INTERSECÇÃO DE PLANOS E INTERPRETAÇÃO GEOM

A intersecção de três planos α, β e θ pode ser:

Planos concorrentes

A intersecção dos planos α e β é a recta r (têm uma infinidade de pontos

em comum)

A intersecção de três planos é conjunto vaziose intersectam dois a dois, segundo rectas paralelas

A intersecção dos três planos é um plano se estes são coincidentes

(as equações que os definem são equivalentes).

A intersecção dos três planos é

recta segundo a mesma recta.

ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO DE

E INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS

pode ser: o conjunto vazio, um plano, uma recta ou um ponto

Planos estritamente paralelos

A intersecção dos planos α e β é o conjunto vazio.

Planos

A intersecção dos planos conjunto de todos os pontos que constituem os próprios planos.

conjunto vazio se estes são estritamente paralelos ou, no máximo, se

, segundo rectas paralelas

A intersecção dos três planos é uma recta se estes são concorrentes

segundo a mesma recta.

A intersecção dos três planos é

ponto se os planos se intersectam dois a

dois, segundo rectas concorrentes. O ponto P de interponto de intersecção dos três planos.

RANCISCO DE HOLANDA 2010/2011

Matemática

um ponto.

Planos coincidentes

A intersecção dos planos α e β é o conjunto de todos os pontos que constituem os próprios planos.

se estes são estritamente paralelos ou, no máximo, se

A intersecção dos três planos é um se os planos se intersectam dois a

dois, segundo rectas concorrentes. O ponto P de intersecção dessas rectas é o ponto de intersecção dos três planos.

ESFH 2010/2011

Adaptado de “Espaço 11” – Belmiro Costa, Lurdes Resende e Ermelinda Rodrigues MJVC

Em termos analíticos, estudar a intersecção de dois ou três planos equivale a resolver e classificar sistemas,

respectivamente, de duas equações ou de três equações do tipo ax by cz d+ + = (equação do plano).

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS

RECORDA:

EQUIVALÊNCIA DE SISTEMAS

� Dois sistemas de equações são equivalentes se têm o mesmo conjunto-solução.

� Dado um sistema, obtém-se outro que lhe é equivalente se.

→ se trocar a ordem das equações;

→ se multiplicar uma ou mais equações por qualquer número real diferente de zero;

→ estando uma das equações resolvida em ordem a uma das incógnitas, se substituir nas outras equações essa incógnita pelo valor ou expressão encontradas.

CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS

EXEMPLOS:

1. Considerem-se os planos α e β representados no referencial o.n. da figura. Pretende-se determinar a intersecção dos dois planos, sabendo que o ponto A tem de coordenadas (2 , 0 , 0).

2. No referencial o.n. da figura os planos α, β e θ são definidos pelas equações:

: 0,5

: 2

: 1,6

z

y z

z

α

β

θ

=

+ =

=

Pretende-se determinar a intersecção dos planos α, β e θ.

3. No referencial o.n. da figura os planos α, β e θ são definidos pelas equações

: 2

:

: 0,8

x y

y x

z

α

β

θ

+ =

=

=

Pretende-se determinar a intersecção dos planos α, β e θ.

Determinados

Sistemas

Possíveis

Impossíveis

Indeterminados

ESFH 2010/2011

Adaptado de “Espaço 11” – Belmiro Costa, Lurdes Resende e Ermelinda Rodrigues MJVC

MÉTODO DE ADIÇÃO ORDENADA

Num sistema de equações, se for substituída uma equação pela que se obtém adicionando-lhe (membro a membro) outra equação do sistema, obtém-se um sistema equivalente.

Exemplo:

Resolver o sistema

2 1

3 2 0

3 3

x y z

x y z

x y z

− + = −

− + − = + + =

4. Resolve, classifica e interpreta geometricamente a solução dos seguintes sistemas:

a)

1

3 2 0

5 3 3 0

x y z

x y

y z

− + =

+ =− + − = b)

2 3

3 1

3 0

x y z

x y

x y z

+ − =

− + = − − + = c)

0

3

x y z

x y z

z

− + =

= + =

5. Considera os sistemas de equações.

(A)

3 10 1

2

2 3 7 7

x y z

x z

x y z

− + + =

= + + + = (B)

3 10 1

2 3 7 7

x y z

x z

x y z

− + + =

= + + = (C)

3 10 1

3 10 5

x y z

x y z

x z

− + + =

− + + = =

a) Resolve os sistemas. b) Faz uma correspondência entre cada um dos sistemas dados e as seguintes representações de três planos.

I II III

6. Considera o plano β de equação 2 3x y z− + = e determina:

a) os pontos de intersecção com os eixos coordenados;

b) as coordenadas do ponto que é comum a β e aos planos 1x = e xOy

7. Considera, num referencial o.n., o prisma quadrangular regular representado na figura.

Sabendo que , ,A Ox C Oy H Oz∈ ∈ ∈ e 4x z+ = e 4 9 36y z+ =

representam BGH e HEB, respectivamente, diz qual dos conjuntos abaixo indicados corresponde à recta HB.

A. ( ) ( )3 9, , : , , 4 ;9 ; ,

4

kx y z x y z k k k

∈ = − − ∈

ℝ ℝ

B. ( ) ( ) ( ){ }3, , : , , 4; 9; ,x y z x y z k k k k∈ = + + ∈ℝ ℝ

C. ( ) ( ) ( ){ }3, , : , , 4 ;9 ; 4 ,x y z x y z k k k k∈ = − ∈ℝ ℝ

Descreve o teu raciocínio.