Curvas en el plano

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    15-Jun-2015
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  • 1. CURVAS EN EL PLANOLA BRUJA DE AGNESI****La ecuacin genrica de la bruja de Agnesi en coordenadas cartesianas es:y = 8a3/(x2 + 4a2)La ecuacin genrica de la bruja de Agnesi en ecuaciones paramtricas es:x = 2a cot y = a(1 - cos 2 )CARACOL DE PASCAL*** La ecuacin genrica del caracol de pascal en coordenadas polares es:r = b + a cos CARDIOIDE***Es la curva descrita por un un punto P de una circunferencia de radio a que rueda porfuera de otra circunferencia de radio a.Es un caso particular del caracol de Pascal.La ecuacin genrica de la cardioide en coordenadas cartesianas es:(x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)La ecuacin genrica de la cardioide en coordenadas polares es:r = 2a(1 + cos)CNICAS*** Las curvas (como elipse, la parbola y la hiprbola) que se obtienen al seccionar un cono porun plano se llaman cnicas.Si desarrollamos la ecuacin (ax + by + c)2 = 0 podemos expresarla de esta forma:

2. a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0Esta es la ecuacin general de cualquier cnica.Esta ecuacin se puede expresar elegantemente en forma matricial:Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, se dice que la cnica es degeneraday no degenerada en caso contrario.La ecuacin general puede simplificarse (girando y trasladando los ejes coordenados) de formaque slo queden los trminos elevados al cuadrado y el trmino independiente. Esta forma de laecuacin se llama ecuacin reducida o cannica de la cnica.Haciendo los cambios oportunos la ecuacin general se puede transformar en una de lossiguientes:x2 / a2 + y2 / b2 = 1 (elipse, cuando a = b circunferencia).x2 / a2 + y2 / b2 = -1 (elipse imaginaria).x2 / a2 + y2 / b2 = 0 (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real).x2 / a2 - y2 / b2 = 1 (hiprbola).x2 / a2 - y2 / b2 = 0 (par de rectas reales que se cortan).x2 - 2py = 0 (parbola).y2 - 2px = 0 (parbola).x2 - a2 = 0 (par de rectas reales paralelas).x2 + a2 = 0 (par de rectas imaginarias paralelas).x2 = 0 (par de rectas reales coincidentes).Conversin de la ecuacin general a su forma reducida ocannicaSea a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0 la ecuacin que tenemos que convertir a su formareducida.Haciendo un giro de ngulo a, las nuevas coordenadas (x , y ) quedaran de acuerdo con lasfrmulas de giro de coordenadas (ver Coordenadas rectangulares)x = xcosa - ysenay = xsena + ycosaSustituyendo en la ecuacin general las frmulas del giro de coordenadas y operando nos quedaa00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0Los ms atentos se habrn dado cuenta que a00 no tiene ely puede que crean que es un error.Pues no. a00 no cambia (se dice que es un invariante).Los ms valientes que hagan las operaciones comprobarn lo anterior y tambin que 2a12 = - (a11 -a22)sen(2a) + 2a12cos(2a).Para que nos desaparezca el trmino en xy tenemos que hacer a12 = 0, entonces: 3. (a11 - a22)sen(2a) = 2a12cos(2a) . Dividiendo todo por 2a12cos(2a) y despejando queda:tan(2a) = 2a12 / (a11 - a22)Por lo tanto, eligiendo el ngulo de giro de tal forma que la tangente del doble del ngulo sea igualal cociente indicado nos desaparece el trmino en xy y la ecuacin nos queda as:a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + a22y2 = 0Ahora haciendo una traslacin de los ejes (los nuevos sern x, y) eliminaremos los trminos en xe y. Las frmulas de traslacin son (ver Coordenadas rectangulares):x = x + hy = y + kSustituyendo en la ecuacin general las frmulas de la traslacin de coordenadas y operando nosquedaa00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + a22y2 = 0Los valientes que lo hagan vern que a01 = a11h + a01 y que a02 = a22k + a02Para que a01 = 0 tenemos que hacer h = - a01/a11 . Claro que esto slo se puede hacer si a11 no escero.Para que a02 = 0 tenemos que hacer k = - a02/a22 . Claro que esto slo se puede hacer si a22 no esceroLA CISOIDE.*** La cisoide es el lugar geomtrico de los puntos M, tal que OM = PQ. (ver dibujo)La ecuacin genrica de la cisoide de Diocles en coordenadas cartesianas es: 4. y2 = x3 /(a -x)La ecuacin en coordenadas polares es: = a sen2 /cos La ecuacin genrica de la cisoide de Diocles en ecuaciones paramtricas es:x = a sen2 y = a sen3 /cos La asntota es:x=aEl rea entre la curva y la asntota es:A = 3/4 a2 5. CICLOIDE***Esta curva es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a cuando rueda sinresbalar sobre el eje x.Esta curva se empez a estudiar para resolver el problema de la cuadratura del crculo. Galileoestudi la cicloide con intensidad.La ecuacin genrica de la cicloide en forma paramtrica es:x = a( - sen )y = a(1 - cos )Si el punto P es exterior a la circunferencia, la curva que se genera se llama cicloide alargada, y siel punto P es interior a la circunferencia la curva se llama cicloide alargada o trocoide.El rea bajo el arco de la cicloide es 3 veces la superficie del crculo que genera la cicloide.LA CATENARIA***La catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos.Los primeros matemticos que abordaron el problema supusieron equivocadamente que la curvaera una parbola. Huygens, a los 17 aos, demostr que no era una parbola, pero no encontr laecuacin. 6. En 1691, en respuesta a un reto de Jacob Bernoulli, Leibnitz, Huygens, por mtodos geomtricos,y Johann Bernoulli encontraron la ecuacin. Este reto de Jackob Bernoulli, resuelto por Johann, fueel comienzo de la rivalidad entre ellos.El nombre de catenaria se debe a Huygens.Johann Bernoulli resolvi el problema de la siguiente manera:Consider el trozo de cadena OA. Las fuerzas que actan sobre ese trozo son el peso P, la fuerzaF (que depende del lado izquierdo de la cadena y por lo tanto es constante) y G.Siendo el ngulo que forma G con la horizontal, tenemos que, como el trozo OA est enequilibrio:P = G sen F = G cos Dividiendo ambas ecuaciones tenemos: tg = P/Fpero tg tambin es igual a dy/dxPero como la cadena es homognea, el peso P = k.l (siendo k el peso de la cadena por unidad delongitud y l, la longitud del arco OA)dy/dx = P/F = kl / FComo k y F son constantes, podemos hacer F/k = b y nos queda:dy/dx = l / bDerivando esta ecuacin respecto a x, nos queda:d2y/dx2 = 1/b dl /dxpero dl = raz (dx2 + dy2) = raz (1 + (dy/dx)2)haciendo dy/dx = z, nos queda: 7. dz/dx = 1/b raz (1 + z2)Integrando queda: z = senh x/b + CPara calcular la constante C, aplicamos la ecuacin en el origen y vemos que C = 0Deshaciendo en cambio z = dy/dx nos queda:y = cosh x/b - bLa ecuacin genrica de la catenaria en coordenadas cartesianas es: y = a/2(ex/a + e-x/a) =a.cosh(x/a). Siendo a la distancia desde el origen hasta la curva.La longitud de la catenaria se calcula mediante la integral (ver Clculo de longitudes de arcosmediante integrales) que en este caso concreto es de muy fcil integracin.L = a(ex/a - e-x/a) 8. CIRCUNFERENCIA.*** La propiedad bsica de la circunferencia es que todos los puntos de la circunferencia estn ala misma distancia del centro.La demostracin de la ecuacin de una circunferencia de centro el origen y radio R es muysencilla.Sea (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. Como veis en la figura se forma un triangulorectngulo y entonces x2 + y2 = R2. Esa es la ecuacin de la circunferencia.Si dividimos esta ecuacin por R2, queda x2/R2 + y2/R2 = 1.La longitud de la circunferencia es L = 2R.El rea de la superficie que est dentro de la circunferencia (crculo) es A = R2.Potencia de un punto respecto a una circunferenciaDesde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos segmentos que cortan a lacircunferencia en los puntos A, B, C y D.Se cumple que PA.PB = PC.PDLa potencia de un punto P de coordenadas x, y respecto auna circunferencia de centro (a,b) y radioR es (x0 - a)2 + (y0 - b)2 - R2Eje radical de dos circunferenciasDadas dos circunferencias, el lugar geomtrico de los puntos del plano que tienen la mismapotencia respecto a ambas circunferencias, es una recta y se llama eje radical.Siendo las ecuaciones de las circunferencias:x2 + y2 + Ax + By + C = 0x2 + y2 + Ax + By + C = 0la ecuacin del eje radical es: (A - A)x + (B - B)y + (D - D) = 0LA ELIPSE.*** La elipse, la parbola y la hiprbola se llaman secciones cnicas. La razn de este nombre esque estas curvas se forman al seccionar un cono por un plano. 9. Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva quedescribe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias deese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad).Si esta constante est comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, esuna parbola y si es mayor que uno es una hiprbola.Menaechmo, un discpulo de Platon y Eudoxo, estudi la elipse.Euclides tambin estudi esta curva, pero ha pasado a la historia de la mano de Apolonio, al quedebe su nombre.Esta es la razn del nombre de la elipse:La parbola se puede expresar por esta ecuacin y2 = kx, siendo k = 2b2/a. Esto quiere decir queen cualquier punto de la parbola podemos construir un cuadrado de lado y (la ordenada del punto)y un rectngulo de lados x (la abscisa del punto) y k, y las reas del cuadrado y el rectngulosiempre sern iguales.Si hacemos lo mismo en una hiprbola el cuadrado siempre ser mayor y en una parbola elcuadrado siempre es menor.Resulta que una de las acepciones de parbola en griego era equiparable, de elipse deficiencia yde hiprbola exceso. De ah los nombres.Otros muchos matemticos la estudiaron: Keppler (descubri que la trayectoria de los planetas alrededor del sol son elipses). Esto es una elipse. La propiedad de esta curva es que la suma de las distancias de cualquier punto de la curva a dos puntos fijos (F1 y F2) es constante. Los puntos F1 y F2 se llaman focos. Los ejes se llaman eje mayor y eje menor. Los puntos A, B, C y D se llaman vrtices. El achatamiento (el nombre correcto es excentricidad) de la elipse se mide por el cociente entre c y a (e = c/a).c 2 = a2 - b2La ecuacin de la elipse es x2/a2 + y2/b2 = 1.La ecuacin paramtrica de la elipse es:x=acosy = bsen 10. Estas ecuaciones se de