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Retas e Planos no Espaço Geometria de Posição Capítulo 1 LIVRO 4 MATEMÁTICA

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Retas e Planos no Espaço

Geometria de PosiçãoCapítulo 1

LIVRO 4

MATEMÁTICA

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A

B

C

r

s

t

αααα

ββββ

GEOMETRIA DE POSIÇÃO

Existem: ponto, reta e plano

Numa reta, ou fora dela, existem infinitos pontos.

Num plano, ou fora dele, existem infinitos pontos.

POSTULADOS

POSTULADO DA EXISTÊNCIA

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POSTULADO DA INCLUSÃO

“ Se dois pontos A e B, distintos de uma reta (r) também pertencem

a um plano (α), então a reta (r) está contida no plano (α).”

ααααA B

r⊂ αr

POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO

... de RETAS

“Dois pontos distintos determinam uma única reta.”

A Br=AB

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... de PLANOS

A

B

C

ααααββββ

φφφφ

“Três pontos não colineares determinam um único plano.”

ββββA C

B

Cuidado:

Três pontos podem ser distintos, porém alinhados, determinando infinitos planos.

“Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano.”

“Duas retas concorrentes determinam um único plano.”

“Duas retas paralelas distintas determinam um único plano.”

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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO PLANO

PARALELAS COINCIDENTES

CONCORRENTES

ααααrtr ==

“todos os pontos de r

são pontos de t”

ααααr

t

P∩r t =P

PARALELAS DISTINTAS

ααααrt

“r e t não possuem

ponto em comum”

Se as retas concorrentes formarem ângulo reto no plano, serão chamadas de

retas perpendiculares.

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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS NO ESPAÇO

REVERSAS

Formam ângulo reto no espaço.

rααααPd

t

Retas reversas ortogonais

“ não existe um único plano que contenha ambas ao mesmo tempo ”

Retas reversas não-ortogonais

αααα

r

P

t

d Não formam ângulo reto no espaço.

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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS NO ESPAÇO

PARALELOS COINCIDENTES

ββββ

αααα

α =α =α =α ===== “todos os pontos de αsão pontos de β”

PARALELOS DISTINTOS

ββββ

αααα

“α e β não possuem ponto comum”

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SECANTES (OU CONCORRENTES)

ααααββββ

r

α∩β = r

Se os planos secantes formarem

ângulo reto no espaço, são chamados

de planos perpendiculares.

r

αααα

ββββ

⊥α β

DIEDRO

A intersecção entre dois

planos α e β é a reta r.

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POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS

RETA CONTIDA NO PLANO

ααααr“todos os pontos de r

pertencem a α”

RETA PARALELA AO PLANO

αααα

r“r e α não possuem ponto em comum”

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RETA INCIDENTE AO PLANO (CONCORRENTE OU SECANTE)

ααααP

t

αt∩ =P

Se a reta incidente formar ângulo reto com o plano, será denominada reta perpendicular.

ααααP

t

⊥ αt

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PARALELISMO

“Uma reta paralela a um plano é paralela com infinitas e reversa com infinitas retas contidas nesse plano.”

αααα

r

ts

u

m n

p

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PERPENDICULARISMO

αααα

P

r

“Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a infinitas e ortogonal a infinitas retas contidas nesse plano.”

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PROJEÇÃO ORTOGONAL

DE PONTOS NO PLANO

αααα

P

P’

DE SEGMENTOS DE RETA NO PLANO

αααα

A B

A’ B’

A

B

A’ B’

A

B

A’ ≡ B’

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resolução

[19. p163] (EXPECEX - SP)Se a reta r é paralela ao plano α, então:

a) Todas as retas de α são paralelas a r.

b) Existem em α retas paralelas a r e retas

reversas a r.

c) Existem em α retas paralelas a r e retas

perpendiculares a r.

d) Todo plano que contém r intercepta α,

segundo uma reta paralela a r.

r

α

Um plano pode conter retas paralelas e/ou retas reversas a

uma reta paralela a ele.

Uma reta incidente e/ou perpendicular a um plano não

pertence a esse plano!

Um plano que contenha r pode

ser paralelo ao plano α.

EXERCÍCIOS

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s

paralelasr e s →→→→

t

perpendicularess e t →

r

x

reversasx e r →

E. (FAAP - SP)A figura abaixo mostra uma porta entreaberta

e o canto de uma sala.

As retas r e s, s e t, x e r têm, respecti-

vamente, as posições relativas:

a) paralelas, paralelas e perpendiculares.

b) paralelas, perpendiculares e reversas.

c) paralelas, perpendiculares e perpendicula-

res.

d) reversas, paralelas e perpendiculares.

e) perpendiculares, reversas e paralelas.

observe que r está contida no

plano α e a reta x é incidente

ao mesmo plano α.

α

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resolução[21. p163] (FUVEST - SP)Uma formiga resolveu andar de um vértice a

outro do prisma reto de bases triangulares

ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela

partiu do vértice G, percorreu toda a aresta

perpendicular à base ABC, para em seguida

caminhar toda a diagonal da face ADGC e, fi-

nalmente, completou seu passeio percorrendo

a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao

vértice

a) A b) B c) C d) D e) E

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resolução[39. p165] (UNESP - SP)Entre todas as retas suportes das arestas de

um certo cubo, considere duas, r e s,

reversas. Seja t a perpendicular comum a r e

a s. Então,

a) t é a reta suporte de uma das diagonais de

uma das faces do cubo.

b) t é a reta suporte de uma das diagonais do

cubo.

c) t é a reta suporte de uma das arestas do

cubo.

d) t é a reta que passa pelos pontos médios

das arestas contidas em r e s.

e) t é a reta perpendicular a duas faces do

cubo, por seus centros.

r

st

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αααα

ββββγγγγ

r

[43. p165] (PUC - SP)

Dois planos, β e γ, cortam-se na reta r e são

perpendiculares a um plano α. Então,

a) β e γ são perpendiculares.

b) r é perpendicular a α.

c) r é paralela a α.

d) todo plano perpendicular a α encontra r.

e) existe uma reta paralela a α e a r.

resolução

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[25. p164] (FATEC - SP)

O ponto A pertence à reta r, contida no plano

α. A reta s, perpendicular a α, o intercepta no

ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2√5

cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r

mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então

a distância de A a C, em centímetros, é igual

a:

a) 9 5 b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5 αααα

rA

s ⊥⊥⊥⊥ αααα

B

C

2 5

B'5

6

B

2 2 2[AB] =6 +5

61[AB]=

61

222 61 5[AC] = + 22[AC] =61+20

[AC]=9

resolução

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A forma de uma projeção ortogonal está

condicionada ao plano onde o objeto será

projetado.

[54. p166] (UFSCAR-SP) Considere um plano

α e um ponto P qualquer no espaço. Se por P

traçarmos a reta perpendicular a α, a

interseção dessa reta com α é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre

α. No caso de uma figura F do espaço, a

projeção ortogonal de F sobre α, é definida pelo conjunto das projeções ortogonais de

seus pontos.

Com relação a um plano qualquer fixado,

pode-se dizer que:

a) a projeção ortogonal de um segmento de

reta pode resultar numa semi-reta.

b) a projeção ortogonal de uma reta sempre

resulta numa reta.

c) a projeção de uma parábola pode resultar

num segmento de reta.

d) a projeção ortogonal de um triângulo pode

resultar num quadrilátero.

e) a projeção ortogonal de uma circunferência

pode resultar num segmento de reta.

resolução