Planos

Definição

Seja A(x0,y0,z0) є π e um vetor n=(a,b,c), n ≠ 0 ortogonal ao plano

O plano π é o conjunto de pontos P(x,y,z) do espaço tais que AP é perpendicular a n, isto é P є π AP . n = 0

(x-x0,y-y0,z-z0).(a,b,c)=0 => a(x-x0) + b(y-y0)+c (z-z0)=0=> ax +by+cz –ax0-by0-cz0=0

Fazendo –ax0-by0-cz0=d temos

ax +by+cz +d=0 Esta é a equação Geral do plano

Exercício

Determine a equação geral do plano π1 paralelo ao plano π2: 2x-3y-z+5 e que tem o ponto A(4,-1,2)

Exercício

Achar a equação do plano π perpendicular à reta r:x=2y-3; z=-y+1 e contém o ponto A(1,2,3)

Exercício

Achar a equação geral do plano π mediador do segmento de extremos A(1,-2,6) e B(3,0,0)

Exercício

Achar a equação geral do plano π que é paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1)

Equações Paramétricas

Seja A(x0,y0,z0) um ponto de um plano π e u =(a1,b1,c1) e v(a2,b2,c2) dois vetores não colineares pertencentes a π

Um ponto P(x,y,z) pertence ao plano π que passa por A e é paralelo aos vetores u e v se e somente se existem números reais h e t tais que AP= hu+tv

Equações Paramétricas

(x-x0,y-y0,z-z0)=h(a1,b1,c1)+t(a2,b2,c2)

tchczz

tbhbyy

tahaxx

210

210

210

Exercício

Achar a equação geral do plano que contém os pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1), e C(1,1,-1)

Exercício

Achar a equação geral do plano π1 que contém os pontos A(1,-2,3) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano π2 2x+y-z+8=0

Exercício

Determinar a equação geral do plano que contém as retas r1:x=-3+t,y=-t,z=4 e r2:(x+2)/2=(y-1)/-2;z=0

Exercício

Achar a equação geral do plano xOz

Ângulo entre dois planos

Sejam os planos π1 e π2 π1: a1x+b1y+c1z+d1=0 π2: a2x+b2y+c2z+d2=0 Então n1=(a1,b1,c1) e n2=(a2,b2,c2) são

os vetores normais de π1 e π2 respectivamente

Definição

O ângulo teta entre π1 e π2 é o menor ângulo formado pelos vetores n1 e n2

Assim cos teta = |n1.n2|/(|n1||n2|) com 0<=teta<=π/2

Exercício

Determinar o ângulo entre os planos π1 3x+2y-6=0 e π2 o plano xOz

Ângulo de uma reta com um Plano

Seja r uma reta com vetor diretor v e π um plano com vetor normal n

n

θΦ

Φ é o ângulo entre a reta r e o plano π

Φ=90º-θ, onde θ é o ângulo entre n e v

Como Φ+θ=π/2 segue que cosθ = sen Φ

Cos θ=sen Φ = |n.v|/(|n||v|)

0<= Φ <=90º

Observação

Se r//π então v é ortogonal a n

Se r é ortogonal a π então v//n

Exercício

Determinar o ângulo formado pela reta r:y=-2x,z=2x+1 e o plano p:x-y+5=0

Exercício

Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada um dos planos p1:2x-y-z+1=0 e p2:x+3y+z-5=0

Condições para que uma reta esteja contida em um plano Uma reta está contida num plano se: 1) r//p e um ponto A є r e também є p

2) se dois pontos A1, A2 є r também є p

Exercício

Calcular o valor de m e n para que a reta r: y=2x-3,z=-x+4 esteja contida no plano p nx+my-z-2=0

Interseção de 2 Planos

Considere planos não paralelos p1:3x-y+z-3 e p2:x+3y+2z+4=0

Se A(x,y,z) є p1 interseção p2 então A є p1 e A є p2

Isto significa que A satisfaz a equação dos 2 planos simultaneamente

A é solução do sistema 3x-y+z-3=0 X+3y+2z+4=0

A é solução do sistema 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y X+3y+2z+4=0

A é solução do sistema 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y X+3y+2z+4=0->x+3y+6-6x+2y+4=0 =-5x+5y+10=0 Escolhendo x como variável livre Y=x-2

Substituindo em z->z=-2x+1 logo

Y=x-2 Z=-2x+1

São as equações reduzidas da reta interseção dos planos p1 e p2

Exemplo

Determinar as equações paramétricas da reta r interseção dos planos p1:2x+y-2=0 e p2:z=3

Interseção de reta com Plano

Quer-se encontrar o ponto de interseção da reta r:x=2y-3=(2z-3)/3 e o plano p:2x-y+3z-9=0

X=2y-3-> y=(x+3)/2 X=(2z-3)/3->z=(3x+3)/2 Substituindo na equação do plano

2x-y+3z-9=0->2x-x/2-3/2+9x/2+9/2-9=0 ->6x-6=0->x=1 X=1->y=2,z=3 Logo o ponto A(1,2,3) pertence à reta r e

ao Plano p

Exercício

Determine a interseção da reta r:x=t,y=1-2t,z=-t; e o plano p:2x+y-z-4=0

Exercício

Determinar os pontos de interseção da reta r:y=2x-3,z=-x+2 com os planos coordenados

Exercício

Seja a reta r:x=3+t,y=1-2t,z=-1+2t;

Quais as equações reduzidas da projeção de r sobre o plano xOy?

Qual o ângulo que r forma com o plano xOy?

Exercício

Estabelecer as equações da reta que passa por A(3,6,4), intercepta o eixo z e intercepta o plano p:x-3y+5z-6=0

Exercício

O plano p: x+y-z-2=0 intercepta os eixos coordenados nos pontos A, B, C

Calcular a área do triângulo ABC

Fim