Movimiento en El Plano y en El Espacio

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Movimiento en un plano y en el espacio

Hugo Medina Guzmn

CAPITULO 3. Movimiento en un plano y en el espacioMOVIMIENTO CIRCULAR Se define movimiento circular como aqul cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ngulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. Posicin angular, En el instante t el mvil se encuentra en el punto P. Su posicin angular viene dada por el ngulo , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ngulos O. El ngulo , es el cociente entre la longitud del arco S y el radio de la circunferencia r, = S / r . La posicin angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones. es

1 . La velocidad angular del mvil ha cambiado = 1 0 en el intervalo de tiempot = t1 t 0 comprendido entre t 0 y t1 .

Se denomina aceleracin angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

m =

t

La aceleracin angular en un instante, se obtiene calculando la aceleracin angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

= lim

d = t 0 t dt

Velocidad angular,

1 . El mvil se habr

En el instante t1 el mvil se encontrar en la posicin P1 dada por el ngulo

RELACIN ENTRE LAS MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES De la definicin de radin (unidad natural de medida de ngulos) obtenemos la relacin entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ngulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio

desplazado = 1 0 en el intervalo de tiempo

t = t1 t 0 comprendido entre t 0 y t1 .

=

s s' = r r'

Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.

m =

, con las unidades en el SI de rad/s. t

Derivando s = r respecto del tiempo obtenemos la relacin entre la velocidad lineal y la velocidad angular

ds d =r v = r dt dt

Como ya se explic en el movimiento rectilneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

La direccin de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la direccin radial0H

= lim

d = t 0 t dt

Aceleracin angular, Si en el instante t la velocidad angular del mvil es y en el instante t1 la velocidad angular del mvil 1

Aceleracin tangencial Derivando esta ltima relacin con respecto del tiempo obtenemos la relacin entre la aceleracin tangencial a t y la aceleracin angular.

dv d =r at = r dt dt

Movimiento en un plano y en el espacio Existe aceleracin tangencial, siempre que el mdulo de la velocidad cambie con el tiempo, es decir, en un movimiento circular no uniforme Hallar el desplazamiento angular a partir de la velocidad angular. Si conocemos un registro de la velocidad angular del mvil podemos calcular su desplazamiento 0 entre los instantes definida.

Hugo Medina Guzmn

d d = dt , integrando dt obtenemos el desplazamiento 0 del mvil entre los instantes t 0 y t :Siendo

=

d = [t0

t0

0

+ (t t0 )] dt 1 2

t 0 y t , mediante la integral

= 0 + 0 (t t0 ) + (t t0 )2Habitualmente, el instante inicial

0 = dtt0

t

t 0 se toma como

Hallar el cambio de velocidad angular a partir de la aceleracin angular. Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del mvil entre los instantes t 0 y t , a partir de un registro de la velocidad2H

cero. Las frmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son anlogas a las del movimiento rectilneo uniformemente acelerado. = constante , = 0 + t ,

= 0 + 0 t + t 2Despejando el tiempo t en la segunda ecuacin y sustituyndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular con el desplazamiento 0 .

1 2

angular

=

ddt

en funcin del tiempo t .

=t t0

d dt

0 = dt 0 = dtt0

t

2 = 02 + 2 ( 0 )COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIN. Cuando el sistema de referencia se sita sobre la partcula tal como se indica en la figura, pero no de cualquier modo. Uno de los ejes siempre est perpendicular a su trayectoria, y el otro siempre es tangente a la misma. As pues,

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Un movimiento circular uniforme es aqul cuya velocidad angular es constante, por tanto, la aceleracin angular es cero.

=

La posicin angular del mvil en el instante t podemos calcularla integrando

d d = dt dtt

O grficamente, en la representacin de en funcin de t. Habitualmente, el instante inicial t 0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son anlogas a las del movimiento rectilneo uniforme1H

0 = (t t 0 )

0

d = dtt0

= 0 = constante = 0 + t

El primero siempre pasar por el centro de la circunferencia. Al primer eje se le denomina eje normal, con vector unitario (r = n ) y al segundo eje

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Un movimiento circular uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante. Dada la aceleracin angular podemos obtener el cambio de velocidad angular 0 entre los instantes t 0 y t , mediante integracin de la velocidad angular

tangencial, con vector unitario t . Debemos estudiar ahora que componentes tienen la velocidad y la aceleracin en este sistema de referencia.Velocidad. Con anterioridad se ha deducido que el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria descrita. Por tanto es fcil afirmar que en este

()

en funcin del tiempo = 0 + (t t0 ) .

movimiento la velocidad ser de la forma Aceleracin. 2

v = vt

Movimiento en un plano y en el espacio No es tan obvio que la aceleracin tenga una sola componente, de manera que adoptar la expresin

Hugo Medina Guzmn

parntesis es efectivamente n , por lo que

general a = at t + an nSabemos por la definicin de aceleracin que

dt dt

dv , luego. a= dt

dt v = n = n . dt R dv v2 t n Finalmente: a = dt Rquedar como As, en esta expresin, se denomina aceleracin tangencial (at ) al trmino at

d v dvt dv dt a= = = t +v dt dt dt dt

Estudiemos el ltimo trmino de esta expresin

Si se define el ngulo , como el ngulo formado por el eje normal con el eje de abscisas (eje x), tal como se muestra en la figura.

dt dt

normal (a n )

dv y aceleracin dt v2 a la ecuacin an = R

=

No es difcil darse cuenta que el vector t desde el sistema de referencia situado en el centro de la circunferencia tendr la forma t = sen i + cos , mientras que n al ser j perpendicular a este adoptar la expresin n = cos i + sen j Derivando t dt d d i sen = cos j dt dt dt dt d ( cos i sen ) = j dt dt

De esta expresin para la aceleracin pueden concluirse cosas sustancialmente importantes: Existen dos componentes: Una tangente a la trayectoria y una perpendicular y orientada hacia el centro de la circunferencia. La aceleracin tangencial slo se dar en aquellos movimientos en los que el mdulo de la velocidad vare con el tiempo. Por tanto, en el caso particular del MCU, su aceleracin tangencial ser nula. La aceleracin normal siempre existir, salvo que el radio de curvatura fuera muy grande, con lo cual tendera a cero, que es el caso extremo de los movimientos rectilneos. Concluyendo pues, en un MCU, la aceleracin

v2 n es decir slo tendr la expresin a = R

presentar aceleracin normal. Un objeto puede experimentar la aceleracin normal o centrpeta y la aceleracin tangencial. En las figuras siguientes se muestran algunas combinaciones posibles para v y a para un auto en movimiento. Para entender la aceleracin, descompngala en las componentes paralela y perpendicular a v . Para decir si el auto est dando vuelta a la derecha o a la izquierda, imagnese que usted es el conductor que se sienta con el vector de la velocidad dirigido hacia adelante de usted. Un componente de la aceleracin hacia adelante significa que la velocidad est aumentando.

Ahora bien, si tomamos un desplazamiento diminuto sobre la circunferencia, al que denominamos ds , teniendo en cuenta que arco = ngulo x radio, del esquema adjunto se deduce que ds = Rd , y adems el mdulo de la velocidad instantnea lo

ds , utilizando estos dt d v dos ltimos llegamos a = = , dt R dt reemplazando en : dt dt v = (cos i + sen ) , si observamos j dt Rpodemos expresar como v

=

detenidamente esta ecuacin, comprobaremos que el 3

Movimiento en un plano y en el espacio

Hugo Medina Guzmn rapidez lineal de un pasajero en el borde es constante e igual a 7,00 m/s. Qu magnitud y direccin tiene la aceleracin del pasajero al pasar a) por el punto ms bajo de su movimiento circular? b) por el punto ms alto? c) Cunto tarda una revolucin de la rueda?

Ejemplo 1. Un avin a chorro militar de combate volando a 180 m/s sale de una picada vertical dando la vuelta hacia arriba a lo largo de una trayectoria circular de 860 m de radio cul es la aceleracin del avin? Exprese la aceleracin como mltiplo de g. Solucin.

a=

v 2 180 2 m = = 37,7 2 r 860 s g a = 37,7 = 3,8 g 9,8

Solucin. a) a =

v 2 7,00 2 m = = 3,50 2 . La aceleracin el R 14,0 s2

Ejemplo 2. Una rueda de 75 cm de dimetro gira alrededor de un eje fijo con una velocidad angular de 1 rev/s. La aceleracin es de 1,5 rev/s2. a) Calclese la velocidad angular al cabo de 6 segundos. b) Cunto habr girado la rueda en ese tiempo? c) Cul es la velocidad tangencial en un punto de la periferia de la rueda en t = 6 s? d) Cul es la aceleracin resultante d