Aula 9 - Pontes

PROJETO E ANÁLISE DE PONTES SÉRGIO MARQUES FERREIRA DE ALMEIDA

234

O sistema de equações é solucionado como auxílio dos determinantes das matrizes.

• Determinante Principal (Δp)

11

11

L73333,0L20000,0

L20000,0L73333,0p =Δ

( ) ( ) 21

21

21 L49777,0L20000,0L73333,0p =−=Δ

• Determinante Característico (ΔcX1)

120

1101c L73333,0

L20000,0X

δ−δ−

=Δ

2011011c L20000,0L73333,0X δ⋅+δ⋅−=Δ

Logo:

21

2011011c1 L49777,0

L20000,0L73333,0pX

Xδ⋅+δ⋅−

=Δ

Δ=

1

20101 L

40179,047323,1X

δ+δ−= (7.33)

Deve-se ressaltar que:

101 MX =

• Determinante Característico (ΔcX2)

201

1012c SL20000,0

SL73333,0X

−−

=Δ

1012012c L2000,0L73333,0X δ⋅+δ⋅−=Δ

Logo:

21

1012012c2 L49777,0

L20000,0L73333,0pX

Xδ⋅+δ⋅−

=Δ

Δ=

1

10202 L

40179,0147323X

δ+δ−= (7.34)

Assim como:

202 MX =


235

Observa-se que os valores de X1 e X2 dependem dos valores de δ10 e δ20, que dependem da posição da carga P = 1 tf sobre a viga.

Os diversos valores assumidos por X1 e X2 quando a carga P = 1 tf se desloca sobre a viga, representam as ordenadas das linhas de influência de momentos fletores em S10 e S20, respectivamente. Desse modo, pode-se dizer que:

⎩⎨⎧

==

20S2

10S1

LIMLIXLIMLIX

Calculam-se, a seguir, os valores assumidos por δ10 e δ20 quando a carga P=1 tf se desloca sobre a viga.

Aplicando-se a carga P = 1 tf no 1º vão do sistema principal, ilustrada na Figura 7.49, e relacionando-a com os hiperestáticos unitários aplicados também no sistema principal da Figura 7.50, determinam-se δ10 e δ20 para cada seção deste trecho em análise:

• Cálculo de δ10

( ) 110 L1MM61

ξ+××=δ (7.35)

Mas, 1M__= (7.36)

e 1L.L

'x.PxM ξξ== (7.37)

com Lx

=ξ (7.38)

a equação (7.35) para a ser escrita como

( ) 2110 L1'

61

ξ+ξ⋅ξ×=δ (7.39)

Denominando-se

( )ξ+ξ⋅ξ= 1'WD (7.40)

A expressão (7.39) modifica-se para:

21D10 LW

61

××=δ (7.41)

A parcela de WD é tabelada em função de ξ, ou seja:

( )ξ= fWD (7.42)


236


020 =δ

X

P=1 tf

X'

L1

M=X . X'/L1

1,2L1 L1

DM0

Figura 7.49 - Aplicação da carga unitária no 1o vão

1,00

1,00

X2=1 tfm X2=1 tfm

X1=1 tfm X1=1 tfm

DM1

DM2

Figura 7.50 - Aplicação dos hiperestáticos unitários no sistema principal

O Quadro 7.3 apresenta o cálculo de δ10 e δ20 para as diversas posições de P = 1 tf no 1º vão.

Quadro 7.3 - Cálculo das ordenadas do 1º vão das 10SLIM e

20SLIM

Seção ξ WD δ10 δ20 X1 = M10 X2 = M20 S0 0,00 0,000 0,0000 0 0,000 0,000 S1 0,10 0,099 0,0165 L12 0 - 0,0243 L1 + 0,0066 L1 S2 0,20 0,192 0,0320 L12 0 - 0,0471 L1 + 0,0129 L1 S3 0,30 0,273 0,0455 L12 0 - 0,0670 L1 + 0,0183 L1 S4 0,40 0,336 0,0560 L12 0 - 0,0825 L1 + 0,0225 L11 S5 0,50 0,375 0,0625 L12 0 - 0,0921 L1 + 0,0251 L1 S6 0,60 0,384 0,0064 L12 0 - 0,0943 L1 + 0,0257 L1 S7 0,70 0,357 0,0595 L12 0 - 0,0877 L1 + 0,0239 L1 S8 0,80 0,288 0,0480 L12 0 - 0,0707 L1 + 0,0193 L1 S9 0,90 0,171 0,0285 L12 0 - 0,0420 L1 + 0,0115 L1 S10 1,00 0,000 0,0000 0 0,000 0,000


237

Aplicando-se a carga P = 1 tf no 2º vão (v. Figura 7.51) e adotando o mesmo procedimento apresentado para o 1º vão, determinam-se os valores dos hiperestáticos X1 e X2; que são apresentados no Quadro 7.4.

P=1 tfDM

L11,2L1

X X'0


1L2,1'x.xM =


( ) 2,1L1MM61

110 ⋅⋅ξ+⋅⋅⋅=δ (7.43)

Neste caso, 11 L2,1..M ξξ= (7.44)

Substituindo-se (7.36) e (7.43) em (7.44), tem-se:

( ) ( )2110 L2,11'.61

×ξ+×ξξ×=δ (7.45)

Denominando-se

( )ξ+×ξξ= 1'.'W D (7.46)

A expressão (7.45) modifica-se para:

D'2

110 WL24,0 ××=δ (7.47)

A parcela de W’D é tabelada em função de ξ, ou seja:

( )ξ=′ fWD (7.48)


A dedução da expressão de 20δ segue na mesma seqüência de 10δ , daí:

D2120 WL24,0 ××=δ (7.49)


238

Quadro 7.4 - Cálculo das ordenadas do 2º vão das 10SLIM e

20SLIM

SEÇÃO ξ WD W’D δ10 δ20 X1 = M10 X2 = M20 S10 0,00 0,000 0,000 0,0000 0,0000 0,000 0,000 S11 0,10 0,099 0,171 0,0410 L12 0,0238 L12 - 0,0508 L1 - 0,0186 L1 S12 0,20 0,192 0,288 0,0691 L12 0,0461 L12 - 0,0833 L1 - 0,0402 L1 S13 0,30 0,273 0,357 0,0857 L12 0,0655 L12 - 0,0999 L1 - 0,0621 L1 S14 0,40 0,336 0,384 0,0922 L12 0,0806 L12 - 0,1034 L1 - 0,0817 L1 S15 0,50 0,375 0,375 0,0900 L12 0,0900 L12 - 0,0964 L1 - 0,0964 L1 S16 0,60 0,384 0,336 0,0806 L12 0,0922 L12 - 0,0817 L1 - 0,1034 L1 S17 0,70 0,357 0,273 0,0655 L12 0,0857 L12 - 0,0621 L1 - 0,0999 L1 S18 0,80 0,288 0,192 0,0461 L12 0,0691 L12 - 0,0402 L1 - 0,0833 L1 S19 0,90 0,171 0,099 0,0238 L12 0,0410 L12 - 0,0186 L1 - 0,0508 L1 S20 1,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

E, para finalizar, aplica-se a carga P = 1 tf no 3º vão, conforme ilustra a Figura 7.52.

DM

L1

X"

P=1 tf

M=X . X'/L1

X0


Os coeficientes δ10 e δ20 são calculados com os diagramas das Figuras 7.50 e 7.52, já tabelados.


010 =δ


21

'D20 LW

61

××=δ (7.50)

Os valores dos hiperestáticos X1 e X2 estão apresentados no Quadro 7.5.


239

Quadro 7.5 - Cálculo das Ordenadas do 3º vão das 10SLIM e

20SLIM

SEÇÃO ξ W’D δ10 δ20 X1 = M10 X2 = M20 S20 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 S21 0,10 0,171 0,000 L12 0,0285 L12 + 0,0115 L1 - 0,0420 L1 S22 0,20 0,288 0,000 L12 0,0480 L12 + 0,0193 L1 - 0,0707 L1 S23 0,30 0,357 0,000 L12 0,0595 L12 + 0,0239 L1 - 0,0877 L1 S24 0,40 0,384 0,000 L12 0,0640 L12 + 0,0257 L1 - 0,0943 L1 S25 0,50 0,375 0,000 L12 0,0625 L12 + 0,0251 L1 - 0,0921 L1 S26 0,60 0,336 0,000 L12 0,0560 L12 + 0,0225 L1 - 0,0825 L1 S27 0,70 0, 273 0,000 L12 0,0455 L12 + 0,0183 L1 - 0,0670 L1 S28 0,80 0,192 0,000 L12 0,0320 L12 + 0,0129 L1 - 0,0471 L1 S29 0,90 0,099 0,000 L12 0,0165 L12 + 0,0066 L1 - 0,0243 L1 S30 1,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Apresenta-se na Figura 7.53 o aspecto das linhas de influência de momentos fletores para as seções S10 e S20.

• Linha de Influência de M10 ( 10SLIM )

LIM S10

• Linha de Influência de M20 ( 20SLIM )

LIM S 20

Figura 7.53 - Aspecto das linhas de influência de momentos fletores em S10 e S20

7.5.3.2 Cálculo das Ordenadas dos Extremos dos Balanços das Linhas de Influência de Momentos Fletores

A metodologia descrita anteriormente permitiu calcular as ordenadas nos décimos dos vãos das linhas de influência dos momentos fletores sobre os apoios intermediários da viga. Deve-se agora, determinar as ordenadas das seções situadas nos balanços das vigas. Como os balanços são isostáticos, os trechos das linhas de influência localizadas nos mesmos são constituídos por retas. Portanto, basta calcular a ordenada do extremo do balanço, para a definição completa do trecho.

A Figura 7.54 ilustra a linha de influência de momentos para S10, onde:

• X1 = Ms10 para, P =1 tf no extremo do balanço esquerdo;

• X2 = Ms10 para, P = 1 tf no extremo do balanço direito.


240

LIM S10

x2

x1

Figura 7.54 - Linha de influência de momentos em S10

Aplicando-se a carga P = 1 tf no extremo do balanço, conforme mostra a Figura 7.55, e traçando-se o diagrama de momentos fletores, tem-se:

DM1x2

x1

P=1 tf

Figura 7.55 - Aplicação da carga unitária no extremo do balanço esquerdo

x1 = Ms10, para P =1 tf no extremo do balanço esquerdo;

x1’ = Ms10, para P =1 tf no extremo do balanço direito (por simetria).

Para a determinação das ordenadas dos extremos dos balanços de todas as linhas de influência de momentos fletores, deve-se calcular o diagrama de momentos fletores da viga para a carga P = 1 tf aplicada no extremo do balanço (DM0).

Relacionando o diagrama da Figura 7.56 (DM0) com os hiperestáticos unitários aplicados também no sistema principal da Figura 7.57, determinam-se δ10 e δ20 para cada seção deste trecho em análise:


211110 L0333,0LL2,01

61

−=×××−=δ

2110 L0333,0−=δ


δ20 = 0

DM00,2 L1

L1 1,2 L1 L1

P=1 tf

Figura 7.56 - Carga unitária aplicada no balanço esquerdo do sistema principal


241

1,00

X2=1 tfm X1=1 tfmDM1

1,00

X2=1 tfm X2=1 tfmDM2


Substituindo-se os valores de δ10 e δ20 nas expressões (7.33) e (7.34), tem-se:

11 L0491,0X =

12 L0134,0X −=

Encontrados os valores de X1 e X2, pode-se traçar o diagrama de momentos fletores da Figura 7.58.

DM1-0,0134 L1

0,0491L1

0,200 L1

x1x1

Figura 7.58 - Diagrama de momentos fletores para carga unitária no extremo do balanço esquerdo

As abscissas x1 e x2 são pontos fixos no diagrama do 1º e 2º vãos, respectivamente, e são calculados por:

11

1 L.197,00491,02,0L.0491,0X =

+=

11

2 L.214,00134,00491,0L.0134,0X =

+=

Pela definição de linha de influência, tem-se:


242

• + 0,0491 L1 → ordenada do extremo do balanço esquerdo da 10SLIM ;

• - 0,0134 L1 → ordenada do extremo do balanço esquerdo da 20SLIM .

Por simetria:

• - 0,0134 L1 → ordenada do extremo do balanço direito da 10SLIM ;

• + 0,0491 L1 → ordenada do extremo do balanço direito da 20SLIM .

7.5.3.3 Cálculo das Linhas de Influência dos Momentos Fletores das Seções Intermediárias, Esforços Cortantes e Reações de Apoio

a) Linhas de Influência de Momentos Fletores

O cálculo das ordenadas das linhas de influência de momentos fletores e esforços cortantes nas diversas seções intermediárias da viga é feito a partir das linhas de influência dos hiperestáticos (

10SLIM e 20SLIM ). A Figura 7.59 ilustra o

procedimento a ser adotado:

S

s s'

x

L

M

P=1 tf

x

X / L

(L-X) / L

Ms isost.

esq.hip. M dir.

hip.

(M )esq.hip.

Mesq.hip.

Mes

q.hi

p.

M dir.hip.

Mdir.hip. M

dir.

hip.

Figura 7.59 - Carga unitária aplicada em seção qualquer de tramo isostático

O momento em uma seção intermediária é calculado com a expressão:

.isoestS

dir.hip

esq.hipS MM

LxM

LxLM +⋅+⋅

−= (7.51)


243

Por analogia,

isoestS

dir.hip

esq.hipS LIMLIM

LxLIM

LxLLIM +⋅+⋅

−= (7.52)

A Figura 7.60 mostra LIMisost de uma seção S qualquer para uma carga unitária P = 1 tf passeando pelo vão.

S

y

LIM s isost.

L

P=1 tf

Ms

X

L-x / L ( x )

Figura 7.60 - Carga P=1 tf no vão

xL

xLxyMxyPara S ⋅

−⋅=⇒< (7.53)

xL

xLxLyLMxyPara S ⋅

−⋅

−−

=⇒> (7.54)

O Quadro 7.6 apresenta o cálculo das ordenadas para o traçado da linha de influência de momentos fletores para a seção S4.


244

Quadro 7.6 - Ordenadas nos décimos de vão da 4SLIM

Seção hipS0

LIM hipS10

LIM isoS4

LIM 4SLIM

S1 0 -0,0243 L1 0,0600 L1 0,4 ×(-0,0243) L1 + (0,6000) L1 = 0,0503 L1 S2 0 -0,0470 L1 0,1200 L1 0,4 × (-0,0470) L1 + (0,1200) L1 = 0,1012 L1 S3 0 -0,0670 L1 0,1800 L1 0,4 × (-0,0670) L1 + (0,1800) L1 = 0,1532 L1 S4 0 -0,0825 L1 0,2400 L1 0,4 × (-0,0825) L1 + (0,2400) L1 = 0,2070 L1 S5 0 -0,0921 L1 0,2000 L1 0,4 × (-0,0921) L1 + (0,2000) L1 = 0,1632 L1 S6 0 -0,0943 L1 0,1600 L1 0,4 × (-0,0943) L1 + (0,1600) L1 = 0,1223 L1 S7 0 -0,0877 L1 0,1200 L1 0,4 × (-0,0877) L1 + (0,1200) L1 = 0,0849 L1 S8 0 -0,0707 L1 0,0800 L1 0,4 × (-0,0707) L1 + (0,0800) L1 = 0,0517 L1 S9 0 -0,0420 L1 0,0400 L1 0,4 × (-0,0420) L1 + (0,0400) L1 = 0,0232 L1 S10 0 0 0 0 S11 0 -0,0508 L1 0 0,4 × (-0,0508) L1 = -0,0203 L1 S12 0 -0,0833 L1 0 0,4 × (-0,0833) L1 = -0,0332 L1 S13 0 -0,0999 L1 0 0,4 × (-0,0999) L1 = -0,0396 L1 S14 0 -0,1034 L1 0 0,4 × (-0,1034) L1 = -0,0414 L1 S15 0 -0,0964 L1 0 0,4 × (-0,0964) L1 = -0,0386 L1 S16 0 -0,0817 L1 0 0,4 × (-0,0817) L1 = -0,0326 L1 S17 0 -0,0621 L1 0 0,4 × (-0,0621) L1 = -0,0248 L1 S18 0 -0,0402 L1 0 0,4 × (-0,0402) L1 = -0,0161 L1 S19 0 -0,0186 L1 0 0,4 × (-0,0186) L1 = -0,0074 L1 S20 0 0 0 0 S21 0 0,0115 L1 0 0,4 × (0,0115) L1= 0,0046 L1

O aspecto da linha de influência de momentos fletores em S4 está representado na Figura 7.61.

LIM S4

Figura 7.61 - Aspecto da linha de influência de momento na seção S4

O Quadro 7.7 apresenta o cálculo das ordenadas para o traçado da linha de influência de momentos fletores para a seção S15.


245

Quadro 7.7 - Ordenadas nos décimos de vão da 15SLIM

Seção hipS10

LIM hipS20

LIM isoS15

LIM 15SLIM

S1 -0,0243 L1 0,0066 L1 0 0,5 × (-0,0243) L1+ 0,5 × (0,0066) L1 = -0,0089 L1 S2 -0,0470 L1 0,0129 L1 0 0,5 × (-0,0470) L1+ 0,5 × (0,0129) L1 = -0,0171 L1

S3 -0,0670 L1 0,0183 L1 0 0,5 × (-0,0670) L1+ 0,5 × (0,0183) L1 = -0,0244 L1

S4 -0,0825 L1 0,0225 L1 0 0,5 × (-0,0825) L1+ 0,5 × (0,0225) L1 = -0,0300 L1 S5 -0,0921 L1 0,0251 L1 0 0,5 × (-0,0921) L1+ 0,5 × (0,0251) L1 = -0,0335 L1 S6 -0,0943 L1 0,0257 L1 0 0,5 × (-0,0943) L1+ 0,5 × (0,0257) L1 = -0,0343 L1 S7 -0,0877 L1 0,0239 L1 0 0,5 × (-0,0877) L1+ 0,5 × (0,0239) L1 = -0,0319 L1 S8 -0,0707 L1 0,0193 L1 0 0,5 × (-0,0707) L1+ 0,5 × (0,0193) L1 = -0,0257 L1 S9 -0,0420 L1 0,0115 L1 0 0,5 × (-0,0420) L1+ 0,5 × (0,0115) L1 = -0,0153 L1 S10 0 0 0 0 S11 -0,0508 L1 -0,0186 L1 0,0600 L1 0,5 × (-0,0508) L1-0,5 × (0,0186+0,060) L1= 0,0253 L1 S12 -0,0833 L1 -0,0402 L1 0,1200 L1 0,5 × (-0,0833) L1-0,5 × (0,0402+0,120) L1= 0,0583 L1 S13 -0,0999 L1 -0,0621 L1 0,1800 L1 0,5 × (-0,0999) L1-0,5 × (0,0621+0,180) L1= 0,0990 L1 S14 -0,1034 L1 -0,0817 L1 0,2400 L1 0,5 × (-0,1034) L1-0,5 × (0,0817+0,240) L1= 0,1475 L1 S15 -0,0964 L1 -0,0964 L1 0,3000 L1 0,5 × (-0,0964) L1-0,5 × (0,0964+0,300) L1= 0,2036 L1 S16 -0,0817 L1 -0,1034 L1 0,2400 L1 0,5 × (-0,0082) L1-0,5 × (0,1034+0,240) L1= 0,1475 L1 S17 -0,0621 L1 -0,0999 L1 0,1800 L1 0,5 × (-0,0621) L1-0,5 × (0,0999+0,180) L1= 0,099 L1 S18 -0,0402L1 -0,0833 L1 0,1200 L1 0,5 × (-0,0402) L1-0,5 × (0,0833+0,120) L1= 0,0583 L1

S19 -0,0186 L1 -0,0508 L1 0,0600 L1 0,5 × (-0,0186) L1-0,5 × (0,0508+0,060) L1= 0,0253 L1

S20 0 0 0 0 S21 0,0115 L1 -0,0420 L1 0 0,5 × (0,0115) L1 -0,5 × (0,0420) L1 = -0,0153 L1 S22 0,0193 L1 -0,0707 L1 0 0,5 × (0,0193) L1 -0,5 × (0,0707) L1 = -0,0257 L1

O aspecto da linha de influência de momentos fletores em S15 está representado na Figura 7.62.

LIM S15

Figura 7.62 - Aspecto da linha de influência de momento na seção S15

b) Linhas de Influência de Esforços Cortantes

O cálculo das linhas de influência dos esforços cortantes, nas diversas seções, é feito a partir das linhas de influência dos momentos hiperestáticos M10 e M20. A expressão (7.55) define o valor do esforço cortante, em uma seção qualquer, em função do cortante isostático e dos momentos hiperestáticos nas seções adjacentes. Vale ressaltar que a expressão considera os sinais dos esforços.

LMM

VVesqiso

dirhipiso

ss

−+= (7.55)

Por analogia,

LLIMLIM

LIVLIVesqhip

dirhips

isoS

−+= (7.56)


246

A Figura 7.63 ilustra as parcelas dos esforços isostáticos e hiperestáticos para o cálculo das ordenadas da linha de influência de cortante para uma seção S intermediária.

S

y L-y

L

P=1 tf

(P.(L-y)) / L

(M -M )

(P.y) / L (Parcela do isostático)

(Parcela do hiperestático)hipdir

hipesq

L(M -M )hip

dirhipesq

L

M hipesq M hip

dir

Figura 7.63 - Carga P=1 tf no vão

A Figura 7.64 mostra LIVisost de uma seção S qualquer para uma carga unitária P = 1 tf passeando pelo vão.

S

LIV S isost.

L

1,00

1,00

Figura 7.64 - Linha de influência de cortante na seção S

O Quadro 7.8 apresenta o cálculo das ordenadas para o traçado da linha de influência de cortante para a seção dir

0S .


247

Quadro 7.8 - Ordenadas nos décimos de vão da dir0SLIV

Seção isoSdir

0LIV hip

S0LIM hip

S10LIM dir

0SLIV

S1 0,9000 0 -0,0243 L1 0,9000 – 0,0243 = 0,8757 S2 0,8000 0 -0,0470 L1 0,8000 – 0,0470 = 0,7530 S3 0,7000 0 -0,0670 L1 0,7000 – 0,0670 = 0,6330 S4 0,6000 0 -0,0825 L1 0,6000 – 0,0825 = 0,5175 S5 0,5000 0 -0,0921 L1 0,5000 – 0,0921 = 0,4079 S6 0,4000 0 -0,0943 L1 0,4000 – 0,0943 = 0,3057 S7 0,3000 0 -0,0877 L1 0,3000 – 0,0877 = 0,2123 S8 0,2000 0 -0,0707 L1 0,2000 – 0,0707 = 0,1293 S9 0,1000 0 -0,0420 L1 0,1000 – 0,0042 = 0,0580 S10 0 0 0 0 S11 0 0 -0,0508 L1 -0,0508 S12 0 0 -0,0833 L1 -0,0833 S13 0 0 -0,0999 L1 -0,0999 S14 0 0 -0,1034 L1 -0,1034 S15 0 0 -0,0964 L1 -0,0964 S16 0 0 -0,0817 L1 -0,0817 S17 0 0 -0,0621 L1 -0,0621 S18 0 0 -0,0402 L1 -0,0402 S19 0 0 -0,0186 L1 -0,0186 S20 0 0 0 0 S21 0 0 0,0115 L1 0,0115 S22 0 0 0,0193 L1 0,0193

O aspecto da linha de influência de cortante em dir0S está representado na Figura

7.65.

LIV S100

dir0

Figura 7.65 - Linha de influência de cortante na seção dir0S

O Quadro 7.8 apresenta o cálculo das ordenadas para o traçado da linha de influência de cortante para a seção dir

10S .


248

Quadro 7.9 - Ordenadas nos décimos de vão da dir10SLIV

Seção isoSdir

10LIV

hipS10

LIM hipS20

LIM dir10S

LIV

S1 0 - 0,0243 L1 0,0066 L1 0258,02,1

0243,00066,0=

+

S2 0 -0,0470 L1 0,0129 L1 0499,02,1

0470,00129,0=

+

S3 0 -0,0670 L1 0,0183 L1 0711,02,1

0670,00183,0=

+

S4 0 --0,0825 L1 0,0225 L1 0875,02,1

0825,00225,0=

+

S5 0 -0,0921 L1 0,0251 L1 0977,02,1

0921,00251,0=

+

S6 0 -0,0943 L1 0,0257 L1 1000,02,1

0943,00257,0=

+

S7 0 -0,0877 L1 0,0239 L1 0930,02,1

0877,00239,0=

+

S8 0 -0,0707 L1 0,0193 L1 0750,02,1

0707,00193,0=

+

S9 0 -0,0420 L1 0,0115 L1 0446,02,1

0420,00115,0=

+

S10 1,000 0 0 1,000

S11 0,900 -0,0508 L1 -0,0186 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S12 0,800 -0,0833 L1 -0,0402 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S13 0,700 -0,0999 L1 -0,0621 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S14 0,600 -0,1034 L1 -0,0817 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S15 0,500 -0,0964 L1 -0,0964 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S16 0,400 -0,0817 L1 -0,1034 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S17 0,300 -0,0621 L1 -0,0999 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S18 0,200 -0,0402L1 -0,0833 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S19 0,100 -0,0186 L1 -0,0508 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S20 0 0 0 0

S21 0 0,0115 L1 -0,0420 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+

S22 0 0,0193 L1 -0,0707 L1 ( ) 9268,0

2,10508,00186,0900,0 =

+−+


249

O aspecto da linha de influência de cortante em dir10S está representado na Figura

7.66.

100LIV S

dir0

Figura 7.66 - Linha de Influência de Cortante na seção dir10S

c) Cálculo das Linhas de Influência das Reações de Apoio

A Figura 7.67 mostra a variação do esforço cortante na seção de apoio S10. Nota-se que a reação de apoio é a soma algébrica do valor dos cortantes à direita e à esquerda do referido apoio.

_

+

Vesq

Vdir

Figura 7.67 - Cortantes à esquerda e à direita da seção S10

Por analogia, as linhas de influência de reações de apoio são obtidas por meio da soma algébrica das linhas de influência de cortantes à esquerda e à direita do respectivo apoio. Assim,

esqdir LIVLIVLIR −= (7.57)

Vale ressaltar que a expressão considera os sinais dos esforços.

A Figura 7.68 ilustra como se obtém a linha de influência de reação de apoio da seção S10, utilizando-se a expressão (7.57) a partir das linhas de influência de cortante de S10esq e S10dir.


250

1,00

_

++

__

1,00

-+

+_

_

1,00

+

-+

_

+

=

1,00

LIV Sdir0

LIR S10

Figura 7.68 - Linha de influência de reação de apoio em S10

7.5.4 Cálculo das Solicitações Máximas e Mínimas devidas às Cargas Móveis

O dimensionamento do vigamento principal das pontes é feito para os esforços máximos em cada seção. São as linhas de influência que permitem visualizar as posições mais desfavoráveis das cargas móveis, para a determinação desses esforços máximos. Para isso, carregam-se, com o trem-tipo previamente calculado, as linhas de influência nas posições mais convenientes.

• Posicionamento do trem-tipo sobre linha de influência:

Para obtenção dos momentos fletores ou esforços cortantes máximos e mínimos, devidos às cargas móveis, deve-se colocar o trem-tipo na posição mais desfavorável, determinada de acordo com o seguinte critério:

− Momentos Fletores e Esforços Cortantes Máximos:

A carga distribuída do trem-tipo é posicionada sobre todos os trechos da linha de influência com ordenadas positivas; e, as cargas concentradas são posicionadas sobre as máximas ordenadas positivas da linha de influência.

− Momentos Fletores e Esforços Cortantes Mínimos:

A carga distribuída do trem-tipo é posicionada sobre todos os trechos da linha de influência com ordenadas negativas; e, as cargas concentradas são posicionadas sobre as máximas ordenadas negativas da linha de influência.

O exemplo da Figura 7.69 ilustra o procedimento explicado:


251

S3

q

q

S5

q

P

LIM S15y3

y2y1

S6S2

y4y5 = y mín

y6

S4

q

P P

P P P

S1

y2= y máx

Figura 7.69 - Carregamento da linha de influência de momentos fletores da seção S15

Uma vez colocado o trem-tipo na posição mais desfavorável, os valores numéricos dos momentos fletores máximos e mínimos são definidos por:

∑∑ ⋅+⋅= SqyPM (7.58)

onde:

y é a ordenada da linha de influência;

S é a área da linha de influência.

Para o exemplo da Figura 7.69, vem:

( ) ( )621321máxS SSSqyyyPM

15++⋅+++⋅= (7.59)

( ) ( )54654mínS SSqyyyPM

15−−⋅+−−−⋅= (7.60)

As ordenadas y (y1,y2 .....,yc) são obtidas por interpolação linear, a partir das ordenadas nos décimos de vão. A área que a função que define a linha de influência obtida como se segue:

O momento fletor devido a uma carga distribuída é igual ao produto Sq ⋅ , sendo S a área da linha de influência sobre a qual atua a carga “q”, ilustrada na Figura 7.70.

q

dP

x

S

LIMsdx

Figura 7.70 - Carregamento com carga distribuída


252

Sabe-se que:

dxqdP ⋅= (7.61)

e,

dPydMs ⋅= (7.62)

Integrando a equação (7.51), tem-se:

SqdAqdxyqdxqydPyMs ⋅=∫=⋅∫=⋅⋅∫=⋅∫= (7.63)

As áreas das linhas de influência (S1, S2,...,S6) podem ser obtidas pela regra de integração de Simpson. A Figura 7.72 mostra a área S, definida por uma função qualquer, dividida em n trechos, com suas respectivas ordenadas.

y y

n .h

h

yn-1

n0

y1y2

Figura 7.71 - Integração por Simpson

onde:

n é o número de divisões do vão

Com a expressão (7.64), formulada por Simpson, calcula-se a área definida por uma função.

( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++++++++= −− 444 3444 2144 344 21paresordenadas

2n42

ímparesordenadas

1n31n0 y...yy2yyy4yy3hS (7.64)

Outra forma bastante simples e menos trabalhosa de se obter as áreas das linhas de influência (S1, S2,...,etc) é através dos diagramas de esforços seccionais, devidos à atuação de uma carga uniformemente distribuída unitária, sobre cada vão da viga isoladamente.

Demonstra-se, a seguir, que as ordenadas destes diagramas (valores dos esforços seccionais nas seções) correspondem às áreas das linhas de influência dos esforços seccionais correspondentes.


253

Observando-se a Figura 7.72 e aplicando-se uma carga distribuída de 1 tf/m, na expressão (7.63),tem-se :

S0 S0

q tf/m

s LIMs

2º Vão

Figura 7.72 - Artifício para cálculo das áreas das Linhas de Influência

SSqMs =⋅= (7.65)

Conclui-se, portanto, que a área do 2º vão da linha de influência do momento em S (LIMs) é numericamente igual ao momento fletor na seção S, devido à atuação de uma carga uniformemente distribuída e unitária no 2º vão da viga considerada.

De acordo com o método simplificado exposto, para a determinação de todas as áreas das linhas de influência dos esforços seccionais, devem-se calcular os diagramas das solicitações seccionais (momentos fletores, esforços cortantes e reações de apoio) devidos à atuação de uma carga uniformemente distribuída unitária em todos os vão da viga isoladamente.

7.5.4.1 Cálculo das Áreas do 1º vão das Linhas de Influência de Momentos Fletores e Esforços Cortantes

• Momentos Fletores

As Figuras 7.73 e 7.74 ilustram os diagramas de momentos fletores devidos ao carregamento unitário no 1º vão (DM0) e da ação dos hiperestáticos X1 (DM1) e X2 (DM2).

q = 1 tf/m

L1 1,2 L1 L1

DM

q l²8

Ll8

²=

0

Figura 7.73 - Aplicação da carga unitária no 1º vão


254

1,00

X1=1 tfm X1=1 tfm

DM1

1,00

X2=1 tfm X2=1 tfm

DM2



24LL0,1

8L

31 3

11

21

10 +=×××=δ

3110 L0417,0 ⋅=δ


020 =δ

Substituindo os valores de δ10 e δ20 nas expressões (7.33) e (7.34), tem-se:

211 L0614,0X −=

212 L0168,0X =

O diagrama de momentos fletores da Figura 7.75 fornece todas as áreas do 1º vão das linhas de influência de momento fletor (LIM).

L1 S15S25

DMo

-0,0614 (L1)²

S0 S10 S20 S30

-0,0168 (L1)²

0,0084 (L1)²-0,0223(L1)²

Figura 7.75 - Diagrama de momentos fletores para carga unitária no 1º vão De acordo com a Figura 7.75, vem:


255

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

=

−=

21S

21S

21S

21S

L0084,0LIMdeVãoº1doÁrea




25

15

20

10

• Esforços Cortantes

Com diagrama de momentos fletores da Figura 7.75, obtém-se o diagrama de esforço cortante, que servirá de base para cálculo das áreas de todas as linhas de influência de esforços cortantes.

+S0 S10 S20 S30

+

+

-0,4386 L1 S = 0,0652 L1

S = 0,0168 L1

_

0,5614 L1

Figura 7.76 - Diagrama de esforço cortante para carga unitária no 1º vão De acordo com a Figura 7.76, vem:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

−=

=

1esq30

dir20

1esq20

dir10

1esq10

1dir0

L0168,0LIVSàLIVSdeVãoº1doÁrea

L0652,0LIVSàLIVSdeVãoº1doÁrea

L5614,0LIVSdeVãoº1doÁrea

L4386,0LIVSdeVãoº1doÁrea

7.5.5 Cálculo das Solicitações Seccionais de Carga Móvel no Vigamento Principal através das Tabelas de George e Anger

Para vigas contínuas simétricas, com inércia constante e com até quatro vãos, as ordenadas das linhas de influência dos esforços seccionais foram tabeladas por Georg e Anger. Estas tabelas fornecem as ordenadas dos décimos de vão das linhas de influência de momentos fletores, esforços cortantes e reações de apoio. A facilidade de cálculo que estas tabelas proporcionavam antes do advento dos programas de computador, limitava muitas vezes o melhor lançamento da estrutura, pois os engenheiros buscavam enquadrar a mesma nas relações previstas nas tabelas.

Encontram – se tabeladas as seguintes vigas:

a) Vigas de 2 vãos, com a seguinte relação entre os vãos:

L1:L2 = 1:1 - L1:L2 = 1:1,1 - L1:L2 = 1:1,2 - L1:L2 = 1:1,3 - L1:L2 = 1:1,4

L1:L2 = 1:1,5 - L1:L2 = 1:1,6 - L1:L2 = 1:1,7 - L1:L2 = 1:1,8 - L1:L2 = 1:1,9

L1:L2 = 1:2 - L1:L2 = 1:2,5.


256

b) Vigas de 3 vãos, com a seguinte relação entre os vãos:

L1:L2:L3 = 1:0,8:1 - L1:L2:L3 = 1:1:1 - L1:L2:L3 = 1:1,1:1 - L1:L2:L3 = 1:1,2:1;

L1:L2:L3 = 1:1,25:1 - L1:L2:L3 = 1:1,3:1 - L1:L2:L3 = 1:1,4:1 - L1:L2:L3 = 1:1,5:1;

L1:L2:L3 = 1:1,6:1 - L1:L2:L3 = 1:1,7:1 - L1:L2:L3 = 1:1,8:1 - L1:L2:L3 = 1:1,9:1

L1:L2:L3 = 1:2:1.

c) Vigas de 4 vãos, com a seguinte relação entre os vãos:

L1:L2:L3:L4 = 1:0,8:0,8:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1:1:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,1:1,1:1

L1:L2:L3:L4 = 1:1,2:1,2:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,3:1,3:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,4:1,4:1

L1:L2:L3:L4 = 1:1,5:1,5:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,6:1,6:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,7:1,7:1

L1:L2:L3:L4 = 1:1,8:1,8:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:1,9:1,9:1 - L1:L2:L3:L4 = 1:2:2:1

L1:L2:L3:L4 = 1:0,8:0,8:1

Por questão de resgate histórico da importância que estas tabelas tiveram na simplificação do cálculo das pontes no passado, reproduz-se, na Figura 7.77, a tabela correspondente à ponte desenvolvida no corpo deste trabalho.

Observando-se esta tabela, pode-se obter as ordenadas nos décimos de vão das linhas de influência de momentos fletores, esforços cortantes e reações de apoio para uma viga contínua de 3 vãos com relação L:1,2 L:L entre os mesmos.


257

Figura 7.77 - Tabela de Anger para viga de 3 vãos com relação L1=L2=L1


258

7.5.6 Método Cinemático para Obtenção das Linhas de Influência

Atualmente, a velocidade requerida para elaboração dos projetos de pontes é incompatível com cálculos manuais das linhas de influência de solicitações seccionais. Por outro lado, a utilização de tabelas é muito limitante, pois estas não contemplam todas as relações de vãos necessárias nem tão pouco abramgem as pontes com altura variável de vigas. Além disso, as tabelas foram desenvolvidas apenas para sistemas em vigas contínuas, não atendendo, portanto, aos outros sistemas estruturais correntes, como pórticos, treliças hiperestáticas, arcos, entre outros. Por estas razões, a utilização de programas de computador tornou-se obrigatória, não só na etapa de geração das ordenadas das linhas de influência, mas também na fase de carregamento destas linhas com o trem-tipo de projeto. Porém, na fase de projeto básico, na consistência dos resultados numéricos obtidos pelos programas ou na análise de combinações de carregamentos, um método clássico da hiperestática exerce papel fundamental ainda nos dias de hoje. Trata-se do método cinemático de traçado das linhas de influência, conhecido também como método de Muller Breslau. Este método, de fácil aplicação, permite a visualização do aspecto das linhas de influência, assegurando assim análises qualitativas dos resultados. O método, baseado no teorema dos trabalhos virtuais, demonstra que a linha elástica da estrutura, obtida através do rompimento adequado do vínculo que transmite a solicitação que se deseja conhecer a linha de influência, associado à aplicação de uma deformação ou deslocamento unitário e compatível com a solicitação aplicada no vínculo rompido, reproduz exatamente a linha de influência procurada. A demonstração do método, que é trivial para vigas isostáticas, é encontrada em todos os livros de hiperestática clássica.

A formulação deste método se deve a Muller Breslau e data do fim do século XIX. Atualmente, foi redescoberto e é utilizado pelos modernos programas de análise estrutural para obtenção das linhas de influência. O aspecto das linhas de influência é obtido com os seguintes passos:

• Romper o vínculo que transmite a solicitação que se deseja conhecer a linha;

• Aplicar nesta seção uma deformação unitária, no sentido oposto a solicitação positiva aplicada no vínculo rompido. Esta deformação será absoluta em se tratando de reação de apoio, ou relativa no caso de solicitação seccional interna (M ou V);

• A linha elástica obtida através deste procedimento reproduz exatamente a linha de influência do esforço ou solicitação procurada.

A demonstração deste método pode ser encontrada no segundo volume do Livro “Curso de Análise Estrutural” do Professor José Carlos Süssekind.

7.5.7 Modelagem de Estruturas para Análise em Programas de Estruturas Reticuladas

Atualmente, o grande número de programas comerciais disponíveis para análise de estruturas tornou esta etapa do projeto bem mais simples e rápida. Os processos de análise manual caíram praticamente em desuso. Justifica-se a apresentação destes processos manuais de análise neste capítulo, tendo em vista a importância dos mesmos


259

no controle dos resultados obtidos dos programas de computador. Aquele que conhece os processos manuais dispõe de recursos para verificar e criticar os relatórios de saída dos programas de análise estrutural. De toda forma, hoje é impraticável a análise de estruturas mais complexas através de processos manuais, não só pelo volume de cálculos necessários, mas, principalmente pelos prazos cada vez menores para desenvolvimento dos projetos. Outro fator que indica a utilização dos programas é a facilidade de transmissão dos dados para locais distantes através da internet. Memórias de cálculo feitas à mão, praticamente não são aceitas atualmente. Finalmente, a análise através de programas permite um número menor de simplificações, o que conduz a maior precisão nos resultados com conseqüente economia na obra.

Para a maior parte das pontes, modelos de estruturas reticuladas (compostas de elementos de barra) são suficientemente precisos para a análise estrutural estática. Estes modelos atendem obras em tangente ou curvas, bem como obras esconsas.

A modelagem de uma estrutura, para processamento em programas de computador que utilizam a análise matricial e o método dos elementos finitos, requer uma divisão conveniente desta estrutura em barras com comprimentos finitos e nós. Os programas disponíveis no mercado (SALT, SAP, SISTRUT, STRAP, etc.) analisam diversos tipos de estruturas compostas por elementos de barras (estruturas reticuladas).

Neste livro, optou-se pela orientação através do programa SALT da UFRJ, pelo fato de ser um programa desenvolvido por uma universidade brasileira e, portanto, fruto da dedicação e trabalho árduo e continuado de prezados colegas. Outro fator que determinou a escolha foi a confiança que o autor deposita no programa, pois projetou centenas de pontes e viadutos que já foram executados, sem nunca ter tido qualquer tipo de problema. A reprodução de parte do manual do programa foi autorizada por um dos autores do programa, o Professor Doutor Sílvio Souza Lima da UFRJ.

7.5.7.1 Estruturas Reticuladas

As Figuras 7.78 a 7.82 apresentam os diversos modelos de barras analisados pelos programas disponíveis no mercado.

Figura 7.78 - Pórtico Plano

Figura 7.79 - Pórtico Espacial


260

Figura 7.80 - Treliça Plana

Figura 7.81 - Treliça Espacial

Figura 7.82 - Grelha

Apresentam-se, a seguir, de forma sucinta, algumas orientações sobre modelagem destas estruturas.

7.5.7.2 Nós da Estrutura

Os nós da estrutura são os pontos que unem as barras que por sua vez representam os elementos estruturais. Estes nós podem ser obrigatórios ou acessórios.


261

Os nós obrigatórios são aqueles necessários à definição do modelo, sem os quais os programas não processam a estrutura.

As Figuras 7.83 a 7.88 apresentam os nós obrigatórios, indicados por seta, na modelagem de estruturas reticuladas. Os programas aceitam apenas barras retas.

Os nós da estrutura são numerados de 1 a n.

Figura 7.83 - Encontro de duas ou mais barras quando as mesmas são efetivamente ligadas

Figura 7.84 - Mudança de direção de barras

Figura 7.85 - Extremidades da estrutura


262

Figura 7.86 - Apoios da estrutura

Figura 7.87 - Fronteira de barras com variação de dimensões

Figura 7.88 - Nas rótulas da estrutura

Os nós acessórios são aqueles dispensáveis para o processamento da estrutura. Eles são utilizados nos pontos da estrutura em que se deseja conhecer as solicitações internas ou em que se deseja aplicar cargas. A Figura 7.89 ilustra alguns nós acessórios.

Figura 7.89 - Nós acessórios

7.5.7.3 Barras da Estrutura (ou membros)

As barras ou membros fazem a ligação dos nós e representam as peças ou elementos da estrutura. (Vigas, pilares, travessas, etc.).


263

1 2 3 41 2 3 4

5

Figura 7.90 - Barras da estrutura

Da mesma forma que os nós, as barras da estrutura são numeradas de 1 a m.

7.5.7.4 Geometria da Estrutura

A geometria da estrutura é dada através das coordenadas dos nós em relação aos eixos globais ortogonais (X, Y, Z), pela incidência das barras nos nós e pela definição dos apoios e suas restrições.

• Coordenadas dos nós

Estas coordenadas são referidas a um par de eixos globais arbitrado. Estes eixos são posicionados de modo a facilitar a definição das coordenadas dos nós da estrutura.

Y

XZ

1

2 3

4

NóCoordenadas

X Y

12

3

4

X1X2

X3

X4

Y1

Y2

Y3

Y4

Figura 7.91 - Eixos globais para definição de coordenadas

7.5.7.5 Incidência das Barras

A incidência da barra indica o nó inicial e o nó final do elemento, de maneira a representar a forma da estrutura.


264

4 , 1 , 2n-1

n

24

i

Barra

Nó Inicial

Nó Final

Figura 7.92 - Incidência das barras

7.5.7.6 Definição dos Apoios e Restrições dos Nós

Devem-se indicar quais são os nós que constituem os apoios da estrutura (condições de contorno). Cada tipo de programa admite uma convenção para deslocamento ou rotação, livre ou impedida. A convenção do programa SALT é:

Livre = 0

Impedido = 1

X

Y

Z

Y

X

1 , 1 , 1

0 , 1 , 0

Livre desl. X

Impedido desl. Y

Livre desl. Z

Impedido desl. X

Impedido desl. Y

Impedido desl. ZZ

Figura 7.93 - Exemplo utilizando o programa SALT

Os impedimentos ou liberdades dos deslocamentos e rotações dos nós referem-se aos eixos globais X, Y e Z.

7.5.7.7 Descontinuidades das Barras (Articulações)

As articulações ou rótulas das barras são informadas através do número de deslocamentos ou rotações liberadas em relação ao seguinte sistema de referência local mostrado na Figura 7.94:


265

4 X1

2 3 56

Y

i f

Figura 7.94 - Eixos locais para definição dos graus de liberdade das barras 1 é o deslocamento em x do nó inicial;

2 é o deslocamento em y do nó inicial; 3 é a rotação em z do nó inicial;

4 é o deslocamento em x do nó final;

5 é o deslocamento em y do nó final;

6 é a rotação em z do nó final.

Os eixos x, y e z aqui apresentados são eixos locais e, portanto, referenciados para cada barra. A Figura 7.95 ilustra um elemento na direção vertical com os seus eixos locais representados.

z

x

x

xz

y

Figura 7.95 - Eixos locais das barras

As informações são fornecidas ao programa SALT da seguinte forma (sem geração automática):


266

ARTICULAÇÕES (palavra chave)

|1 |2 |3 ...

|1 é o número da barra;

|2, |3,... é o código das direções com descontinuidades.

7.5.7.8 Propriedades dos Elementos

Neste item, são definidos o tipo do material, o tipo de seção bem como a incidência das barras em relação aos nós. As informações são fornecidas ao programa SALT da seguinte forma: (sem geração automática).

PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS (palavra chave)

|1 |2 |3 |4 |5 (campos de preenchimento)

|1 é o número do elemento;

|2 é o tipo do material;

|3 é o tipo de seção;

|4 é o nó inicial;

|5 é o nó final.

O programa admite vários tipos de materiais. Os tipos de materiais e de seções são informados em linhas de comando específicas da seguinte forma:

TIPO DE MATERIAL (palavra chave)

|1 E μ α γ |1 é o número do tipo do material;

E é o módulo de elasticidade;

μ é o coeficiente de Poisson;

α é o coeficiente de dilatação térmica;

γ é o peso específico.

Os Quadros 7.9 e 7.10 indicam os valores apropriados das características de cada material.

Quadro 7.10 - Características Físicas de diferentes materiais

Material 1 (aço estrutural) 2 (alumínio estrutural) 3 (concreto) E 2,05 X 108 kN/m² 7,00 x 107 kN/m² 2,10 x 107 kN/m² μ 0,3 0,33 0,2 α 1,2 x 10-5/°C 2,4 x 10-5 / ° C 10-5 / ° C γ 77,0 kN/m³ 27,0 kN/m³ 25,0 kN/m³


267

Quadro 7.11 - Propriedades físicas para os diferentes modelos estruturais

Modelo Estrutural Propriedades Estados planos

Sólidos Grelha

Pórtico plano Pórtico espacial

Placa Casca

E, μ, α, γ

Treliças planas e espaciais E, α, γ

TIPO DE SEÇÃO

Deve-se indicar para cada tipo de seção distinta da estrutura o número identificador (1, 2, etc.) e suas características geométricas (Ax, Ay, Iz, etc.).

As propriedades de seções de barras que devem ser informadas para cada tipo de estrutura estão apresentadas no Quadro 7.11.

Quadro 7.12 - Propriedades geométricas para os diferentes modelos estruturais

Modelo Estrutural Propriedades

Treliça plana ou espacial Ax

Pórtico plano Ax, Ay, Iz, Wz

Pórtico espacial Ax, Ay, Az, Ix, Iy, Iz, Wy, Wz Grelha Ax, Az, Ix, Iy, Wz

Onde:

Ax é a área da seção transversal;

Ay é a área efetiva de cisalhamento na direção y local;

Az é a área efetiva de cisalhamento na direção z local;

Ix é o momento de inércia a torção (eixo local x);

Iy é o momento de inércia em relação ao eixo y local;

Iz é o momento de inércia em relação ao eixo z local;

Wy é o módulo resistente à flexão em relação à y local;

Wz é o módulo resistente à flexão em relação à z local.

Caso não seja fundamental considerar as deformações por cortante, deve-se fazer Ay e Az iguais a zero.

TIPO DE SEÇÃO (palavra chave)

|1 Ax Az Ix Iy [Wy]


268

7.5.7.9 Casos de Carregamento

O programa SALT executa simultaneamente a análise de um conjunto de carregamentos de forma isolada e permite a combinação destes carregamentos entre si.

NÚMERO DE CARREGAMENTOS |1 (palavra chave)

|1 representa o número de carregamentos distintos a serem analisados.

7.5.7.10 Dados de Entrada dos Carregamentos CARREGAMENTO |1 (palavra chave)

|1 é o título do carregamento

Após cada carregamento, deve-se indicar a palavra “fim”.

O programa SALT admite cargas nodais (ações aplicadas nos nós da estrutura), cargas nos elementos, recalques de apoio e cargas de peso próprio.

CARGAS NODAIS (palavra chave)

São cargas aplicadas diretamente nos nós da estrutura, podendo ser forças aplicadas e/ou momentos aplicados. As forças aplicadas devem ser decompostas nas direções X, Y, Z dos eixos globais, e os momentos aplicados também se referem aos eixos globais.

Y

X

px (+)

py(-) py(-)

px(-)

p

mz(+)

Figura 7.96 - Aplicação das cargas nodais

As componentes de cargas nodais compatíveis com os diversos modelos estruturais estão apresentadas no Quadro 7.12.


269

Quadro 7.13 - Componentes de cargas nodais para os diferentes modelos estruturais

TIPO DO MODELO COMPONENTES

pórtico plano px, py, mz.

grelha, placa pz, mx, my

treliça plana, estados planos px, py, mz

treliça espacial, sólido px, py, pz

pórtico espacial, casca px,py,pz,mx,my,mz

Assim, para o modelo grelha, pode-se ter:

CARGAS NODAIS

|1 mx R1 pz R2 [g |2 |3]

onde:

|1 representa o número do nó;

mx, pz descrevem o tipo de carga (momento, força);

R1, R2 são os valores de mx e pz, respectivamente;

[g |2 |3] são os dados de geração automática.

CARGAS NOS ELEMENTOS (palavra chave)

Só os modelos de pórtico plano, pórtico espacial e grelha admitem carga nos elementos. As treliças planas e espaciais não admitem estes carregamentos. As cargas possíveis de se aplicar nas barras da estrutura estão ilustradas na Figura 7.97.

py(-)

py(-)

px(-)

Y local

X local(i) (i + 1)LA

LA

LA

Figura 7.97 - Cargas concentradas nos nós da estrutura


270

A forma de codificar os dados:

|1 C R1 mx R2 px R3


C é o tipo de carga (concentrada);

R1 é a distância LA ao nó inicial;

mx, py é o tipo de componente de carga concentrada;

R2, R3 são os valores de mx e py, respectivamente.

A Figura 7.98 mostra esquematicamente cargas uniformemente distribuídas ao longo do elemento.

Os elementos de grelha admitem somente o carregamento Wz, pois a estrutura é definida no plano X, Y e a carga atua na direção Z, perpendicular a este plano, conforme ilustra a Figura 7.99.

LB

Y local

X local

Z local

wya

wxawza

LA

Figura 7.98 - Cargas uniformemente distribuídas (u)

Z

Y

X

waz (-)

LB

LA

Figura 7.99 - Cargas distribuídas atuando em grelhas


271

Forma de codificação dos dados para uma barra:

|1 u R1 R2 wza R3 wxa R4 wya R5


u é o tipo de carga (uniforme);

R1, R2 são as distâncias LA e LB em relação ao nó inicial, respectivamente;

wza, wxa, wya são os tipos de componente de carga;

R3, R4, R5 são os valores das cargas wza, wxa, wya, respectivamente.

As cargas distribuídas linearmente estão ilustradas na Figura 7.100.

LB

Y local

X local

Z local

wya

wxbwzb

LA

wza

wxa

wyb

Figura 7.100 - Aplicação de cargas lineares (l)

Forma de codificação dos dados para uma barra:

|1 l R1 R2 wxa R3 wxb R4 wya R5


R1, R2 são as distancias LA e LB em relação ao nó inicial, respectivamente;

wxa, wxb, wya são os tipos de componente de carga;

R3, R4, R5 são os valores das cargas wxa, wxb e wya.

O programa admite os seguintes tipos de carregamentos:

• Carga linear global (s);

• Carga uniforme global (w);

• Variação uniforme de temperatura (t);

• Gradiente de temperatura (g);

• Protensão (p);

• Deslocamentos prescritos (recalques de apoio).


272

7.5.7.11 Opções para Entrada dos Dados no Programa

O programa SALT apresenta quatro formas de entrada de dados:

a) Módulo Assistente

Os dados são fornecidos através do preenchimento de planilhas em formato EXCEL. O preenchimento das planilhas é intuitivo e muito simples, porém esta forma é adequada apenas para estruturas de pequeno porte com número reduzido de barras e nós. Este modo de entrada de dados não permite o recurso de geração automática de barras e nós da estrutura e só admite estruturas formadas por elementos de barra.

b) Editor

Os dados são digitados em editor com formatação apropriada gerando um arquivo de dados com extensão “slt“. O editor chamado originalmente é o Bloco de Notas do Windows, porém pode-se utilizar o Word e salvar com extensão “txt”. Esta forma de entrada de dados é apropriada para estruturas de maior porte e características semelhantes, como no caso de pontes. Deve-se salvar um arquivo anterior com outro nome e digitar apenas os dados que serão alterados. Esta forma permite a utilização do recurso de geração automática de barras e nós da estrutura, o que reduz o trabalho de entrada dos dados e torna o arquivo mais compacto.

c) Galeria de Modelos

O programa admite vários tipos de estruturas de uso freqüente. Neste caso, o número de dados a informar é pequeno, simplificando muito o trabalho.

d) Módulo Interpretador de Desenhos de AUTOCAD

O modelo da estrutura é desenhado no programa AUTOCAD e o arquivo de saída é exportado em formato “dxf” para o SALT, que o reconhece e o processa. Esta forma é a mais indicada para estruturas com geometria complexa, onde o cálculo das coordenadas é muito trabalhoso.

Finalmente, o programa apresenta um Módulo de Linhas de Influência que além de gerá-las, as carrega com praticamente qualquer trem-tipo definido pelo usuário.

7.5.7.12 Resultados da Análise

O programa fornece como resultado os seguintes dados:

• Deslocamento e rotação dos nós;

• Solicitações Seccionais (N, M, V);

• Reações de apoio (R).

O módulo gráfico desenha a estrutura e os diversos diagramas de estado.


273

7.5.7.13 Cálculo das Solicitações Seccionais no Vigamento Principal através de Programas de Computador

Apresentam-se na Figura 7.101, o modelo discretizado e os arquivos de entrada do programa SALT UFRJ, que foi utilizado na análise da viga contínua da Ponte Exemplo.

Figura 7.101 - Modelo para análise da ponte no programa SALT DA UFRJ

− Arquivo de Entrada de dados do programa SALT UFRJ para cálculo das solicitações devidas cargas permanentes.

coordenadas dos nós 1 0.000 0.00 2 1 1.50 0.00 4 5.000 0.00 1 1 2.00 0.00 6 8.800 0.00 29 1 1.80 0.00 36 63.000 0.00 1 1 2.00 0.00 38 66.500 0.00 1 1 1.50 0.00 0 condições de contorno 1 010 5 110 15 010 25 010 35 110 39 010 0 tipos de material 1 3.19e6 0.2 1.0e-5 2.5 0 tipos de seção 1 2.4400 2.4400 0.0081 2 2.4080 2.4080 0.5819 3 2.7380 2.7380 0.7762 4 2.8700 2.8700 0.8609 5 2.4960 2.4960 0.6384 0 propriedades dos elementos 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 3 3 4 1 2 4 4 5 1 3 5 5 6 1 4 6 6 7 1 5 7 7 8 1 2 8 8 9 1 2


274

9 9 10 1 2 10 10 11 1 2 11 11 12 1 2 12 12 13 1 2 13 13 14 1 5 14 14 15 1 4 15 15 16 1 4 16 16 17 1 5 17 17 18 1 2 18 18 19 1 2 19 19 20 1 2 20 20 21 1 2 21 21 22 1 2 22 22 23 1 2 23 23 24 1 5 24 24 25 1 4 25 25 26 1 4 26 26 27 1 5 27 27 28 1 2 28 28 29 1 2 29 29 30 1 2 30 30 31 1 2 31 31 32 1 2 32 32 33 1 2 33 33 34 1 5 34 34 35 1 4 35 35 36 1 3 36 36 37 1 2 37 37 38 1 1 38 38 39 1 1 0 articulações 3 3 36 6 0 numero de carregamentos 1 carregamento 1 Peso Próprio cargas nodais 3 py -258.9 5 py -23.2 10 py -21.2 15 py -23.2 20 py -21.2 25 py -23.2 30 py -21.2 35 py -23.2 37 py -258.9 0 cargas nos elementos 4 c 1.330 py -16.50 5 c 1.000 py -24.80 14 c 0.800 py -24.80 15 c 1.000 py -24.80 24 c 0.800 py -24.80 25 c 1.000 py -24.80 34 c 0.800 py -24.80 35 c 0.670 py -16.50 3 u 0.0 0.0 wya -78.40 g 33 1 0 Fim


275

Deve-se observar que cada bloco de dados é encerrado com o número 0.

− Arquivo de entrada de dados do programa SALT UFRJ para cálculo das envoltórias de Momentos Fletores e Esforços Cortantes.

pórtico plano Exemplo - Apostila - Carga Móvel - Esforços Máximos coordenadas dos nos 1 0.000 0.00 2 1 1.50 0.00 4 5.000 0.00 1 1 2.00 0.00 6 8.800 0.00 29 1 1.80 0.00 36 63.000 0.00 1 1 2.00 0.00 38 66.500 0.00 1 1 1.50 0.00 0 condições de contorno 1 010 5 110 15 010 25 010 35 110 39 010 0 tipos de material 1 3.19e6 0.2 1.0e-5 2.5 0 tipos de secao 1 2.4400 2.4400 0.0081 2 2.4080 2.4080 0.5819 3 2.7380 2.7380 0.7762 4 2.8700 2.8700 0.8609 5 2.4960 2.4960 0.6384 0 propriedades dos elementos 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 3 3 4 1 2 4 4 5 1 3 5 5 6 1 4 6 6 7 1 5 7 7 8 1 2 8 8 9 1 2 9 9 10 1 2 10 10 11 1 2 11 11 12 1 2 12 12 13 1 2 13 13 14 1 5 14 14 15 1 4 15 15 16 1 4 16 16 17 1 5 17 17 18 1 2 18 18 19 1 2 19 19 20 1 2 20 20 21 1 2 21 21 22 1 2 22 22 23 1 2 23 23 24 1 5 24 24 25 1 4 25 25 26 1 4 26 26 27 1 5 27 27 28 1 2 28 28 29 1 2


276

29 29 30 1 2 30 30 31 1 2 31 31 32 1 2 32 32 33 1 2 33 33 34 1 5 34 34 35 1 4 35 35 36 1 3 36 36 37 1 2 37 37 38 1 1 38 38 39 1 1 0 articulações 3 3 36 6 0 seqüência de trafego 1 i g 37 1 0 direção da carga -dy valores máximos de esforço 3 i mz 33 1 3 f mz 33 1 3 i qy 33 1 3 f qy 33 1 0 trem tipo especial comprimento do veiculo 6.00 cargas concentradas 182.92 1.50 182.92 3.00 182.92 4.50 0 cargas distribuídas 0 42.63 42.63

− Arquivo de saída de dados do programa SALT UFRJ para cálculo das solicitações de cargas permanentes (Momentos Fletores e Esforços Cortantes).

e s f o r ç o s n a s b a r r a s barra sistema nó força força momento normal cortante fletor 1 local 1 0.00 -0.00 0.00 2 0.00 0.00 -0.00 2 local 2 0.00 -0.00 0.00 3 0.00 0.00 -0.00 3 local 3 0.00 -258.90 0.00 4 0.00 415.70 -674.60 4 local 4 0.00 -415.70 674.60 5 0.00 589.00 -1673.86 5 local 5 0.00 698.29 1673.85 6 0.00 -532.37 -563.78 6 local 6 0.00 532.37 563.78 7 0.00 -391.25 267.48 7 local 7 0.00 391.25 -267.48 8 0.00 -250.13 844.72 8 local 8 0.00 250.13 -844.72 9 0.00 -109.01 1167.95 9 local 9 0.00 109.01 -1167.95 10 0.00 32.11 1237.16 10 local 10 0.00 -53.31 -1237.16 11 0.00 194.43 1014.20


277

11 local 11 0.00 -194.43 -1014.20 12 0.00 335.55 537.22 12 local 12 0.00 -335.55 -537.22 13 0.00 476.67 -193.78 13 local 13 0.00 -476.67 193.78 14 0.00 617.79 -1178.79 14 local 14 0.00 -617.79 1178.79 15 0.00 783.71 -2442.62 15 local 15 0.00 741.00 2442.62 16 0.00 -575.08 -1255.66 16 local 16 0.00 575.08 1255.66 17 0.00 -433.96 -347.53 17 local 17 0.00 433.96 347.53 18 0.00 -292.84 306.59 18 local 18 0.00 292.84 -306.59 19 0.00 -151.72 706.70 19 local 19 0.00 151.72 -706.70 20 0.00 -10.60 852.78 20 local 20 0.00 -10.60 -852.78 21 0.00 151.72 706.70 21 local 21 0.00 -151.72 -706.70 22 0.00 292.84 306.59 22 local 22 0.00 -292.84 -306.59 23 0.00 433.96 -347.53 23 local 23 0.00 -433.96 347.53 24 0.00 575.08 -1255.66 24 local 24 0.00 -575.08 1255.66 25 0.00 741.00 -2442.62 25 local 25 0.00 783.71 2442.62 26 0.00 -617.79 -1178.79 26 local 26 0.00 617.79 1178.79 27 0.00 -476.67 -193.78 27 local 27 0.00 476.67 193.78 28 0.00 -335.55 537.22 28 local 28 0.00 335.55 -537.22 29 0.00 -194.43 1014.20 29 local 29 0.00 194.43 -1014.20 30 0.00 -53.31 1237.16 30 local 30 0.00 32.11 -1237.16 31 0.00 109.01 1167.95 31 local 31 0.00 -109.01 -1167.95 32 0.00 250.13 844.72 32 local 32 0.00 -250.13 -844.72 33 0.00 391.25 267.48 33 local 33 0.00 -391.25 -267.48 34 0.00 532.37 -563.78 34 local 34 0.00 -532.37 563.78 35 0.00 698.29 -1673.86 35 local 35 0.00 589.00 1673.86 36 0.00 -415.70 -674.60 36 local 36 0.00 415.70 674.60 37 0.00 -258.90 0.00 37 local 37 0.00 0.00 0.00 38 0.00 -0.00 -0.00 38 local 38 0.00 0.00 0.00 39 0.00 -0.00 0.00 Fim do Programa


278

Comparando-se os resultados obtidos pela modelagem no programa SALT UFRJ com os obtidos por carregamento das linhas de influência, tabeladas por George e Anger, verificam-se pequenas diferenças entre eles. Na modelagem feita no programa SALT UFRJ, mesmo em vigas de altura constante, a variação de inércia devida aos alargamentos das vigas em planta é considerada. O que não acontece nas tabelas de George e Anger. Daí, a diferença nos resultados encontrados.

Aula 9 - Pontes

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