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8-Funções trigonométricas

Laura Goulart

UESB

25 de Março de 2019

Laura Goulart (UESB) 8-Funções trigonométricas 25 de Março de 2019 1 / 45

Vale mais ter um bom nome do que muitas riquezas; e o ser estimado émelhor do que a riqueza e o ouro.- Provérbios 22:1


8.1 - O número π

Dado uma circunferência de raio r , o número π é de�nido como a razãodo comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d = 2r .

Logo,

π =C

d⇒ π = C

2r⇒ C = 2πr


8.1 - O número π

Dado uma circunferência de raio r , o número π é de�nido como a razãodo comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro d = 2r .Logo,

π =C

d

⇒ π = C2r⇒ C = 2πr


8.1 - O número π


π =C

d⇒ π = C

2r

⇒ C = 2πr


8.1 - O número π


π =C

d⇒ π = C

2r⇒ C = 2πr


8.2 - Medidas de ângulo

Graus: 1o é um ângulo que corresponde a1

360de uma volta

completa da circunferência.


Radiano: 1 rad é um ângulo que corresponde a um arco de mesmocomprimento do raio da circunferência.

Observação

Qualquer número real pode ser interpretado como um ângulo medido em

radianos.


8.2.1 - Comprimento de um arco

O ângulo central α em radiano representa a razão entre o comprimentodo arco ÂB e a medida do raio r .

Como consequência, teremos a seguinte relação:

" π equivale a 180o . "


Exemplos

1 Exprimir 210o em radianos.

2 Exprimir3π5

em graus.


Exercícios de Fixação

1 Exprimir em radianos os seguintes graus:1 75

o

2 120o

3 270o

4 300o

2 Exprimir em graus os seguintes radianos:

17π

4

2π

9

35π

18

4π

7


8.3 - Triângulo Retângulo

De�na-se como triângulo retângulo a qualquer triângulo que possua umdos ângulos internos reto.


8.3.1 - Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras está relacionado com o comprimento dos lados deum triângulo retângulo.

O enunciado desse teorema é: "a soma dos quadrados dos catetoscorresponde ao quadrado da hipotenusa."


8.3.1 - Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras está relacionado com o comprimento dos lados deum triângulo retângulo.O enunciado desse teorema é: "a soma dos quadrados dos catetoscorresponde ao quadrado da hipotenusa."


Exemplo

Calcule o valor de x no triângulo abaixo:


Não sejas companheiro do homem briguento nem andes com o colérico,para que não aprendas as suas veredas, e tomes um laço para a tua alma.-

Provérbios 22:24,25


8.4. - Relações trigonométricas

8.4.1 - Seno de um ângulo: De�na-se o seno do ângulo α como sendoa razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

Logo,

sen α =a

c


Exemplo

Ache o seno dos ângulos α e β do triângulo abaixo:


8.4.2 - Cosseno de um ângulo: De�na-se o cosseno do ângulo α comosendo a razão entre o cateto adjacente do ângulo e a hipotenusa.

Logo,

cosα =b

c


Exemplo

Ache o cosseno dos ângulos α e β do triângulo abaixo:


8.4.3 - Tangente de um ângulo: De�na-se a tangente do ângulo αcomo sendo a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente do ângulo.

Logo,

tg α =a

b


Exemplo

Ache a tangente dos ângulos α e β do triângulo abaixo:


Observação

É fácil ver que tg α =sen α

cosα.


8.4.5 - Demais relações:

cotg α =cosα

sen α=

1tg α

secα =1

cosα

cossec α =1

sen α


8.5 - Ângulos Notáveis


Exercícios de Fixação

1) Calcule o valor de x na �gura abaixo:


2) Qual é a altura h do poste representado pela �gura abaixo?


3) A determinação feita por radares da altura de uma nuvem emrelação ao solo é importante para previsões meteorológicas ena orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessascondições, determine a altura das nuvens detectadas pelosradares conforme o desenho abaixo:


3) Uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo α,como mostra a �gura abaixo. Determine a altura h da torrese:

a) α = 20o

b) α = 40o


A língua falsa odeia aos que ela fere, e a boca lisonjeira provoca a ruína. -Provérbios 26:28


O ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência centrada na origem e de raior = 1.


Lembremos que α =l

re no caso do ciclo trigonométrico, teremos que o

ângulo central é equivalente ao comprimento de arco.


Seno no ciclo trigonométrico

No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores de seno e decosseno de um ângulo θ qualquer. Para tanto, é necessário construir umtriângulo interior ao círculo trigonométrico, como foi feito na imagem aseguir.


O seno de um ângulo x é a projeção do arco P̂Q sobre o eixo Oy .


1o. Quadrante crescente2o. Quadrante decrescente3o. Quadrante decrescente4o. Quadrante crescente


Grá�co do seno


Cosseno no ciclo trigonométrico

O cosseno de um ângulo x é a projeção do arco P̂Q sobre o eixo Ox .


1o. Quadrante decrescente2o. Quadrante decrescente3o. Quadrante crescente4o. Quadrante crescente


Grá�co do cosseno


Identidade Trigonométrica Fundamental

cos2 x + sen 2x = 1


Exercício de Fixação

Sabendo que sen x =25

para 0 ≤ x ≤ π2, calcule as demais funções

trigonométricas.


Leais são as feridas feitas pelo amigo, mas os beijos do inimigo sãoenganosos. - Provérbios 27:6


Adição e Subtração de arcos

sen (a+ b) = sen a cos b + sen b cos a

sen (a− b) = sen a cos b − sen b cos acos (a+ b) = cos a cos b − sen a sen bcos (a− b) = cos a cos b + sen a sen b


Multiplicação de arcos

sen 2a = 2sen a cos a

cos 2a = cos2 a− sen2 a


Divisão de arcos

sen2 x2=

1− cos x2

cos2 x2=

1+ cos x2


Transformação em produto

sen (a+ b) + sen (a− b) = 2sen a cos bsen (a+ b)− sen (a− b) = 2sen b cos acos (a+ b) + cos (a− b) = 2cos a cos bcos (a+ b)− cos (a− b) = −2sen a sen b


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