Planos no Espaço...Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de 2018 2/31 Equação...

Planos no Espaço

Laura Goulart

UESB

28 de Agosto de 2018

Laura Goulart (UESB) Planos no Espaço 28 de Agosto de 2018 1 / 31

Equação Vetorial do Plano

Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A,B e Cnão colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores ~ABe ~AC são li.

Portanto, um ponto P ∈ π sse os vetores ~AB, ~AC e ~AP são coplanares,ie, eles são ld.Logo, existem parâmetros t, h tais que ~AP = t · ~AB + h · ~AC .Portanto,

π : P = A+ t ~AB + h ~AC (1)



Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A,B e Cnão colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores ~ABe ~AC são li.Portanto, um ponto P ∈ π sse os vetores ~AB, ~AC e ~AP são coplanares,ie, eles são ld.

Logo, existem parâmetros t, h tais que ~AP = t · ~AB + h · ~AC .Portanto,

π : P = A+ t ~AB + h ~AC (1)



Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A,B e Cnão colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores ~ABe ~AC são li.Portanto, um ponto P ∈ π sse os vetores ~AB, ~AC e ~AP são coplanares,ie, eles são ld.Logo, existem parâmetros t, h tais que ~AP = t · ~AB + h · ~AC .

Portanto,

π : P = A+ t ~AB + h ~AC (1)



Um dos axiomas de Geometria Espacial nos diz que três pontos A,B e Cnão colineares determinam um único plano π. É claro que os vetores ~ABe ~AC são li.Portanto, um ponto P ∈ π sse os vetores ~AB, ~AC e ~AP são coplanares,ie, eles são ld.Logo, existem parâmetros t, h tais que ~AP = t · ~AB + h · ~AC .Portanto,

π : P = A+ t ~AB + h ~AC (1)


Observações

1) Os vetores ~AB e ~AC são chamados de vetores diretores

do plano π e a equação (1) é chamada de equação vetorial

do plano.

2) Não faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano. Defato, um plano é um conjunto de pontos e por outro lado, osvetores são "livres", ie, podem ser transladados para qualqueroutro ponto que não pertence ao plano. O correto é dizer queum vetor é paralelo a um plano.


3) É fundamental na determinação da equação vetorial de umplano conhecermos um ponto deste plano e dois vetores l.i. eparalelos ao plano.


Exemplo

Dê uma equação vetorial do plano determinado pelos pontosA(1, 1, 0);B(−1, 2, 1) e C (3, 2, 1).


Equação Paramétrica do Plano

Consideremos P0(x0, y0, z0) um ponto do plano π e os vetores diretores~u = (a1, b1,C1) e ~v = (a2, b2, c2).

A equação 1 equivale ao sistema:x = x0 + a1t + a2hy = y0 + b1t + b2hz = z0 + c1t + c2h

(2)

A equação (2) é chamada equação paramétrica do plano.


Equação Paramétrica do Plano

Consideremos P0(x0, y0, z0) um ponto do plano π e os vetores diretores~u = (a1, b1,C1) e ~v = (a2, b2, c2).A equação 1 equivale ao sistema:

x = x0 + a1t + a2hy = y0 + b1t + b2hz = z0 + c1t + c2h

(2)

A equação (2) é chamada equação paramétrica do plano.


Exemplo

Dê uma equação paramétrica do plano π paralelos aos vetores~u = (−1, 2, 1); (1, 0, 3) e que passa pelo ponto A(2, 4,−1).


Equação Geral do Plano

Lembremos que os vetores ~P0P, ~u e ~v são coplanares, ie,[ ~P0P, ~u, ~v ] = 0⇒

< ~P0P, ~u × ~v >= 0.O vetor ~n = ~u × ~v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π.Por outro lado, ~P0P = P − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0).Portanto,

π : ax + by + cz + d = 0 (3)

A equação (3) é chamada de equação geral do plano.



Lembremos que os vetores ~P0P, ~u e ~v são coplanares, ie,[ ~P0P, ~u, ~v ] = 0⇒ < ~P0P, ~u × ~v >= 0.

O vetor ~n = ~u × ~v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π.Por outro lado, ~P0P = P − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0).Portanto,

π : ax + by + cz + d = 0 (3)




Lembremos que os vetores ~P0P, ~u e ~v são coplanares, ie,[ ~P0P, ~u, ~v ] = 0⇒ < ~P0P, ~u × ~v >= 0.O vetor ~n = ~u × ~v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π.

Por outro lado, ~P0P = P − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0).Portanto,

π : ax + by + cz + d = 0 (3)




Lembremos que os vetores ~P0P, ~u e ~v são coplanares, ie,[ ~P0P, ~u, ~v ] = 0⇒ < ~P0P, ~u × ~v >= 0.O vetor ~n = ~u × ~v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π.Por outro lado, ~P0P = P − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0).

Portanto,

π : ax + by + cz + d = 0 (3)




Lembremos que os vetores ~P0P, ~u e ~v são coplanares, ie,[ ~P0P, ~u, ~v ] = 0⇒ < ~P0P, ~u × ~v >= 0.O vetor ~n = ~u × ~v = (a, b, c) é chamado de vetor normal ao plano π.Por outro lado, ~P0P = P − P0 = (x − x0, y − y0, z − z0).Portanto,

π : ax + by + cz + d = 0 (3)



Exemplo

Determine uma equação geral do plano π que passa pelo pontoA(3,−1, 2) e é paralelo aos vetores ~u = (−1, 1, 2) e ~v = (1,−1, 0).


Posição Relativa entre Planos

Dois planos podem ser concorrentes, paralelos distintos ou paraleloscoincidentes e para estudar a posição relativa, vamos dividir o nosso estudonesses casos.Considere os planos π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 eπ2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0.


1o. Caso: Planos Concorrentes

π2 e π2 são concorrentes sse ~nπ1 e ~nπ2 são l.i.


Exemplo

Estude a posição relativa dos planosπ1 : P = (1, 0, 1) + t · (2, 1, 3) + h · (0, 0, 1) e π2 : 2x + y − z + 1 = 0.


Observação

A interseção de dois planos concorrentes é uma reta r determinada peloseguinte sistema: {

a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0

(4)

Esse sistema é denominado equação geral da reta r.

Exemplo

Dados os planos π1 : 2x + 4y − z + 1 = 0 e π2 : −x + 2y + z + 2 = 0,determine uma equação paramétrica da reta r de interseção dos planos.


2o. caso: Planos Paralelos

π1 e π2 são paralelos sse ~nπ1 e ~nπ2 são l.d.

Observação

Além de paralelos, os planos podem ser distintos ou coincidentes. Para que

os planos sejam coincidentes é necessário e su�ciente que todo ponto que

satisfaz a equação do plano π1 deve também satisfazer a equação do

plano π2, ie, se ~nπ1 = α · ~nπ2 então d1 = α · d2.


Exemplo

Estude a posição relativa dos planos π1 : 2x + y − z + 1 = 0 eπ2 : 4x + 2y − 2z + 1 = 0.


Ângulo entre planos

Considere os planos concorrentes π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 eπ2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0.

O ângulo formado pelos planos π1 e π2 é o menor ângulo formado pelosvetores normais ~nπ1 e ~nπ2 .

Logo,

cos (π1, π2) =| < ~nπ1 , ~nπ2 > ||| ~nπ1 || · || ~nπ2 ||


Ângulo entre planos

Considere os planos concorrentes π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 eπ2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0.

O ângulo formado pelos planos π1 e π2 é o menor ângulo formado pelosvetores normais ~nπ1 e ~nπ2 .Logo,

cos (π1, π2) =| < ~nπ1 , ~nπ2 > ||| ~nπ1 || · || ~nπ2 ||


Observações

1) Se os planos são paralelos e coincidentes diremos que oângulo é nulo.

2) Para planos que são paralelos e distintos não de�nimos oângulo.


Exemplo

Determine o ângulo formado pelos planos π1 : 2x + y − z + 1 = 0 eπ2 : x + y + z + 2 = 0.


Distância entre um ponto e um plano

A distância do ponto P0(x0, y0, z0) ao plano π : ax + by + cz + d = 0 éde�nida como sendo a menor distância entre P0 até o ponto de π maispróximo de P0.

Assim, dado um ponto P1(x1, y1, z1) ∈ π, podemos achar a projeçãoortogonal de ~P1P0 na direção do vetor normal ~n.

Portanto, a distância entre o ponto P0 e o plano π é a norma daprojeção ortogonal.


Distância entre um ponto e um plano

A distância do ponto P0(x0, y0, z0) ao plano π : ax + by + cz + d = 0 éde�nida como sendo a menor distância entre P0 até o ponto de π maispróximo de P0.Assim, dado um ponto P1(x1, y1, z1) ∈ π, podemos achar a projeçãoortogonal de ~P1P0 na direção do vetor normal ~n.

Portanto, a distância entre o ponto P0 e o plano π é a norma daprojeção ortogonal.


Portanto,

d(P0, π) =| < ~P1P0, ~n > |

||~n||


Exemplo

Determine a distância do ponto A(1, 1, 2) ao planoπ : 2x − y + 2z + 4 = 0.


Distância entre planos

A distância entre os planos π1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 eπ2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 é defnida como a menos distância entre ospontos dos planos.Portanto,

Se os planos são paralelos e distintos, podemos concluir qued(π1, π2) = d(P1, π2) ou d(π1, π2) = d(P2, π1), onde P1 ∈ π1 eP2 ∈ π2.


Para os planos concorrentes ou paralelos coincidentes, de�nimos qued(π1, π2) = 0.


Exemplo

Determine a distância entre os planos π1 : 2x + 2y − 2z + 1 = 0 e

π2 :

x = h

y = −t + hz = t

.


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