=L1

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    258

    7.5.6 Mtodo Cinemtico para Obteno das Linhas de Influncia

    Atualmente, a velocidade requerida para elaborao dos projetos de pontes incompatvel com clculos manuais das linhas de influncia de solicitaes seccionais. Por outro lado, a utilizao de tabelas muito limitante, pois estas no contemplam todas as relaes de vos necessrias nem to pouco abramgem as pontes com altura varivel de vigas. Alm disso, as tabelas foram desenvolvidas apenas para sistemas em vigas contnuas, no atendendo, portanto, aos outros sistemas estruturais correntes, como prticos, trelias hiperestticas, arcos, entre outros. Por estas razes, a utilizao de programas de computador tornou-se obrigatria, no s na etapa de gerao das ordenadas das linhas de influncia, mas tambm na fase de carregamento destas linhas com o trem-tipo de projeto. Porm, na fase de projeto bsico, na consistncia dos resultados numricos obtidos pelos programas ou na anlise de combinaes de carregamentos, um mtodo clssico da hiperesttica exerce papel fundamental ainda nos dias de hoje. Trata-se do mtodo cinemtico de traado das linhas de influncia, conhecido tambm como mtodo de Muller Breslau. Este mtodo, de fcil aplicao, permite a visualizao do aspecto das linhas de influncia, assegurando assim anlises qualitativas dos resultados. O mtodo, baseado no teorema dos trabalhos virtuais, demonstra que a linha elstica da estrutura, obtida atravs do rompimento adequado do vnculo que transmite a solicitao que se deseja conhecer a linha de influncia, associado aplicao de uma deformao ou deslocamento unitrio e compatvel com a solicitao aplicada no vnculo rompido, reproduz exatamente a linha de influncia procurada. A demonstrao do mtodo, que trivial para vigas isostticas, encontrada em todos os livros de hiperesttica clssica.

    A formulao deste mtodo se deve a Muller Breslau e data do fim do sculo XIX. Atualmente, foi redescoberto e utilizado pelos modernos programas de anlise estrutural para obteno das linhas de influncia. O aspecto das linhas de influncia obtido com os seguintes passos:

    Romper o vnculo que transmite a solicitao que se deseja conhecer a linha;

    Aplicar nesta seo uma deformao unitria, no sentido oposto a solicitao positiva aplicada no vnculo rompido. Esta deformao ser absoluta em se tratando de reao de apoio, ou relativa no caso de solicitao seccional interna (M ou V);

    A linha elstica obtida atravs deste procedimento reproduz exatamente a linha de influncia do esforo ou solicitao procurada.

    A demonstrao deste mtodo pode ser encontrada no segundo volume do Livro Curso de Anlise Estrutural do Professor Jos Carlos Sssekind.

    7.5.7 Modelagem de Estruturas para Anlise em Programas de Estruturas Reticuladas

    Atualmente, o grande nmero de programas comerciais disponveis para anlise de estruturas tornou esta etapa do projeto bem mais simples e rpida. Os processos de anlise manual caram praticamente em desuso. Justifica-se a apresentao destes processos manuais de anlise neste captulo, tendo em vista a importncia dos mesmos

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    259

    no controle dos resultados obtidos dos programas de computador. Aquele que conhece os processos manuais dispe de recursos para verificar e criticar os relatrios de sada dos programas de anlise estrutural. De toda forma, hoje impraticvel a anlise de estruturas mais complexas atravs de processos manuais, no s pelo volume de clculos necessrios, mas, principalmente pelos prazos cada vez menores para desenvolvimento dos projetos. Outro fator que indica a utilizao dos programas a facilidade de transmisso dos dados para locais distantes atravs da internet. Memrias de clculo feitas mo, praticamente no so aceitas atualmente. Finalmente, a anlise atravs de programas permite um nmero menor de simplificaes, o que conduz a maior preciso nos resultados com conseqente economia na obra.

    Para a maior parte das pontes, modelos de estruturas reticuladas (compostas de elementos de barra) so suficientemente precisos para a anlise estrutural esttica. Estes modelos atendem obras em tangente ou curvas, bem como obras esconsas.

    A modelagem de uma estrutura, para processamento em programas de computador que utilizam a anlise matricial e o mtodo dos elementos finitos, requer uma diviso conveniente desta estrutura em barras com comprimentos finitos e ns. Os programas disponveis no mercado (SALT, SAP, SISTRUT, STRAP, etc.) analisam diversos tipos de estruturas compostas por elementos de barras (estruturas reticuladas).

    Neste livro, optou-se pela orientao atravs do programa SALT da UFRJ, pelo fato de ser um programa desenvolvido por uma universidade brasileira e, portanto, fruto da dedicao e trabalho rduo e continuado de prezados colegas. Outro fator que determinou a escolha foi a confiana que o autor deposita no programa, pois projetou centenas de pontes e viadutos que j foram executados, sem nunca ter tido qualquer tipo de problema. A reproduo de parte do manual do programa foi autorizada por um dos autores do programa, o Professor Doutor Slvio Souza Lima da UFRJ.

    7.5.7.1 Estruturas Reticuladas

    As Figuras 7.78 a 7.82 apresentam os diversos modelos de barras analisados pelos programas disponveis no mercado.

    Figura 7.78 - Prtico Plano

    Figura 7.79 - Prtico Espacial

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    260

    Figura 7.80 - Trelia Plana

    Figura 7.81 - Trelia Espacial

    Figura 7.82 - Grelha

    Apresentam-se, a seguir, de forma sucinta, algumas orientaes sobre modelagem destas estruturas.

    7.5.7.2 Ns da Estrutura

    Os ns da estrutura so os pontos que unem as barras que por sua vez representam os elementos estruturais. Estes ns podem ser obrigatrios ou acessrios.

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    261

    Os ns obrigatrios so aqueles necessrios definio do modelo, sem os quais os programas no processam a estrutura.

    As Figuras 7.83 a 7.88 apresentam os ns obrigatrios, indicados por seta, na modelagem de estruturas reticuladas. Os programas aceitam apenas barras retas.

    Os ns da estrutura so numerados de 1 a n.

    Figura 7.83 - Encontro de duas ou mais barras quando as mesmas so efetivamente ligadas

    Figura 7.84 - Mudana de direo de barras

    Figura 7.85 - Extremidades da estrutura

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    262

    Figura 7.86 - Apoios da estrutura

    Figura 7.87 - Fronteira de barras com variao de dimenses

    Figura 7.88 - Nas rtulas da estrutura

    Os ns acessrios so aqueles dispensveis para o processamento da estrutura. Eles so utilizados nos pontos da estrutura em que se deseja conhecer as solicitaes internas ou em que se deseja aplicar cargas. A Figura 7.89 ilustra alguns ns acessrios.

    Figura 7.89 - Ns acessrios

    7.5.7.3 Barras da Estrutura (ou membros)

    As barras ou membros fazem a ligao dos ns e representam as peas ou elementos da estrutura. (Vigas, pilares, travessas, etc.).

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    263

    1 2 3 41 2 3 4

    5

    Figura 7.90 - Barras da estrutura

    Da mesma forma que os ns, as barras da estrutura so numeradas de 1 a m.

    7.5.7.4 Geometria da Estrutura

    A geometria da estrutura dada atravs das coordenadas dos ns em relao aos eixos globais ortogonais (X, Y, Z), pela incidncia das barras nos ns e pela definio dos apoios e suas restries.

    Coordenadas dos ns Estas coordenadas so referidas a um par de eixos globais arbitrado. Estes eixos

    so posicionados de modo a facilitar a definio das coordenadas dos ns da estrutura.

    Y

    XZ

    1

    2 3

    4

    NCoordenadas

    X Y

    12

    3

    4

    X1X2

    X3

    X4

    Y1

    Y2

    Y3

    Y4

    Figura 7.91 - Eixos globais para definio de coordenadas

    7.5.7.5 Incidncia das Barras

    A incidncia da barra indica o n inicial e o n final do elemento, de maneira a representar a forma da estrutura.

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    264

    4 , 1 , 2n-1

    n

    24

    i

    Barra

    N Inicial

    N Final

    Figura 7.92 - Incidncia das barras

    7.5.7.6 Definio dos Apoios e Restries dos Ns

    Devem-se indicar quais so os ns que constituem os apoios da estrutura (condies de contorno). Cada tipo de programa admite uma conveno para deslocamento ou rotao, livre ou impedida. A conveno do programa SALT :

    Livre = 0

    Impedido = 1

    X

    Y

    Z

    Y

    X

    1 , 1 , 1

    0 , 1 , 0

    Livre desl. X

    Impedido desl. Y

    Livre desl. Z

    Impedido desl. X

    Impedido desl. Y

    Impedido desl. ZZ

    Figura 7.93 - Exemplo utilizando o programa SALT

    Os impedimentos ou liberdades dos deslocamentos e rotaes dos ns referem-se aos eixos globais X, Y e Z.

    7.5.7.7 Descontinuidades das Barras (Articulaes)

    As articulaes ou rtulas das barras so informadas atravs do nmero de deslocamentos ou rotaes liberadas em relao ao seguinte sistema de referncia local mostrado na Figura 7.94:

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    265

    4 X1

    2 3 56

    Y

    i f

    Figura 7.94 - Eixos locais para definio dos graus de liberdade das barras 1 o deslocamento em x do n inicial;

    2 o deslocamento em y do n inicial; 3 a rotao em z do n inicial;

    4 o deslocamento em x do n final;

    5 o deslocamento em y do n final;

    6 a rotao em z do n final.

    Os eixos x, y e z aqui apresentados so eixos locais e, portanto, referenciados para cada barra. A Figura 7.95 ilustra um elemento na direo vertical com os seus eixos locais representados.

    z

    x

    x

    xz

    y

    Figura 7.95 - Eixos locais das barras

    As informaes so fornecidas ao programa SALT da seguinte forma (sem gerao automtica):

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    266

    ARTICULAES (palavra chave)

    |1 |2 |3 ...

    |1 o nmero da barra;

    |2, |3,... o cdigo das direes com descontinuidades.

    7.5.7.8 Propriedades dos Elementos

    Neste item, so definidos o tipo do material, o tipo de seo bem como a incidncia das barras em relao aos ns. As informaes so fornecidas ao programa SALT da seguinte forma: (sem gerao automtica).

    PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS (palavra chave)

    |1 |2 |3 |4 |5 (campos de preenchimento)

    |1 o nmero do elemento;

    |2 o tipo do material;

    |3 o tipo de seo;

    |4 o n inicial;

    |5 o n final.

    O programa admite vrios tipos de materiais. Os tipos de materiais e de sees so informados em linhas de comando especficas da seguinte forma:

    TIPO DE MATERIAL (palavra chave)

    |1 E |1 o nmero do tipo do material;

    E o mdulo de elasticidade;

    o coeficiente de Poisson; o coeficiente de dilatao trmica; o peso especfico. Os Quadros 7.9 e 7.10 indicam os valores apropriados das caractersticas de cada

    material.

    Quadro 7.10 - Caractersticas Fsicas de diferentes materiais Material 1 (ao estrutural) 2 (alumnio estrutural) 3 (concreto)

    E 2,05 X 108 kN/m 7,00 x 107 kN/m 2,10 x 107 kN/m 0,3 0,33 0,2 1,2 x 10-5/C 2,4 x 10-5 / C 10-5 / C 77,0 kN/m 27,0 kN/m 25,0 kN/m

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    267

    Quadro 7.11 - Propriedades fsicas para os diferentes modelos estruturais Modelo Estrutural Propriedades

    Estados planos Slidos Grelha

    Prtico plano Prtico espacial

    Placa Casca

    E, , ,

    Trelias planas e espaciais E, ,

    TIPO DE SEO

    Deve-se indicar para cada tipo de seo distinta da estrutura o nmero identificador (1, 2, etc.) e suas caractersticas geomtricas (Ax, Ay, Iz, etc.).

    As propriedades de sees de barras que devem ser informadas para cada tipo de estrutura esto apresentadas no Quadro 7.11.

    Quadro 7.12 - Propriedades geomtricas para os diferentes modelos estruturais

    Modelo Estrutural Propriedades

    Trelia plana ou espacial Ax

    Prtico plano Ax, Ay, Iz, Wz

    Prtico espacial Ax, Ay, Az, Ix, Iy, Iz, Wy, Wz Grelha Ax, Az, Ix, Iy, Wz

    Onde:

    Ax a rea da seo transversal;

    Ay a rea efetiva de cisalhamento na direo y local;

    Az a rea efetiva de cisalhamento na direo z local;

    Ix o momento de inrcia a toro (eixo local x);

    Iy o momento de inrcia em relao ao eixo y local;

    Iz o momento de inrcia em relao ao eixo z local;

    Wy o mdulo resistente flexo em relao y local;

    Wz o mdulo resistente flexo em relao z local.

    Caso no seja fundamental considerar as deformaes por cortante, deve-se fazer Ay e Az iguais a zero.

    TIPO DE SEO (palavra chave)

    |1 Ax Az Ix Iy [Wy]

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    268

    7.5.7.9 Casos de Carregamento

    O programa SALT executa simultaneamente a anlise de um conjunto de carregamentos de forma isolada e permite a combinao destes carregamentos entre si.

    NMERO DE CARREGAMENTOS |1 (palavra chave)

    |1 representa o nmero de carregamentos distintos a serem analisados.

    7.5.7.10 Dados de Entrada dos Carregamentos CARREGAMENTO |1 (palavra chave)

    |1 o ttulo do carregamento

    Aps cada carregamento, deve-se indicar a palavra fim.

    O programa SALT admite cargas nodais (aes aplicadas nos ns da estrutura), cargas nos elementos, recalques de apoio e cargas de peso prprio.

    CARGAS NODAIS (palavra chave)

    So cargas aplicadas diretamente nos ns da estrutura, podendo ser foras aplicadas e/ou momentos aplicados. As foras aplicadas devem ser decompostas nas direes X, Y, Z dos eixos globais, e os momentos aplicados tambm se referem aos eixos globais.

    Y

    X

    px (+)

    py(-) py(-)

    px(-)

    p

    mz(+)

    Figura 7.96 - Aplicao das cargas nodais

    As componentes de cargas nodais compatveis com os diversos modelos estruturais esto apresentadas no Quadro 7.12.

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    269

    Quadro 7.13 - Componentes de cargas nodais para os diferentes modelos estruturais

    TIPO DO MODELO COMPONENTES

    prtico plano px, py, mz.

    grelha, placa pz, mx, my

    trelia plana, estados planos px, py, mz

    trelia espacial, slido px, py, pz

    prtico espacial, casca px,py,pz,mx,my,mz

    Assim, para o modelo grelha, pode-se ter:

    CARGAS NODAIS

    |1 mx R1 pz R2 [g |2 |3] onde:

    |1 representa o nmero do n;

    mx, pz descrevem o tipo de carga (momento, fora);

    R1, R2 so os valores de mx e pz, respectivamente;

    [g |2 |3] so os dados de gerao automtica.

    CARGAS NOS ELEMENTOS (palavra chave)

    S os modelos de prtico plano, prtico espacial e grelha admitem carga nos elementos. As trelias planas e espaciais no admitem estes carregamentos. As cargas possveis de se aplicar nas barras da estrutura esto ilustradas na Figura 7.97.

    py(-)

    py(-)

    px(-)

    Y local

    X local(i) (i + 1)LA

    LA

    LA

    Figura 7.97 - Cargas concentradas nos ns da estrutura

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    270

    A forma de codificar os dados:

    |1 C R1 mx R2 px R3

    |1 o nmero do elemento;

    C o tipo de carga (concentrada);

    R1 a distncia LA ao n inicial;

    mx, py o tipo de componente de carga concentrada;

    R2, R3 so os valores de mx e py, respectivamente.

    A Figura 7.98 mostra esquematicamente cargas uniformemente distribudas ao longo do elemento.

    Os elementos de grelha admitem somente o carregamento Wz, pois a estrutura definida no plano X, Y e a carga atua na direo Z, perpendicular a este plano, conforme ilustra a Figura 7.99.

    LB

    Y local

    X local

    Z local

    wya

    wxawza

    LA

    Figura 7.98 - Cargas uniformemente distribudas (u)

    Z

    Y

    X

    waz (-)

    LB

    LA

    Figura 7.99 - Cargas distribudas atuando em grelhas

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    271

    Forma de codificao dos dados para uma barra:

    |1 u R1 R2 wza R3 wxa R4 wya R5

    |1 o nmero do elemento;

    u o tipo de carga (uniforme);

    R1, R2 so as distncias LA e LB em relao ao n inicial, respectivamente;

    wza, wxa, wya so os tipos de componente de carga;

    R3, R4, R5 so os valores das cargas wza, wxa, wya, respectivamente.

    As cargas distribudas linearmente esto ilustradas na Figura 7.100.

    LB

    Y local

    X local

    Z local

    wya

    wxbwzb

    LA

    wza

    wxa

    wyb

    Figura 7.100 - Aplicao de cargas lineares (l)

    Forma de codificao dos dados para uma barra:

    |1 l R1 R2 wxa R3 wxb R4 wya R5

    |1 o nmero do elemento;

    R1, R2 so as distancias LA e LB em relao ao n inicial, respectivamente;

    wxa, wxb, wya so os tipos de componente de carga;

    R3, R4, R5 so os valores das cargas wxa, wxb e wya.

    O programa admite os seguintes tipos de carregamentos:

    Carga linear global (s); Carga uniforme global (w); Variao uniforme de temperatura (t); Gradiente de temperatura (g); Protenso (p); Deslocamentos prescritos (recalques de apoio).

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    272

    7.5.7.11 Opes para Entrada dos Dados no Programa

    O programa SALT apresenta quatro formas de entrada de dados:

    a) Mdulo Assistente

    Os dados so fornecidos atravs do preenchimento de planilhas em formato EXCEL. O preenchimento das planilhas intuitivo e muito simples, porm esta forma adequada apenas para estruturas de pequeno porte com nmero reduzido de barras e ns. Este modo de entrada de dados no permite o recurso de gerao automtica de barras e ns da estrutura e s admite estruturas formadas por elementos de barra.

    b) Editor

    Os dados so digitados em editor com formatao apropriada gerando um arquivo de dados com extenso slt. O editor chamado originalmente o Bloco de Notas do Windows, porm pode-se utilizar o Word e salvar com extenso txt. Esta forma de entrada de dados apropriada para estruturas de maior porte e caractersticas semelhantes, como no caso de pontes. Deve-se salvar um arquivo anterior com outro nome e digitar apenas os dados que sero alterados. Esta forma permite a utilizao do recurso de gerao automtica de barras e ns da estrutura, o que reduz o trabalho de entrada dos dados e torna o arquivo mais compacto.

    c) Galeria de Modelos

    O programa admite vrios tipos de estruturas de uso freqente. Neste caso, o nmero de dados a informar pequeno, simplificando muito o trabalho.

    d) Mdulo Interpretador de Desenhos de AUTOCAD

    O modelo da estrutura desenhado no programa AUTOCAD e o arquivo de sada exportado em formato dxf para o SALT, que o reconhece e o processa. Esta forma a mais indicada para estruturas com geometria complexa, onde o clculo das coordenadas muito trabalhoso.

    Finalmente, o programa apresenta um Mdulo de Linhas de Influncia que alm de ger-las, as carrega com praticamente qualquer trem-tipo definido pelo usurio.

    7.5.7.12 Resultados da Anlise

    O programa fornece como resultado os seguintes dados:

    Deslocamento e rotao dos ns; Solicitaes Seccionais (N, M, V); Reaes de apoio (R). O mdulo grfico desenha a estrutura e os diversos diagramas de estado.

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    273

    7.5.7.13 Clculo das Solicitaes Seccionais no Vigamento Principal atravs de Programas de Computador

    Apresentam-se na Figura 7.101, o modelo discretizado e os arquivos de entrada do programa SALT UFRJ, que foi utilizado na anlise da viga contnua da Ponte Exemplo.

    Figura 7.101 - Modelo para anlise da ponte no programa SALT DA UFRJ

    Arquivo de Entrada de dados do programa SALT UFRJ para clculo das solicitaes devidas cargas permanentes.

    coordenadas dos ns 1 0.000 0.00 2 1 1.50 0.00 4 5.000 0.00 1 1 2.00 0.00 6 8.800 0.00 29 1 1.80 0.00 36 63.000 0.00 1 1 2.00 0.00 38 66.500 0.00 1 1 1.50 0.00 0 condies de contorno 1 010 5 110 15 010 25 010 35 110 39 010 0 tipos de material 1 3.19e6 0.2 1.0e-5 2.5 0 tipos de seo 1 2.4400 2.4400 0.0081 2 2.4080 2.4080 0.5819 3 2.7380 2.7380 0.7762 4 2.8700 2.8700 0.8609 5 2.4960 2.4960 0.6384 0 propriedades dos elementos 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 3 3 4 1 2 4 4 5 1 3 5 5 6 1 4 6 6 7 1 5 7 7 8 1 2 8 8 9 1 2

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    9 9 10 1 2 10 10 11 1 2 11 11 12 1 2 12 12 13 1 2 13 13 14 1 5 14 14 15 1 4 15 15 16 1 4 16 16 17 1 5 17 17 18 1 2 18 18 19 1 2 19 19 20 1 2 20 20 21 1 2 21 21 22 1 2 22 22 23 1 2 23 23 24 1 5 24 24 25 1 4 25 25 26 1 4 26 26 27 1 5 27 27 28 1 2 28 28 29 1 2 29 29 30 1 2 30 30 31 1 2 31 31 32 1 2 32 32 33 1 2 33 33 34 1 5 34 34 35 1 4 35 35 36 1 3 36 36 37 1 2 37 37 38 1 1 38 38 39 1 1 0 articulaes 3 3 36 6 0 numero de carregamentos 1 carregamento 1 Peso Prprio cargas nodais 3 py -258.9 5 py -23.2 10 py -21.2 15 py -23.2 20 py -21.2 25 py -23.2 30 py -21.2 35 py -23.2 37 py -258.9 0 cargas nos elementos 4 c 1.330 py -16.50 5 c 1.000 py -24.80 14 c 0.800 py -24.80 15 c 1.000 py -24.80 24 c 0.800 py -24.80 25 c 1.000 py -24.80 34 c 0.800 py -24.80 35 c 0.670 py -16.50 3 u 0.0 0.0 wya -78.40 g 33 1 0 Fim

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    Deve-se observar que cada bloco de dados encerrado com o nmero 0.

    Arquivo de entrada de dados do programa SALT UFRJ para clculo das envoltrias de Momentos Fletores e Esforos Cortantes.

    prtico plano Exemplo - Apostila - Carga Mvel - Esforos Mximos coordenadas dos nos 1 0.000 0.00 2 1 1.50 0.00 4 5.000 0.00 1 1 2.00 0.00 6 8.800 0.00 29 1 1.80 0.00 36 63.000 0.00 1 1 2.00 0.00 38 66.500 0.00 1 1 1.50 0.00 0 condies de contorno 1 010 5 110 15 010 25 010 35 110 39 010 0 tipos de material 1 3.19e6 0.2 1.0e-5 2.5 0 tipos de secao 1 2.4400 2.4400 0.0081 2 2.4080 2.4080 0.5819 3 2.7380 2.7380 0.7762 4 2.8700 2.8700 0.8609 5 2.4960 2.4960 0.6384 0 propriedades dos elementos 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 3 3 4 1 2 4 4 5 1 3 5 5 6 1 4 6 6 7 1 5 7 7 8 1 2 8 8 9 1 2 9 9 10 1 2 10 10 11 1 2 11 11 12 1 2 12 12 13 1 2 13 13 14 1 5 14 14 15 1 4 15 15 16 1 4 16 16 17 1 5 17 17 18 1 2 18 18 19 1 2 19 19 20 1 2 20 20 21 1 2 21 21 22 1 2 22 22 23 1 2 23 23 24 1 5 24 24 25 1 4 25 25 26 1 4 26 26 27 1 5 27 27 28 1 2 28 28 29 1 2

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    29 29 30 1 2 30 30 31 1 2 31 31 32 1 2 32 32 33 1 2 33 33 34 1 5 34 34 35 1 4 35 35 36 1 3 36 36 37 1 2 37 37 38 1 1 38 38 39 1 1 0 articulaes 3 3 36 6 0 seqncia de trafego 1 i g 37 1 0 direo da carga -dy valores mximos de esforo 3 i mz 33 1 3 f mz 33 1 3 i qy 33 1 3 f qy 33 1 0 trem tipo especial comprimento do veiculo 6.00 cargas concentradas 182.92 1.50 182.92 3.00 182.92 4.50 0 cargas distribudas 0 42.63 42.63

    Arquivo de sada de dados do programa SALT UFRJ para clculo das solicitaes de cargas permanentes (Momentos Fletores e Esforos Cortantes).

    e s f o r o s n a s b a r r a s barra sistema n fora fora momento normal cortante fletor 1 local 1 0.00 -0.00 0.00 2 0.00 0.00 -0.00 2 local 2 0.00 -0.00 0.00 3 0.00 0.00 -0.00 3 local 3 0.00 -258.90 0.00 4 0.00 415.70 -674.60 4 local 4 0.00 -415.70 674.60 5 0.00 589.00 -1673.86 5 local 5 0.00 698.29 1673.85 6 0.00 -532.37 -563.78 6 local 6 0.00 532.37 563.78 7 0.00 -391.25 267.48 7 local 7 0.00 391.25 -267.48 8 0.00 -250.13 844.72 8 local 8 0.00 250.13 -844.72 9 0.00 -109.01 1167.95 9 local 9 0.00 109.01 -1167.95 10 0.00 32.11 1237.16 10 local 10 0.00 -53.31 -1237.16 11 0.00 194.43 1014.20

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    11 local 11 0.00 -194.43 -1014.20 12 0.00 335.55 537.22 12 local 12 0.00 -335.55 -537.22 13 0.00 476.67 -193.78 13 local 13 0.00 -476.67 193.78 14 0.00 617.79 -1178.79 14 local 14 0.00 -617.79 1178.79 15 0.00 783.71 -2442.62 15 local 15 0.00 741.00 2442.62 16 0.00 -575.08 -1255.66 16 local 16 0.00 575.08 1255.66 17 0.00 -433.96 -347.53 17 local 17 0.00 433.96 347.53 18 0.00 -292.84 306.59 18 local 18 0.00 292.84 -306.59 19 0.00 -151.72 706.70 19 local 19 0.00 151.72 -706.70 20 0.00 -10.60 852.78 20 local 20 0.00 -10.60 -852.78 21 0.00 151.72 706.70 21 local 21 0.00 -151.72 -706.70 22 0.00 292.84 306.59 22 local 22 0.00 -292.84 -306.59 23 0.00 433.96 -347.53 23 local 23 0.00 -433.96 347.53 24 0.00 575.08 -1255.66 24 local 24 0.00 -575.08 1255.66 25 0.00 741.00 -2442.62 25 local 25 0.00 783.71 2442.62 26 0.00 -617.79 -1178.79 26 local 26 0.00 617.79 1178.79 27 0.00 -476.67 -193.78 27 local 27 0.00 476.67 193.78 28 0.00 -335.55 537.22 28 local 28 0.00 335.55 -537.22 29 0.00 -194.43 1014.20 29 local 29 0.00 194.43 -1014.20 30 0.00 -53.31 1237.16 30 local 30 0.00 32.11 -1237.16 31 0.00 109.01 1167.95 31 local 31 0.00 -109.01 -1167.95 32 0.00 250.13 844.72 32 local 32 0.00 -250.13 -844.72 33 0.00 391.25 267.48 33 local 33 0.00 -391.25 -267.48 34 0.00 532.37 -563.78 34 local 34 0.00 -532.37 563.78 35 0.00 698.29 -1673.86 35 local 35 0.00 589.00 1673.86 36 0.00 -415.70 -674.60 36 local 36 0.00 415.70 674.60 37 0.00 -258.90 0.00 37 local 37 0.00 0.00 0.00 38 0.00 -0.00 -0.00 38 local 38 0.00 0.00 0.00 39 0.00 -0.00 0.00 Fim do Programa

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    Comparando-se os resultados obtidos pela modelagem no programa SALT UFRJ com os obtidos por carregamento das linhas de influncia, tabeladas por George e Anger, verificam-se pequenas diferenas entre eles. Na modelagem feita no programa SALT UFRJ, mesmo em vigas de altura constante, a variao de inrcia devida aos alargamentos das vigas em planta considerada. O que no acontece nas tabelas de George e Anger. Da, a diferena nos resultados encontrados.

    APOSTILA DE PONTES III 241APOSTILA DE PONTES III 242APOSTILA DE PONTES III 243APOSTILA DE PONTES III 244APOSTILA DE PONTES III 245APOSTILA DE PONTES III 246APOSTILA DE PONTES III 247APOSTILA DE PONTES III 248APOSTILA DE PONTES III 249APOSTILA DE PONTES III 250APOSTILA DE PONTES III 251APOSTILA DE PONTES III 252APOSTILA DE PONTES III 253APOSTILA DE PONTES III 254APOSTILA DE PONTES III 255APOSTILA DE PONTES III 256APOSTILA DE PONTES III 257APOSTILA DE PONTES III 258APOSTILA DE PONTES III 259APOSTILA DE PONTES III 260APOSTILA DE PONTES III 261APOSTILA DE PONTES III 262APOSTILA DE PONTES III 263APOSTILA DE PONTES III 264APOSTILA DE PONTES III 265APOSTILA DE PONTES III 266APOSTILA DE PONTES III 267APOSTILA DE PONTES III 268APOSTILA DE PONTES III 269APOSTILA DE PONTES III 270APOSTILA DE PONTES III 271APOSTILA DE PONTES III 272APOSTILA DE PONTES III 273APOSTILA DE PONTES III 274APOSTILA DE PONTES III 275APOSTILA DE PONTES III 276APOSTILA DE PONTES III 277APOSTILA DE PONTES III 278APOSTILA DE PONTES III 279APOSTILA DE PONTES III 280APOSTILA DE PONTES III 281APOSTILA DE PONTES III 282APOSTILA DE PONTES III 283APOSTILA DE PONTES III 284APOSTILA DE PONTES III 285