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TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS

Aula 8Funções Trigonométricas

Professor Luciano Nóbrega

2º Bimestre

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1 – (UFRN) Observe a figura a seguir e determine a altura “h” do edifício, sabendo que AB mede 25m e cos Θ = 0,6 .

TESTANDO OS CONHECIMENTOSGABARITO: 1) 20 m

2 – (UFCE) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60º em relação à horizontal. Nesse momento, o comprimento da sombra de uma construção de 6m de altura será, aproximadamente:A) 10,2 mB) 8,5 mC) 5,9 mD) 4,2 mE) 3,4 m

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3 – (UFPA) A figura representa um barco atravessandoum rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correntezaarrasta o barco em direção ao ponto C, segundoum ângulo de 60º. Sendo a largura do rio de 120m, adistância percorrida pelo barco até o ponto C, é:A) 240 √3 mB) 240 mC) 80 √3 mD) 80 mE) 40 √3 m

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

4 – (UFPA) Para permitir o aceso a um monumento que está em umpedestal de 2m de altura, vai ser construída uma rampacom inclinação de 30 com o solo, conforme a ilustração.O comprimento da rampa será igual a:A) √3/2 mB) √3 mC) 2 mD) 4 mE) 4√3 m

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5 – (UFRN) Um observador, no ponto O da figura, vê umprédio segundo um ângulo de 75°. Se esse observador

está situado a uma distância de 12m do prédio e a 12mde altura do plano horizontal que passa pelo pé do prédio,então a altura do prédio, em metros, é:A) 4(3 + √3).B) √3.C) √3/2.D) 6(√2 + 2).E) ½.


6 – (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, comprimento do cabo AC é:A) 15 m B) 20 m C) 25 m

D) 35 m E) 40 m

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7 – Determine o perímetro e a área do triângulo dado. Sabendo que: sen 80º = 0,98 sen 40º = 0,64 sen 60º = 0,86


GABARITO: 2) 30º, 45º e 105º.

8 – Os lados de um triângulo medem a = √2, b = 2 e c = 1 + √3. Determine as medidas de seus ângulos.

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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

O NÚMERO πDada uma circunferência de raio “r”, diâmetro d = 2r, o número

π é definido como a razão do comprimento “C” da

circunferência pelo seu diâmetro “d”, isto é,

O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Observando a definição do número π , podemos concluir que:

C = 2.π.rO COMPRIMENTO DE UM ARCO

Em uma circunferência de raio “r” a definição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco de comprimento “r”. Logo um ângulo de Θ radianos compreende um arco de comprimento “s”. O valor “s” é dado por

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EXEMPLO:Sabendo que 1 radiano compreende um arco de comprimento “r” (ou seja, s = r). Determine quantos radianos são necessários para completar uma volta?

SOLUÇÃO:Fazendo a “regra de 3”, temos:“1 rad” está para o arco de medida “s = r”, assim como “Θ” em

radianos está para a volta completa “C = 2πr”. Sendo assim:

Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um

ângulo de medida 2πradianos.

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Afinal, o radiano é uma medida de comprimento ou de ângulo?Segundo Luis Roberto Dante:“Um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento „RETIFICADO‟ da circunferência é igual ao raio da circunferência.”

Isso deve ser interpretado da seguinte forma:Se temos um ângulo central de medida 1 radiano , então ele subtende um arco de medida 1 radiano e comprimento de 1 raio.

Lembre-se que a “medida” do arco é igual a medida do ângulo. Sendo assim, se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um arco de medida 2 radianos e de comprimento igual a 2 raios.

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CONVERSÃO GRAU – RADIANOAssim, dado um ângulo Θ radianos, sua medida x em graus é dada por

EXEMPLOS:

a) Determine a medida do ângulo (3/4)π rad em graus.

b) Determine a medida do ângulo 155º graus em radianos.

c) Determine a medida do ângulo 1º graus em radianos.

d) Determine a medida do ângulo 1 rad em graus.

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

FUNÇÃO SENOSeja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seu seno, denotado sen(x).

OBSERVAÇÕES:A função f(x) = sen (x) é periódica de período T = 2π ; isto significa que suas imagens se repetem de 2π em 2π radianos, isto é, para todo “x” real temos que sen(x) = sen(x +2π);

Definimos então a função f(x) = sen(x), cujo gráfico, é denominado “senóide”.

A imagem é limitada em “–1” e “1”, isto é, para todo “x” real temos que –1 ≤ sen(x) ≤ 1.

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SINAL DA FUNÇÃO SENOO sinal da função seno é dado seguindo o esquema abaixo:

VARIAÇÃO DA FUNÇÃO SENOConsidere x1 < x2 ,então temos no:1º Quadrante, sen x1 < sen x2

crescente2º Quadrante, sen x1 > sen x2

decrescente3º Quadrante, sen x1 > sen x2

decrescente4º Quadrante, sen x1 < sen x2

crescente

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9 – Determine os valores reais que “m” pode assumir para que exista um número real “x” que satisfaça a igualdade sen x = 2m – 3


10 – Determine os valores reais de “m” para os quais sen x = m2 – m –1 tenha solução.

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FUNÇÃO COSSENOSeja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seu cosseno, denotado cos(x).

OBSERVAÇÕES:A função f(x) = cos (x) é periódica de período T = 2π ; isto significa que suas imagens se repetem de 2π em 2π radianos, isto é, para todo “x” real temos que cos(x) = (x +2π);

Definimos então a função f(x) = cos(x), cujo gráfico, é denominado “cossenóide”.

A imagem é limitada entre“–1” e “1”, isto é, para todo “x” real temos que –1 ≤ cos(x) ≤ 1.

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SINAL DA FUNÇÃO COSSENOO sinal da função cosseno é dado seguindo o esquema abaixo:

VARIAÇÃO DA FUNÇÃO COSSENOConsidere x1 < x2 ,então temos no:1º Quadrante, cos x1 > cos x2

decrescente2º Quadrante, cos x1 > cos x2

decrescente3º Quadrante, cos x1 < cos x2

crescente4º Quadrante, cos x1 < cos x2

crescente

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11 – Determine os valores reais que “m” pode assumir para que exista um número real “x” que satisfaça a igualdade cos x = 2m + 5


12 – Determine os valores reais de “m” para os quais cos x = 3m2 – m – 1 tenha solução.

13 – Seja f(x) = sen x + cos x. Calcule o valor de 6.f(π/6)

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FUNÇÃO TANGENTESeja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para sua tangente, denotado tg(x).

OBSERVAÇÕES:

A função f(x) = tg (x) é periódica de período T = π ; isto significa

que suas imagens se repetem de π em π radianos, isto é, para todo “x” real temos que tg(x) = (x +π);

Definimos então a função f(x) = tg(x), cujo gráfico, é denominado “tangentóide”.

A imagem é ilimitada. As retas verticais tracejadas são denominadas por assíntotas. A tangente não é definida

em x =π/2 + πk.

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SINAL DA FUNÇÃO TANGENTEO sinal da função tangente é dado seguindo o esquema abaixo:

VARIAÇÃO DA FUNÇÃO TANGENTEConsidere x1 < x2 ,então temos no:1º Quadrante, tg x1 < tg x2

crescente2º Quadrante, tg x1 < tg x2



crescente

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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

COTANGENTE COSSECANTE SECANTEcotg x = cos x/sen x cossec x = 1/sen x sec x = 1/cos x

EXEMPLOS:Calcule:a) cossec 45º b) sec 60º c) cotg 45º

d) cotg π e) sec 2π f) cossec 5π/4

14 – Determine os valores de TODAS as demais razões trigonométricas de um arco x quando:

a) sen x = – ½ , com x no 3º quadrante

b) cossec x = –√2 e π < x < 3π/2


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GRÁFICOSCOTANGENTE

SECANTE

COSSECANTE

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15 – No ciclo trigonométrico abaixo, determine os segmentos que expressam as medidas trigonométricas pedidas:

a) sen x →

b) cos x →

c) tg x →

d) cossec x →

e) sec x →

f) cotg x →


P

8 – Exercícios do livro:

P.272_18 e 24

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