I

Fundamentos de Matemáticas paraCiencias e Ingeniería

César Emilio Villarreal Rodríguez

Profesor de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de laUniversidad Autónoma de Nuevo León

Sara Verónica Rodríguez Sánchez

Profesora de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de laUniversidad Autónoma de Nuevo León

II Prólogo

Prólogo«῎Εδοξε καμοὶ παρηκολουθηκότι ἄνωθενπᾶσιν ἀκριβῶς καθεξῆς σοι γράψαι, κράτισ-τε Θεόφιλε, ἵνα ἐπιγνῷς περὶ ὧν κατηχήθηςλόγων τὴν ἀσφάλειαν.»

«También yo he resuelto escribírtelos por suorden, ilustre Teófilo, después de investigar-lo todo diligentemente desde el principio, paraque conozcas la solidez de las enseñanzas quehas recibido» (Evangelio según San Lucas 1.3-4).

El presente libro está dirigido a las personas interesadas en aprender a leer y escribirde manera clara y con actitud crítica, en cualquier tema de matemáticas que sea de supreferencia. Para lograr lo anterior, se trata de construir el «edificio de las Matemáticas» desdesus cimientos, después poco a poco ir avanzando en profundidad y amplitud de conocimientos.Se abordan los temas con rigor y siguiendo un orden lógico, de manera que en la medida delo posible evitemos ambigüedades tanto conceptuales como de notación. Se pretende que estelibro sirva además como fuente de consulta sobre teoremas, fórmulas y definiciones de maneraque el lector al consultarlo no solamente encuentre en éste una fórmula o resultado sinotambién una demostración rigurosa del mismo. En la mayoría de los libros de matemáticas,cuando encontramos resultados cuya demostración parece difícil o es laboriosa, comúnmentenos topamos con frases como «la demostración no está dentro de los objetivos del curso»,«la demostración va más allá de los alcances del libro, el lector interesado puede leer unlibro con tales o cuales características», «el resultado es intuitivamente claro, por lo queomitimos su demostración» o simplemente «omitimos su demostración». En nuestro caso,los pocos teoremas que no se demuestren no será por causa de que sea de un alto grado dedificultad, sino por que consideramos que el lector que es capaz de comprender el tema encuestión también es capaz de demostrarlo por sí mismo, ya sea por ser un caso particularo consecuencia inmediata de otro teorema, o bien por que la metodología que pudiese serutilizada para la demostración ya ha sido empleada anteriormente. Lo anterior es con laintención de hacer del presente un libro completo y autocontenido. Se recomienda para unabuena comprensión del libro, que cuando se le consulte o lea no sea por medio de frasesaisladas, sino en el contexto de al menos toda la sección. También se recomienda al lectorque antes de leer la demostración de algún teorema o resultado intente demostrarlo por símismo, tomando en cuenta que muchas veces un mismo resultado puede ser demostrado devarias formas distintas.

No hay un requisito previo para la lectura de este libro, aunque es recomendable, que hayallevado cursos de matemáticas a nivel medio y tenga una cultura general de al menos ese nivel.El primer capítulo comienza con una breve descripción del razonamiento lógico y deductivo.En el capítulo 2 se establecen los axiomas que describen el concepto de función y de conjunto,los cuales son fundamentales en todas las matemáticas de la actualidad. Tales axiomas seescogieron tratando de que fueran claros a la intuición y que fueran resultados aceptados yusados por la comunidad matemática, ya sea en forma explícita o implícita. El capítulo 3 tratasobre los principales resultados de los números naturales basándose en los llamados axiomasde Peano. En él se introduce además el concepto de pareja ordenada, operación, conjuntoinfinito, factorial y se establecen técnicas de conteo, entre otras cosas. En el capítulo 4 seestudia las propiedades de los números reales, exceptuando el axioma del supremo, el cual seve hasta el capítulo 7. Al final del capítulo 4 se abordan algunos temas de teoría de números.

III

Los capítulos 5 y 6 abarcan los temas que tradicionalmente se ven en los cursos de álgebra,aunque algunos temas como lo son los de progresiones aritméticas y geométricas se ven en elcapítulo 8, en el cual se introducen los conceptos de sucesiones y series. En el capítulo 9 sedefinen las funciones logarítmicas y las exponenciales, aunque no de la forma tradicional quees a través de integrales definidas, sino de una forma más natural basada en aproximaciones.El capítulo 10 cubre un poco más de los temas que generalmente se ven en un curso cálculodiferencial, a excepción de los temas relacionados con las funciones trigonométricas, los cualespueden ser estudiados en el capítulo 15. En los cursos de cálculo generalmente se estudianprimero los temas del capítulo 10, después lo concerniente a integrales y después la mayorparte de los temas que aparecen en los capítulos 7 y 9. Creemos que el orden seguido en estelibro es el más adecuado lógica e intuitivamente, aunque no necesariamente sigue el ordenen que históricamente se han desarrollado los temas. El capítulo 11 aborda la geometríaelemental sin definir conceptos elementales como el de distancia, punto recta plano y espacio,pero estableciendo sus propiedades y relaciones entre ellos en base a postulados que losdescriben. En el capítulo 12 se definen con precisión los conceptos de determinante y matriz,además de establecer sus principales propiedades y proveer de métodos para resolver sistemasde ecuaciones lineales. El capítulo 13 es una breve introducción a las estructuras algebraicas.El capítulo 14 aborda los temas y resultados topológicos más importantes. El capítulo 15 tratade la geometría analítica en Rn y estudia como casos particulares la geometría analítica planay la trigonometría. El capítulo 16 desarrolla parte de la teoría de homotopías, y haciendo usode algunos resultados se demuestra el teorema de la curva de Jordan y se introduce el conceptode índice de un camino cerrado simple en el plano. El capítulo 17 aborda temas relacionadoscon la integral definida e indefinida. En el capítulo 18 se estudia el cálculo en varias variables,donde se demuestran teoremas importantes como son el de los multiplicadores de Lagrange, elde Green y el de Fubini para funciones Riemann-integrables, así como el teorema de cambio devariables. En el capítulo 19 se estudian los números complejos y sus principales propiedades.El capítulo 20 da una breve introducción a la teoría de conjunto de Zermelo-Fraenkel y,basándose en dicha teoría, se demuestran los axiomas dados en los capítulos anteriores.

Al final del libro hay unos apéndices. En el apéndice A se da una lista de símbolos usadosen el texto con su significado. En el apéndice B se enlistan las letras del alfabeto helénico consus nombres en español. En el apéndice C se da una bibliografía complementaria al texto. Enel apéndice D se da un índice alfabético, donde se indica en qué sección se define o introducecada concepto.

«Τὸ σὲ σύντομον τῆς λέξεως μεταδιώκεινκαı` τὸ ἐξεργαστικὸν τῆς πραγματεı́ας πα-ραιτεῖσθαι τῷ τὴν μετάφρασιν ποιουμένῳσυγχωρητέον. ἐντεῦθεν οὖν ἀρξώμεθα τῆςδιηγήσεως τοῖς προειρημένοις τοσοῦτονἐπιζεύξαντες· εὔηθες γὰρ τὸ μὲν πρὸ τῆςἱστορίας πλεονάζειν, τὴν δὲ ἱστορίαν ἐπιτε-μεῖν.»

«Al divulgador le compete una exposición con-cisa, renunciando al tratamiento exhaustivo.Comencemos, pues, desde ahora el relato, trasabundar tanto en los preliminares; pues seríaabsurdo alargar el prólogo y abreviar la histo-ria» (Segundo Libro de los Macabeos 2.31-32).

IV Contenido

ContenidoPrólogo II

Contenido IV

1. Razonamiento lógico y deductivo 1

1.1. Introducción 11.2. Proposiciones 31.3. Negación 41.4. Conjunción y disyunción 51.5. Implicación 61.6. Proposiciones equivalentes 71.7. Razonamientos válidos y falacias 8

2. Conjuntos y funciones 13

2.1. Introducción 132.2. Conjuntos 152.3. Funciones 162.4. Predicados 192.5. Los cuantificadores universal y existencial 262.6. El recorrido de una función 282.7. Uniones e intersecciones arbitrarias 302.8. Notaciones de uso común 32

3. Elementos de matemáticas discretas 33

3.1. Axiomas de Peano 333.2. Parejas ordenadas 353.3. Relaciones 393.4. Definiciones recursivas 453.5. Multiplicación de números naturales 503.6. Operaciones 543.7. Conjuntos finitos y conjuntos infinitos 573.8. Técnicas de conteo 613.9. Segundo método de inducción matemática 743.10. Conjuntos infinito numerables 753.11. Diagramas 77

Contenido V

4. El conjunto de los números reales 83

4.1. Introducción 834.2. Operaciones en el conjunto de números reales 864.3. Desigualdades 904.4. Subconjuntos de números reales 934.5. Exponentes enteros 944.6. El valor absoluto 974.7. Aritmética 99

5. Álgebra de números reales 109

5.1. Radicales 1095.2. Exponentes racionales 1115.3. Expresiones algebraicas 1135.4. Notación científica 1145.5. Polinomios 1155.6. Productos notables 1165.7. Factorización 1175.8. Factorización de expresiones especiales 1185.9. Simplificación de expresiones fraccionarias por factorización 1195.10. Teorema del binomio 120

6. Ecuaciones y desigualdades 123

6.1. Introducción 1236.2. Ecuaciones lineales 1246.3. Ecuaciones cuadráticas 1256.4. Otras ecuaciones 1286.5. Resolución de desigualdades 1306.6. Desigualdades con valor absoluto 1376.7. División de polinomios 1386.8. Sistemas de ecuaciones lineales 143

7. Axioma del supremo 145

7.1. Conjuntos acotados 1457.2. Raíces cuadradas 1507.3. Exponentes racionales 152

VI Contenido

8. Sucesiones y series 155

8.1. Introducción 1558.2. Progresiones aritméticas 1578.3. Progresiones geométricas 1598.4. Convergencia de sucesiones 1628.5. Tipos de divergencia 1668.6. Series 1708.7. Criterios de convergencia 1748.8. La constante de Napier 1898.9. Sistema decimal 191

9. Funciones exponenciales y logarítmicas 195

9.1. Introducción 1959.2. Definición de potencias con exponentes reales 1969.3. Propiedades de los exponentes 1989.4. Funciones exponenciales 2019.5. Aplicaciones de la función exponencial 2039.6. Funciones logarítmicas 205

10. Funciones y sus gráficas 209

10.1. Introducción 20910.2. Asíntotas horizontales 21310.3. Asíntotas verticales 21710.4. Límites finitos 22110.5. Continuidad 22410.6. Sucesiones y límites de funciones de variable real 23210.7. La función exponencial natural 23410.8. Algunos tipos de discontinuidades 23710.9. Velocidad y aceleración 23810.10. La recta tangente 24010.11. Definición de derivada 24210.12. Teoremas sobre derivadas 24410.13. Máximos y mínimos relativos 24910.14. Formas indeterminadas 255

Contenido VII

11. Elementos de geometría 261

11.1. Introducción 26111.2. Segmentos y rayos 26311.3. Planos 26711.4. Conjuntos convexos 26911.5. Ángulos y triángulos 27111.6. Circunferencias 27211.7. Longitud de arco 27311.8. Medidas de ángulos 27611.9. Congruencia de triángulos 28011.10. Postulados y teoremas de congruencia de triángulos 28211.11. Perpendicularidad 28511.12. Desigualdades geométricas 28911.13. Rectas paralelas 29311.14. Cuadriláteros 30011.15. Semejanza y proporcionalidad 30311.16. Áreas 30911.17. Área del círculo y sectores circulares 31311.18. Sistemas de coordenadas 31511.19. Volúmenes 320

12. Matrices y determinantes 327

12.1. Introducción 32712.2. Suma y resta de matrices 32912.3. Multiplicación por escalar 33012.4. Multiplicación de matrices 33112.5. La transpuesta de una matriz 33412.6. Permutaciones 33512.7. Determinantes 33812.8. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 34312.9. Operaciones elementales por renglón 345

13. Conjuntos y estructuras 353

13.1. Introducción 35313.2. Grupos 35413.3. Homomorfismos 36313.4. Anillos 36613.5. Espacios vectoriales 37013.6. Transformaciones lineales 379

VIII Contenido

14. Topología 389

14.1. Introducción 38914.2. Espacios métricos 39014.3. Funciones en espacios métricos 39914.4. Espacios topológicos 41114.5. Topología producto 42414.6. Topología cociente 432

15. Análisis geométrico 435

15.1. Distancia entre dos puntos 43515.2. Álgebra en Rn 43815.3. Trayectorias y sus longitudes 44815.4. Ortogonalidad 45515.5. Isometrías entre planos 46015.6. Medidas de ángulos 46715.7. Conceptos generales 47515.8. Funciones trigonométricas 47815.9. Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas 48715.10. Ecuaciones de la recta 49715.11. Ecuaciones de la circunferencia 50215.12. Ecuaciones de la parábola 50415.13. Ecuaciones de la elipse 50715.14. Ecuaciones de la hipérbola 51415.15. Funciones hiperbólicas 52015.16. Rotaciones y reflexiones en R2 52315.17. La ecuación general de segundo grado 52515.18. El cilindro en R3 52815.19. Rotaciones y reflexiones en Rn 53015.20. El cono circular recto en R3 53215.21. El elipsoide en R3 53415.22. El hiperboloide elíptico en R3 53515.23. El paraboloide elíptico en R3 53715.24. El paraboloide hiperbólico en R3 53815.25. Coordenadas polares 53915.26. Coordenadas cilíndricas y esféricas 54215.27. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en Rn 54315.28. Áreas y volúmenes 54815.29. La medida de Lebesgue en Rn 568

Contenido IX

16. Homotopías 579

16.1. Caminos homotópicos 57916.2. Clases de homotopía 58216.3. El grupo fundamental 58416.4. Funciones cubrientes y levantamientos 58516.5. El índice de un camino cerrado 58916.6. El teorema de la curva de Jordan 59216.7. Separación de conjuntos 60116.8. Grafos lineales 60316.9. Aproximación por poligonales 612

17. Integración 623

17.1. Antiderivadas 62317.2. La integral de Riemann 62917.3. Cálculo de la longitud de un arco 64417.4. La integral de Riemann-Stieltjes 65017.5. Desarrollo de Taylor 66417.6. Integrales impropias 66817.7. La función gamma 672

18. Funciones de varias variables 675

18.1. Integración sobre caminos 67518.2. Derivadas de funciones de varias variables 68118.3. El teorema de los multiplicadores de Lagrange 69718.4. Integración de funciones de varias variables 70118.5. Cambio de variables 711

19. Los números complejos 729

19.1. Introducción 72919.2. El plano complejo extendido 73519.3. Sucesiones y series de números complejos 73819.4. Funciones complejas de variable compleja 75119.5. Polinomios complejos 75319.6. Funciones holomorfas 75919.7. Integración compleja 76519.8. Ceros y singularidades aisladas 789

20. Teoría de conjuntos 805

20.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel y de elección 80520.2. Construcción de los números naturales y enteros 81120.3. Cardinalidad y conjuntos bien ordenados 81420.4. Proposiciones equivalentes al axioma de elección 81920.5. Construcción de los números racionales 827

X Contenido

20.6. Construcción de los números reales 82920.7. Construcción de los números complejos 835

Epílogo 836

Apéndice A. Lista de símbolos 838

Apéndice B. Alfabeto helénico 861

Apéndice C. Bibliografía 863

Apéndice D. Índice alfabético 865

XI

Dedicado a Efraín, Rosaura, Oralia, Beatriz y Salvador

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Capítulo 1

RAZONAMIENTO LÓGICO Y DEDUCTIVO

1.1. Introducción

En las matemáticas para que una afirmación nueva tenga aceptación universal es necesarioque se haya demostrado lógicamente basándose en conocimientos previamente aceptados. Taldemostración debe tener un rigor lógico de tal manera que la veracidad de la afirmación notenga lugar a dudas.

Un ejemplo no es aceptado como demostración lógica debido a que sólo muestra el cumpli-miento de la afirmación en un caso particular y es posible que en otros casos la afirmación seafalsa. Por ejemplo, si tomamos la afirmación «todos los mamíferos son rumiantes» y toma-mos como ejemplo a una cebra, no podemos concluir que debido a que la cebra es rumiante,entonces todos los mamíferos son rumiantes.

En las ciencias naturales cuando se quiere probar el cumplimiento de una hipótesis serealiza una serie de experimentos. Una vez hechos los experimentos, si en todos ellos severificó la hipótesis, ésta es aceptada (los principios de Arquímedes y la ley de la gravitaciónuniversal, por ejemplo, no se pueden demostrar matemáticamente sino que son aceptados enbase a observaciones, aunque sí son descritos por fórmulas matemáticas). En las matemáticasy en la lógica esta forma de proceder no es aceptada. Es decir, no es suficiente con verificarvarios ejemplos, aunque sean muchos, para aceptar una suposición.

Analicemos, por ejemplo, la afirmación «si n es un número natural, entonces n2´n`11 esun número primo» (un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo es divisiblepor 1 y por sí mismo).

Si tomamos n “ 1, tenemos n2 ´ n` 11 “ 12 ´ 1` 11 “ 11;

si tomamos n “ 2, tenemos n2 ´ n` 11 “ 22 ´ 2` 11 “ 13;

si tomamos n “ 3, tenemos n2 ´ n` 11 “ 32 ´ 3` 11 “ 17;

si tomamos n “ 4, tenemos n2 ´ n` 11 “ 42 ´ 4` 11 “ 23;

si tomamos n “ 5, tenemos n2 ´ n` 11 “ 52 ´ 5` 11 “ 31;

si tomamos n “ 6, tenemos n2 ´ n` 11 “ 62 ´ 6` 11 “ 41.

1

2 1.1. Introducción

Los números 11, 13, 17, 23, 31 y 41 son primos. En los 6 ejemplos anteriores el resultado den2´n`11 fue un número primo pero no es suficiente para concluir que n2´n`11 es primo paratodo número natural n, de hecho lo único que demuestra es que n2´n`11 es primo cuando n es1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Podemos observar que si n “ 11, entonces n2´n`11 “ p11q2´11`11 “ p11q2el cual no es un número primo.

Vale la pena aclarar que aún y cuando la conclusión de un razonamiento sea algo verda-dero, este razonamiento no se considera una demostración si el razonamiento no fue correcto.

Parte del razonamiento lógico involucra la expresión por medio de símbolos. Supondremosque el lector distinguirá con sus sentidos cuando dos símbolos sean iguales o diferentes y nohabrá polémica alguna en ese sentido, por ejemplo, distinguirá la escritura de las letras α, β,γ, etc.

En las secciones siguientes de este capítulo se abordarán los conceptos básicos referentesal razonamiento lógico.

1.2. Proposiciones 3

1.2. Proposiciones

«Le grand fondement des Mathématiquesest le principe de contradiction ou del’identité, c’est-à-dire qu’une énonciationne saurait être vraie et fausse en mêmetemps; et qu’ainsi A est A et ne sauraitêtre non A. Et ce seul principe suffit pourdémontrer toute l’Arithmétique et toutela Géométrie, c’est-à-dire tous les princi-pes Mathématiques.»

«El gran fundamento de las matemáticas es elprincipio de contradicción o identidad, esto es,que una proposición no puede ser verdadera yfalsa al mismo tiempo, y que, en consecuencia,A es A y no puede ser no A. Y ese único princi-pio es suficiente para demostrar cualquier par-te de la aritmética y de la geometría, es decir,todos los principios matemáticos» (fragmentode la Segunda carta de Leibniz a Clarke 1).

En lógica una proposición es una oración, frase o cualquier afirmación que tiene asignadoun único valor de verdad, donde los valores de verdad pueden ser solamente verdadero ofalso. Es decir toda proposición es verdadera o falsa pero no puede ser verdadera y falsa ala vez.

Tenemos los siguientes ejemplos de proposiciones:

1. El caballo es un mamífero.

2. Todos los reptiles pueden volar.

3. 2` 5 “ 7.

4. 3´ 1 ą 7.

5. El agua es necesaria para la vida humana.

El sentido común nos dice que las proposiciones 1, 3 y 5 son verdaderas, mientras que lasproposiciones 2 y 4 son falsas.

No son aceptadas como proposiciones las afirmaciones que emitan un juicio o digan algosobre sí mismas. Por ejemplo, si la oración «estoy diciendo una mentira» se refiere a que laoración misma es falsa, entonces no se le puede asignar un valor de verdad puesto que si fuerafalsa, entonces estaría diciendo una mentira, lo cual confirmaría la oración y sería verdadera.Por otro lado, si la oración fuese verdadera, entonces estaría diciendo una mentira, lo cualharía falsa a la oración. Es decir tal afirmación sería falsa y verdadera a la vez. En el lenguajeusual, cuando alguien dice «estoy diciendo una mentira» generalmente se refiere a que otraexpresión que se dijo con anterioridad es mentira.

Cuando una proposición es expresada por medio de símbolos matemáticos (no en formagramatical) a la expresión le llamamos fórmula.

A veces a las proposiciones se les representa por letras como p, q, r, s, t, etc.

4 1.3. Negación

1.3. Negación

«Les vérités de Raisonnement sont néces-saires et leur opposé est impossible, et ce-lles de Fait sont contingentes et leur oppo-sé est possible. Quand une vérité est né-cessaire, on en peut trouver la raison parl’analyse, la résolvant en idées et en véri-tés plus simples, jusqu’à ce qu’on vienneaux primitives.»

«Las verdades de razonamiento son necesarias,y su opuesto es imposible, y las de hecho soncontingentes y su opuesto es posible. Cuan-do una verdad es necesaria, se puede hallarsu razón por medio de análisis, resolviéndolaen ideas y verdades más simples, hasta que sellega a las primitivas» (Gottfried Leibniz, LaMonadología 33, 1714).

Si p es una proposición, a la proposición que afirma que p es falsa se le llama la negaciónde p y se le representa por el símbolo p, el cual se lee «no p». Se tienen las siguientes reglaslógicas:

Si p es verdadera, entonces p es falsa.

Si p es falsa, entonces p es verdadera.

Lo anterior se ilustra en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es verda-dera y F que es falsa.

p pV FF V

Para los cinco ejemplos de proposiciones dadas en la sección anterior sus negaciones sepueden expresar respectivamente como:

1. El caballo no es un mamífero.

2. Algunos reptiles no pueden volar.

3. 2` 5 ‰ 7.

4. 3´ 1 ĺ 7.

5. El agua no es necesaria para la vida humana.

1.4. Conjunción y disyunción 5

1.4. Conjunción y disyunciónSi p y q son dos proposiciones, la conjunción de p y q, representada por p ^ q ó por

p&q es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero si tanto p como q son verdaderosy de falso si al menos una de las proposiciones es falsa. La proposición p^ q se lee «p y q» yafirma que ambas proposiciones p y q son verdaderas.

Por otra parte, la disyunción de p y q, representada por p_ q, es una proposición cuyovalor de verdad es de verdadero cuando al menos una de las dos proposiciones ya sea p ó qes verdadera y de falso cuando tanto p como q son falsas. La proposición p_ q se lee «p ó q»y afirma que al menos una de las proposiciones p ó q es verdadera.

Lo anterior se ilustra en las tablas siguientes, donde V significa que la proposición esverdadera y F que es falsa.

p q p^ qV V VV F FF V FF F F

p q p_ qV V VV F VF V VF F F

6 1.5. Implicación

1.5. ImplicaciónAl símbolo ùñ se le conoce como símbolo de implicación. Si p y q son dos proposiciones,

la expresión p ùñ q es de nuevo una proposición cuyo valor de verdad es de falso si p esverdadero y q es falso, y en todos los otros casos el valor de verdad es de verdadero. Laproposición p ùñ q se lee «p implica q» o bien «q ó no p (es decir q _ p)» o bien «si p,entonces q» y afirma que la proposición q es verdadera cuando lo es la proposición p.

Observemos que si p es verdadera, entonces p ùñ q es verdadera solamente si q es tambiénverdadera, lo que indica que a partir de una proposición verdadera se debe concluir unaproposición verdadera. Pero si p es falsa, entonces p ùñ q es verdadera, independientementede si q es verdadera o falsa, lo que indica que a partir de una proposición falsa se puedeconcluir cualquier proposición, ya sea verdadera o falsa.

Otra forma de leer e interpretar el significado de la expresión p ùñ q es diciendo «p essuficiente para que se cumpla q» o bien «q es necesario para que se cumpla p».

Cuando tengamos una proposición de la forma p ùñ q, a la proposición p se le llamahipótesis, premisa, condición o antecedente y a la proposición q se le llama conclusióno consecuente.

Lo anterior se ilustra en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es verda-dera y F que es falsa.

p q p q _ pV V F VV F F FF V V VF F V V

es decir,

p q p ùñ qV V VV F FF V VF F V

La recíproca de una proposición de la forma p ùñ q, se define como la proposiciónq ùñ p.

1.6. Proposiciones equivalentes 7

1.6. Proposiciones equivalentesDecimos que dos proposiciones p y q son equivalentes, denotándose p ðñ q, cuando

p ùñ q y q ùñ p. Es decir pðñ q es verdadera cuando la proposición pp ùñ qq ^ pq ùñ pqes verdadera.

Podemos observar que p ðñ q es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor deverdad. En efecto, si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces lasproposiciones p ùñ q y q ùñ p son verdaderas, por lo que pp ùñ qq^pq ùñ pq es verdadera.Ahora bien, si las proposiciones p y q tienen diferente valor de verdad, entonces alguna delas proposiciones p ùñ q ó q ùñ p es falsa por lo que pp ùñ qq ^ pq ùñ pq es falsa, es decirsi las proposiciones p y q tienen diferente valor de verdad, entonces pðñ q es falsa (a saberp ùñ q es falsa si q es falsa y p verdadera, y q ùñ p es falsa si p es falsa y q verdadera). Laexpresión pðñ q a veces se lee como «p si y sólo si q» o como «p es necesario y suficientepara q».

Lo anterior se resume en la tabla siguiente, donde V significa que la proposición es ver-dadera y F que es falsa.

p q pðñ qV V VV F FF V FF F V

Observemos lo importante que es el uso adecuado de paréntesis o símbolos de agrupación,por ejemplo la proposición pp ùñ pq ^ pqq ùñ p no es equivalente a la proposición pp ùñqq^pq ùñ pq cuando p es verdadera y q es falsa, puesto que en dicho caso pp ùñ pq^pqq ùñ psería verdadera y pp ùñ qq ^ pq ùñ pq sería falsa (como lo podrá verificar el lector).

8 1.7. Razonamientos válidos y falacias

1.7. Razonamientos válidos y falaciasUna tautología es una expresión que es siempre verdadera, independientemente del valor

de verdad de las proposiciones que la forman, por ejemplo:

a) «Si Ramiro está loco, entonces Ramiro está loco.» Esta proposición es del tipo p ùñ p,la cual es siempre verdadera independientemente del valor de verdad de p.

b) «La rosa es una flor o no es una flor.» Esta proposición es del tipo p _ p, la cualtambién es siempre verdadera, independientemente del valor de verdad de p.

c) «Si x es un zorro, y el hecho de que x sea zorro implica que x es canino, y el hecho deque x sea canino implica que x es carnívoro, entonces x es carnívoro.» La afirmaciónanterior es del tipo pp ^ pp ùñ qq ^ pq ùñ rqq ùñ r, la cual es siempre verdadera,independientemente de los valores de verdad de p, q y r.

Una contradicción es una expresión que es siempre falsa, independientemente de losvalores de verdad de las proposiciones que la forman, por ejemplo:

a) «Alejo está loco y si Alejo está loco, entonces no está loco.» Esta proposición es deltipo p ^ pp ùñ pq, la cual es siempre falsa, independientemente del valor de verdadde p.

b) «La margarita es una flor y no es una flor.» Esta proposición es del tipo p^ p, la cuales siempre falsa, independientemente del valor de verdad de p.

Observemos que la negación de una tautología es una contradicción, mientras que lanegación de una contradicción es una tautología.

Una contingencia es una expresión formal cuyo valor de verdad depende de los valores deverdad que tengan las proposiciones que la forman, donde para algunos valores de verdad detales proposiciones la expresión es verdadera, mientras que para otros la proposición formadaes falsa. Como ejemplos de contingencias tenemos:

a) «Está haciendo frío y está lloviendo.» Esta expresión es del tipo p^ q.

b) «Si conduces correctamente, entonces no tendrás accidentes.» Esta proposición es deltipo p ùñ q.

c) «Los alacranes no pican dos veces a la misma persona.» Esta proposición es del tipo p.

d) «O juegas futbol o juegas beisbol.» Esta proposición es del tipo p_ q.

Veremos a continuación algunos tipos de argumentos válidos en lógica que sirven paraobtener conclusiones: Un tipo de razonamiento válido es el llamado modus ponens, queconsiste en que si tenemos dos proposiciones p y q, y suponemos que son verdaderas las pro-posiciones p y p ùñ q, entonces podemos concluir que la proposición q también es verdadera.Dicho razonamiento se basa en el hecho de que la proposición pp ^ pp ùñ qqq ùñ q es unatautología, en efecto, veamos la siguiente tabla de verdad que muestra dicha tautología.

1.7. Razonamientos válidos y falacias 9

p q p ùñ q p^ pp ùñ qq pp^ pp ùñ qqq ùñ qV V V V VV F F F VF V V F VF F V F V

Ejemplos de razonamientos mudus ponens son:

a) Los perros tienen pelo; pero si los perros tienen pelo, entonces son mamíferos. Por lotanto, los perros son mamíferos.

b) Tito es de Piriápolis y si Tito es de Piriápolis, entonces es uruguayo. Por lo tanto Titoes uruguayo.

Otro tipo de razonamiento válido es el llamado modus tollens, que consiste en quesi tenemos dos proposiciones p y q, donde q es falsa, pero p ùñ q es verdadera, entoncespodemos concluir que la proposición p es falsa. Dicho razonamiento se basa en el hecho deque pp qq ^ pp ùñ qqq ùñ p es una tautología. En efecto, veamos la tabla siguiente quemuestra dicha tautología.

p q q p ùñ q p qq ^ pp ùñ qq p pp qq ^ pp ùñ qqq ùñ pV V F V F F VV F V F F F VF V F V F V VF F V V V V V

Ejemplos de razonamientos mudus tollens son:

a) Si las garzas tienen pelo, entonces son mamíferos; pero las garzas no son mamíferos.Por lo tanto, las garzas no tienen pelo.

b) Fidel no es uruguayo, pero si Fidel fuera de Piriápolis, entonces sería uruguayo. ComoFidel no es uruguayo, podemos concluir que no es de Piriápolis.

Otro tipo de razonamientos son los del tipo reductio ad absurdum o reducción alo absurdo que consiste en concluir una proposición al demostrar que la negación de ellaconduce a una contradicción.

Tenemos también que p ùñ q equivale a q ùñ p, de manera que el demostrar quep ùñ q puede hacerse demostrando que q ùñ p. Este métodos de hacer demostracionesse llama método indirecto.

Los razonamientos no válidos de hacer conclusiones se llaman falacias. Ejemplos de fa-lacias son:

a) Deducir la veracidad de p a partir de la veracidad de q y de la veracidad de p ùñ q.Por ejemplo: «Si un animal es lobo, entonces es un canino, pero como los zorros soncaninos, entonces los zorros son lobos.»

10 1.7. Razonamientos válidos y falacias

b) Deducir la falsedad de q a partir de la falsedad de p y de la veracidad de p ùñ q. Porejemplo: «Si Manuel fuera de Piriápolis, entonces sería uruguayo, pero sabemos queManuel no es de Piriápolis, por lo que no es uruguayo.» Con la información que setiene, a saber que los de Piriápolis son uruguayos y que Manuel no es de Piriápolis, nose puede concluir que Manuel no sea uruguayo, aunque tampoco se puede concluir quelo sea.

c) Otro tipo de falacias son los argumentos ad hominem, el cual intenta negar unaproposición p basándose en desacreditar a la persona o personas que afirman p, o bienen el desprestigio que pudiera tener dicha persona, por ejemplo: «Has nacido todoentero en pecado, de manera que tus enseñanzas no son buenas.»

Ejercicios.

1. Supongamos que p, q y r son proposiciones. Verificar que las siguientes parejas deproposiciones son equivalentes independientemente de los valores de verdad de p, q yr.

aq p pq, p. bq p^pq_rq, pp^qq_pp^rq.cq p_ pq ^ rq, pp_ qq ^ pp_ rq. dq p_ q, q _ p.eq p^ q, q ^ p. fq pðñ q, q ðñ p.gq pp_ qq, p pq ^ q. hq pp^ qq, p pq _ q.iq p ùñ q, p qq ùñ p. jq pp_ qq _ r, p_ pq _ rq.kq pp^ qq ^ r, p^ pq ^ rq. lq p_ q, p pq ùñ q.mq q ùñ p, p qq _ p. nq pp ùñ qq, q ^ p.

2. Si p, q y r representan respectivamente las proposiciones «el caballo es un mamífero»,«todos los reptiles pueden volar» y «2 + 5 = 7» expresar las siguientes proposicionescon palabras y sin usar los símbolos p, q, r, , ^, _, ùñ ni ðñ. Además, dar su valorde verdad.

aq p ùñ q. bq q ùñ r. cq p^ q.dq p_ q. eq p_ q. fq p pq ^ r.

3. Supongamos que p, q y r son proposiciones. Verificar que las siguientes parejas deproposiciones no son equivalentes para valores de verdad adecuados de p, q y r.

aq p^ pq _ rq, pp^ qq _ r. bq pp_ qq, p pq _ p qq.cq p ùñ q, q ùñ p. dq pp ùñ qq _ pq ùñ rq, p ùñ q.eq pp ùñ qq _ pq ùñ rq, p ùñ r. fq p ùñ q, p pq ùñ q.

4. Cuando una persona dice «si tú eres músico, yo soy Supermán» ¿qué está tratando dedecir? ¿Por qué? (usar modus tollens).

5. A continuación en cada inciso se darán dos proposiciones, las cuales, aunque parezcaabsurdo en algunos casos, supondremos que son verdaderas. Posteriormente se dará unaserie de proposiciones. El lector deberá marcar con una V las que se puedan concluir

1.7. Razonamientos válidos y falacias 11

que son verdaderas a partir de las dos proposiciones dadas al inicio y con una F las quese puedan concluir que son falsas (las que no se pueda concluir su valor de verdad conlas dos proposiciones dadas se dejarán sin marcar).

a) Los miembros de la tribu Tarahumara tienen el pelo lacio. En África hay personascon el pelo rizado.

I) Los miembros de la tribu Tarahumara no son africanos.II) Algunos habitantes de África no pertenecen a la tribu Tarahumara.III) Solamente algunos africanos pertenecen a la tribu Tarahumara.IV) Algunos africanos tienen el pelo lacio y otros no.V) Ningún africano con pelo rizado pertenece a la tribu Tarahumara.

b) Perro que ladra no muerde. Los perros negros muerden.

I) Un perro me mordió sin ladrar.II) Los perros que no ladran son negros.III) Los perros negros no ladran.IV) Los perros blancos ladran.V) Los perros pintos ladran y muerden.

c) Con la lluvia se riegan las plantas. Es necesario regar las plantas para que sobre-vivan.

I) Si no llueve, las plantas no sobreviven.II) Si llueve, las plantas sobreviven.III) Es necesario que llueva para que se rieguen las plantas.IV) Cuando llueve feo, las plantas no sobreviven.V) Perro que ladra no muerde.

d) El que nace para maceta no sale del corredor. Juan salió del corredor.

I) Juan no nació para maceta.II) A Juan no le gustan las macetas.III) Juan entra y sale del corredor sin macetas.IV) Los que no salen del corredor nacieron para maceta.V) Si alguien no nació para maceta, ese es precisamente Juan.

e) Al que madruga Dios lo ayuda. Al que no se ayuda Dios no lo ayuda.

I) El que no madruga no se ayuda.II) El que madruga se ayuda.III) El que no se ayuda no madruga.IV) Perro que ladra, muerde y madruga, con seguridad se ayuda.V) Perro que no se ayuda, ni ladra ni muerde ni madruga.

f) Todos los saltillenses son coahuilenses. Los venezolanos no son coahuilenses.

I) Los venezolanos no son coahuilenses ni saltillenses.

12 1.7. Razonamientos válidos y falacias

II) Los argentinos no son venezolanos ni coahuilenses.III) Algunos coahuilenses son venezolanos.IV) Ningún coahuilense es venezolano.V) Los saltillenses no son venezolanos.

g) Mi abuelita no tiene ruedas. Mi abuelita no es bicicleta.

I) Si mi abuelita tuviera ruedas, sería bicicleta.II) Si mi abuelita no tuviera ruedas, no sería bicicleta.III) Si mi abuelita tuviera ruedas, no sería bicicleta.IV) Si mi abuelita no tuviera ruedas, sería bicicleta.V) Mi abuelita tiene ruedas y aún así no es bicicleta.

h) Si Luis no arregla su cuarto, no tendrá permiso de ir a la fiesta. Luis arregló sucuarto.

I) Luis tendrá permiso de ir a la fiesta debido a que arregló su cuarto.II) Si Luis va a la fiesta con permiso, entonces arregló su cuarto.III) Luis no tiene permiso de ir a la fiesta aunque haya arreglado su cuarto.IV) Como Luis arregló su cuarto, entonces irá a la fiesta aunque no tenga permiso.V) Luis no irá a la fiesta aunque tenga permiso.

i) Los santos no se bañan con agua caliente. Los santos ayunan.

I) Los santos no se bañan.II) Los santos ayunan y se bañan con agua fría.III) Los que no ayunan ni se bañan no son santos.IV) Los que ayunan y se bañan con agua fría son santos.V) Los glotones son santos.

j) Mikal no tuvo hijos hasta el día de su muerte. Mikal es hija de Saúl.

I) Las hijas de Saúl no tienen hijos.II) Mikal tuvo hijos después de muerta.III) Algunas hijas de Saúl no tienen hijos.IV) Alguna hija de Saúl murió sin tener hijos.V) Todos los hijos de Mikal nacieron después de que ella ya había muerto.

Capítulo 2

CONJUNTOS Y FUNCIONES

2.1. IntroducciónLos conceptos matemáticos están definidos en términos de los conceptos de conjuntos y

funciones, así como su relación entre ellos. Consideraremos a los conjuntos y funciones comoconceptos básicos no definidos.

En las matemáticas hay conceptos básicos que no es posible definir ya que para hacerlosería necesario tener otros conceptos que a su vez para estar definidos se necesitarían otros,y así sucesivamente, de tal suerte que para definirlos necesitaríamos hacerlo en base en ellosmismos, lo cual sería un círculo vicioso, o bien tener una infinidad de términos, lo cual seríaimposible de definir. Así, hay conceptos básicos que no están definidos, se supone que seentiende su significado por sentido común, aunque tienen propiedades básicas que puedenclarificar su significado. De los términos no definidos y sus propiedades básicas se definennuevos conceptos y se demuestran otras propiedades usando el razonamiento lógico.

En el capítulo anterior, los conceptos de proposición, verdadero y falso no fueron de-finidos; sin embargo se establecieron propiedades básicas y en base en ellas se definieronconceptos y símbolos tales como conjunción, implicación, ðñ, , etc. y así se dedujeronalgunas propiedades (no básicas) y se le pidió al lector que dedujera otras.

En este libro a las propiedades básicas que no se demuestran y se supondrá que son verda-deras las llamaremos axiomas, aunque en algunas ocaciones, principalmente en la geometría,se les llama postulados. Las propiedades que se concluyen directa o indirectamente de lasdefiniciones o de los axiomas se llaman teoremas. A algunos teorema se les suele llamarlemas y a otros corolarios. Generalmente un lema es un teorema cuyo objetivo principal esel de demostrar un teorema más importante y un corolario es un teorema que se deduce di-rectamente o casi directamente de otro, aunque técnicamente hablando los términos teorema,lema y corolario son lo mismo.

Una condición necesaria y suficiente para que un objeto forme parte de un conceptodefinido es que debe satisfacer todas las propiedades de la definición. Por ejemplo para definirel concepto de ave veamos de las siguientes proposiciones cuál es la definición correcta.

a) Un ave es un animal que vuela.

b) Un ave es un vertebrado de sangre caliente y que es ovíparo.

13

14 2.1. Introducción

c) Un ave es un vertebrado de sangre caliente, ovíparo que tiene plumas y que tiene pico.

d) Un ave es un vertebrado de sangre caliente, ovíparo, que tiene plumas, alas, pico, dospatas y además vuela.

e) Un ave es un vertebrado de sangre caliente que tiene alas y vuela.

f) Un ave es un animal que tiene plumas.

La proposición a) no corresponde a una correcta definición para ave pues por ejemplolas moscas vuelan y no son aves. La proposición b) tampoco lo es, pues por ejemplo elornitorrinco es un vertebrado de sangre caliente y ovíparo pero no es ave. La proposición c)parece ser una buena definición para ave pues las aves son vertebradas, de sangre caliente,ovíparos, tienen plumas y pico, además cualquier animal con estas características es un ave.La proposición d) tiene el defecto de que hay aves que no vuelan, por ejemplo los avestruces.La proposición e) no es una buena definición para ave puesto que los murciélagos satisfacenesas características y no son aves. La proposición f) también sería una buena definición deave puesto que todas las aves son animales con plumas y todos los animales con plumas sonaves.

«Εί δέ τις λέγοι τὴν ἐπιστήμην ἀποδεικ-τικὴν εἶναι μετὰ λόγου, ἀκουσάτω ὅτι καὶαἱ ἀρχαὶ ἀναπόδεικτοι· οὔτε γὰρ τέχνῃ οὔτεμὴν φρονήσει γνωσταί.»

«Si alguien dijera que el conocimiento se basaen la demostración mediante la razón, que se-pa que sus principios son indemostrables» (SanClemente de Alejandría, fragmento de Stroma-ta 2.4.13).

2.2. Conjuntos 15

2.2. ConjuntosEn este capítulo uno de los términos no definidos es el de objeto. En matemáticas un

objeto será cualquier cosa de la cual podamos hablar o decir algo. Otro término muy im-portante no definido es el de conjunto. Para darnos una idea de su significado podemosconsiderar «sinónimos» de conjunto como colección, familia, clase, agrupación de objetos,etc. El concepto de pertenecer es también un término no definido. Cuando decimos que unobjeto a pertenece a un conjunto A queremos decir que a es un miembro de los objetos queforman al conjunto A. Usaremos el símbolo P para formar expresiones como a P A la cual selee «a pertenece a A». Otro concepto que no se definirá será el de existencia. Comencemospor establecer los primeros axiomas.

2.2.1. Axioma de existencia de conjuntos. Existe al menos un conjunto.

2.2.2. Axioma. Si a es un objeto y A un conjunto, entonces a P A es una proposición.2.2.3. Definición. Si A es un conjunto y a P A, es decir si a pertenece al conjunto A;decimos también que a es elemento de A, que a es miembro de A o que a está en A. Ala negación de a P A se le representa como a R A y se lee «a no pertenece a A».

En matemáticas la igualdad es otro término no definido. La idea de que dos objetos seaniguales es que son exactamente lo mismo aunque pueden estar representados por diferentessímbolos. A la proposición que afirma que dos objetos a y b son iguales se le representa asía “ b y se lee «a es igual a b». A la negación de a “ b se le representa como a ‰ b y se lee aes diferente de b».

2.2.4. Axioma de equivalencia para la igualdad. Si a, b y c son objetos, entonces sesatisfacen las siguientes propiedades:

I) a “ a (propiedad reflexiva de la igualdad).

II) a “ b ùñ b “ a (propiedad simétrica de la igualdad).

III) (a “ b y b “ c) ùñ a “ c (propiedad transitiva de la igualdad).

16 2.3. Funciones

2.3. FuncionesEl concepto de función de A en B, donde A y B son conjuntos, será otro término no

definido. Una función de A en B se puede ver como una regla que hace corresponder a cadaelemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Si a P A, entonces denota-remos por fpaq al único elemento en B tal que la función f le asigna o le hace correspondera a. Si f es una función, la expresión fpaq se lee «f de a». Al objeto fpaq se le llama tambiénla imagen de a bajo f ó el valor de f en a. Como sinónimos del término función tenemostambién el de aplicación y el de transformación.

Si f es una función, a la proposición que afirma que a cada elemento del conjunto A, lafunción f le asigna un único elemento en el conjunto B se le denota así

f : A ÝÑ B.

uuu

uXXXXXXXXXXXXXXXz

������

�����

�����:

XXXXXXXXXXXXXXXXXXz

- u

uuu

u

uu

A B

fj

El diagrama anterior representa la forma en que la función f asigna a cada elemento delconjunto A un solo elemento del conjunto B. Podemos observar que de cada elemento delconjunto A sale solamente una flecha, mientras que a los elementos del conjunto B puedenllegar una, varias o ninguna flecha.

2.3.1. Ejemplo. Si A es el conjunto de habitantes de Guadalajara, R el conjunto de númerosreales y f : A ÝÑ R es la función que a cada habitante de Guadalajara le asigna su edaden años, entonces si a es un habitante de Guadalajara, fpaq es la edad en años de a. Todohabitante de Guadalajara tiene una edad y esa edad es única, es decir ningún habitante deGuadalajara tiene más de una edad.

2.3. Funciones 17

2.3.2. Ejemplo. Si R es el conjunto de númerosreales y g : R ÝÑ R es tal que a cada número real leasigna su cuadrado, entonces si x P R, tenemos quegpxq “ x2, por ejemplo gp1q “ 1, gp2q “ 4, gp´3

4q “

916. Observemos que tiene sentido que g sea función

puesto que cada número real tiene exactamente uncuadrado.

-4 -2 2 4 6 8

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

gHxL=x2

2.3.3. Ejemplo. Tomemos un conjunto PH cuyos elementos son los pacientes de un ciertohospital. Cada paciente x tiene asignado un factor sanguíneo Rhpxq en el conjunto t`,´u.Así la función Rh es la que a cada paciente x del hospital le asigna su factor sanguíneo Rhpxq.Tenemos así que Rh : PH ÝÑ t`,´u.

2.3.4. Notaciones. Si A y B son dos conjuntos y f es una función, entonces la proposición

f : A ÝÑ BaÞÑb

significa que f : A ÝÑ B y además que fpaq “ b, es decir significa que la función f asigna acada elemento de A un único elemento en B y además a a le asigna b. La función g dada enel ejemplo 2.3.2 podría escribirse

g : R ÝÑ Rx ÞÑx2

.

Al hecho de que fpaq “ b también se le denota por f : a ÞÑ b. La expresión x ÞÑ fpxqrepresenta a una función tal que a cada valor de x le asigna fpxq, pero si se quiere serespecífico se puede escribir px P Aq ÞÑ fpxq, lo cual representará a la función que a cadaelemento x del conjunto A le asigna fpxq, en esta última notación se está especificando queA es el dominio de la función. Con esta última notación, la función g dada en el ejemplo 2.3.2puede representarse como px P Rq ÞÑ x2.

2.3.5. Definición. Si f : A ÝÑ B, decimos que A es el dominio de la función f . Al dominiode f se le denota por Dompfq.

En el primero de los ejemplos anteriores el dominio de f es el conjunto de habitantes deGuadalajara y en el segundo ejemplo el dominio de g es R.

La expresión que dice que una proposición p se vale o es verdadera para algún objeto xsignifica que existe un objeto x tal que p es verdadera. El término de «algún» es también unconcepto no definido que se utiliza en el siguiente axioma y en otros.

2.3.6. Axioma. Si Ψ es un objeto, entonces Ψ pertenece a algún conjunto.

18 2.3. Funciones

Debido a que los conjuntos y las funciones son objetos, el axioma anterior nos permitehablar de conjuntos de funciones y de conjuntos.

2.3.7. Axioma de sustitución de iguales. Si f : A ÝÑ B, s P A y s “ t, entonces t P Ay fptq “ fpsq.2.3.8. Axioma de igualdad de funciones. Las funciones f y g son iguales (f “ g) si ysólo si tienen el mismo dominio A y además si a P A, entonces fpaq “ gpaq.

2.4. Predicados 19

2.4. Predicados

Cuando se hable acerca de un objeto y no se especifique en qué conjunto está se sobreen-tenderá que está en un conjunto U llamado conjunto universo. Por ejemplo cuando se hablaacerca de personas, el conjunto universo al cual pertenecen las personas es el conjunto detodos los seres humanos. Si las personas en cuestión habitan en una cierta ciudad, entoncesel conjunto universo puede tomarse como el conjunto de habitantes de dicha ciudad. Cuandose habla de números puede considerarse como universo al conjunto de números reales. Si sehabla de países se puede considerar como universo al conjunto de países del mundo.

2.4.1. Definición. Diremos que un símbolo p es un predicado, si es tal que si x es un objeto,entonces la expresión denotada por ppxq será una proposición. Cuando p sea un predicadoy tengamos una expresión ppxq, donde se sobreentienda que x está en algún conjunto U ,al conjunto U lo llamamos universo del discurso o conjunto universo del predicado p.Cuando x no sea un elemento del universo del discurso de p, supondremos que ppxq es unaproposición falsa. Cabe aclarar que es posible que algunos predicados no tengan conjuntouniverso debido a no estar especificado ni sobreentendido cuál es el conjunto universo.

Es decir si p es un predicado cuyo conjunto universo es U y x P U , entonces ppxq es unaproposición. Recordemos que si ppxq es una proposición, entonces tiene un único valor deverdad, ya sea verdadero o falso. Se puede interpretar como predicado p a una afirmaciónque diga algo sobre un objeto desconocido en el universo. Generalmente si no sabemos de quéobjeto x se trata, tampoco sabremos si ppxq es verdadera o falsa. Con la restricción ppxq ‰ xevitamos construir proposiciones que hablen de sí mismas.

2.4.2. Ejemplo. Sea U el conjunto de mexicanos y ppxq la proposición «x es un médicomexicano». Tal proposición ppxq tiene un valor de verdad, pero tal valor de verdad dependede quién sea x. Si x es médico, entonces ppxq es verdadera; si x no es médico, entonces ppxqes falsa. Gramaticalmente hablando, el predicado sería «es un médico mexicano». Si x fuera«Juan Sánchez Gutiérrez», entonces ppxq se expresaría diciendo «Juan Sánchez Gutiérrez esun médico mexicano».

2.4.3. Ejemplo. Sea U “ R (conjunto de números reales) y qpxq la proposición expresadamediante la fórmula «3x ` 2 “ 0». En el caso en que x “ ´2

3la proposición es verdadera y

en cualquier otro caso la proposición es falsa.

2.4.4. Ejemplo. Veamos un ejemplo donde se puede ver el por qué es necesario pedir paraun predicado p que ppxq ‰ x. Si ppxq es la afirmación «x es una proposición falsa», entoncesno podemos tener que ppxq “ x ya que si x fuera una proposición verdadera, entonces ppxqsería falsa, pero como ppxq “ x, concluimos que x es verdadera y falsa a la vez, contradiciendoel hecho de que toda proposición tiene un único valor de verdad. Ahora bien, si x fuera unaproposición falsa, entonces ppxq sería verdadera, y de nuevo como ppxq “ x, tendríamos quex es verdadera y falsa a la vez, contradiciendo nuevamente el hecho de que toda proposicióntiene un único valor de verdad.

2.4.5. Definición. Se dice que x es el único objeto que satisface ppxq, si ppxq es verdaderay ppaq ùñ a “ x, para cualquier objeto a.

2.4.6. Axioma de especificación de conjuntos. Sea p un predicado cuyo conjunto

20 2.4. Predicados

universo es U . Existe un único conjunto A cuyos elementos son todos los objetos x en U talesque la proposición ppxq es verdadera.2.4.7. Definición. Al conjunto A dado en el axioma de especificación de conjuntos se lellama conjunto solución de p y se le denota por

tx : ppxqu

o portx P U : ppxqu,

si se quiere hacer énfasis en el conjunto universo U del predicado p. A veces se utiliza lanotación tx|ppxqu en lugar de tx : ppxqu. En general, si A es un conjunto cualquiera y p esun predicado, la expresión

tx P A : ppxqurepresentará al conjunto

tx : x P A y ppxqu.

Cuando tengamos un símbolo no definido x, y p sea un predicado, en la expresión ppxq,al símbolo x se le llama variable o variable libre y a la expresión ppxq se le llama fór-mula o proposición abierta. En tal caso llamaremos conjunto solución de la fórmula oproposición ppxq al conjunto solución del predicado p. El dominio de la variable x será pordefinición el universo del discurso de p.

Observemos que cualquier conjunto es el conjunto solución de algún predicado, pues si Aes un conjunto, entonces

A “ tx : x P Au(donde se está tomando como dominio de la variable x en la proposición x P A a un conjuntoU tal que todo elemento de A sea también un elemento de U).

2.4.8. Notación. A los conjuntos tx : x “ au, tx : x “ a ó x “ bu, tx : x “ a, x “ bó x “ cu, etc. se les denotará respectivamente como tau, ta, bu, ta, b, cu, etc. Se dice queesta última notación describe al conjunto por listado de sus elementos. Es decir se ponenentre llaves todos los elementos del conjunto separados por comas. Esto es posible hacerlosolamente cuando los conjuntos tienen un número finito de elementos.

En algunas proposiciones aparecen dos variables y el valor de verdad de tales proposicionesdepende del valor que tomen cada una de las variables. Por ejemplo, en la proposición «x ă y»su valor de verdad no solamente depende del valor de x, sino también del de y; el valor deverdad de la proposición «los zapatos del modelo x son para practicar el deporte y» dependetanto del modelo como del deporte. Estableceremos así el concepto de predicado de dosvariables.

2.4.9. Definición. Diremos que un símbolo q es un predicado de dos variables, si es talque cuando x e y sean objetos, la expresión denotada por qpx, yq será una proposición.2.4.10. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A está incluido en B si paracualquier objeto x se tiene que x P A ùñ x P B. Al hecho de que A esté incluido en B se ledenota por

A Ă B

2.4. Predicados 21

o porB Ą A

aunque la segunda notación se acostumbra leer como «B incluye a A» o «B contiene aA». La notación A Ă B significa que todos los elementos de A son también elementos de B.Cuando A Ă B también se dice que A es subconjunto de B o que A está contenido en B.Para evitar confusiones trataremos de evitar usar el término «contenido en» debido a que aveces se toma como sinónimo de «pertenece a» y no de «incluido en».

U

A

B

A Ă B

2.4.11. Ejemplo. Si A es el conjunto de patos y B el conjunto de aves, entonces A Ă Bdebido a que todos los patos son aves. Es decir, si x es pato, entonces x es ave.

2.4.12. Ejemplo. tx : 3x` 2 “ 0u Ă tx : x2 “ 49u. Observemos que tx : 3x` 2 “ 0u “ t´2

3u

mientras que tx : x2 “ 49u “ t´2

3, 2

3u.

2.4.13. Notación. A la negación de A Ă B se le denotará A {ĂB. Así mismo, cuando tenga-mos que A Ă B pero A ‰ B, diremos que A está incluido propiamente en B. Cualquierade las expresiones A Ł B ó B Ń A denotarán el hecho de que A está incluido propiamenteen B.

2.4.14. Axioma de igualdad de conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo siA Ă B y B Ă A. Es decir,

A “ B ðñ pA Ă B y B Ă Aq.

2.4.15. Axioma de existencia del conjunto potencia. Si A es un conjunto, entoncesexiste un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Dicho de otra manera;si A es un conjunto, entonces existe un conjunto B tal que x P B si y sólo si x Ă A.

2.4.16. Definición. Sea A un conjunto. Al conjunto cuyos elementos son todos los subcon-juntos de A se le llama el conjunto potencia de A y se le denota por ppAq ó por 2A. Lanotación 2A se deberá usar solamente cuando el contexto no permita confusión.

2.4.17. Ejemplo. Si A “ ta, b, cu, entonces ppAq “ ttu, tau, tbu, tcu, ta, bu, ta, cu, tb, cu,ta, b, cuu.

22 2.4. Predicados

El siguiente axioma expresa que dados dos conjuntos cualesquiera siempre hay un conjunto«más grande» que los dos, es decir un conjunto del cual los conjuntos dados son subconjuntos.

2.4.18. Axioma. Si A y B son conjuntos, entonces existe un conjunto U tal que A Ă U yB Ă U .2.4.19. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la unión de A y B como elconjunto

tx P U : x P A ó x P Bu,donde U es un conjunto tal que A Ă U y B Ă U . La definición anterior tiene sentido debidoal axioma 2.4.18.

Se puede demostrar que la definición anterior no depende de cuál sea el conjunto Usiempre que cumpla con las propiedades. A la unión de A y B se le denota por

AYB

y es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A ó a B.

2.4.20. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Definimos la intersección de A y B comoel conjunto

tx P AYB : x P A y x P Buel cual se denota por

AXBy es el conjunto de todos los objetos que son elementos tanto de A como de B.

Definamos ahora la resta de dos conjuntos.

2.4.21. Definiciones y notaciones. Sean A y B dos conjunto. Definimos la resta de Acon B, denotada AzB, como

AzB :“ tx P A : x R Bu.El anterior es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B.Así mismo, definimos la diferencia simétrica de A y B como el conjunto

A4B :“ pAzBq Y pBzAq.

El anterior es el conjunto de todos los elementos de AYB que no están en AXB.2.4.22. Axioma. Supongamos que p y q son predicados. Si ppxq es verdadera para algún xy además ppxq ùñ qpxq, entonces qpxq es verdadera para algún x.2.4.23. Definición. Decimos que un conjunto A no tiene elementos si dado cualquierobjeto a, se tiene que a R A.

A continuación enunciaremos nuestro primer teorema el cual afirma la existencia de con-juntos sin elementos.

2.4.24. Teorema. Existe un conjunto que no tiene elementos.

Demostración. Haremos la demostración detallada y en varios pasos. Pondremos entreparéntesis la justificación de cada paso.

2.4. Predicados 23

a) Sea B un conjunto. (Axioma de existencia de conjuntos 2.4.15).

b) Sea a un objeto. (Como los conjuntos son objetos, entonces por a) y por el axioma2.4.22, podemos hablar de la existencia de objetos).

c) a R BzB. (Si a P BzB, entonces a P B y a R B; pero alguna de las proposiciones a P Bó a R B es falsa puesto que una es la negación de la otra, por lo tanto se concluyea R BzB por reducción a lo absurdo).

d) BzB no tiene elementos. (Paso c) y significado o definición de no tener elementos). ‚

2.4.25. Teorema. Existe solamente un conjunto que no tiene elementos.

Demostración. Por el teorema 2.4.24 existe al menos un conjunto que no tiene elementos.Sean A y B conjuntos que no tienen elementos. Como A y B no tienen elementos, entonceslas proposiciones x P A y x P B son falsas, por lo cual x P A ùñ x P B y ademásx P B ùñ x P A, es decir A Ă B y B Ă A, y de acuerdo al axioma de igualdad de conjuntos2.4.14 concluimos que A “ B. ‚

2.4.26. Definiciones. Al único conjunto que no tiene elementos se le llama conjunto vacío.Al conjunto vacío se le denota por ∅ ó por tu. Se dice que los conjuntos A y B son disjuntoso ajenos si su intersección es el conjunto vacío, es decir si no tienen elementos en común.Cuando la intersección de A y B no es el conjunto vacío, decimos que estos conjuntos seintersecan.

Bernard Russell

1872-1970

Podríamos preguntarnos sobre la existenciade un «superconjunto» S, es decir un conjun-to S al cual pertenezcan todos los objetos, enparticular todos los conjuntos. Tal pregunta sepuede responder por medio del planteamiento si-guiente conocido como paradoja de Russell,en honor del matemático británico Bernard Rus-sell quien lo planteo por primera vez en 1901:«Suponiendo la existencia de tal conjunto S. SeaA “ tx P S : x R xu y preguntémonos ¿A P A?Si la respuesta es sí, entonces A R A, lo cual esuna contradicción (estamos suponiendo que S esun superconjunto, por lo que A debe pertenecera S). Si la respuesta es no, entonces A R A, por loque A es elemento de A, es decir A P A, tenien-do de nuevo una contradicción». La paradoja deRussell es similar a la del barbero que dice: «Enun pueblo hay un barbero (hombre) que afeitasolamente a todos los hombres del pueblo que no se afeitan ellos mismos. ¿Quién afeita albarbero?»

El razonamiento anterior nos lleva a que no es posible la existencia de un conjunto S alcual pertenezcan absolutamente todos los conjuntos y menos al cual pertenezcan todos los

24 2.4. Predicados

objetos pues el suponer la existencia de tal conjunto nos lleva a contradicciones. El axiomasiguiente evita la existencia de un conjunto S en el cual S P S.2.4.27. Axioma. Si A es un conjunto y B Ă A, entonces A R B. En particular A R A.

El axioma 2.4.27 afirma que ningún conjunto es elemento de sí mismo. Por ejemplo, si Aes el conjunto de caballos en la Tierra, entonces cualquier elemento de A es un caballo, peroel conjunto de todos los caballos no es un caballo, por lo que A R A. Tomemos otro ejemplo.Si N es el conjunto de los números naturales, entonces N R N pues N no es un número natural,N no es el 1, ni el 2, ni el 3, ni ningún otro número natural. La naturaleza del axioma 2.4.27no es de lo que está permitido hacer con los conjuntos, sino de lo que no está permitido hacercon los conjuntos.

2.4.28. Teorema. Si A es un conjunto, existe un conjunto B tal que A está incluido pro-piamente en B.

Demostración. Supongamos que A es un conjunto y definamos al conjunto B como B “A Y tAu. Tenemos que A P B y A Ă B, pero por el axioma 2.4.27 tenemos que A R A, demanera que A ‰ B, por lo tanto A está incluido propiamente en B. ‚

Ejercicios.

1. De las siguientes proposiciones decir cuales son falsas y cuales son verdaderas (justificarlas respuestas).

a) 5 P t5, 6u. b) 5 “ t5u.c) t5u Ă t5, 6u. d) t5u P t5, 6u.e) t5u P t5, 6, t5, 6uu. f) t5u P t5, 6, t5uu.g) t5u Ă t5, 6, t5uu. h) t5u Ă t5, 6, t5, 6uu.i) t5, 6u P t5, 6, t5uu. j) t5, 6u P t5, 6, t5, 6uu.k) ∅ Ă ∅. l) t5, 6u “ t6, 5, 6, 6u.m) tu “ ttuu. n) ∅ P t5, 6u.ñ) ∅ Ă t5, 6u. o) t4, 5, 6u X t5, 6, 7, 8u “ t5, 6, 6, 5, 5u.p) t4, 5, 6u Y t5, 6, 7, 8u “ t5, 6, 7, 8u. q) ∅ P ∅.

2. Expresar los siguientes conjuntos por listado de sus elementos.

a) t4, 5, 6, 7u X t5, 6, t5, 6uu.b) t4, 5, 6, 7u Y t5, 6, t5, 6uu.c) t4, 5, 6, 7u X tt5, 6uu.d) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó x2 “ 49u.e) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó x2 “ 15u.f) tx : x es un número real tal que 2x “ 8 ó 5x “ 18u.g) tx : x es un número entero tal que 2x “ 8 ó 5x “ 18u.

2.4. Predicados 25

h) tx : x es un número real tal que 2x “ 8 y 5x “ 18u.i) {Pedro, Rodrigo, Ramón, Silvia, Poncio, Rosa, Pamela}XA, dondeA es el conjunto

de todas las personas cuyo nombre comienza con la letra «P».

26 2.5. Los cuantificadores universal y existencial

2.5. Los cuantificadores universal y existencial

«Et remarquant que cette vérité: je pen-se, donc je suis, était si ferme et si assurée,que toutes les plus extravagantes supposi-tions des sceptiques n’étaient pas capablesde l’ébranler, je jugeai que je pouvais la re-cevoir sans scrupule pour le premier prin-cipe de la philosophie que je cherchais.»

«Y notando que esta verdad: “yo pienso, por lotanto soy” era tan firme y cierta, que no podíanquebrantarla ni las más extravagantes suposi-ciones de los escépticos, juzgué que podía ad-mitirla, sin escrúpulo alguno, como el primerprincipio de la filosofía que estaba buscando»(Renato Cartesio, fragmento de Discurso delMétodo, 1637).

2.5.1. Notación. Sea p un predicado, la expresión

@x, ppxq

es la proposición que dice que para cualquier x la proposición ppxq es verdadera y se lee «paratodo x, ppxq».

Como ejemplo de un predicado p que haga que la proposición @x, ppxq sea siempre ver-dadera tenemos al predicado p en el cual ppxq significa x “ x. En este caso la expresión«@x, x “ x» es una proposición verdadera.

Si se quiere ser más específico en cuanto al dominio de la variable x se escribe

@x P A, ppxq

lo cual significa@x, x P A ùñ ppxq.

Interpretamos el significado de @x P A, ppxq como la proposición que indica que para cualquierx perteneciente a A la proposición ppxq es verdadera y se lee «para todo x en A, ppxq».

Ahora, la expresiónDx, ppxq

es la proposición que dice que existe al menos un x tal que ppxq es verdadera y se lee «existeun x tal que ppxq». En este caso la expresión existe un x se refiere a que existe un x en algúnconjunto dado. Si se quiere ser más específico se escribe

Dx P A, ppxq

lo cual significaDx, x P A y ppxq

y es la proposición que indica que existe al menos un x perteneciente al conjunto A tal queppxq es verdadera y se lee «existe un x en A tal que ppxq».2.5.2. Definición. Al símbolo @ se le llama cuantificador universal y al símbolo D se lellama cuantificador existencial.

2.5.3. Axioma. Si para todo x, las proposiciones ppxq y qpxq son proposiciones equivalentes;entonces

Dx, ppxq ðñ Dx, qpxq

2.5. Los cuantificadores universal y existencial 27

y@x, ppxq ðñ @x, qpxq.

2.5.4. Axioma (leyes de de Morgan). Si p es un predicado, entonces

p @x, ppxqq ðñ Dx, ppxq

yp Dx, ppxqq ðñ @x, ppxq.

El axioma anterior expresa que el hecho de negar que una proposición ppxq sea válidapara todo x es equivalente a decir que hay al menos un x para el cual la proposición ppxq nose cumple. También expresa que el hecho de que no exista un x para el cual la proposiciónppxq sea verdadera, equivale a decir que todo x hace la proposición ppxq falsa o que ningún xhace que se cumpla ppxq (decir que ppxq no se cumple significa lo mismo que decir que ppxqes verdadera).

Siempre que tengamos una fórmula de la forma ppxq (donde p es un predicado y x unavariable) querremos decir @x, ppxq.

Los axiomas anteriores se pueden utilizar cuando tengamos cuantificadores múltiples, porejemplo una proposición de la forma @x, Dy, ppxq ùñ qpyq es equivalente a Dx, @y, (ppxqy qpyq), pues negar que ppxq implica qpyq equivale a afirmar que se cumple ppxq y no secumple qpyq.2.5.5. Ejemplo. Negar que para todo número real positivo x existe un número natural Ntal que N ą x equivale a decir que existe algún número real positivo x tal que para todonúmero natural N se cumpla que N ĺ x.

Aunque pueda no gustarnos, en español la frase «no existe ningún x» significa «no existealgún x», «ningún x» o simplemente «no existe x», es decir la expresión «no existe ningún»no es una doble negación, sino más bien una confirmación de una negación. Algo similarsucede con expresiones como «no tienes nada» que significa «no tienes algo».

2.5.6. Ejemplo. Una forma de negar la frase «todos los peruanos tienen un hermano que esmédico» es con la frase «algún peruano no tiene un hermano que es médico» o con la frase«existe algún peruano tal que ninguno de sus hermanos sea médico».

28 2.6. El recorrido de una función

2.6. El recorrido de una función

2.6.1. Definición. Sea f : A ÝÑ B. Definimos el recorrido de f como

ty P B : Dx P A, y “ fpxqu .

Al recorrido de f lo denotaremos por Rpfq.Observemos que el recorrido de f es un subconjunto del conjunto B.

2.6.2. Ejemplo. El recorrido de la función f : x ÞÑ x2 ` 1 es Rpfq “ ty : y ľ 1u.2.6.3. Ejemplo. El recorrido de la función

g : t1, 2, 3, 4, 5u ÝÑnÞÑ2n´1

t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u

es Rpgq “ t2 ¨ 1´ 1, 2 ¨ 2´ 1, 2 ¨ 3´ 1, 2 ¨ 4´ 1, 2 ¨ 5´ 1u “ t1, 3, 5, 7, 9u.2.6.4. Axioma. Si f es una función, entonces f no pertenece ni al dominio ni al recorridode f .

El axioma anterior es de la misma naturaleza del que afirma que un conjunto no pertenecea sí mismo y del hecho de que una proposición no hable de sí misma.

2.6.5. Axioma. Sea Λ un conjunto tal que para todo elemento λ de Λ existe un único objetodenotado por aλ (es decir para todo λ P Λ existe un único y tal que y “ aλ). Existe unaúnica función τ cuyo dominio es Λ tal que τ : λ ÞÑ aλ.

Para evitar confusiones siempre será sano que un mismo símbolo no represente más de unobjeto aunque muy frecuentemente un mismo objeto se representará con diferentes símbolos.

2.6.6. Notación. Si tenemos que el dominio de una función τ : λ ÞÑ aλ es Λ, entonces laexpresión taλ : λ P Au representará al conjunto tx P Rpτq : existe un λ P Λ X A tal quex “ aλu. Cuando por alguna razón se sobreentienda cual es el conjunto A al cual pertenecenlos λ, entonces podremos escribir simplemente taλu en lugar de taλ : λ P Au.2.6.7. Teorema de funciones seccionadas. Sean f : D ÝÑ B y g : C ÝÑ B funcionestales que si e P D X C, entonces fpeq “ gpeq. Existe una única función h : D Y C ÝÑ B talque si d P D, entonces hpdq “ fpdq y si c P C, entonces hpcq “ gpcq.Demostración. Sea Λ “ D Y C, aλ “ fpλq para λ P D y aλ “ gpλq para λ P ΛzD “ CzD.Por el axioma 2.6.5 existe una única función h : Λ ÝÑ B tal que hpλq “ aλ. Ahora, si d P D,entonces hpdq “ ad “ fpdq. Si c P C, tenemos que c P CzD ó c P C X D; en el primer casohpcq “ ac “ gpcq; en el segundo caso hpcq “ ac “ fpcq “ gpcq. Por lo tanto la función hsatisface las condiciones del teorema. Para ver que h es la única función que satisface lascondiciones del teorema tomemos una función k : D Y C ÝÑ B tal que si d P D, entonceskpdq “ fpdq y si c P C, entonces kpcq “ gpcq. Si d P D, entonces kpdq “ fpdq “ hpdq y sic P C, entonces kpcq “ gpcq “ hpcq, por lo que k “ h, es decir h es la única función quesatisface las condiciones del teorema. ‚

2.6.8. Ejemplo. Sean f : tx : x ľ 0u ÝÑ R y g : tx : x ĺ 0u ÝÑ R tales que fpxq “ xy gpxq “ ´x. La intersección de Dompfq “ tx : x ľ 0u con Dompgq “ tx : x ĺ 0u es {0}

2.6. El recorrido de una función 29

y fp0q “ gp0q, por lo que de acuerdo al axioma anterior existe una función h : R ÝÑ Rtal que si x ľ 0, entonces hpxq “ x y si x ĺ 0, entonces hpxq “ ´x. El lector que tengaconocimientos básicos de matemáticas podrá darse cuenta que hpxq “ |x|, el valor absolutode x.

2.6.9. Notación. Sean f , g y h como las dadas en el teorema de funciones seccionadas, yademás p y q predicados cuyos conjuntos solución son A y B respectivamente. Denotaremoshpxq como:

hpxq “

$

&

%

fpxq, si ppxq

gpxq, si qpxqo bien

hpxq “

$

&

%

fpxq, si x P A

gpxq, si x P B.En la descripción anterior, se acostumbra decir que la función h es una función seccio-

nada.

2.6.10. Ejemplo. La función h del ejemplo 2.6.8 está dada por

hpxq “ |x| “

$

&

%

x, si x ľ 0

´x, si x ĺ 0.

2.6.11. Definición. Si f : A ÝÑ C y B Ă A, definimos la restricción de f al conjunto Bcomo la función denotada por f |B y definida por

f |B : B ÝÑx ÞÑfpxq

C.

30 2.7. Uniones e intersecciones arbitrarias

2.7. Uniones e intersecciones arbitrariasEn esta sección se usará frecuentemente el concepto de familia de conjuntos.

2.7.1. Definición. Se acostumbra llamar familia o colección a los conjuntos cuyos elemen-tos son conjuntos. Decimos que una familia de conjuntos es disjunta o que sus elementos sonconjuntos disjuntos si dos conjuntos diferentes cualesquiera de la familia son disjuntos. Esdecir, los elementos de una familia de conjuntos F son disjuntos si A P F, B P F y A ‰ Bimplica que AXB “ ∅.

El siguiente axioma es una generalización del axioma 2.4.18.

2.7.2. Axioma. Sea F una familia de conjuntos. Existe un conjunto U tal que si A P F ya P A, entonces a P U .

2.7.3. Definición. Sea F una familia de conjuntos y U como en el axioma anterior. Definimosla unión de todos los conjuntos de F como

ta P U : DA P F, a P Au ;

este conjunto se denota comoď

APFA o como

ď

F.

Es decir,Ť

APFA es el conjunto de todos los objetos que pertenecen al menos a un elementode la familia F.

2.7.4. Definición. Sea F una familia de conjuntos. Definimos la intersección de todos losconjuntos de F como el conjunto

ta : @A P F, a P Au ;

este conjunto se denota comoč

APFA o como

č

F.

Veamos otras notaciones para uniones e intersecciones arbitrarias. Supongamos que Λ es unconjunto, F una familia de conjuntos y ϕ : Λ ÝÑ

λ ÞÑAλF, tomaremos las siguientes notaciones:

ď

λPΛAλ :“

ď

APRpϕqA

yč

λPΛAλ :“

č

APRpϕqA,

donde Rpϕq es el recorrido de ϕ.En la notación anterior a los elementos λ de Λ se les llama índices y al conjunto Λ se le

llama conjunto de índices. Observemos que

2.7. Uniones e intersecciones arbitrarias 31

ď

λPΛAλ “ tx : Dλ P Λ, x P Aλu

yč

λPΛAλ “ tx : @λ P Λ, x P Aλu .

Cuando q es un predicado cuyo conjunto universo es Λ, acordaremos las siguientes nota-ciones:

ď

qpλqAλ :“ tx : Dλ P Λ, x P Aλ y qpxqu

yč

qpλqAλ :“ tx : @λ P Λ, x P Aλ y qpxqu .

2.7.5. Axioma de elección. Sea F una familia de conjuntos no vacíos. Existe una función

ψ : F ÝÑď

APFA

tal que @A P F, se tiene que ψpAq P A.La función ψ dada en el axioma de elección asigna a cada conjunto de la clase F un

«representante» a “ ψpAq en A. Por ejemplo, si nuestra familia de conjuntos está formadapor los grupos de alumnos de una escuela, de cada grupo se puede escoger un alumno de talmanera que cada grupo tenga un único representante. Si algún alumno pertenece a variosgrupos es posible que sea representante de uno, varios o ningún grupo.

Una forma alternativa de interpretar las leyes de de Morgan es a través del siguienteteorema cuya demostración se sigue precisamente de las leyes de de Morgan, de la notaciónestablecida en esta sección y de la definición que hemos dado para la unión e intersección deuna familia de conjuntos.

2.7.6. Teorema. Si tAλ : λ P Λu es una colección de conjuntos incluidos en un conjunto U ,entonces

Uzď

λPΛAλ “

č

λPΛpUzAλq y Uz

č

λPΛAλ “

ď

λPΛpUzAλq.

2.7.7. Definición. A los axiomas que se han enunciado hasta este momento, es decir a los18 axiomas de este capítulo, los llamaremos axiomas básicos.

32 2.8. Notaciones de uso común

2.8. Notaciones de uso comúnEn esta breve sección daremos algunos símbolos y notaciones que generalmente son usadas

para abreviar la escritura, algunos de ellos son más usados en los apuntes de libreta y en laescritura de pizarrón, otras en cambio llegan a usarse en textos. El uso de esta terminologíase suele usar según el estilo y criterio de quien escribe.

El símbolo ðù significa «es necesario para», por ejemplo pðù q se lee «p es necesariopara q», es decir pðù q significa q ùñ p.

El símbolo 6 representa la frase «por lo tanto».

El símbolo « significa aproximadamente igual, por ejemplo a « b se lee «a es aproxi-madamente igual a b».

El símbolo # significa la palabra «número».

El símbolo ąą significa muy grande, por ejemplo a ąą b se lee «a es muy grandecomparado con b».

El símbolo % se lee «por ciento» y significa 1100

.

El símbolo 7 representa la frase «puesto que» o «como». Este símbolo es poco usado.

La abreviación de origen latín i.e. significa «es decir».

La abreviación de origen latín cf. significa «comparar».

El símbolo :“ significa «igual por definición» y se emplea para definir algo medianteuna igualdad, por ejemplo a :“ b significa que se está definiendo a de tal manera quea “ b.

El símbolo ‚ lo usaremos y de hecho lo hemos usado para indicar el fin de una demos-tración.

Para indicar que a P A^ b P A se puede escribir simplemente a, b P A.

Cuando no se especifique, ppaq ùñ qpbq significará @a, @b, ppaq ùñ qpbq.

Los símbolos N, Z, Q, R, P y C representan los conjuntos de los números naturales, ente-ros, racionales, reales, positivos y complejos respectivamente; los cuales se estableceránposteriormente; aunque a veces se les representa por N, Z, Q, R, P y C.

Capítulo 3

ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS

3.1. Axiomas de PeanoAl conjunto N que se describirá en esta sección se le llama conjunto de números natu-

rales.Los axiomas dados en esta sección se conocen como axiomas de Peano y describen al

conjunto N de los números naturales. Los 5 axiomas de Peano se enuncian a continuación.

3.1.1. Axiomas de Peano. Existe un conjunto N que satisface las siguientes proposiciones:

a) Existe un objeto, denotado por 1, tal que 1 P N.

b) Existe una función que a cada número natural n le asigna otro número natural, denotadon` 1; es decir la función es tal que n ÞÑ n` 1.

c) Si n P N, entonces n` 1 ‰ 1.

d) Si n P N, m P N y n` 1 “ m` 1, entonces n “ m.

e) Si M es un subconjunto de N que cumple con las siguientes propiedades:

I) 1 PM ;II) n PM ùñ n` 1 PM , para todo n P N;

entonces N “M .

3.1.2. Definiciones. Al número 1 dado en el axioma 3.1.1 a) se le llama uno.Al número n` 1 dado en el axioma 3.1.1 b) se le llama sucesor o siguiente de n.El axioma 3.1.1 c) establece que 1 no es sucesor de ningún número natural.Decimos que un número natural n es el antecesor o anterior de n` 1. Observemos que

el axioma 3.1.1 d) establece que el antecesor de un número natural, si existe, es único, oequivalentemente, que dos números naturales diferentes tienen diferente sucesor.

Al axioma 3.1.1 e) se le conoce como principio de inducción matemática o comoprincipio de recurrencia. Tratemos, no de demostrar, pero sí de hacer plausible el principiode inducción matemática. Supongamos que M es un conjunto que satisface I) y II). Debido

33

34 3.1. Axiomas de Peano

a I) tenemos que 1 PM ; debido a II) y a que 1 PM , tenemos que 2 :“ 1` 1 PM ; debido denuevo a II) y a que 2 PM , tenemos que 3 :“ 2` 1 PM . Siguiendo el mismo razonamiento sellegará a que 4 :“ 3` 1 PM , 5 :“ 4` 1 PM , 6 :“ 5` 1 PM , etc., etc. Así, si n P N despuésde un número finito de pasos (a saber, después de n pasos) habremos concluido que n P M .Es decir que si n P N, entonces n P M ; lo cual significa que N Ă M , pero como M Ă N,entonces N “M .

El principio de inducción matemática nos da un método, llamado método de inducciónmatemática, para deducir que algunas proposiciones ppnq se cumplen, para todo n P N. Elmétodo consiste en demostrar que pp1q es verdadera y en demostrar que @n P N, ppnq ùñppn ` 1q. La validez del método se deduce del principio de inducción matemática tomandoM como conjunto solución de p, es decir tomando M “ tn P N : ppnqu y observando quepp1q equivale a decir 1 PM , ppnq ùñ ppn` 1q equivale a decir n PM ùñ n` 1 PM y ppnqequivale a decir n PM .

El siguiente es un teorema que se demostrará usando el método de inducción matemática.

3.1.3. Teorema. Si n es un número natural, entonces n` 1 ‰ n.Demostración. Debido al axioma 3.1.1 c) tenemos que 1 ` 1 ‰ 1, es decir el resultado esválido para n “ 1. Veamos que si el resultado es verdadero para n, también lo es para n` 1.Supongamos que n` 1 ‰ n, por el axioma 3.1.1 d) tenemos que pn` 1q ` 1 ‰ n` 1 (de otromodo n` 1 sería igual a n) con lo que por inducción matemática se tiene que n` 1 ‰ n paratodo n P N. ‚

3.2. Parejas ordenadas 35

3.2. Parejas ordenadas

3.2.1. Definición. La pareja ordenada pa, bq es la función f : t1, 2u ÝÑ ta, bu tal quefp1q “ a y fp2q “ b. Al objeto a se le llama primera componente y al objeto b se le llamasegunda componente de la pareja ordenada pa, bq.

Observemos que por el axioma de igualdad de funciones, dos parejas ordenadas pa, bq ypc, dq son iguales si y sólo si a “ c y b “ d. Así mismo, por el mismo axioma, podemosobservar que si a ‰ b, entonces pa, bq ‰ pb, aq; es decir, tiene importancia el orden en queaparece cada componente de la pareja. Enunciemos esto que acabamos de demostrar en elsiguiente teorema.

3.2.2. Teorema de caracterización de parejas ordenadas.

I) pa, bq “ pc, dq ðñ pa “ c y b “ dq.

II) a ‰ b ùñ pa, bq ‰ pb, aq.

3.2.3. Definición. Sean A y B dos conjuntos. Se define el producto cartesiano de A conB, denotado AˆB, como el conjunto

AˆB :“ tpa, bq : a P A y b P Bu.

3.2.4. Ejemplo. t1, 2, 3, 4u ˆ t1, 2u “ tp1, 1q, p1, 2q, p2, 1q, p2, 2q, p3, 1q, p3, 2q, p4, 1q, p4, 2qu.

1 2 3 4

1

2

Tomemos ahora otro ejemplo.

3.2.5. Ejemplo. Si R es el conjunto de números reales, entonces R ˆ R es el conjunto deparejas ordenadas de números reales, las cuales son coordenadas de algún punto en el plano.

3.2.6. Definición. La terna pa, b, cq se define como la función f : t1, 2, 3u ÝÑ ta, b, cu talque fp1q “ a, fp2q “ b y fp3q “ c.

Observemos que dos ternas pa, b, cq y px, y, zq son iguales si y sólo si a “ x, b “ y y c “ z.Ahora, si A, B y C son tres conjuntos, definimos A ˆ B ˆ C como el conjunto de ternaspa, b, cq tales que a P A, b P B y c P C. En el caso del conjunto RˆRˆR, podemos observar

36 3.2. Parejas ordenadas

que es el conjunto de ternas de números reales o el conjunto de coordenadas en el espacio detres dimensiones.

3.2.7. Definición. Una función f : A ˆ B ÝÑ C es una función que a cada pareja pa, bq PA ˆ B le asigna un único elemento c P C. A menudo a una función como la anterior sele llama función de dos variables puesto que el valor de fppa, bqq depende tanto de lavariable a P A como de la variable b P B, aunque estrictamente hablando f depende de lapareja pa, bq P AˆB. Para simplificar la notación, a la expresión fppa, bqq se le representarásimplemente por fpa, bq. Veamos algunos ejemplos.

3.2.8. Ejemplo. Sea f : R ˆ N ÝÑ R la función dada por fpx, nq “ xn, es decir la funciónf le asigna a cada pareja px, nq P Rˆ N el número x multiplicado por sí mismo n veces.

0

1

2

3

4

m1

2

3

4

d

0

20

40

60

80

100

F

0

1

2

3m

3.2.9. Ejemplo. La fuerza de atracción quela Tierra ejerce sobre un cuerpo de masam que está a una distancia d del centro dela Tierra está dada por una función F :PˆP ÝÑ P de la forma F pm, dq “ G ¨m{d2,donde G es un número llamado constantegravitacional y P es el conjunto de los nú-meros positivos. La fórmula anterior expre-sa el hecho de que la fuerza de atracción esproporcional a la masa e inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia. La si-guiente figura muestra el comportamiento de la función F en base a los valores de m yd.

3.2.10. Ejemplo. Supongamos que un fabricante produce dos tipos de artículos, A y B;tiene una cuota mínima de producción de dos artículos del tipo A y tres del tipo B, y tieneuna capacidad máxima de producción de cuatro artículos del tipo A y de cuatro del tipo B.El costo de producción de cada artículo del tipo A es de $1000 y del tipo B es de $2000.Supongamos que fpa, bq representa el costo total de producir a artículos del tipo A y b deltipo B. La función f está determinada por la siguiente correspondencia:

p2, 3q ÞÑ $8000, p3, 3q ÞÑ $9000, p4, 3q ÞÑ $10000,p2, 4q ÞÑ $10000, p3, 4q ÞÑ $11000, p4, 4q ÞÑ $12000.

El dominio de la función f es Dompfq “ tp2, 3q, p3, 3q, p4, 3q, p2, 4q, p3, 4q, p4, 4qu y el reco-rrido es Rpfq “ t$8000, $9000, $10000, $11000, $12000u. Observemos que el dominio tiene 6elementos mientras que el recorrido tiene 5. La función de costo de producción también puedeser representada mediante una tabla de la siguiente forma.

3.2. Parejas ordenadas 37

a = número de b = número de fpa, bq = costoartículos del tipo A artículos del tipo B de producción2 3 $ 08 0002 4 $ 10 0003 3 $ 09 0003 4 $ 11 0004 3 $ 10 0004 4 $ 12 000

38 3.2. Parejas ordenadas

3.2.11. Ejemplo. El volumen de un cilindrode base circular de radio r y de altura h estádescrito por la función V de dos variables dela siguiente forma V ph, rq “ πr2h, donde π esun número fijo.

0

1

2

3

4

r

0

0.5

1

1.5

2

h

0

25

50

75

100

V

0

1

2

3r

3.2.12. Ejemplo. Sea A el conjunto aspirantes para ser contratados como actores en unapelícula. Sea c el color de piel y h la altura del aspirante. Un aspirante será contratadosolamente si el color de piel y su estatura satisfacen una condición requerida. Tal condiciónpuede ser expresada mediante una función f : CˆH ÝÑ taceptado, rechazadou, donde C esel conjunto de colores y H el conjunto de alturas posibles de personas. Es decir, la función fasigna a cada pareja ordenada pc, hq el valor fpc, hq que puede ser «aceptado» o «rechazado».La función f depende del criterio que se tome para la elección de los actores.

3.3. Relaciones 39

3.3. Relaciones

3.3.1. Definición. Una relación binaria o simplemente relación „ de un conjunto A enun conjunto B es un predicado cuyo conjunto universo es AˆB, es decir el conjunto universoes

AˆB “ tpa, bq : a P A y b P Bu.

3.3.2. Notación. Si „ es una relación de A en B, a P A y b P B; entonces a la proposición„ pa, bq también se le denotará como

a „ b.

Como ejemplos de relaciones de R en R tenemos “, ą, ă, ľ, ĺ, etc., siempre que eluniverso del discurso quede sobreentendido que es RˆR. Si A es cualquier conjunto, entoncesP es una relación de A en ppAq (donde ppAq es el conjunto de todos los subconjuntos de A),cuando el universo del discurso de P es Aˆ ppAq. El símbolo Ă nos da una relación de ppAqen ppAq si consideramos al universo del discurso de Ă como ppAq ˆ ppAq.

Decimos que a está relacionada con b mediante la relación „ cuando a „ b es unaproposición verdadera.

3.3.3. Definición. Sea „ una relación de A en B. Al conjunto

Grp„q :“ tpa, bq : a „ bu

se le llama la gráfica de „. Es decir, la gráfica de „ es el conjunto solución de „.Observemos que la gráfica de „ dada en la definición anterior es un subconjunto de AˆB.

3.3.4. Notación. Cuando A y B sean dos conjuntos y R Ă AˆB, la expresión aRb significaráque pa, bq P R, de esta forma el conjunto R «se convierte» en una relación de A en B cuyagráfica es el mismo conjunto R. De esta manera, por abuso si se quiere ver así, se empleaindistintamente el significado de relación y de gráfica de una relación.

3.3.5. Definición. Sea f : A ÝÑ B una función. Al conjunto

Grpfq :“ tpa, bq P AˆB : b “ fpaqu

se le llama la gráfica de f .

Observemos que dos funciones son iguales si y sólo si tienen la misma gráfica. Es decir,una función está determinada por su gráfica.

3.3.6. Definición. Si una relación „ es tal que su gráfica es la gráfica de una función f ,decimos que f está determinada por „ o que „ determina a la función f . Tambiéndecimos que la gráfica de f determina a f .

Observemos que toda función está determinada por alguna relación. (¡Verificarlo!)

3.3.7. Teorema. Si „ es una relación de A en B tal que para cualesquiera tres objetos a, b,c, con a