Aula Estados Planos Tensao

Resistncia dos Materiais Estado plano de tenso________________________________________

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING DISCIPLINA: Resistncia dos materiais Professor: Vladimir J. Ferrari

Aula: Estado plano de tenso1-Introduo As tenses em uma viga so dadas pela frmula de flexo e pela frmula de cisalhamento (=My/I e =VQ/Ib), e as tenses nos eixos so dadas pela frmula de toro (=T/J). Essas tenses atuam em sees transversais dos elementos, porm tenses maiores podem ocorrer em sees inclinadas. Por isso, vamos comear nossa anlise de tenses e deformaes discutindo mtodos para encontrar as tenses normal e de cisalhamento agindo em sees inclinadas de um elemento. 2-Tenso plana Considere o elemento de tenso ilustrado na Figura 1. Esse elemento infinitesimal em tamanho e pode ser esboado por um cubo ou por um paraleleppedo retangular. Os eixos xyz so paralelos s arestas do elemento, e as faces do elemento so designadas pelas direes de suas normais. Por exemplo, a face direita do elemento referida como a face x positiva, e a face esquerda referida como face negativa x. Similarmente, a face superior y positiva, e a face frontal a face z positiva.

Figura 1 Elemento em tenso plana: a)vista 3D, b)vista 2D, c)vista 2D de um elemento segundo os eixos x1,y1,z1

Quando o material est em tenso plana no plano xy, apenas as faces x e y do elemento esto submetidas a tenses, e todas as tenses atuam paralelamente aos eixos x e y (Figura 1-a). Significados dos smbolos indicados na Figura 1: A tenso normal tem um subscrito que identifica a face em que a tenso atua (x atua na face x do elemento). Uma vez que o elemento infinitesimal em tamanho, tenses normais iguais atuam em faces opostas; Conveno de sinal para tenses normais: trao positiva e compresso negativa; A tenso de cisalhamento possui dois subscritos o primeiro representa a face em que a tenso atua e o segundo a direo nessa face (a tenso xy atua na face x na direo do eixo y);


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Conveno de sinal para tenso de cisalhamento: positiva quando atua em uma face positiva de um elemento na direo positiva do eixo e, negativa quando atua na face positiva de um elemento na direo negativa de um eixo (uma tenso de cisalhamento positiva quando as direes associadas com seus subscritos for mais-mais ou menos-menos; e negativa quando as direes forem mais-menos ou menos-mais). 2.1-Igualdade de tenses e cisalhamento em planos perpendiculares Para obter uma viso mais complexa da ao de tenses de cisalhamento, vamos considerar um pequeno elemento de material na forma de um paraleleppedo retangular com lados de comprimento a, b e c nas direes x, y e z, respectivamente (Figura 2). As faces posterior e anterior desse elemento esto livres de tenso.

Figura 2 Elemento de material submetido a tenses de cisalhamento

A tenso 1 est uniformemente distribuda sobre a face direita, que tem rea BC. Para que o elemento esteja em equilbrio na direo y, a fora de cisalhamento 1bc atuando na extremidade direita deve ser balanceada por uma fora igual, mas com direo oposta na face da extremidade esquerda. Uma vez que as reas dessas duas faces so iguais, as tenses de cisalhamento nas duas faces devem ser iguais. As foras 1bc atuando nas faces extremas esquerda e direita formam um binrio tendo um momento sobre o eixo z de magnitude 1abc, no sentido anti-horrio da figura. Para o equilbrio, necessrio que esse momento seja balanceado por momentos criados por tenses de cisalhamento iguais, mas opostas, nas faces superior e inferior do elemento. Denotando as tenses nas faces superior e inferior como 2, vemos que as foras de cisalhamento horizontal correspondentes so iguais a 2ac. Essas foras formam um binrio de momentos 2abc no sentido horrio. Do equilbrio de momentos sobre o eixo z, vemos que 1abc igual a 2abc ou 1 = 2 Dessa forma, as magnitudes das tenses de cisalhamento nas quatro faces do elemento so iguais. Em resumo, chega-se as seguintes as seguintes observaes a respeito das tenses de cisalhamento atuando em um elemento retangular: Tenses de cisalhamento em faces opostas (e paralelas) so iguais em magnitude e opostas em direo;


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Tenses de cisalhamento em faces adjacentes (e perpendiculares) de um elemento so iguais em magnitude e tm direo tal que ambas apontam na direo, ou para longe, da linha de interseo das faces. 2.2-Tenses em sees inclinadas Vamos agora considerar tenses atuando em sees inclinadas, assumindo que as tenses x, y e xy (Figura 1-a e b) so conhecidas. Para ilustrar as tenses atuando em uma seo inclinada, consideramos um novo elemento de tenso (Figura 1-c) que est localizado no mesmo ponto do material que o elemento original (Figura 1-a e b). Entretanto, o novo elemento tem faces que so paralelas e perpendiculares direo inclinada. Associados com esse novo elemento esto os eixos x1, y1 e z1, tal que o eixo z1 coincide com o eixo z e os eixos x1y1 esto rotacionados na direo anti-horria atravs de um ngulo em relao aos eixos xy. As tenses normal e de cisalhamento agindo nesse novo elemento esto denotadas por x1, y1, x1y1 e y1x1. Essas tenses podem ser expressas em termos das tenses no elemento xy, usando-se equaes de equilbrio. Para esse fim, escolhemos um elemento de tenso com forma de cunha (Figura 3) tendo uma face inclinada que a mesma que a face x1 do elemento inclinado ilustrado na Figura 1-c. As outras duas faces laterais da cunha so paralelas aos eixos x e y. Para escrever equaes de equilbrio para a cunha, precisamos construir um diagrama de corpo livre mostrando as foras agindo nas faces. Vamos denotar a rea da face lateral esquerda (face negativa de x) como A0. Ento as foras normal e de cisalhamento agindo nessa face so xA0 e xyA0.


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Figura 3 Elemento de tenso em forma de cunha

As foras agindo nas faces esquerda e inferior podem ser decompostas em componentes ortogonais agindo nas direes x1 e y1. Ento, podemos obter duas equaes de equilbrio somando foras nessas direes. Somando as foras na direo x1, temos:

x1 A0 sec x A0 cos xy A0 sen y A0 tan sen xy A0 tan cos = 0Da mesma maneira, a soma das foras na direo y:

x1 y1 A0 sec + x A0 sen xy A0 cos y A0 tan cos + xy A0 tan sen = 0Usando a relao xy=yx, simplificando e rearranjando, obtemos as duas equaes a seguir:

x1 = x cos 2 + y sen 2 + 2 xy sen cos (1) x1 y1 = ( x y ) sen cos + xy (cos 2 sen 2 )(2)As equaes (1) e (2) fornecem as tenses normal e de cisalhamento agindo no plano x1 em termos do ngulo e das tenses x, y e xy agindo nos planos x e y. Essas


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equaes podem ser expressas em uma forma mais conveniente, usando-se as identidades trigonomtricas a seguir: 1 1 1 cos 2 = (1 + cos 2 ); sen 2 = (1 cos 2 ); sen cos = sen2 2 2 2 Quando essas substituies so feitas, a equao torna-se:

x1 =

x + y2 2

+

x y2

cos 2 + xy sen 2 (3)

x1 y1 =

x y

sen 2 + xy cos 2 (4)

As equaes (3) e (4) so usualmente chamadas de equaes de transformao para tenso plana, porque transformam as componentes de tenso a partir de um conjunto de eixos para outro conjunto de eixos. Uma vez que as equaes de transformao foram deduzidas apenas a partir do equilbrio de um elemento, so aplicveis a tenses em qualquer tipo de material, linear ou no-linear ou inelstico. Uma observao importante no que diz respeito s tenses normais pode ser obtida a partir das equaes de transformao. A tenso y1, que atua na face y1 do elemento inclinado pode ser obtida a partir da equao (3) substituindo-se +900 por . O resultado a equao (5): x + y x y y1 = cos 2 + xy sen 2 (5) 2 2 Somando-se as equaes (3) e (5), obtemos a equao (6) para tenso plana:x1 + y1 = x + y (6) A equao (6) mostra que a soma das tenses normais agindo em faces perpendiculares de elementos de tenso plana constante e independente do ngulo . A maneira como as tenses normal e de cisalhamento variam ilustrada na Figura 4. Vemos que as tenses variam continuamente quando a orientao do elemento mudada. Em certos ngulos a tenso normal atinge um valor mximo ou mnimo; em outros ngulos, torna-se zero.

Figura 4 Grfico de tenso normal x1 e tenso de cisalhamento x1y1 pelo ngulo


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2.3.Casos especiais de tenso plana (Figura 5) O caso geral de tenso plana reduz-se a estados de tenso mais simples sob condies especiais. A)Tenso uniaxial: quando todas as tenses agindo no elemento xy so nulas, exceto a tenso normal x. As equaes de transformao correspondentes ficam como:sen2 (7) 2 2 B)Cisalhamento puro: as equaes de transformao so obtidas considerandose x=y=0: x1 = xy sen2 ; x1 y1 = xy cos 2 (8)

x1 =

x

(1 + cos 2 ); x1 y1 =

x

C)Tenso biaxial: o elemento xy est submetido a tenses normais em ambas as direes x e y. As equaes correspondentes so obtidas tomando-se xy=0: x + y x y x1 = + cos 2 (9) 2 2 x y x1 y1 = sen 2 (10) 2

a) tenso uniaxial

b)cisalhamento puro

c) tenso biaxial

Figura 5 Representao dos estados de tenso


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2.4.Exerccios resolvidos:

3.Tenses principaisAs tenses normais e de cisalhamento atingem valores mximos e mnimos. Esses valores so necessrios para fins de dimensionamento. Por exemplo, falhas por fadigas de estruturas com mquinas e avio esto frequentemente associadas com as tenses mximas, e dessa forma suas magnitudes e orientaes devem ser determinadas como parte do processo de dimensionamento. As tenses normais mximas e mnimas (chamadas de tenses principais), podem ser obtidas a partir da equao de transformao (3). Tomando-se a derivada de x1 com respeito a , e igualando-se a zero, obtemos uma equao da qual podemos encontrar os valores de em que x1 um mximo ou um mnimo: 2 xy tan 2 p = (11) x y


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O sub-ndice p indica que o ngulo p define a orientao dos planos principais, isto , os planos em que as tenses principais atuam. Dois valores do ngulo 2p no intervalo de 0 a 3600 podem ser obtidos a partir da equao (11). Esses valores diferem por 1800, com um valor entre 0 e 1800 e o outro entre 1800 e 3600. Por isso, o ngulo p tem dois valores que diferem por 900, um valor entre 0 e 900 e outro entre 90 e 1800. Para um desses ngulos, a tenso normal uma tenso principal mxima e para o outro, uma tenso principal mnima. As tenses principais podem ser calculadas substituindo cada um dos dois valores de p na primeira equao de transformao e resolvendo para x1. Podemos tambm obter frmulas gerais para as tenses principais. Para isso, considere o tringulo retngulo da Figura 6, construdo a partir da equao (11).

Figura 6 Representao geomtrica da equao (11)

A hipotenusa do tringulo retngulo :

x y + ( xy )2 R= 2 Podemos obter, ainda do tringulo mais duas relaes: x y + ( xy )2 R= 2 Agora substituindo essas expresses na equao (3) e obtemos o maior valor algbrico das duas tenses principais, denotado por 1: x y + xy 2 1 = + 2 2 A menor das tenses principais, denotada por 2, pode ser encontrada a partir da condio de que a soma das tenses normais em planos perpendiculares constante: 1 + 2 = x + y (12)2

2

x + y

2

Substituindo a equao para 1 na (12) e resolvendo para 2, obtemos:

x y + xy 2 2 = 2 2 Essa equao tem a mesma forma que a equao para 1, mas difere apenas pelo sinal negativo antes da raiz quadrada. Assim, as frmulas podem ser combinadas em uma nica para tenses principais.

x + y

2

1, 2 =

x + y2

x y 2

+ xy 2 (13)

2


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O sinal positivo fornece a tenso principal algebricamente maior e o sinal negativo a tenso principal algebricamente menor. 3.1.Tenses de cisalhamento nos planos principais Uma importante caracterstica dos planos principais pode ser obtida a partir da equao (4). Se fizermos x1y1 igual a zero, obtemos: ( x y ) sen 2 + 2 xy cos 2 = 0 Se resolvermos essa equao para o ngulo 2, obtemos a equao (11). Em outras palavras, os ngulos em relao aos planos de tenso de cisalhamento nula so os mesmos que os ngulos em relao aos planos principais. Assim, as tenses de cisalhamento so nulas nos planos principais. 3.2.Tenses de cisalhamento mximas Tomando a derivada da equao (4) com relao a e igualando a zero, obtemos: d x1 y1 = ( x y )cos 2 2 xy sen 2 = 0 d x y (14) tan 2 s = 2 xy O sub-ndice s indica que o ngulo define a orientao de tenses de cisalhamento mximas positiva e negativa. A equao (14) fornece um valor de s entre 0 e 900 e outro entre 90 e 1800. Esses dois valores diferem por 900, e por isso as tenses de cisalhamento mximas ocorrem em planos perpendiculares. Como as tenses de cisalhamento em planos perpendiculares so iguais em valor absoluto, as tenses de cisalhamento mximas positiva e negativa diferem apenas em sinal. Comparando a equao (14) com a equao (11) chega-se a: s = p + 450 (15) Essa equao mostra que os planos de cisalhamento mxima ocorrem a 450 em relao aos planos principais.

O plano de tenso de cisalhamento mxima positiva max est definido pelo ngulo s1, para o qual aplica-se a equao: xy x y cos 2 s1 = ; sen 2 s1 = R 2R O ngulo s1 est relacionado com p1: s1 = p1 - 450 A tenso de cisalhamento mxima correspondente obtida substituindo-se as expresses para cos2s1 e sen2s1 na equao (4):

x y + xy 2 (16) max = 2 A tenso de cisalhamento mxima negativa tem a mesma magnitude, mas sinal oposto.

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Outra expresso para a tenso de cisalhamento mxima pode ser obtida a partir das tenses principais 1 e 2, dadas pela equao (13). Subtraindo a expresso para 2 daquela para 1, e ento comparando com a equao (16), temos: 2 max = 1 (17) 2 Dessa forma, a tenso de cisalhamento mxima igual a metade da diferena das tenses principais. Os planos de tenso de cisalhamento mxima tambm contm tenses normais. A tenso normal pode ser obtida substituindo as expresses para o ngulo s1 na equao para x1. A tenso resultante igual a mdia das tenses normais nos planos x e y: x + y med = (18) 2 3.2.Exerccios resolvidos 1.Um elemento em tenso plana est submetido as seguintes tenses: x=123MPa, y= 42MPa, xy= -47MPa. Pede-se: a)calcular as tenses principais e esboar e elemento; b)calcular as tenses de cisalhamento mximas e esboar o elemento.


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2-Calcular para o estado plano de tenses indicado, as tenses principais.


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4-Exerccios propostos1-Um elemento em tenso plana est submetido a tenses x=74MPa, y=46MPa, xy=48MPa. Determine as tenses agindo em um elemento orientado de um ngulo =25 a partir do eixo x (o ngulo positivo quando est no sentido horrio). Mostre essas tenses por meio de um desenho representativo. 2-As tenses agindo em um elemento A no corpo de um trilho de trem so 52MPa em trao na direo horizontal e 130MPa em compresso na direo vertical (conforme figura). As tenses de cisalhamento de 60MPa atuam nas direes ilustradas. Determine as tenses em um elemento orientado a um ngulo de 48 no sentido antihorrio a partir da horizontal. Mostre essas tenses.

3-Um elemento em tenso plana da fuselagem de um avio est submetido a tenses de compresso de 26,5MPa na direo horizontal e tenses de trao de 5,5MPa na direo vertical (conforme figura). As tenses de cisalhamento de 12MPa atuam nas direes ilustradas. Calcule as tenses agindo em um elemento orientado a 40 no sentido horrio a partir da horizontal. Mostre essas tenses.


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4-A superfcie da asa de um avio est submetida tenso plana com tenses normais x e y e tenso de cisalhamento xy, como ilustrado na Figura. Para um ngulo anti-horrio de 300 a partir do eixo x, a tenso normal de 35MPa para trao, e para um ngulo de 500 ela de 10MPa em compresso. Se a tenso x for igual a 100MPa em trao, qual o valor das tenses y e xy?

5-Um elemento em tenso plana est submetido as tenses: x=74MPa, y=46MPa e xy=48MPa. Calcule as tenses principais e mostre-as atravs de um esboo de um elemento adequadamente orientado. 6-Um elemento em tenso plana est submetido as tenses: x= 52MPa, y= 130MPa e xy= -60MPa. Calcule as tenses principais e mostre-as atravs de um esboo de um elemento adequadamente orientado. 7-Um elemento em tenso plana est submetido as tenses: x= -50MPa, y= 8MPa e xy= 20MPa. Calcule as tenses de cisalhamento mximas e as tenses normais associadas e mostre-as em um esboo de um elemento adequadamente orientado. 8-Um eixo propulsor submetido a toro e carregamento axial projetado para resistir uma tenso tangencial de 70MPa e uma tenso de compresso de 100MPa conforme figura a seguir. Calcule as tenses principais e mostre-as em um esboo de um elemento adequadamente orientado. Calcule as tenses de cisalhamento mximas e as tenses normais associadas e mostre-as em um esboo de um elemento adequadamente orientado.


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Respostas dos exerccios propostos: 1-x1=105,8MPa; x1y1=20,1MPa. 2-x1= -108,2MPa; x1y1= -84,2MPa. 3-x1= -1,5MPa; x1y1= -17,8MPa. 4-y= -19,3MPa e xy= -40,6MPa. 5-1=110MPa e p1=36,870 6-1=70MPa e p1= -16,70 7-max=29Mpa e s1=23,20 8-1=36MPa e p1= 117,230. max=86Mpa e s1=72,230

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