Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780"Escola em processo de mudança"

Ano Lectivo2011/20

12

FICHA DE REVISÃO PARA A FICHA DE AVALIAÇÃOMatemática A

11º12-03-2012

Grupo I

1. A equação do plano representado na figura é:(A) x+ y+z=4(B) x− y+2 z+4=0(C) x− y+2 z=4(D) x+ y+z+4=0

2. Seja t uma reta de inclinação θ = 135º.

Um vetor diretor de t pode ter de coordenadas:(A) (-2, 2) (B) (1, 1)(C) (2 ,1) (D) (1, 2)

3. Na figura seguinte está representado um retângulo [ABCD] inscrito numa circunferência de centro O e diâmetro 1.

Indique, das seguintes expressões, aquela que traduz a área, em função de , do retângulo [ABCD].

(A) sen2 γ (B) tg γ

(C) senγ ×cosγ (D) 1−tg γ

4. Para certos valores de a Є IR, e b Є IR, a expressão f ( x )=a+ 1x−b

define uma função f. Ao lado, esta uma representação gráfica de f.Os pontos A e D pertencem ao gráfico da função e são vértices de um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados. As abcissas de A e D são, respetivamente, 4 e 7.

Página 1 de 15

Qual a área do retângulo?(A) 6,75 (B) 2,25 (C) 3 (D) 2,8

5. Na figura está representado um triângulo [ABC ]com dois ângulos de

amplitude α e um ângulo de amplitude β.

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?

(A) cos β=sen (2α ) (B) cos β=cos¿¿)

(C) cos β=−sen2α (D) cos β=−cos¿

6. Considera uma função h com as seguintes características: h (0 )=0;

h é estritamente crescente no intervalo [0,2 ] h é uma função par.

Indica qual é a única afirmação verdadeira.(A) A função h tem um máximo relativo para x=0.

(B) h (−1 )<0

(C) A função h é estritamente decrescente no intervalo [−1,0 ].

(D) h (−2 )+h (2 )=0

7. Num certo problema de Programação Linear, pretende-se maximizar a função objectivo, a qual é definida por L=3 x+ yNa figura está representada a região admissível.

Página 2 de 15

Qual é a solução do problema?

(A) x=6 e y=3 (B) x=4 e y=2

(C) x=4 e y=3 (D) x=6 e y=2

8. Considere a função f definida, em R, por f ( x )=−√3+2sin (2 x )Relativamente a esta função podemos afirmar que:

(A) f ( π6 )=2√3 (B) π3 é um zero de f (C) D' f= [−√3 ,√3 ] (D)

f (π )> f ( π2 )

9. Na figura está representada a região admissível de um problema de programação linear. Esta região corresponde ao seguinte sistemas:

{x≥0y ≥0x≤5y ≤6

2x+ y ≤12

Qual é o valor máximo que a função objectivo, definida por z=x+ y, pode alcançar nesta região?

(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13

Grupo II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando para um resultado não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.

Página 3 de 15

1. Seja f (t )=9−t 2 a expressão que define, em função do tempo t (em segundos), a distância ao solo de um móvel que é lançado de uma altura de 9 metros.1.1 Calcula a TMV entre o 1º e o 2º segundo e indica qual a

interpretação geométrica do valor encontrado.1.2 Defina a função derivada da função f (t ).1.3 Qual é a velocidade da bola no instante 3? Interpreta o

resultado no contexto do problema.1.4 Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f no

ponto de abcissa 1.

2. Pretende-se vedar um terreno rectângular que está junto ao rio.Cada metro de vedação do lado do rio custa 10€ e a vedação de cada um dos outros lados custa 2€ o metro.Determine a área máxima de terreno que é possível vedar com 4800€ sabendo que um dos lados maiores do terreno está voltado para o rio.

3. Considere a função definida por f ( x )=x2

3.1 Determine a taxa média de variação no intervalo [1,2 ]3.2 Determine, usando a definição, a derivada da função no ponto

2.3.3 Determine uma equação da recta tangente ao gráfico no

ponto 3.

4. Resolve em R a equação

1x−1

+ 1x+1

= 2 x2

x2−1

5. Simplifica as seguintes frações:

5.1.3−xx2−9

5.2.−x2+3 x−22 x−x2

5.3.x3−4 x2+5 x−2

4−x2

6. Resolve, em R, cada uma das seguintes equações, começando por

representá-las na forma A (x )B ( x )

=0.

Página 4 de 15

6.1.2x−1x+2

=1

6.2.x2−4

−x2−2x−1x=0

6.3.x2=1

x

7. Resolve, em R, cada uma das seguintes inequações:

7.1.2x−12−x

≤1

7.2.x2−4 xx2+x

>0

7.3.x+ 5

x+2>4

8. Num referencial o.n. considere o ponto P(3,2,-1) e os planos , e definidos por:

α :2 x+2 y+z=9 ; β : x− y+z=0eγ : 3x+2 y+2 z=28.1 Averigue se o ponto P pertence ao plano α.8.2 Calcule, com aproximação à décima do grau, a amplitude do

ângulo que qualquer reta normal ao plano β faz com o eixo Ox.

8.3 Determine a intersecção do plano a com o eixo Oz.8.4 Escreva uma equação da reta perpendicular ao plano e que

passa pelo ponto P.8.5 Determine a intersecção dos 3 planos.

9. Na figura , está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico.Sabe-se que:• O ponto A tem coordenadas (1, 0) • O ponto B tem coordenadas (2, 0)Considere que um ponto P se move sobre a circunferência.

Página 5 de 15

Para cada posição do ponto P, seja d=PB e seja α∈¿a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OP.Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

9.1 Mostre que d2=5−4 cosαSugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de e utilize a fórmula da distância entre dois pontos.

9.2 Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que d2=5−4 cosα9.2.1. Determine os valores de α∈ ¿ para os quais d2=39.2.2. Para um certo valor de pertencente ao intervalo

[0 , π ], tem-se que tgα=−√15 9.3 Determine d, para esse valor de

Página 6 de 15

Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780"Escola em processo de mudança"

Ano Lectivo2011/20

12

RESOLUÇÃO DA FICHA DE REVISÃO Matemática A

11ºA12-03-2012

Grupo I

1. O plano interseta os eixos nos pontos A(4,0,0), B(0,4,0) e C(0,0,4).

AB=B−A= (0,4,0 )−(4,0,0 )=(−4,4,0 )AC=C−A=(0,0,4 )−(4,0,0 )=(−4,0,4 )Um vetor n , normal ao plano é perpendicular a AB e AC , ou seja,

n× AB=0⋀ n× AC=0

{(a ,b , c ) . (−4,4,0 )=0(a ,b , c ) . (−4,0,4 )=0

⇔ {−4 a+4 b=0−4 a+4c=0⇔ {b=0c=0

Logo, n é da forma (a,a,a), a εR ¿{0 ¿}. Se por exemplo a=1, então n=(1,1,1) e a equação

do plano é:

1 ( x−4 )+1 ( y−0 )+1 ( z−0 )=0⟺x−4+ y+z=0⟺ x+ y+z=4

Resposta A

2. O declive da reta t é dado por : m=tg 135º=−1

O vetor (-2,2) é diretor de uma reta de declive m= 2−2

=−1, ou seja é diretor de t.

Resposta A

3. senγ=BC1

⟺BC=senγ

cosγ= AB1

⟺ AB=cosγ

A área do retângulo é dado por: senγcosγ

Resposta C

4. Por observação do gráfico conclui-se que a função em causa é dado por: f ( x )=2+ 1x−3

Página 7 de 15

Assim as coordenadas dos pontos A, B, C e D são:

A(4,f(4))= (4,3); B(7, f(4))=(7,3); c(4,f(7))=(4,9/4) e D(7,f(7))= (7,9/4)

Pelo que as dimensões do retângulo [ABCD] são:

7−4=3e3−94=34 e a sua área é: 3× 34

=94=2,25

Resposta B

5. Tem-se β+2α=π , ou seja, β=π−2α

Vem então cos β=cos (π−2α )=−cos (2α )

Resposta D

6. Por exemplo, o gráfico da função seguinte é um exemplo que satisfaz todas as condições

do enunciado. Daqui podes concluir que a única afirmação verdadeira é a C.

Resposta C

7. Das alternativas apresentadas, apenas a C e a D correspondem a pontos pertencentes à

fronteira da região admissível. Este facto permite excluir as alternativas A e B. Das

hipóteses C e D, aquela em que a função objectivo tem valor mais elevado é a D, pois

3×6+2>3×4+3

Resposta D

8. f ( x )=−√3+2sin (2 x )⇔−√3+2sin (2 x )=0

⇔2sin (2 x )=√3⇔ sin (2 x )=√32⇔sin (2 x )=sin( π3 )

⇔ sin (2x )=sin ( π3 )⇔2x= π3+2kπ ˅2x=π−π

3+2kπ , k∈R

⇔ x=π6

+2kπ ˅x=π3+2kπ , k∈R

k=0⇒ x=π6˅x= π

3Resposta B

Página 8 de 15

9. Vértice x y z=x+ yA(0; 6) 0 6 6B(3 ;6) 3 6 9C (5 ;1,2) 5 1,2 6,2D(5 ;0) 5 0 5

Resposta B

Grupo II

1. 1.1.

TMV [1,2 ]=f (2 )−f (1 )2−1

¿ 5−81

=−3

O valor -3 é o declive da recta secante ao gráfico de f que passa

nos pontos (1,8) e (2,5 )

1.2.

f ´ (t )=−2t f ´ (3 )=−2×3=−6

A velocidade da bola é de 6m /s. O valor da derivada é negativo uma vez que a bola no momento t=3 s está a descer

1.3.

f ´ (1 )=−2×1=−2

y=−2x+b

f (1 )=8

Determinação do b:

8=−2×1+b

b=10

Então, y=−2x+10

é a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto x=1.

2.

Página 9 de 15

Rio

10 x+2 ( x+2 y )=4800⇔10x+2 x+4 y=4800⇔4 y=4800−12 x

⇔ y=4800−12x4

⇔ y=1200−3 x

A=x (1200−3x )=1200 x−3 x2

A'=1200−3 x

A'=0⇔1200−3 x=0⇔x=200

x 0 200 +∞

A + 0 -

A' Máx

A área é máxima para x=200

A=1200×200−3×2002=120000

R:. A área máxima que é possível vedar com 4800€ é 120000m2

3.

3.1. tmv [1,2 ]=f (2 )−f (1)2−1

=22−12

2−1=33=1

3.2. f ' (2 )=lim ¿h→ 0( f (2+h )−f (2)h )=lim ¿h→0( (2+h )2−22

h )=lim ¿h→0( 4+4h+h2−4

h )¿¿¿

¿ lim ¿h→0( h (4+h )h )=lim ¿h→0 (4+h )=4+0=4¿¿

3.3. y=mx+b⇔ y=4 x+b⇔ 4=4×2+b⇔b=−4

Página 10 de 15

x

y

y=4 x−4

4. Resolve em R a equação1

x−1+ 1x+1

= 2 x2

x2−1

Falta correção desta

5.5.1.

3−xx2−9

= 3−x( x+3 ) ( x−3 )¿

−(x−3)x−3

= −1x−3

5.2. −x2+3 x−22 x−x2

=−( x−1 ) ( x−2 )

x (2−x )¿ x−1

x

5.3. x3−4 x2+5 x−2

4−x2=

(x−2 ) (x2−2 x+1 )− (x+2 )(x−2)

Regra do ruffini

x=2 é raiz do polinómio por isso x3−4 x2+5 x−2=( x−2 ) ( x2−2x+1 )

x2−2x+1−( x+2 )

=(x−2 )(x−2)

−( x+2 )=

(x−2)−1

=2−x

6.6.1.

2x−1x+2

=1⇔ 2 x−1−(x+2)x+2

=0

⇔ 2 x−1−x−2x+2

=0⇔ x−3x+2

=0⇔x−3=0∧ x+2≠0⇔

⇔x=3∧ x≠−2

C.S. {3 }

6.2. x2−4

−x2−2x−1x=0⇔ x2−4+ x+2

−x ( x+2 )=0⇔ x2+x−2

−x ( x+2 )=0

Página 11 de 15

⇔ x2+x−2−x ( x+2 )

=0⇔(x−1 ) ( x+2 )−x ( x+2 )

=0⇔ x−1−x

=0⇔

⇔x−1=0∧−x≠0⇔x=1∧ x≠0

C.S. {1 }

6.3.

x2=1x⇔x2−1

x=0⇔ x3−1

x=0

⇔x3−1=0∧ x ≠0⇔x=1∧ x≠0

C.S. {1 }

7.7.1.

2x−12−x

≤1⇔ 2x−1−(2−x)2−x

≤0⇔ 3 x−32−x

≤0

−∞ 1 2 +∞

3 x−3 −¿ 0 +¿ +¿ +¿

2−x −¿ −¿ −¿ 0 +¿

3x−32−x

+¿ 0 −¿ S.S. +¿

3x−32−x

≤0⇔x∈¿

7.2. x2−4 xx2+x

>0

−∞ -1 0 4 +∞

x2−4 x +¿ +¿ +¿ 0 −¿ 0 +¿

Página 12 de 15

x2+ x +¿ 0 −¿ 0 +¿ +¿ +¿

x2−4 xx2+x

+¿ S .S . −¿ S.S. −¿ 0 +¿

x2−4 xx2+x

>0⇔x∈ ¿−∞ ,−1[∪]4 ,+∞ ¿

7.3.

x+ 5x+2 >4⇔

x ( x+2 )+5−4(x+2)x+2 >0⇔

⇔ x2−2 x−3x+2

>0

−∞ -2 -1 3 +∞

x2−2 x−3 +¿ +¿ +¿ 0 −¿ 0 +¿

x+2 −¿ 0 +¿ +¿ +¿ +¿ +¿

x2−2x+3x+2

−¿ S .S . +¿ 0 −¿ 0 +¿

x2−2 x−3x+2

>0⇔x∈ ¿−2 ,−1 [∪ ]3 ,+∞¿

8.8.1. Substituindo as coordenadas do ponto P na equação do plano tem-se:

2×3+2×2−1=9⟺6+4=9⟺9=9Proposição verdadeira, logo P pertence ao plano.

8.2. Seja nβ=(1,−1,1 ) um vetor normal ao plano β e u=(1,0,0) um vetor com a direção do eixo Ox.

Se θ é a amplitude do ângulo formado por uma reta normal a β com o eixo Ox, então:

cosθ=|1+0+0|√3×1

= 1√3

logoθ=cos−1 (0,577 )⟺θ≃54,7 °

Página 13 de 15

8.3. A interseção do plano com o eixo Oz, obtém-se resolvendo o sistema:

{2x+2 y+z=9x=0y=0

⇔ {z=9x=0y=0

O ponto de interseção é I(0,0,9)

8.4. Um vetor normal do plano é: nγ= (3,2,2 )Se a reta é perpendicular ao plano, o vetor diretor da reta é colinear com o vetor normal ao plano. Usando o ponto P, obtém-se o pretendido.

( x , y , z )=(3,2 ,−1 )+k (3,2,2 ) , k∈Z

8.5. A interseção dos 3 planos obtém-se resolvendo o sistema:

{ 2 x+2 y+z=9x− y+z−3=03x+2 y+2 z=2

⇔ { z=9−2x−2 yx− y+9−2 x−2 y−3=03x+2 y+18−4 x−4 y=2

⟺{−¿−x−3 y+6=0−x−2 y+16=0

⟺{ −¿ x=−3 y+63 y−6−2 y+16=0

⟺ {−¿−¿ y=−10⟺ {z=−43x=36y=−10

Os planos intersetam-se no ponto (36,-10,-43)

9.9.1. O ponto P tem de coordenadas (cos, sen)

Como o ponto B tem coordenadas (2,0), tem-se d2=(cosα−2)2+(senα )2

d2=(cosα−2)2+(senα )2=cos2α−4 cosα+4+sen2α=cos2α+sen2α+4−4 cosα=1+4−4 cosα=5−4 cosα

9.2.1. d2=3⟺5−4 cosα=3⟺ cosα=1

2

cosα= 12⋀ αϵ ¿

9.2.2.

Como tgα=−√15e tg2α+1= 1cos2α

, tem-se:

(−√15)2+1= 1cos2α

⟺16= 1cos2α

⟺cos2α= 116

⟺ cosα= 14⋁ cosα=−1

43

Atendendo a que [0,π] e a que tg<0, pode concluir-se que αϵ ¿ π2, π ¿

Então, d2=5−4 (−14 )=6e , portanto ,d=√6

Página 14 de 15

Página 15 de 15