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Retas e planos Dados uma reta r e um plano π no espaço, temos as seguintes possibilidades: MA620 - Aula 2 – p. 1/?

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Retas e planos

Dados uma reta r e um plano π no espaço, temos asseguintes possibilidades:

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Retas e planos

Dados uma reta r e um plano π no espaço, temos asseguintes possibilidades:

se r e π se intersectam em dois pontos, então a retaestá contida no plano;

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Retas e planos

Dados uma reta r e um plano π no espaço, temos asseguintes possibilidades:

se r e π se intersectam em dois pontos, então a retaestá contida no plano;

se r e π possuem apenas um ponto em comum, entãodizemos que a reta é secante ao plano;

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Retas e planos

Dados uma reta r e um plano π no espaço, temos asseguintes possibilidades:

se r e π se intersectam em dois pontos, então a retaestá contida no plano;

se r e π possuem apenas um ponto em comum, entãodizemos que a reta é secante ao plano;

se r e π não possuem pontos em comum, então r e π

são paralelos.

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Teoremas I

Teorema: Seja π um plano e r uma reta não contida em π.π e r são paralelos se e somente se existe uma outra reta s

contida paralela a r e contida em π.

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Exercícios I

Sejam r e s duas retas reversas. Mostre que existe umplano contendo r e paralelo a s.

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Exercícios I

Sejam r e s duas retas reversas. Mostre que existe umplano contendo r e paralelo a s.

Mostre que, dadas duas retas não paralelas r e s e umponto P exterior a ambas, existe um plano paralelo a r e s econtendo P .

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Posição relativas de planos

Dados dois planos distintos π e τ no espaço, temos asseguintes possibilidades:

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Posição relativas de planos

Dados dois planos distintos π e τ no espaço, temos asseguintes possibilidades:

se π e τ possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, então dizemos que os planos são secantes;

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Posição relativas de planos

Dados dois planos distintos π e τ no espaço, temos asseguintes possibilidades:

se π e τ possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, então dizemos que os planos são secantes;

se π e τ não possuem pontos em comum, então r e π

são paralelos.

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Posição relativas de planos

Dados dois planos distintos π e τ no espaço, temos asseguintes possibilidades:

se π e τ possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, então dizemos que os planos são secantes;

se π e τ não possuem pontos em comum, então r e π

são paralelos.

Teorema: Se π e τ são paralelos, então π é paralelo atodas as retas contidas em τ , e vice-versa.

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Posição relativas de planos

Dados dois planos distintos π e τ no espaço, temos asseguintes possibilidades:

se π e τ possuem um ponto (e portanto uma reta) emcomum, então dizemos que os planos são secantes;

se π e τ não possuem pontos em comum, então r e π

são paralelos.

Teorema: Se π e τ são paralelos, então π é paralelo atodas as retas contidas em τ , e vice-versa.

Teorema: Se π é paralelo a duas retas concorrentescontidas em τ , então π e τ são paralelos.

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Teoremas II

Teorema: Seja π um plano e seja P um ponto exterior a π.Então existe um e apenas um plano τ paralelo a π.

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Teoremas II

Teorema: Seja π um plano e seja P um ponto exterior a π.Então existe um e apenas um plano τ paralelo a π.

Teorema: Se uma reta é secante a um plano, então serásecante a todo plano paralelo a este.

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Teoremas II

Teorema: Seja π um plano e seja P um ponto exterior a π.Então existe um e apenas um plano τ paralelo a π.

Teorema: Se uma reta é secante a um plano, então serásecante a todo plano paralelo a este.

Teorema: Se um plano é secante a uma reta, então serásecante a qualquer reta paralela a ela.

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Teoremas II

Teorema: Seja π um plano e seja P um ponto exterior a π.Então existe um e apenas um plano τ paralelo a π.

Teorema: Se uma reta é secante a um plano, então serásecante a todo plano paralelo a este.

Teorema: Se um plano é secante a uma reta, então serásecante a qualquer reta paralela a ela.

Teorema: Sejam π e τ dois planos secantes, e seja r a retacontida em ambos os planos. Então π será secante aqualquer plano paralelo a τ , e a interseção será uma retaparalela a r.

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Exercícios II

Mostre que se uma reta é paralela a dois planos secantes,então ela é paralela à reta de interseção dos dois planos.

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Exercícios II

Mostre que se uma reta é paralela a dois planos secantes,então ela é paralela à reta de interseção dos dois planos.

Sejam r e s duas retas reversas. Mostre que existemplanos paralelos π e τ tais que r está contida em π e s estácontida em τ .

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Posições relativas de três planos

Sejam α, β e γ três planos distintos. As suas possíveisposições relativas são:

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Posições relativas de três planos

Sejam α, β e γ três planos distintos. As suas possíveisposições relativas são:

os três planos são paralelos;

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Posições relativas de três planos

Sejam α, β e γ três planos distintos. As suas possíveisposições relativas são:

os três planos são paralelos;

dois deles são paralelos, e o terceiro é secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

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Posições relativas de três planos

Sejam α, β e γ três planos distintos. As suas possíveisposições relativas são:

os três planos são paralelos;

dois deles são paralelos, e o terceiro é secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

os três planos possuem uma reta comum;

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Posições relativas de três planos

Sejam α, β e γ três planos distintos. As suas possíveisposições relativas são:

os três planos são paralelos;

dois deles são paralelos, e o terceiro é secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

os três planos possuem uma reta comum;

os três planos se cortam dois a dois em três retasparalelas;

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Posições relativas de três planos

Sejam α, β e γ três planos distintos. As suas possíveisposições relativas são:

os três planos são paralelos;

dois deles são paralelos, e o terceiro é secante aambos, cortando-os em retas paralelas.

os três planos possuem uma reta comum;

os três planos se cortam dois a dois em três retasparalelas;

os três planos possuem um e apenas um ponto emcomum, cortando-se dois a dois segundo três retasconcorrentes.

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Prismas I

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

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Prismas I

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polígono.

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Prismas I

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polígono.

Seja π o plano contendo o ponto B1 que é paralelo aoplano contendo P.

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Prismas I

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polígono.

Seja π o plano contendo o ponto B1 que é paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

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Prismas I

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polígono.

Seja π o plano contendo o ponto B1 que é paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

Trace retas paralelas a r passando pelos demais vérticesA2, . . . , An. Elas cortarão o plano π em pontos B2, . . . , Bn.

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Prismas I

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polígono.

Seja π o plano contendo o ponto B1 que é paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

Trace retas paralelas a r passando pelos demais vérticesA2, . . . , An. Elas cortarão o plano π em pontos B2, . . . , Bn.

Os pontos B1, . . . , Bn são coplanares, e portanto definemum polígono P ′ congruente a P no plano π.

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Prismas I

Seja P o polígono plano definido por pontos coplanaresA1, A2, . . . , An.

Tome B1 um ponto exterior ao plano do polígono.

Seja π o plano contendo o ponto B1 que é paralelo aoplano contendo P.

Seja r a reta definida pelos pontos A1 e B1.

Trace retas paralelas a r passando pelos demais vérticesA2, . . . , An. Elas cortarão o plano π em pontos B2, . . . , Bn.

Os pontos B1, . . . , Bn são coplanares, e portanto definemum polígono P ′ congruente a P no plano π.

Note que os pontos A1, A2, B1, B2 são coplanares, eportanto definem um paralelogramo.

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Prismas II

A região do espaço limitada pelos polígonos P e P ′ e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc é chamada de prisma debases P e P ′.

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Prismas II

A região do espaço limitada pelos polígonos P e P ′ e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc é chamada de prisma debases P e P ′.

Os segmentos A1B1, . . . , AnBn são chamados arestaslaterais.

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Prismas II

A região do espaço limitada pelos polígonos P e P ′ e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc é chamada de prisma debases P e P ′.

Os segmentos A1B1, . . . , AnBn são chamados arestaslaterais.

Os paralelogramos A1B1B2A2 etc são chamados faceslaterais.

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Prismas II

A região do espaço limitada pelos polígonos P e P ′ e pelosparalelogramos A1B1B2A2 etc é chamada de prisma debases P e P ′.

Os segmentos A1B1, . . . , AnBn são chamados arestaslaterais.

Os paralelogramos A1B1B2A2 etc são chamados faceslaterais.

Um prisma com base quadrangular também é chamado deparalelepípedo.

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Exercício III

Seja ABCD um tetraedro arbitrário e tome um ponto P naaresta AB. Considere o plano passando por P e paraleloàs arestas AC e BD. Mostre que este plano corta otetraedro segundo um paralelogramo.

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