Ângulo entre planos secantes I

Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam nareta r.

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Ângulo entre planos secantes I

Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam nareta r.

Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ emretas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.

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Ângulo entre planos secantes I

Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam nareta r.

Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ emretas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.

A medida do ângulo entre π e τ é por definição igual amedida do (menor) ângulo entre as retas sπ e sτ .

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Ângulo entre planos secantes I

Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam nareta r.

Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ emretas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.

A medida do ângulo entre π e τ é por definição igual amedida do (menor) ângulo entre as retas sπ e sτ .

Este ângulo independe da escolha do plano perpendiculara r: qualquer outro plano perpendicular a r será paralelo aρ, e cortará π e τ em retas paralelas asπ e sτ .

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Ângulo entre planos secantes I

Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam nareta r.

Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ emretas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.

A medida do ângulo entre π e τ é por definição igual amedida do (menor) ângulo entre as retas sπ e sτ .

Este ângulo independe da escolha do plano perpendiculara r: qualquer outro plano perpendicular a r será paralelo aρ, e cortará π e τ em retas paralelas asπ e sτ .

O ângulo entre planos paralelos ou coincidentes é pordefinição nulo.

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Ângulo entre planos secantes II

Teorema: O ângulo formado por dois planos é igual aoângulo formado por duas retas concorrentesrespectivamente perpendiculares a estes planos.

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Ângulo entre reta e plano secantes I

Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .

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Ângulo entre reta e plano secantes I

Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .

Trace a única reta s que é perpendicular a π e passa peloponto P .

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Ângulo entre reta e plano secantes I

Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .

Trace a única reta s que é perpendicular a π e passa peloponto P .

As retas r e s definem um plano que corta π em uma retar′, chamada projeção ortogonal de r em π.

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Ângulo entre reta e plano secantes I

Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .

Trace a única reta s que é perpendicular a π e passa peloponto P .

As retas r e s definem um plano que corta π em uma retar′, chamada projeção ortogonal de r em π.

O ângulo entre r e π é por definição igual ao ângulo entre r

e sua projeção ortogonal r′.

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Ângulo entre reta e plano secantes II

Teorema: O ângulo entre uma reta r e um plano π é omenor ângulo formado entre r e uma reta qualquer doplano π.

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Ângulo entre retas reversas

Lembre que o ângulo formado por duas retas reversas r e s

é definido como sendo o ângulo formado pelas retasconcorrentes r e s′ tal que s′ é paralela a s.

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Exercícios I

Qual é o ângulo formado por faces adjacentes de umtetraedro regular?

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Exercícios I

Qual é o ângulo formado por faces adjacentes de umtetraedro regular?

Considere três retas mutuamente perpendiculares x, y, e z,concorrentes em um ponto O. Seja r uma reta passandopor O, formando ângulos α, β e γ com as retas x, y, e z,respectivamente.

É verdade que α + β + γ = 90o?

Mostre que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

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Esferas

A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontosno espaço cuja distância a O é igual a R.

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Esferas

A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontosno espaço cuja distância a O é igual a R.

Examinemos as possíveis posições relativas de uma esferaE e um plano π:

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Esferas

A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontosno espaço cuja distância a O é igual a R.

Examinemos as possíveis posições relativas de uma esferaE e um plano π:

se a distância de π ao ponto O for maior que R, então E

e π não se interceptam.

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Esferas

A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontosno espaço cuja distância a O é igual a R.

Examinemos as possíveis posições relativas de uma esferaE e um plano π:

se a distância de π ao ponto O for maior que R, então E

e π não se interceptam.

se a distância de π ao ponto O for igual que R, então E

e π possuem um e apenas um ponto em comum.

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Esferas

A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontosno espaço cuja distância a O é igual a R.

Examinemos as possíveis posições relativas de uma esferaE e um plano π:

se a distância de π ao ponto O for maior que R, então E

e π não se interceptam.

se a distância de π ao ponto O for igual que R, então E

e π possuem um e apenas um ponto em comum.

se a distância de π ao ponto O for menor que R, entãoE e π se cortam em um círculo.

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Plano tangente a uma esfera

Se um plano π em uma esfera E possuem um e apenas umponto P em comum, então π é dito tangente a E .

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Plano tangente a uma esfera

Se um plano π em uma esfera E possuem um e apenas umponto P em comum, então π é dito tangente a E .

A reta definida pelo centro da esfera O e o ponto P seráperpendicular a π.

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Plano secante a uma esfera

Se um plano π em uma esfera E possuem mais de umponto em comum, então π e E se cortam em um círculo.

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Plano secante a uma esfera

Se um plano π em uma esfera E possuem mais de umponto em comum, então π e E se cortam em um círculo.

Este círculo é centrado no ponto O′ dado pela interseçãode π com a reta perpendicular a π passando por O.

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Plano secante a uma esfera

Se um plano π em uma esfera E possuem mais de umponto em comum, então π e E se cortam em um círculo.

Este círculo é centrado no ponto O′ dado pela interseçãode π com a reta perpendicular a π passando por O.

Se o plano π contém o centro da esfera, então o círculo porele determinado é chamado de um círculo máximo.

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Exercícios II

Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos deuma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculomáximo passando por P e Q.

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Exercícios II

Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos deuma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculomáximo passando por P e Q.

Mostre que dois cículos máximos de uma esfera seencontram em dois pontos diametralmente opostos.

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Exercícios II

Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos deuma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculomáximo passando por P e Q.

Mostre que dois cículos máximos de uma esfera seencontram em dois pontos diametralmente opostos.

Sejam P e Q pontos do espaço. Qual é o lugar geométricodos pés das perpendiculares baixadas de P a retaspassando por Q?

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Exercícios II

Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos deuma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculomáximo passando por P e Q.

Mostre que dois cículos máximos de uma esfera seencontram em dois pontos diametralmente opostos.

Sejam P e Q pontos do espaço. Qual é o lugar geométricodos pés das perpendiculares baixadas de P a retaspassando por Q?

Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendicularesbaixadas de P a planos passando por Q?

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