Matriz de uma transformação linear · Matriz de uma transformação linear Laura Goulart UESB 9...

Matriz de uma transformação linear

Laura Goulart

9 de Outubro de 2018

Laura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de 2018 1 / 8

21 - Matriz de uma transformação linear

Sejam U,V e.v.r. de dimensão �nita. Considere B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} bases de U e V respectivamente. TomeT ∈ L(U,V ).

T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm

T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm

T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm

Ou seja,

T (uj) =n∑

αijvi

Sejam U,V e.v.r. de dimensão �nita. Considere B = {u1, . . . , un} eC = {v1, . . . , vm} bases de U e V respectivamente. TomeT ∈ L(U,V ).Logo,

T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm

T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm

T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm

Ou seja,

T (uj) =n∑

αijvi

T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm

T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm

T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm

Ou seja,

T (uj) =n∑

αijvi

T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm

T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm

T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm

Ou seja,

T (uj) =n∑

αijvi

T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm

T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm

T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm

Ou seja,

T (uj) =n∑

αijvi

T (u1) = α11v1 + α21v2 + · · ·+ αm1vm

T (u2) = α12v1 + α22v2 + · · ·+ αm2vm

T (un) = α1nv1 + α2nv2 + · · ·+ αmnvm

Ou seja,

T (uj) =n∑

αijviLaura Goulart (UESB) Matriz de uma transformação linear 9 de Outubro de 2018 2 / 8

A matriz (αij) é chamada matriz de T em relação as bases B e C edenotada por [T ]BC .

Exemplos

21.1) Seja T : R3 → R2 dada T (x , y , z) = (x + y , y + z).Determine a matriz de T em relação às bases canônicas doR3 e B = {(1, 1); (1,−1)} do R2.

21.2) Seja T : R3 → R3 tal queT (x , y , z) = (x − y + 3z , x − 2y , y + 2z). Determine amatriz de T em relação à base canônica de R3.

Exemplos

21.1) Seja T : R3 → R2 dada T (x , y , z) = (x + y , y + z).Determine a matriz de T em relação às bases canônicas doR3 e B = {(1, 1); (1,−1)} do R2.

21.2) Seja T : R3 → R3 tal queT (x , y , z) = (x − y + 3z , x − 2y , y + 2z). Determine amatriz de T em relação à base canônica de R3.

Teorema (21.1)

Os espaços L(U,V ) e Mm×n são isomorfos.

Observação (21.1)

Dada uma matriz A ∈ Mn×m, existe T ∈ L(Rm,Rn) dada por

T (v) = Av t no qual [T ]can = A.

Exemplo (21.3)

Dada A =

(1 2 30 1 0

, encontre T ∈ L(R3.R2).

Corolário (21.1.1)

dimL(U,V ) = n ·m = dimU · dimV .

Teorema (21.1)

Observação (21.1)

Exemplo (21.3)

Dada A =

(1 2 30 1 0

Corolário (21.1.1)

Teorema (21.1)

Observação (21.1)

Exemplo (21.3)

Dada A =

(1 2 30 1 0

Corolário (21.1.1)

Teorema (21.1)

Observação (21.1)

Exemplo (21.3)

Dada A =

(1 2 30 1 0

Corolário (21.1.1)

Propriedades

MT1) Seja V um e.v.r com dimV = n < +∞ e considereB = {u1, . . . , un} e C = {v1, . . . , vn} bases de V. TomeI ∈ L(V ) o operador identidade. É fácil ver que [I ]CB é amatriz mudança da base C para a base B.

MT2) [Matriz da Composta] Sejam V1,V2,V3 e.v.r. de dimensão�nita. Considere B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vm} eD = {w1, . . . ,wp} bases de V1,V2,V3; respectivamente.Tome T ∈ L(V1,V2) e S ∈ L(V2,V3). Então,[S ◦ T ]BD = [S ]BC · [T ]CD .

Propriedades

MT1) Seja V um e.v.r com dimV = n < +∞ e considereB = {u1, . . . , un} e C = {v1, . . . , vn} bases de V. TomeI ∈ L(V ) o operador identidade. É fácil ver que [I ]CB é amatriz mudança da base C para a base B.

MT2) [Matriz da Composta] Sejam V1,V2,V3 e.v.r. de dimensão�nita. Considere B = {u1, . . . , un};C = {v1, . . . , vm} eD = {w1, . . . ,wp} bases de V1,V2,V3; respectivamente.Tome T ∈ L(V1,V2) e S ∈ L(V2,V3). Então,[S ◦ T ]BD = [S ]BC · [T ]CD .

MT3) Se T ∈ L(U,V ) é um isomor�smo, então([T ]BC

)−1= [T−1]CB .

MT4) [T (v)]C = [T ]BC · [v ]B .

Exemplo (21.4)

Seja T ∈ L(R2,R3) tal que [T ]canB =

1 −10 1−2 3

, onde

B = {(1, 0, 1); (−2, 0, 1); (0, 1, 0) é base do R3. Qual é a imagem do

vetor u = (2,−3) por T.

)−1= [T−1]CB .

MT4) [T (v)]C = [T ]BC · [v ]B .

Exemplo (21.4)

1 −10 1−2 3

, onde

)−1= [T−1]CB .

MT4) [T (v)]C = [T ]BC · [v ]B .

Exemplo (21.4)

1 −10 1−2 3

, onde

)−1= [T−1]CB .

MT4) [T (v)]C = [T ]BC · [v ]B .

Exemplo (21.4)

1 −10 1−2 3

, onde

MT5) Seja V um e.v.r. com dimV = n < +∞ e considereB = {u1, . . . , un} e C = {v1, . . . , vn} bases de V. TomeT ∈ L(V ). Então,

[T ]C = M−1 · [T ]B ·M,

onde M é a matriz mudança da base C para a base B.

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