DISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL ESPACIO

VECTOR PERPENDICULAR A UN PLANO Dado un plano π definido por su ecuación general, 0DCzByAx =+++ , el vector

),,( CBAn = es perpendicular al plano.

Dados dos puntos cualesquiera del plano )z,y,x(P 1111 y )z,y,x(P 2222 , probaremos

que el producto escalar de los vectores

)zz,yy,xx(PP 12121221 −−−= y n es nulo.

)zz(C)yy(B)xx(A(PP.n 12121221 −+−+−=

Como π∈1P , se cumple que 0DCzByAx 111 =+++

Como π∈2P , se verifica que 0DCzByAx 222 =+++

Restando, 0)zz(C)yy(B)xx(A( 121212 =−+−+− , es decir, 0PP.n 21 = Ejemplo: Ecuación del plano que pasa por P(2, 1, 3) y es perpendicular al vector

)23,1( −−=v El plano buscado será 0Dz2y3x1 =+−+− Como pasa por el punto P(2, 1, 3), ,0D3).2(1.32).1( =+−++− es decir, D = 5. luego la ecuación del plano será : 05z2y3x =+−+−

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

Ángulo de dos rectas es el menor de los ángulos formados por sus respectivos vecto-res de dirección.

De la definición de producto escalar, se obtiene:

23

22

21

23

22

21

332211

vvvuuu

|vuvuvu|

||v||.||u||

|v.u|cos

++++

++==α .

Tomamos el valor absoluto a fin de obtener el menor de los ángulos que forman las

rectas.

:r

:s

α3

0

2

0

1

0

u

zz

u

yy

u

xx −=

−=

−

3

1

2

1

1

1

v

zz

v

yy

v

xx −=

−=

−

),,( CBAn =

π• •1P 2P

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α

r

π

n

β

ÁNGULO FORMADO POR DOS PLANOS Dos planos 0DCzByAx =+++≡π y 0DzCyBxA =′+′+′+′≡π′ , determinan al

cortarse cuatro ángulos diedros que son iguales dos a dos. Se llama ángulo de los dos planos al más pequeño de los ángulos diedros. Dicho

ángulo es igual o suplementario al que forman los vectores perpendiculares de cada pla-no

)C,B,A(n =

)C,B,A(n ′′′=′ También hemos de tomar el valor absoluto a fin de obtener el menor de los ángulos.

222222 CBACBA

|C.CB.BA.A|

||n||.||n||

|n.n|cos

′+′+′++

′+′+′=

′′

=α

Ejemplos:

1. Calcula el ángulo que formado por las rectas r y s siendo:

5

4z

1

3y

1

2x:r

−=

−−

=−

; 1

2z

1

1y

2

1x:s

−−

=−

=−

Los vectores de dirección de las respectivas rectas son )5,1,1(u −= y )1,1,2(v −= ,por tanto,

29

4

627

|512|

)1(12.5)1(1

|)1.(51).1(2.1|cos

222222=

−−=

−+++−+

−+−+=α ⇒ α = 71,68º

2. Calcula el ángulo que forman los planos 03yx2:1 =−−π ; 0zyx:2 =−+π

Los vectores perpendiculares a cada uno de los planos son: )0,1,2(n1 −= y

)1,1,1(n2 −= .

15

1

35

|012|

||n||.||n||

|n.n|cos

21

21 =+−

==α , º03,75=α

ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UN PLANO Es el ángulo formado por la recta y la proyección de dicha recta sobre el plano. Teniendo en cuenta que α y β son complementarios, β=α cossen Además,

)C,B,A(n =

)v,v,v(v 321=

α

απ

π′n

n′

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23

22

21

222

321

vvvCBA

|CvBvAv|

||v||.||n||

|v.n|cossen

++++

++==β=α

Ejemplo:

Calcula el ángulo que forma la recta 1

1z

2

5y

1

1x

−+

=−

=−

con el plano de ecuación

05zy3x =−++ Vector perpendicular al plano: n = (1, 3, 1) Vector director de la recta v = (1, 2, -1)

66

6

611

|161|

141191

|)1.(12.31.1|sen =

−+=

++++−++

=α ; α = 47,6º

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Distancia entre dos puntos A y B es el módulo del vector que une dichos puntos. Si las coordenadas de los puntos son )z,y,x( A 000 y )z,y,x( B 111

)zz,yy,xx(AB 010101 −−−=

y entonces, 201

201

201 )zz()yy()xx()B,A(d −+−+−=

Ejemplo:

Calcula la distancia entre los puntos A(1, 3, 0) y B(−1, 2, 3)

14914)03()32()11(),( 222 =++=−+−+−−=BAd

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA A es un punto de la recta v es un vector director.

A

B

•

r

),,( 111 zyxP

d

),,( 000 zyxA•

),,( 321 vvvv =

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El área del triángulo viene definida por las siguientes fórmulas:

2||vAP||

2alturabase

Area×

=×

= , es decir,

||vAP||d.||v|| ×= y, por tanto, ||v||

||vAP||d

×=

Ejemplo: Halla la distancia del punto P(1, −2, 2) a la recta dada por las siguientes ecuaciones paramétricas:

λ−−=λ+=λ−=

1z

21y

2x

Un punto de la recta es A(2, 1, −1)

)3 ,3 ,1(AP −−= v = (−1, 2, −1), vector director de la recta.

)5,4,3(2 1

31,

11

13 ,

12

3 3vAP −−−=

−

−−−−−

−−

=× ; 6||v|| =

3

25

6

50

6

50

6

)5()4()3()r,P(d

222

===−+−+−

=

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO El triángulo RQP es rectángulo. Dado el plano 0DCzByAx : =+++π , el vector )C,B,A(n = es perpendicular al

plano. Observando la figura, α==π cos.||RP||||QP||),P(d .

pero teniendo en cuenta la definición de producto escalar, ||RP||.||n||

|RP.n|cos =α , luego,

||n||

|RP.n|

||RP||.||n||

|RP.n|.||RP||),P(d ==π

),,( CBAn =

),,( 000 zyxP

Q

),,( 111 zyxRπ

dα

α 90º

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Si utilizamos las coordenadas de R, P y n resulta:

)C,B,A(n = ; )zz,yy,xx(RP 101010 −−−= y entonces,

222

111000

222

101010

CBA

|CzByAxCzByAx|

CBA

|)zz(C)yy(B)xx(A|),P(d

++

−−−++=

−+

−+−+−=π

es decir, 222

000

CBA

|DCzByAx|),P(d

++

+++=π

ya que como π∈R , 0DCzByAx 111 =+++ ⇒ 111 CzByAxD −−−=

Ejemplo:

Calcula la distancia del punto P(1, 2, −1) al plano 03z2yx2 =++−

3

1

9

1

2)1(2

|3)1(22.11.2|

CBA

|DCzByAx|d

222222

000 ==+−+

+−+−=

++

+++=

DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN Siendo

r: 3

0

2

0

1

0

u

zz

u

yy

u

xx −=

−=

−; s:

3

1

2

1

1

1

v

zz

v

yy

v

xx −=

−=

−

Para hallar la distancia entre dichas rectas procedemos de la forma siguiente: a. Hallamos la ecuación del plano π. Dicho plano contiene a la recta s y es paralelo a

la recta r por lo que utilizaremos el punto Q y los vectores de las dos rectas:

0

vvv

uuu

zzyyxx

321

321

111

=−−−

b. Después hallamos la distancia del punto )z,y,x(P 000 de r al plano π

r

s

dπ

P•

•Q

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Ejemplo:

Dadas la rectas

λ+=−=

λ+=

28z

1y

5x

:r y

λ+−=λ−=λ+=

41z

2y

32x

:s

a. Estudia su posición relativa comprobando que se cruzan. b. Halla la mínima distancia entre ellas. Un punto de r es P(5, −1, 8) y un vector u = (1, 0, 2) Un punto de s es Q(2, 2, −1) y un vector v = (3, −1, 4)

Vector )9,3,3(PQ −−=

09126189

93 3

4 13

2 0 1

≠=−−+=−−

− , por tanto, las rectas se cruzan.

Plano que contiene a la recta s y es paralelo a r:

0

413

20 1

1z2y2x

=−

+−−; 0)2y(4)2x(2)1z()2y(6 =−−−++−−

2x + 2y −z + 9 = 0 Ahora hallamos la distancia del punto (5, −1, 8) al plano hallado:

33

9

)1(22

|98)1(25.2|d

222==

−++

+−−+=

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EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Halla la distancia del punto P(12,-1,1) a la recta r que pasa por A(1,1,1) y tiene como vector de dirección al vector v = (3,4,0) SOLUCIÓN: Ecuación de la recta r:

=λ+=λ+=

1z

41y

31x

G es un punto genérico de la recta.

PG es un vector variable y nos interesa el que sea perpendicular a la recta. Entonces se

ha de cumplir que 0v.PG = ⇒ 0)0,4,3).(1,41,31( =λ+λ+ (producto escalar nulo) y se obtiene λ = 1

El vector perpendicular a la recta será, por tanto, )0,6,8(PG −= y la distancia buscada

es el módulo del vector PG :

1006)8(d 222 =++−= Otra manera: Se aplica la fórmula:

||v||

||vAP||d

×=

donde A(1,1,1), P(12,-1,1) y v = (3,4,0)

2.- Determina las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(2,-1,2) y C(5,-1,1). Halla la distancia del punto P(2,7,3) al plano hallado. SOLUCIÓN:

Elegimos, por ejemplo, el punto A(1,0,0) y formamos los vectores )2,1,1(AB −= y

)1,1,4(AC −= Ecuación vectorial: )1,1,4()2,1,1()0,0,1()z,y,x( −µ+−λ+=

Ecuaciones paramétricas:

µ+λ=µ−λ−=

µ+λ+=π

2z

y

41x

:

Ecuación general: 0

114

211

zy 1x

=−−

−

•v=(3,4,0)A(1,1,1)

•G(1+3λ,1+4λ,1)

P(12,-1,1)•

d

•

r

),,( 111 zyxP

d

),,( 000 zyxA•

),,( 321 vvvv =

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Desarrollando el determinante se obtiene 01z3y7x: =−++π La distancia del punto P(2,7,3) al plano hallado, se obtiene aplicando la fórmula

59

60

371

|3.37.72.1|

CBA

|DCzByAx|),P(d

222222

000 =++

++=

++

+++=π

3.- Determina un punto P de la recta 2

z

1

1y

2

1x:r =

+=

− que equidiste de los planos

03zyx:1 =+++π y

µ+−=µ+λ−=λ+−=

π6z

y

3x

:2

SOLUCIÓN: Expresamos el plano 2π en forma cartesiana:

0

11 0

011

6zy 3x

=−++

⇒ 2π : 03zyx =−−+

Pasando a paramétricas la recta, obtenemos un punto genérico: )3,1,21(P λλ+−λ+

Como ),,P(d),P(d 21 π=π resulta:

222222 )1(11

|33.1)1.(1)21.(1|

111

|33.1)1.(1)21.(1|

−++

−λ−λ+−+λ+=

++

+λ+λ+−+λ+ con lo que se

obtiene 3

|3|

3

|36| −=

+λ, es decir, 3|36| =+λ ⇒

=−λ−=+λ

336

336

De la primera ecuación obtenemos 0=λ y de la segunda 1−=λ Llevando los valores de λ al punto genérico obtenemos dos puntos que equidistan de los planos dados: )3,2,1(P −−− y )0,1,1(P −′

4.- dado el plano π de ecuación ,01z3y2x =−++ la recta r de ecuación

+=−=4zy

3z2x:r

y el punto P(2,1,1), calcula: a) Ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular a π b) Ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r SOLUCIÓN: a) El vector característico del plano es un vector director de la recta, es decir, )3,2,1(v = Y teniendo en cuenta que la recta pasa por P(2,1,1),

3

1z

2

1y

1

2x −=

−=

−

b) En la recta r, hacemos λ=z y queda de la siguiente forma:

λ=λ+=λ+−=

z

4y

23x

:r

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El vector director de la recta es un vector característico del plano buscado. 0Dzyx2 =+++

Como el plano contiene al punto P(2,1,1), 0D112.2 =+++ ⇒ D = -6 Ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r: 06zyx2 =−++ 5.- Halla el simétrico del punto A(0,1,-2) respecto al plano de ecuación

05zyx2: =+−−π

Solución: Si la ecuación del plano es

05zyx2: =+−−π , el vector característico del plano )1,1,2(n −−= será vector director de la recta que pasa por A y A ′ , por tanto,

λ=−+

=−−

=1

2z

1

1y

2

x

Y en paramétricas:

λ−−=λ−=

λ=

2z

1y

2x

La intersección de la recta y el plano nos da las coordenadas del punto M:

05)2()1(2.2 =+λ−−−λ−−λ ⇒ 1−=λ

Sustituyendo λ en la ecuación de la recta obtenemos el punto )1,2,2(M −− El punto M es el punto medio del segmento :AA ′

22

x0−=

′+⇒ 4x −=′

22

y1=

′+⇒ 3y =′

12

z2−=

′+−⇒ 0z =′

Coordenadas del punto simétrico de A: )0,3,4(A −′

6.- Halla el simétrico de A(2,0,1) respecto de la recta 1

2z

1

3y

2

x −=

−−

=

Solución: Plano perpendicular a la recta que pasa por A:

0Dzyx2 =++− Como dicho plano contiene al punto A,

0D12.2 =++ ⇒ D = -5 El plano tiene de ecuación

05zyx2: =−+−π

A(0,1,-2)•

•),,( zyxA ′′′′

M

•

•

•

)1,0,2(A

)z,y,x(A ′′′′

M v = (2,-1,1)

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α

r

π

n

β

Ecuación de la recta dada en paramétricas:

λ=−

=−−

=1

2z

1

3y

2

x ⇒

λ+=λ−=

λ=

2z

3y

2x

La intersección de la recta y el plano nos da el punto M:

05234 =−λ++λ+−λ ⇒ 1=λ Llevando λ a la recta obtenemos )3,2,4(M Como M es el punto medio de A y A′ , si aplicamos las fórmulas del punto medio, re-sulta:

42

x2=

′+⇒ 6x =′

22

y0=

′+ ⇒ 4y =′

32

z1=

′+⇒ 5z =′

Las coordenadas del simétrico de A son: )5,4,6(A′ 7.- Determina el ángulo que forman el plano 04z3y2x: =+−+π y la recta

=+=−

12z2x3

0yx2:r

Solución:

Aplicamos la fórmula ||v||.||n||

|v.n|sen =α donde )C,B,A(n = y )v,v,v(v 321=

En primer lugar ponemos la recta en paramétricas:

=+=−

12z2x3

0yx2:r ⇒ ,x2y = haciendo ,x λ= λ= 2y

En la 2ª ecuación: 12z26 =+λ ⇒ λ−= 36z

La recta r queda de la siguiente forma:

λ−=λ=λ=

36z

2y

x

:r donde )3,2,1(v −=

Y como )3,2,1(n −=

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1941.941

|941|

||v||.||n||

|v.n|sen =

++++++

==α ⇒ º901arcsen ==α

8.- Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide: a) Las coordenadas de los otros dos vértices. b) Ecuación del plano que contiene al paralelogramo c) Área del paralelogramo. Solución: a) Aplicando las fórmulas de las coordenadas del punto medio de un segmento,

02

x1 1 =+

⇒ ;1x1 −= 02

y1 1 =+

⇒ ;1y1 −= 12

z1 1 =+

⇒ 1z1 =

Las coordenadas de C son: )1 ,1,1(C −− Del mismo modo obtenemos )2 ,2,0(D − b) Ecuación del plano:

);0,1,1(OA = )1,2 ,0(OB −=

Con el punto O y los vectores OA y OB podemos escribir su ecuación:

0

120

0 11

1zyx

=−

−⇒ 02z2yx =+−−

d) El área del paralelogramo podemos calcularla de la forma siguiente:

||ABAD||Área ×=

)1 ,3,1(AD −−=

)1,1 ,1(AB −−=

)4,2,2(1 1

31,

11

11 ,

11

1 3 ABAD −−=

−

−−−−−

−−

=×

222 u 24)4()2(2Área =−+−+=

O(0,0,1)

A(1,1,1) B(0,2,0)

)z,y,x(C 111)z,y,x(D 222

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9.- Halla la ecuación del plano π que es perpendicular a 0zy6x:1 =+−π y contiene a

la recta intersección de 2zy2x4:2 =+−π y

µ+λ+=µ+λ+=

λ+=π

21z

2y

2x

:3

Solución: Ecuación general de :3π

0

210

111

1z2y2x

=−−−

⇒ 01zy2x =++−

=++−=−+−

π∩π01zy2x

02zy2x4:32 que pasamos a paramétricas resolviendo el sistema:

=−−+−=−+−

01zy2x

02zy2x4 Sumando se obtiene 1x =

Sustituyendo en una de las dos ecuaciones resulta 2y2z −= y haciendo ,y λ=

λ+−=λ=

=π∩π

22z

y

1x

:32

• Un punto del plano buscado puede ser el de la recta intersección: (1,0,-2) Los dos vectores que necesitamos serán: • El vector director de la recta intersección: )2,1,0(v =

• El vector característico del plano :1π )1,6,1(w −= Ecuación del plano π :

0

161

21 0

2zy 1x

=−

+−⇒ 015zy2x13 =−−+

(Después de desarrollar el determinante y simplificar el resultado) 10.- Halla la ecuación del plano π que es perpendicular a los planos ,1zy3z2:1 =++π

y 3z2y3x6:2 =++π sabiendo que pasa por el punto A(4,1,2).

Solución: Para determinar un plano necesitamos: Un punto Dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre sí.

El punto lo tenemos. Los vectores característicos de 1π y ,2π )1,3,2(v = y ),2,3,6(w = son paralelos al pla-no y no paralelos entre sí. Por tanto,

0

236

132

2z1y4x

=−−−

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Desarrollando el determinante, ,0)1y(4)4x(3)2z(18)2z(6)1y(6)4x(6 =−−−−−−−+−+− es decir,

010z12y2x3: =+−+π

11.- Determina una constante a, para que el plano de ecuación 2zyax =++ forme un

ángulo de 3π radianes con el plano z = 0

Solución:

Un vector característico del plano

2zyax =++ es )1,1,a(n =

Un vector característico del plano

z = 0, es )1,0,0(n =′

Aplicando la fórmula ||n||.||n||

|n.n|cos

′′

=α resulta:

222222 10011a

|0.10.10.a|

3cos

++++

++=

π⇒

2a

1

2

12 +

= ⇒ 22a 2 =+

Elevando al cuadrado, 42a 2 =+ ⇒ 2a ±=

12.- dadas las rectas ;1

z

2

1y

3

2x:r =

−−

=−

2

1z

1

2y

2

1x:s

−=

−+

=+

a) Halla la distancia entre las dos rectas b) Determina la ecuación de la perpendicular común a las dos rectas. Solución: a) Plano que contiene a la recta s y es paralelo a r: (zona sombreada)

0

212

123

1z2y1x

=−−

−++⇒ 012zy4x3 =+−+

Un punto de la recta r es P(2,1,0) Ahora calculamos la distancia del punto P

al plano hallado: 26

22

)1(43

|1246|d

222=

−++

++=

b) la perpendicular común podemos expresarla por la intersección de los dos planos que contienen a cada una de las dos caras sombreadas:

α

απ

π′n

n′

d

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)1,2,3v −= es un vector director de r

)2,1,2(w −= es un vector director de s El vector wv× es perpendicular a cada uno de los vectores dados:

)1,4,3(kj4i3

212

123

kji

−−=+−−=−−

Plano 0

142

123

z2y2x

:1 =−−−−−

π ; Plano 0

143

212

1z2y1x

:2 =−−−

−++π

1π2π

s

r

t

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Ejercicios propuestos

1.- Estudia si las rectas

=−=−=

2z

t1y

t1x

:r

−=+=

=

t2z

t1y

tx

:s

se cruzan en el espacio. Encuentra la distancia entre ellas. Solución: Escogemos un punto y un vector de cada recta. Como el determinante formado por el vector que uno los puntos de ambas rectas y los vectores directores es distinto de cero, las rectas se cruzan.

Distancia entre r y s: 2

2.- Se dan las rectas

=−−=−

1zy

1y2x:r

=−−=−

1zyx

5z2x:s

a) Investiga si son paralelas. b) En caso afirmativo, halla la ecuación del plano que las contiene Solución: Hacemos λ=z y las expresamos en paramétricas. a) Las rectas son paralelas porque los vectores directores son proporcionales. b) Escogemos un punto de cada recta y formamos el vector que une ambos puntos. Con dicho vector, un vector director de una de ellas y uno de los dos puntos que conocemos, escribimos la ecuación del plano: 01z2y4x3 =+−−

3.- Determina las coordenadas del punto simétrico de A(-3,1,-7), respecto de la recta

2

1z

2

3y

1

1x +=

−=

+

Solución: Hallamos un plano perpendicular a la recta que pasa por A. A continuación buscamos la intersección de la recta y el plano. El punto de intersección es el punto me-dio de A y su simétrico A′

)3,3,3(A −−−′

4.- Las rectas 0

z

4

y

1

x=

−=

− y ,

1

1z

1

1y

1

2x −=

−−

=+

se cruzan en el espacio. Calcula la

distancia entre ellas y la ecuación de la recta perpendicular común a ambas rectas.

Solución: 3

14d =

Recta perpendicular común:

λ=λ=λ−=

5z

y

4x

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5.- Halla la distancia entre las rectas ;1

1z

3

1y

2

1x:r

−=

−=

−

2

1z

3

2y

1

5x:s

−=

−=

−

Solución: 3

6.- Comprueba que la recta 1

7z

1

2y

1

3x

−−

=−

=−

es paralela al plano 0z3y2x =++

y halla la distancia de la recta al plano. Solución: El producto escalar del vector director de la recta y del vector característico del plano ha de ser nulo. (Condición de paralelismo de recta y plano)

3

14d =

7.- Halla la recta que pasa por A(1,0,2) y es paralela a los planos 01z3y2x =++− y 06zy3x2 =++− Solución:

1

2z

5

y

7

1x −==

−

8.- Las rectas

=+=−+7y2x

4zyx:r

−==

4y

2x:s se cruzan en el espacio.

Escribe las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. Halla un punto de r y otro punto de s tales que el vector con origen en uno y extremo en el otro, sea perpendicular a ambas rectas. Solución:

a)

λ−=λ=

λ−=

3z

y

27x

:r

µ=−=

=

z

5y

2x

:

a) Tomamos un punto genérico de r y un punto genérico de s:

);3,,27(P λ−λλ− ),5,2(Q µ−

El vector PQ ha de ser perpendicular a cada uno de los vectores directores de las rectas dadas. (Pro-ducto escalar nulo) Resolviendo el sistema se obtiene ,1=λ 2=µ valores que llevados a P y Q nos dan los puntos

)2,1,5(P y )2,5,2(Q −

9.- Considera el punto P(5,-2,9) y la recta 6

z

3

1y

2

1x:r =

−+

=−−

a) Calcula la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P. b) Halla el punto de corte de las dos rectas. Solución: a) Expresamos r en paramétricas y tomamos un punto genérico de la misma:

)6,31,21(G λλ−−λ−

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Como el producto escalar de PG y v ha de ser nulo, obtenemos λ = 1

Obtenido ,PG la ecuación de la recta s

será: 3

9z

2

2y

6

5x

−−

=−+

=−−

b) Punto de corte: )6,4,1(G −− 10.- Sea el plano 12z4y2x: =+−π y el punto P(2,-1,1) a) Calcula la distancia d entre el plano π y el punto P. b) Halla la ecuación de un plano paralelo a π y distinto del mismo, que también diste de P la misma distancia d. c) Calcula el volumen de la figura limitada por el plano π y los tres planos coordenados. Solución:

a) 21

4

b) 04z4y2x: =−+−π′ c) La coordenadas de los vértices A(12,0,0), B(0,-6,0) y C(0,0,3)

2u 36Volumen =

r

s

• P(5,-2,9)

)6,3,2(v −−=G•

A

B

C

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